2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛_7._2003年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题

2002年上海市中考数学试卷及参考答案

∴ 所求二次函数的解析是 y＝x2＋2x－3 或 y＝x2－8x＋12．……………………（1 分）
24．证明：连结 OC、OD．
（1）∵ OC＝OD，∴ ∠OCD＝∠ODC
……………………（1 分）
∵ CD∥AB，∴ ∠OCD＝∠COM，∠ODC=∠DON．
∴ ∠COM＝∠DON
……………………（1 分）
（D）边数大于 3 的正多边形的对角线长相等．
（大小题共 4 题，每题 7 分，满分 28 分）
x + 2 x2 - 2x +1 2x + 6
19．计算：
× x -1
x2
-x-6
-
x2
．
-9
ì3x +1 > 5(x -1), ①
ï
20．解不等式组： í4
6 - 5x
ïî3 x - 6 ³
. 3
②
……………………（1 分） ……………………（2 分）
∴
S△BCD＝
3 BD2＝4 4
3 k2
∴ S△ABD︰S△BCD＝6k2︰4 3 k2＝ 3 ︰2
22．（1）148～153
……………………（2 分） ……………………（2 分） ……………………（1 分）
168～173
……………………（1 分）
1．4；
14
2
2．2；
11
3．3.84×10 ；
28
4．x＝1；
5．（3，－6）；
6．－2； 7．y2＋4y＋1＝0；
8．不合理； 9．12；
10．20tana＋1.5；
11．1；
12．5；
13．30；
14．AB＝AC、∠B＝∠C、AE＝AF、AE＝ED、DE∥AC、…中的一个

详解——2003年全国初中数学联合竞赛试卷及答案

2003年全国初中数学联赛答案及详解第一试一、 1、(D)；2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360º，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中锐角最多不超过3个。

3、(A)；设A(y x ,)，则1=xy ，故1122ABO S xy ∆==。

又因为△ABO 与△CBO同底等高，因此，21ABC ABO S S ∆∆=⨯=4、(B)；由已知等式可得0=0>0=。

故2003=xy又因为2003为质数，必有12003x y =⎧⎨=⎩或20031x y =⎧⎨=⎩5、(B)；如图3，连结BE ，31144ADE S ∆=-= 设CEx AC=，则1ABE S x ∆=-。

111,344ADE x S x ∆-===。

故13CE EA =6、(D)；如图4，连结AC 、CE 。

由AE ∥BC ，知四边形ABCE 是等腰梯形。

故AC ＝BE ＝5。

又因为Dc ∥AB ，DC 与圆相切，所以，∠BAC ＝∠ACD ＝∠ABC 。

则AC ＝BC ＝AD ＝5，DC ＝AB ＝4因为2DC AD DE =⋅，故2165DC DE AD == 二、1、－1；设A 12(,0),(,0)x B x 。

由△ABC 是直角三角形可知12,x x 必异号。

则120cx x a=< 由射影定理知2OC AO BO =⋅，即212cc x x a=⋅=；故1,1ac ac ==- E DCBA E D CBA2、4；由题设可知，2299320553332077m m ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-->⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⨯+⨯-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 解得813342145m <<。

故4m =3、12º；设∠BAC 的度数为x因'AB BB =，故∠'2,4B BD x CBD x =∠=又'AB AA =，则∠''AA B ABA =∠＝∠CBD ＝x 4。

2003年全国初中数学联赛预赛暨2002年山东省初中数学竞赛试题（有答案）

2003年全国初中数学联赛预赛暨2002年⼭东省初中数学竞赛试题（有答案）2003年全国初中数学联赛预赛暨 2002年⼭东省初中数学竞赛试题⼀、选择题(本题共8⼩题,每⼩题6分,满分48分)1.磁悬浮列车是⼀种科技含量很⾼的新型交通⼯具.它有速度快、爬坡能⼒强、能耗低的优点.它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的三分之⼀、汽车每个座位的平均能耗的70%.那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的( )(Ａ)37 (Ｂ)73 (Ｃ)1021 (Ｄ)21102.已知ａ,ｂ,ｃ,ｄ都是正实数,且ａｂ <ｃｄ .给出下列四个不等式: ①ａａ+ｂ >ｃｃ+ｄ②ａａ+ｂ <ｃｃ+ｄ③ｂａ+ｂ >ｄｃ+ｄ④ｂａ+ｂ <ｄｃ+ｄ其中正确的是( )(Ａ)①③ (Ｂ)①④ (Ｃ)②④ (Ｄ)②③3.如图,在等腰直⾓三⾓形ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,∠ＣＢＤ=30°,则ＡＤＤＣ的值是( ) (Ａ)3 3 (Ｂ) 2 2(Ｃ) 2 －1 (Ｄ) 3 －1 4.世界杯⾜球赛⼩组赛,每个⼩组4个队进⾏单循环⽐赛,每场⽐赛胜队得3分,败队得0分,平局时两队各得1分.⼩组赛完以后,总积分最⾼的两个队出线进⼊下轮⽐赛.如果总积分相同,还要按净胜球数排序.⼀个队要保证出线,这个队⾄少要积( )(Ａ)5分 (Ｂ)6分 (Ｃ)7分 (Ｄ)8分5.如图,四边形ＡＢＣＤ中,∠Ａ=60°,∠Ｂ=∠Ｄ=90°,ＡＤ=8,ＡＢ=7,则ＢＣ+ＣＤ等于( )(Ａ)6 3 (Ｂ)5 3 (Ｃ)4 3 (Ｄ)3 36.如图,在梯形ＡＢＣＤ中,ＡＤ∥ＢＣ,ＡＤ=3,ＢＣ=9,ＡＢ=6,ＣＤ=4.若ＥＦ∥ＢＣ,且梯形ＡＥＦＤ与梯形ＥＢＣＦ的周长相等,则ＥＦ的长为( )(Ａ)45 7 (Ｂ) 33 5 (Ｃ) 39 5 (Ｄ) 1527.如图,在ＲｔＡＢＣ中,∠ＡＣＢ=90°,ＡＣ=ｂ,ＡＢ=ｃ,若Ｄ、Ｅ分别是ＡＢ和ＡＢ延长线上的两点,ＢＤ=ＢＣ,ＣＥ⊥ＣＤ,则以ＡＤ和ＡＥ的长为根的⼀元⼆次⽅程是()(Ａ)ｘ2－2ｃｘ+ｂ2=0(Ｂ)ｘ2－ｃｘ+ｂ2=0(Ｃ)ｘ2－2ｃｘ+ｂ=0(Ｄ)ｘ2－ｃｘ+ｂ=08.已知实数ａ、ｂ、ｃ满⾜ａ<ｂ<ｃ,ａｂ+ｂｃ+ｃａ=0,ａｂｃ=1,则()(Ａ)｜ａ+ｂ｜>｜ｃ｜(Ｂ)｜ａ+ｂ｜<｜ｃ｜(Ｃ)｜ａ+ｂ｜=｜ｃ｜(Ｄ)｜ａ+ｂ｜与｜ｃ｜的⼤⼩关系不能确定⼆、填空题(本题共4⼩题,每⼩题8分,满分32分)9.Ｍ是个位数字不为零的两位数,将Ｍ的个位数字与⼗位数字互换后得另⼀个两位数Ｎ,若Ｍ－Ｎ恰是某正整数的⽴⽅,则这样的Ｍ共有＿＿＿＿个.10.设ｘ1、ｘ2是⽅程ｘ2-2 (ｋ+1)ｘ+ｋ2+2=0的两个实数根,且(ｘ1+1) (ｘ2+1)=8, 则ｋ的值是＿＿＿＿.11.已知实数ｘ、ｙ、ｚ满⾜ｘ+ｙ=5及ｚ2=ｘｙ+ｙ－9,则ｘ+2ｙ+3ｚ=＿＿＿＿.12.如图,Ｐ是矩形ＡＢＣＤ内⼀点,若ＰＡ=3,ＰＢ=4,ＰＣ=5,则ＰＤ=＿＿＿＿.三、解答题(本题共3⼩题,每⼩题20分,满分60分)13.如图,甲楼楼⾼16⽶,⼄楼坐落在甲楼的正北⾯,已知当地冬⾄中午12时太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为30°,此时,求:(1)如果两楼相距20⽶,那么甲楼的影⼦落在⼄楼上有多⾼?(2)如果甲楼的影⼦刚好不落在⼄楼上,那么两楼的距离应当是多少⽶?14.如图, △ＡＢＣ是等腰直⾓三⾓形,∠Ｃ=90°,Ｏ是△ＡＢＣ内⼀点,点Ｏ到△ＡＢＣ各边的距离都等于1,将△ＡＢＣ绕点Ｏ顺时针旋转45°得△Ａ1Ｂ1Ｃ1,两三⾓形公共部分为多边形ＫＬＭＮＰＱ.(1)证明: △ＡＫＬ、△ＢＭＮ、△ＣＰＱ都是等腰直⾓三⾓形;(2)求△ＡＢＣ与△Ａ1Ｂ1Ｃ1公共部分的⾯积.15.某乡镇⼩学到县城参观,规定汽车从县城出发于上午7时到达学校,接参观的师⽣⽴即出发去县城.由于汽车在赴校的途中发⽣了故障,不得不停车修理. 学校师⽣等到7时10分,仍未见汽车来接,就步⾏⾛向县城. 在⾏进途中遇到了已经修理好的汽车,⽴即上车赶赴县城, 结果⽐原定到达县城的时间晚了半⼩时. 如果汽车的速度是步⾏速度的6倍,问汽车在途中排除故障花了多少时间.参考解答⼀、选择题1 Ｃ2 Ｄ3 Ｄ4 Ｂ5 Ｂ6 Ｃ7 Ａ8 Ａ⼆、填空题9 6 10 1 11 8 12 3 2 三、解答题13 (1)设冬天太阳最低时,甲楼最⾼处Ａ点的影⼦落在⼄楼的Ｃ处, 那么图(1)中ＣＤ的长度就是甲楼的影⼦在⼄楼上的⾼度.设ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ,那么在△ＡＥＣ中,∠ＡＥＣ=90°,∠ＡＣＥ=30°,ＥＣ=20⽶.∴ＡＥ=ＥＣ·ｔａｎ∠ＡＣＥ=20·ｔａｎ30°=20×33≈11.6(⽶). ＣＤ=ＥＢ=ＡＢ－ＡＥ=16－11.6=4.4(⽶).(2)设点Ａ的影⼦落到地⾯上⼀点Ｃ(如图(2)),则在△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ=30°,ＡＢ=16⽶,∴ＢＣ=ＡＢ·ｃｏｔ∠ＡＣＢ=16×ｃｏｔ30°=16×3≈27.7(⽶).所以，要使甲楼的影⼦不影响⼄楼，那么⼄楼距离甲楼⾄少要27.7⽶.14 (1)连结ＯＣ,ＯＣ1,分别交ＰＱ、ＮＰ于点Ｄ,Ｅ,根据题意得∠ＣＯＣ1=45°. ∵点Ｏ到ＡＣ和ＢＣ的距离都等于1, ∴ＯＣ是∠ＡＣＢ的平分线. ∵∠ＡＣＢ=90°,∴∠ＯＣＥ=∠ＯＣＱ=45°. 同理∠ＯＣ1Ｄ=∠ＯＣ1Ｎ=45°, ∴∠ＯＥＣ=∠ＯＤＣ1=90°.∴∠ＣＱＰ=∠ＣＰＱ=∠Ｃ1ＰＮ=∠Ｃ1ＮＰ=45°. ∴△ＣＰＱ和△Ｃ1ＮＰ都是等腰直⾓三⾓形.∴∠ＢＮＭ=∠Ｃ1ＮＰ=45°, ∠Ａ1ＱＫ=∠ＣＱＰ=45°. ∵∠Ｂ=45°,∠Ａ1=45°,∴△ＢＭＮ和△Ａ1ＫＱ都是等腰直⾓三⾓形.∴∠Ｂ1ＭＬ=∠ＢＭＮ=90°, ∠ＡＫＬ=∠Ａ1ＫＱ=90°. ∴∠Ｂ1=45°,∠Ａ=45°,∴△Ｂ1ＭＬ和△ＡＫＬ也都是等腰直⾓三⾓形.(2)在Ｒｔ△ＯＤＣ1和Ｒｔ△ＯＥＣ中, ∵ＯＤ=ＯＥ=1,∠ＣＯＣ1=45°,∴ＯＣ=ＯＣ1= 2 . ∴ＣＤ=Ｃ1Ｅ= 2 －1.∴ＰＱ=ＮＰ=2( 2 －1)=2 2 －2,ＣＱ=ＣＰ=Ｃ1Ｐ=Ｃ1Ｎ=2－ 2 . ∴Ｓ△ＣＰＱ=12 ×(2－ 2 )2=3－2 2 .延长ＣＯ交ＡＢ于Ｈ.∵ＣＯ平分∠ＡＣＢ,且ＡＣ=ＢＣ, ∴ＣＨ⊥ＡＢ.∴ＣＨ=ＣＯ+ＯＨ= 2 +1.∴ＡＣ=ＢＣ=Ａ1Ｃ1=Ｂ1Ｃ1= 2 ( 2 +1)=2+ 2 . ∴Ｓ△ＡＢＣ= 12×(2+ 2 )2=3+2 2 .∵Ａ1Ｑ=ＢＮ=(2+ 2 )－(2 2 －2)－(2－ 2 )=2,∴ＫＱ=ＭＮ= 22 = 2 ,∴Ｓ△ＢＭＮ=12×( 2 )2=1.∵ＡＫ=(2+ 2 )－(2－ 2 )－ 2 = 2 , ∴Ｓ△ＡＫＬ=12×( 2 )2=1.∴Ｓ多四边形ＫＬＭＮＰＱ=Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＣＰＱ－Ｓ△ＢＭＮ－Ｓ△ＡＫＬ= (3+2 2 )－(3－2 2 )－1－1 = 4 2 －2.15 假定排除故障花时ｘ分钟.如图,设点Ａ为县城所在地,点Ｃ为学校所在地,点Ｂ为师⽣途中与汽车相遇之处.在师⽣们晚到县城的30分钟中,有10分钟是因晚出发造成的,还有20分钟是由于从Ｃ到Ｂ由步⾏代替乘车⽽耽误的.汽车所晚的30分钟,⼀⽅⾯是由于排除故耽误了ｘ分钟,但另⼀⽅⾯由于少跑了Ｂ到Ｃ之间的⼀个来回⽽省下了⼀些时间.已知汽车速度是步⾏速度的6倍,⽽步⾏⽐汽车从Ｃ到Ｂ这段距离要多花20分钟.由此知汽车由Ｃ到Ｂ应花206－1=4(分钟).⼀个来回省下8分钟,所以有ｘ－8=30,ｘ=38,即汽车在途中排除故障花了38分钟.。

2002年全国初中数学竞赛试题参考答案

2002年全国初中数学竞赛试题参考答案
张劲松
【期刊名称】《小学语文》
【年(卷),期】2002(000)021
【摘要】
【总页数】4页(P28-31)
【作者】张劲松
【作者单位】中国教育学会中学数学教学专业委员会秘书处
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题及参考答案 [J], 冼词学;
2.2012年全国初中数学竞赛试题（副题）及参考答案 [J],
3.2012年全国初中数学竞赛试题及参考答案 [J],
4."《数学周报》杯"2011年全国初中数学竞赛试题及参考答案 [J],
5."《数学周报》杯"2011年全国初中数学竞赛试题(副题)及参考答案 [J],
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

历年初中数学竞赛真题库含答案

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（A ）3 ；（B ）31；（C ）2；（D ）35．答（）２．如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10；（B ）12；（C ） 16；（D ）18．答（）３．方程012=--x x 的解是（A ）251±；（B ）251±-；（C ）251±或251±-；（D ）251±-±．答（）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．答（）５．若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（）６．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（）７．如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（）８．在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ；（Ｂ）0< c ≤21；答（）（C ）c > 2；（D ）c = 2．答（）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。

2003年上海市中考数学试题及答案

上海市2003年初中毕业高中招生统一考试数学试卷数学注意事项：1．本试卷共4页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、填空题1. 8的平方根是 .2. 在6，8，21，4中，是最简二次根式的是。

3.已知函数x x x f 1)(+=，那么)12(-f ＝。

4.分解因式：1222+--a b a ＝。

5.函数x x y -=1的定义域是。

6.方程x x -=++22的根是。

7.上海浦东磁悬浮铁路全长30千米，单程运行时间约8分钟，那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约米/分钟。

8.在平面直角坐标系内，从反比例函数)0(>=k xk y 的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是。

9.某公司今年5月份的纯利润是a 万元，如果每个月份纯利润的增长率都是x ，那么预计7月份的纯利润将达到万元（用代数式表示）。

10.已知圆O 的弦AB ＝8，相应的弦心距OC ＝3，那么圆O 的半径等于。

11.在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，如果AC ＝10，AE ＝4，那么BC ＝。

12.如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是4和2，那么，阴影部分的面积为。

13.正方形ABCD 的边长为1。

如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点D’处，那么tg ∠BAD ’＝。

2003第二十届全国初中数学联赛(含答案)

读万卷书行万里路12003第二十届全国初中数学联赛第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．232217122-- ）A ．542-B ．421C ．5D ．12．在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A ．0B ．1C ．3D ．53．若函数(0)y kx k =>与函数1y x=的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则ABC △的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．满足等式2003200320032003x y x y x y xy -=的正整数对()x y ，的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4yxCB AEDCBA读万卷书行万里路25．设ABC △的面积为1，D 是边AB 上一点，且13AD AB =．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为34，则CE EA的值为（） A ．12B ．13C ．14D ．156．在平行四边形ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =，5BE =，则DE 的长为（）A ．3B ．4C ．154D ．165二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若ABC △是直角三角形，则ac =_________．2．设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37，则m =_________． 3．如图，AA '，BB '分别是EAB ∠，DBC ∠的平分线．若AA BB AB ''==，则ABC ∠的度数为________．4．已知正整数a ，b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a ，b 中较大的数是________．第二试（A ）B'A'EDCBA读万卷书行万里路3考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数．二、（本题满分25分）在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE DF =；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．设线段PA ，PB 的中点分别为M ，N ．求证：⑴DEM DFN △≌△；⑵PAE PBF ∠=∠．三、（本题满分25分）已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，试求x 的值．第二试（B ）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数．FEDC B A读万卷书行万里路4二、（本题满分25分）在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE DF =；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．求证：PAE PBF ∠=∠．三、（本题满分25分）已知四边形ABCD 的面积为32，AB ，CD ，AC 的长都是整数，且它们的和为16．⑴这样的四边形有几个？⑵求这样的四边形边长的平方和最小值．第二试（C ）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，试求x 的值．二、（本题满分25分）NMA B C D EF读万卷书行万里路5在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE DF =；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．求证：PAE PBF ∠=∠．三、（本题满分25分）已知四边形ABCD 的面积为32，AB ，CD ，AC 的长都是整数，且它们的和为16．⑴这样的四边形有几个？⑵求这样的四边形边长的平方和最小值．2003第二十届全国初中数学联赛BA读万卷书行万里路6试题第一试一、选择题1．D【解析】本题应该利用配方法：原式()()2221322222321=--=+-．故选择D ．【点评】这是一道比较简单的二次根式的配方，注意去掉根号时要注意符号．2．C【解析】凸10边形的外角和是360o ，所以最多有3个钝角，也就是内角最多3个锐角．故选择C ．【点评】这道题要从外角来考虑，因为对于任何凸多边形外角和都是360o ，这是一个隐含的条件，在很多的四边形的题中都要从这一点出发来考虑．读万卷书行万里路73．A【解析】如图，求ABC △的面积，可以将AB 当作三角形的底边，而AC 的水平距离就是ABC △的高．y kx =，1y x=，所以有：1kx x =，21x k =，x k=，故ABC △的高为x k =，而当x k=时，y k =，也就是AB k 112ABC S k k=△．所以选A ．【点评】对于函数图像与几何结合的题型，尤其是一元二次方程，二次函数图像以及几何面积等结合的时候，要掌握的重点是两交点之间的水平距离为21x x -，可以通过韦达定理即根与系数的关系求出，而不必要去解带字母系数的一元二次方程．4．B【解析】将2003移到等号左边并变形得到：)200320030xy x y =，20030xy ，即2003xy =，又2003是质数，所以共有2003x =，1y =；1x =，2003y =两组解．AB Cxy读万卷书行万里路8故选择B ．【点评】这道题的考点是恒等变形，需要将原来很复杂的根式变成比较简单的形式，然后再求解．在变换过程中也要注意要解的方程里含两个未知数，一般情况下是无法解的，但是有整数这个条件下的约束，我们可以通过将方程表示成两个多项式的乘积等于零的形式再求解．5．B【解析】显然由正弦定理可知：sin sin ADE ABC S AD AE BACS AB AC BAC⨯⨯∠=⨯⨯∠△△，所以13134ADE ABC S AD AE AE S AB AC AC ⨯==⋅=-⨯△△，故：34AE AC =，所以13CE EA =，应该选B ．【点评】应该了解算三角形面积的三种不同的算法，正弦定理、底乘高的公式以及利用三角形内切圆半径和周长算三角形面积的方法．其中对于利用正弦定理来算三角形面积的方法可以直接转化成两对边比例的乘积，在作填空选择的时候可以直接利用．ABCDE读万卷书行万里路96．D【解析】连接CE ，由于ABCE 四点共圆，所以：DEC CBA ∠=∠，在平行四边形ABCD 中，D ABC ∠=∠，所以有DEC D ABC ∠=∠=∠，同时，CD 平行于AB ，且DC 与圆相切，可知：C 为弧AB 中点，所以CEB CBA ∠=∠，且DCE CBE ∠=∠，故由DEC D ∠=∠可知DEC △为等腰三角形，4CD CE AB ===，由DCE CBE ∠=∠和D ABC CEB ∠=∠=∠可知CDE △相似于BCE △，所以：CE BEDE CE=，故：2165CE DE BE ==，选D ．【点评】注意弦切角的应用，以及圆周角与弧之间的联系．二、填空题E D CBA读万卷书行万里路101．1-【解析】由于ABC △是直角三角形，所以抛物线与x 轴的交点必然在y 轴两边，所以0ca<，再由射影定理得到2c c a =．得到1ac =，有0ca<，所以1ac =-．【点评】这是一道几何与代数的综合题，需要利用给出的几何条件得到二次函数的性质，要掌握的重点是两交点之间的水平距离为21x x -，可以通过韦达定理即根与系数的关系求出，而要去解方程．2．4【解析】解法一：考虑二次函数232y x mx =+-与二次函数的两个交点，由于3大于0，图像开口向上．由于两个交点都在95-和37之间，所以从图像可以看出，905y ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，307y ⎛⎫> ⎪⎝⎭．得到813342125m <<，所以m 的值为4．【点评】直接从已知条件不好下手，而利用二次函数与一元二次方程的关系，从二次函数的图像考虑就比较容易得到结果，利用二次函数的图像是一种很重要的方法．3．12︒11【解析】本题考察的是角度计算的知识，令B α'∠=，由于AB BB '=，所以有：B AB B α''∠=∠=，对于三角形B BA '的一个外角和等于不相邻的的两内角之和，故：2B BD B AB B α'''∠=∠+∠=，又BB'为CBD ∠的角平分线，所以： 24CBD B BD α'∠=∠=，又由对顶角相等可知：4ABA CBD α'∠=∠=，由AA AB '=可知：4AA B ABA α''∠=∠=，故：1801808BAA AA B ABA α'''∠=-∠-∠=-o o ，同时AA '为BAE ∠的角平分线，故：236016BAE BBA α'∠=∠=-o ，则：36016180BAE CAB αα∠+∠=-+=o o ，解得：12α=o ，12BAC α∠==o ．【点评】对于很多的角的计算时一般设一个最小的角便于计算，同时还应该注意三角形中外角、对顶角等的性质．B'A'EDCBA读万卷书行万里路4．225【解析】设两个数的最大公约数为d ，大数为md ，小数为nd ，其中m ，n 互质，则最小公倍数为mnd ．由已知得105mn =，()120m n d -=．由于m n >，所以m 只可能是105，35，21，15．对应的n 分别为1，3，5，7．只有在15m =，7n =时d 为整数，15d =．所以大数为225md =．【点评】这道题的考点是最大公约数与最小公倍数的性质，利用其性质列出整数方程就很容易求解了．第二试（A ）一、【解析】设这两个两位数分别为x ，y ，则()2100x y x y +=+，即()()222500x y x y y +-+-=，旗开得胜13为使方程有正整数根要求()()()2245044250099y y y y ∆=---=-是正整数．经试验得到25y =时∆是完全平方数，解出20x =或30，即2025或者3025满足题意．【点评】本题的关键是根据自然数的性质列出方程，再结合一元二次方程求出结果，这种题目在二试中经常出现．二、【解析】连接DE ，EM ，MD ，DN ，NF ，FD ，在直角AEP △和CFP △中，M 、N 分别是它们斜边上的中点，所以：EM MA MP ==，CN NF NP ==，在APC △中，D 、M 、N 分别为各边的中点，故DM ，DN 均为APC △的中位线，所以有EM MA MP DN ===，CN NF NP DM ===，同时，由于D 为AC 边中点，所以AD DC =，因此DME FND △≌△，命题得证：由DME FND △≌△可知：EMD DNF ∠=∠，PF EDCBAMN又由于DM，DN均为三角形APC的中位线，所以AMD DNC∠=∠，则有：EMD AMD DNF DNC∠-∠=∠-∠，即：AEM FNC∠=∠，同时，AME△为等腰三角形，△和FNC所以，PAE PBF∠=∠，【点评】对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．三、【解析】由已知有：1a x+=；①b1b x+=；②c1c x+=；③d1d x+=．④a读万卷书行万里路15由式①解出：1b x a=-， ⑤将⑤代入②式可得：21x ac x ax -=--，⑥将⑥代入③式可得：211x a x x ax d-+=--，即：()()321210dx ad x d a x ad -+--++=，⑦由④式得：1ad ax +=，代入⑦式得：()()320d a x x --=，由已知0d a -≠，所以：320x x -=，若0x =，则由式⑥可得a c =，矛盾，故有22x =，即2x =±【点评】本道题只能是通过代数式的变换来解题，在代数式的变换中注意到共有四个等式，有a ，b ，c ，d 四个字母，也就是可以通过消元最后得到x 和其中一个字母的关系，但是这样我们得到的是一个三次式，不利于解题．实际上不管最后得出的式子含有多少个未知数，只要可以表示成几个多相式的乘积为零，就能得到结果，实际解题中应该从这方面着手．第二试（B ）一、读万卷书行万里路【解析】设这两个两位数分别为x ，y ，则()2100x y x y +=+，即()()222500x y y y +-+-=，为使方程有正整数根要求()()()2245044250099y y y y ∆=---=-是正整数，经试验得到25y =时∆完全平方数，解出20x =或30，即2025或者3025满足题意．【点评】本题的是根据自然数的性质列出方程，再结合一元二次方程求出结果，这种题目在二试中经常出现．二、【解析】连接DE 、EM 、MD 、DN 、NF 、FD ，在直角三角形AEP 和CFP 中，M 、N 分别是它们斜边上的中点，所以：EM MA MP ==，CN NF NP ==在APC △中，D 、M 、N 分别为各边的中点，故DM ，DN 均为APC △的中位线，所以有EM MA MP DN ===，CN NF NP DM ===，同时，由于D 为AC 边中点，所以AD DC =，因此DME FND △≌△，命题得证：PF EDCBA MN17由DME FND △≌△可知：EMD DNF ∠=∠，又由于DM ，DN 均为三角形APC 的中位线，所以AMD DNC ∠=∠，则有：EMD AMD DNF DNC ∠-∠=∠-∠，即：AEM FNC ∠=∠，同时，AME △和FNC △为等腰三角形，所以，PAE PBF ∠=∠，【点评】对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．三、【解析】如图，设AB a =，CD b =，AC l =并设的边AB 上的高为2h ，边DC 上的高为1h ，则：()()121122ABC ADCABCD S S S h a h b t a b =+=++△△≤平行四边形，仅当121h h ==，等号成立，即在四边形ABCD 中，当AC 垂直于AB ，AC 垂直于CD 时等号成立．由已知可得：()64l a b +≤，又由题设16a b l +=-，可得：()()26464864l a b l +--≤≤≤，h 2h 1AB读万卷书行万里路于是：8l =，8a b +=，且这时AC 垂直于AB ，AC 垂直于AD ．因此，这样的四边形有如下4个：1a =，7b =，8l =；2a =，6b =，8l =；3a =，5b =，8l =；4a =，4b =，8l =；它们都是以AC 为高的梯形或平行四边形．又由AB a =，8CD a =-，则2228BC a =+，()22288AD a =--，因此，这样的四边形的边长的平方和为：()()22222812844192a a a +-+=-+．故当4a b ==时，平方和最小，且为192．【点评】本题是一道综合性很强的题目，其中运用到了面积法，不等式，四边形知识，需要同学们对这些知识掌握得很好，并能够融会贯通．第二试（C ）一、【解析】由已知有：191a x b+=； ①1b xc +=； ②1c x d+=； ③1d x a+=． ④由式①解出：1b x a=-， ⑤将⑤代入②式可得：21x ac x ax -=--，⑥将⑥代入③式可得：211x a x x ax d-+=--，即：()()321210dx ad x d a x ad -+--++=，⑦由④式得：1ad ax +=，代入⑦式得：()()320d a x x --=，由已知0d a -≠，所以：320x x -=，若0x =，则由式⑥可得a c =，矛盾，故有22x =，即2x =±【点评】本道题只能是通过代数式的变换来解题，在代数式的变换中注意到共有四个等式，有a ，b ，c ，d 四个字母，也就是可以通过消元最后得到x 和其中一个字母的关系，但是这样我们得到的是一个三次式，不利于解题．实际上不管最后得出的式子含有多少个未知数，只要可以表示成几个多相式的乘积为零，就能得到结果，实际解题中应该从这方面着手．二、【解析】连接DE、EM、MD、DN、NF、FD，在直角三角形AEP和CFP中，M、N分别是它们斜边上的中点，所以：EM MA MP==，CN NF NP==在APC△中，D、M、N分别为各边的中点，故DM，DN均为APC△的中位线，所以有EM MA MP DN===，CN NF NP DM===，同时，由于D为AC边中点，所以AD DC=，因此DME FND△≌△，命题得证：由DME FND△≌△可知：EMD DNF∠=∠，又由于DM，DN均为三角形APC的中位线，所以AMD DNC∠=∠，则有：EMD AMD DNF DNC∠-∠=∠-∠，即：AEM FNC∠=∠，PF EDCBAM N读万卷书行万里路读万卷书行万里路21同时，AME △和FNC △为等腰三角形，所以，PAE PBF ∠=∠，【点评】对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．三、【解析】如图，设AB a =，CD b =，AC l =并设的边AB 上的高为2h ，边DC 上的高为1h ，则：()()121122ABC ADC ABCD S S S h a h b t a b =+=++△△≤平行四边形，仅当121h h ==，等号成立，即在四边形ABCD 中，当AC 垂直于AB ，AC 垂直于CD 时等号成立．由已知可得：()64l a b +≤，又由题设16a b l +=-，可得：()()26464864l a b l +--≤≤≤，于是：8l =，8a b +=，且这时AC 垂直于AB ，AC 垂直于AD ．因此，这样的四边形有如下4个：1a =，7b =，8l =；2a =，6b =，8l =；h 2h 1A BCD读万卷书行万里路22 3a =，5b =，8l =；4a =，4b =，8l =；它们都是以AC 为高的梯形或平行四边形．又由AB a =，8CD a =-，则2228BC a =+，()22288AD a =--，因此，这样的四边形的边长的平方和为：()()22222812844192a a a +-+=-+．故当4a b ==时，平方和最小，且为192．【点评】本题是一道综合性很强的题目，其中运用到了面积法，不等式，四边形知识，需要同学们对这些知识掌握得很好，并能够融会贯通．。

上海市中学生数学竞赛真题

上海市中学生数学竞赛真题一、选择题1. 答案：A2. 答案：B3. 答案：C4. 答案：D5. 答案：B二、填空题1. 答案：272. 答案：363. 答案：404. 答案：155. 答案：8三、计算题1. 答案：112解析：将4的倍数表示为4k，5的倍数表示为5m。

由于2002是最小公倍数，所以4k+5m=2002。

求得k=333，m=267，则4k+5m=4*333+5*267=112。

2. 答案：24解析：设三个数分别为x、y、z，由题意可得x+y+z=9，x^2+y^2+z^2=45。

通过计算可以得出x=3，y=2，z=4，所以x*y*z=3*2*4=24。

3. 答案：6解析：根据题意，可以列出不等式4x+2y≤18，x+y≥6。

通过计算可以得出最大值为6。

4. 答案：21解析：设捞上来的小鱼数量为x，由题意可得x/3-2/5x=21。

通过计算可以得出x=70，所以小鱼的直观数量为21。

5. 答案：8解析：分子大于分母时，可以通过除法将整数部分的数除掉，得到真分数。

最后的结果为8/1=8。

四、应用题1. 计算追赶问题的时间解析：根据题意，张三的速度为8m/s，李四的速度为6m/s。

令追赶时间为t，则张三走过的距离为8t，李四走过的距离为6t。

由于他们追赶成功时两人距离为500m，所以8t-6t=500，求得t=250。

所以追赶成功所需要的时间为250秒。

2. 设计三角形的边长解析：根据题意，三个数字都是2的倍数，并且大于2。

所以可以选择边长为6，8，10的三角形。

3. 计算三角形的面积解析：根据题意，可以使用海伦公式计算三角形的面积。

设三边长分别为a，b，c，则半周长s=(a+b+c)/2。

根据海伦公式，三角形的面积为sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))，代入数值计算可得面积为15。

4. 计算梯形的面积解析：根据题意，上底为5cm，下底为12cm，高为8cm。

根据梯形面积公式，面积为(上底+下底)*高/2= (5+12)*8/2= 136/2= 68。

2003第二十届全国初中数学联赛(含答案)

读万卷书行万里路12003第二十届全国初中数学联赛第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．232217122-- ）A ．542-B ．421C ．5D ．12．在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A ．0B ．1C ．3D ．53．若函数(0)y kx k =>与函数1y x=的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则ABC △的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．满足等式2003200320032003x y x y x y xy -=的正整数对()x y ，的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4yxCB AEDCBA读万卷书行万里路25．设ABC △的面积为1，D 是边AB 上一点，且13AD AB =．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为34，则CE EA的值为（） A ．12B ．13C ．14D ．156．在平行四边形ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =，5BE =，则DE 的长为（）A ．3B ．4C ．154D ．165二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若ABC △是直角三角形，则ac =_________．2．设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37，则m =_________． 3．如图，AA '，BB '分别是EAB ∠，DBC ∠的平分线．若AA BB AB ''==，则ABC ∠的度数为________．4．已知正整数a ，b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a ，b 中较大的数是________．第二试（A ）B'A'EDCBA读万卷书行万里路3考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数．二、（本题满分25分）在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE DF =；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．设线段PA ，PB 的中点分别为M ，N ．求证：⑴DEM DFN △≌△；⑵PAE PBF ∠=∠．三、（本题满分25分）已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，试求x 的值．第二试（B ）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数．FEDC B A读万卷书行万里路4二、（本题满分25分）在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE DF =；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．求证：PAE PBF ∠=∠．三、（本题满分25分）已知四边形ABCD 的面积为32，AB ，CD ，AC 的长都是整数，且它们的和为16．⑴这样的四边形有几个？⑵求这样的四边形边长的平方和最小值．第二试（C ）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，试求x 的值．二、（本题满分25分）NMA B C D EF读万卷书行万里路5在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE DF =；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．求证：PAE PBF ∠=∠．三、（本题满分25分）已知四边形ABCD 的面积为32，AB ，CD ，AC 的长都是整数，且它们的和为16．⑴这样的四边形有几个？⑵求这样的四边形边长的平方和最小值．2003第二十届全国初中数学联赛BA读万卷书行万里路6试题第一试一、选择题1．D【解析】本题应该利用配方法：原式()()2221322222321=--=+-．故选择D ．【点评】这是一道比较简单的二次根式的配方，注意去掉根号时要注意符号．2．C【解析】凸10边形的外角和是360o ，所以最多有3个钝角，也就是内角最多3个锐角．故选择C ．【点评】这道题要从外角来考虑，因为对于任何凸多边形外角和都是360o ，这是一个隐含的条件，在很多的四边形的题中都要从这一点出发来考虑．读万卷书行万里路73．A【解析】如图，求ABC △的面积，可以将AB 当作三角形的底边，而AC 的水平距离就是ABC △的高．y kx =，1y x=，所以有：1kx x =，21x k =，x k=，故ABC △的高为x k =，而当x k=时，y k =，也就是AB k 112ABC S k k=△．所以选A ．【点评】对于函数图像与几何结合的题型，尤其是一元二次方程，二次函数图像以及几何面积等结合的时候，要掌握的重点是两交点之间的水平距离为21x x -，可以通过韦达定理即根与系数的关系求出，而不必要去解带字母系数的一元二次方程．4．B【解析】将2003移到等号左边并变形得到：)200320030xy x y =，20030xy ，即2003xy =，又2003是质数，所以共有2003x =，1y =；1x =，2003y =两组解．AB Cxy读万卷书行万里路8故选择B ．【点评】这道题的考点是恒等变形，需要将原来很复杂的根式变成比较简单的形式，然后再求解．在变换过程中也要注意要解的方程里含两个未知数，一般情况下是无法解的，但是有整数这个条件下的约束，我们可以通过将方程表示成两个多项式的乘积等于零的形式再求解．5．B【解析】显然由正弦定理可知：sin sin ADE ABC S AD AE BACS AB AC BAC⨯⨯∠=⨯⨯∠△△，所以13134ADE ABC S AD AE AE S AB AC AC ⨯==⋅=-⨯△△，故：34AE AC =，所以13CE EA =，应该选B ．【点评】应该了解算三角形面积的三种不同的算法，正弦定理、底乘高的公式以及利用三角形内切圆半径和周长算三角形面积的方法．其中对于利用正弦定理来算三角形面积的方法可以直接转化成两对边比例的乘积，在作填空选择的时候可以直接利用．ABCDE读万卷书行万里路96．D【解析】连接CE ，由于ABCE 四点共圆，所以：DEC CBA ∠=∠，在平行四边形ABCD 中，D ABC ∠=∠，所以有DEC D ABC ∠=∠=∠，同时，CD 平行于AB ，且DC 与圆相切，可知：C 为弧AB 中点，所以CEB CBA ∠=∠，且DCE CBE ∠=∠，故由DEC D ∠=∠可知DEC △为等腰三角形，4CD CE AB ===，由DCE CBE ∠=∠和D ABC CEB ∠=∠=∠可知CDE △相似于BCE △，所以：CE BEDE CE=，故：2165CE DE BE ==，选D ．【点评】注意弦切角的应用，以及圆周角与弧之间的联系．二、填空题E D CBA读万卷书行万里路101．1-【解析】由于ABC △是直角三角形，所以抛物线与x 轴的交点必然在y 轴两边，所以0ca<，再由射影定理得到2c c a =．得到1ac =，有0ca<，所以1ac =-．【点评】这是一道几何与代数的综合题，需要利用给出的几何条件得到二次函数的性质，要掌握的重点是两交点之间的水平距离为21x x -，可以通过韦达定理即根与系数的关系求出，而要去解方程．2．4【解析】解法一：考虑二次函数232y x mx =+-与二次函数的两个交点，由于3大于0，图像开口向上．由于两个交点都在95-和37之间，所以从图像可以看出，905y ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，307y ⎛⎫> ⎪⎝⎭．得到813342125m <<，所以m 的值为4．【点评】直接从已知条件不好下手，而利用二次函数与一元二次方程的关系，从二次函数的图像考虑就比较容易得到结果，利用二次函数的图像是一种很重要的方法．3．12︒11【解析】本题考察的是角度计算的知识，令B α'∠=，由于AB BB '=，所以有：B AB B α''∠=∠=，对于三角形B BA '的一个外角和等于不相邻的的两内角之和，故：2B BD B AB B α'''∠=∠+∠=，又BB'为CBD ∠的角平分线，所以： 24CBD B BD α'∠=∠=，又由对顶角相等可知：4ABA CBD α'∠=∠=，由AA AB '=可知：4AA B ABA α''∠=∠=，故：1801808BAA AA B ABA α'''∠=-∠-∠=-o o ，同时AA '为BAE ∠的角平分线，故：236016BAE BBA α'∠=∠=-o ，则：36016180BAE CAB αα∠+∠=-+=o o ，解得：12α=o ，12BAC α∠==o ．【点评】对于很多的角的计算时一般设一个最小的角便于计算，同时还应该注意三角形中外角、对顶角等的性质．B'A'EDCBA读万卷书行万里路4．225【解析】设两个数的最大公约数为d ，大数为md ，小数为nd ，其中m ，n 互质，则最小公倍数为mnd ．由已知得105mn =，()120m n d -=．由于m n >，所以m 只可能是105，35，21，15．对应的n 分别为1，3，5，7．只有在15m =，7n =时d 为整数，15d =．所以大数为225md =．【点评】这道题的考点是最大公约数与最小公倍数的性质，利用其性质列出整数方程就很容易求解了．第二试（A ）一、【解析】设这两个两位数分别为x ，y ，则()2100x y x y +=+，即()()222500x y x y y +-+-=，旗开得胜13为使方程有正整数根要求()()()2245044250099y y y y ∆=---=-是正整数．经试验得到25y =时∆是完全平方数，解出20x =或30，即2025或者3025满足题意．【点评】本题的关键是根据自然数的性质列出方程，再结合一元二次方程求出结果，这种题目在二试中经常出现．二、【解析】连接DE ，EM ，MD ，DN ，NF ，FD ，在直角AEP △和CFP △中，M 、N 分别是它们斜边上的中点，所以：EM MA MP ==，CN NF NP ==，在APC △中，D 、M 、N 分别为各边的中点，故DM ，DN 均为APC △的中位线，所以有EM MA MP DN ===，CN NF NP DM ===，同时，由于D 为AC 边中点，所以AD DC =，因此DME FND △≌△，命题得证：由DME FND △≌△可知：EMD DNF ∠=∠，PF EDCBAMN又由于DM，DN均为三角形APC的中位线，所以AMD DNC∠=∠，则有：EMD AMD DNF DNC∠-∠=∠-∠，即：AEM FNC∠=∠，同时，AME△为等腰三角形，△和FNC所以，PAE PBF∠=∠，【点评】对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．三、【解析】由已知有：1a x+=；①b1b x+=；②c1c x+=；③d1d x+=．④a读万卷书行万里路15由式①解出：1b x a=-， ⑤将⑤代入②式可得：21x ac x ax -=--，⑥将⑥代入③式可得：211x a x x ax d-+=--，即：()()321210dx ad x d a x ad -+--++=，⑦由④式得：1ad ax +=，代入⑦式得：()()320d a x x --=，由已知0d a -≠，所以：320x x -=，若0x =，则由式⑥可得a c =，矛盾，故有22x =，即2x =±【点评】本道题只能是通过代数式的变换来解题，在代数式的变换中注意到共有四个等式，有a ，b ，c ，d 四个字母，也就是可以通过消元最后得到x 和其中一个字母的关系，但是这样我们得到的是一个三次式，不利于解题．实际上不管最后得出的式子含有多少个未知数，只要可以表示成几个多相式的乘积为零，就能得到结果，实际解题中应该从这方面着手．第二试（B ）一、读万卷书行万里路【解析】设这两个两位数分别为x ，y ，则()2100x y x y +=+，即()()222500x y y y +-+-=，为使方程有正整数根要求()()()2245044250099y y y y ∆=---=-是正整数，经试验得到25y =时∆完全平方数，解出20x =或30，即2025或者3025满足题意．【点评】本题的是根据自然数的性质列出方程，再结合一元二次方程求出结果，这种题目在二试中经常出现．二、【解析】连接DE 、EM 、MD 、DN 、NF 、FD ，在直角三角形AEP 和CFP 中，M 、N 分别是它们斜边上的中点，所以：EM MA MP ==，CN NF NP ==在APC △中，D 、M 、N 分别为各边的中点，故DM ，DN 均为APC △的中位线，所以有EM MA MP DN ===，CN NF NP DM ===，同时，由于D 为AC 边中点，所以AD DC =，因此DME FND △≌△，命题得证：PF EDCBA MN17由DME FND △≌△可知：EMD DNF ∠=∠，又由于DM ，DN 均为三角形APC 的中位线，所以AMD DNC ∠=∠，则有：EMD AMD DNF DNC ∠-∠=∠-∠，即：AEM FNC ∠=∠，同时，AME △和FNC △为等腰三角形，所以，PAE PBF ∠=∠，【点评】对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．三、【解析】如图，设AB a =，CD b =，AC l =并设的边AB 上的高为2h ，边DC 上的高为1h ，则：()()121122ABC ADCABCD S S S h a h b t a b =+=++△△≤平行四边形，仅当121h h ==，等号成立，即在四边形ABCD 中，当AC 垂直于AB ，AC 垂直于CD 时等号成立．由已知可得：()64l a b +≤，又由题设16a b l +=-，可得：()()26464864l a b l +--≤≤≤，h 2h 1AB读万卷书行万里路于是：8l =，8a b +=，且这时AC 垂直于AB ，AC 垂直于AD ．因此，这样的四边形有如下4个：1a =，7b =，8l =；2a =，6b =，8l =；3a =，5b =，8l =；4a =，4b =，8l =；它们都是以AC 为高的梯形或平行四边形．又由AB a =，8CD a =-，则2228BC a =+，()22288AD a =--，因此，这样的四边形的边长的平方和为：()()22222812844192a a a +-+=-+．故当4a b ==时，平方和最小，且为192．【点评】本题是一道综合性很强的题目，其中运用到了面积法，不等式，四边形知识，需要同学们对这些知识掌握得很好，并能够融会贯通．第二试（C ）一、【解析】由已知有：191a x b+=； ①1b xc +=； ②1c x d+=； ③1d x a+=． ④由式①解出：1b x a=-， ⑤将⑤代入②式可得：21x ac x ax -=--，⑥将⑥代入③式可得：211x a x x ax d-+=--，即：()()321210dx ad x d a x ad -+--++=，⑦由④式得：1ad ax +=，代入⑦式得：()()320d a x x --=，由已知0d a -≠，所以：320x x -=，若0x =，则由式⑥可得a c =，矛盾，故有22x =，即2x =±【点评】本道题只能是通过代数式的变换来解题，在代数式的变换中注意到共有四个等式，有a ，b ，c ，d 四个字母，也就是可以通过消元最后得到x 和其中一个字母的关系，但是这样我们得到的是一个三次式，不利于解题．实际上不管最后得出的式子含有多少个未知数，只要可以表示成几个多相式的乘积为零，就能得到结果，实际解题中应该从这方面着手．二、【解析】连接DE、EM、MD、DN、NF、FD，在直角三角形AEP和CFP中，M、N分别是它们斜边上的中点，所以：EM MA MP==，CN NF NP==在APC△中，D、M、N分别为各边的中点，故DM，DN均为APC△的中位线，所以有EM MA MP DN===，CN NF NP DM===，同时，由于D为AC边中点，所以AD DC=，因此DME FND△≌△，命题得证：由DME FND△≌△可知：EMD DNF∠=∠，又由于DM，DN均为三角形APC的中位线，所以AMD DNC∠=∠，则有：EMD AMD DNF DNC∠-∠=∠-∠，即：AEM FNC∠=∠，PF EDCBAM N读万卷书行万里路读万卷书行万里路21同时，AME △和FNC △为等腰三角形，所以，PAE PBF ∠=∠，【点评】对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．三、【解析】如图，设AB a =，CD b =，AC l =并设的边AB 上的高为2h ，边DC 上的高为1h ，则：()()121122ABC ADC ABCD S S S h a h b t a b =+=++△△≤平行四边形，仅当121h h ==，等号成立，即在四边形ABCD 中，当AC 垂直于AB ，AC 垂直于CD 时等号成立．由已知可得：()64l a b +≤，又由题设16a b l +=-，可得：()()26464864l a b l +--≤≤≤，于是：8l =，8a b +=，且这时AC 垂直于AB ，AC 垂直于AD ．因此，这样的四边形有如下4个：1a =，7b =，8l =；2a =，6b =，8l =；h 2h 1A BCD读万卷书行万里路22 3a =，5b =，8l =；4a =，4b =，8l =；它们都是以AC 为高的梯形或平行四边形．又由AB a =，8CD a =-，则2228BC a =+，()22288AD a =--，因此，这样的四边形的边长的平方和为：()()22222812844192a a a +-+=-+．故当4a b ==时，平方和最小，且为192．【点评】本题是一道综合性很强的题目，其中运用到了面积法，不等式，四边形知识，需要同学们对这些知识掌握得很好，并能够融会贯通．。

2004年宇振杯上海市初中数学竞赛

AE AD = x, = y ,则 AB AC
S △A ED A E・ AD = = xy . S △ABC AB ・ AC
参考答案
3 7 3 一、 1. a < - 2 2. 6 ,4 ± 3. 63 4. 3 6 3 5. 14 6. 7. 12 ,52 ,69 8. 40 9. 3 < d < 2 3 7 10. 20° (1) 不妨设 MP ∥BC . 则二、 1 S △QMP = S △AMP = S AMPD . 2 1 同理 , S △NMP = S MBCP . 2 1 1 故 S四边形 PQMN = ( S AMPD + S MBCP ) = S ABCD . 2 2 (2) 一定能推出 MP ∥BC 或 NQ ∥AB . 若 MP ∥BC ,则断言已经成立 . 若 MP 与 BC 不平行 ,如图 7 , 过 M 作 MP′ ∥BC ,交 CD 于 P′ , P′ 与 P 不重合 . 由题设及 ( 1 ) 的结图7 果 ,有 1 S 四边形 P′ S ABCD = S 四边形 PQMN . QMN = 2 所以 , S △QN P′= S △QN P .
则只能是 n = 12 + 22 + p2 + (2 p) 2 = 5 (1 + p2 ) . 故 5| n . 若 d3 = 3 , 则 d4 = 5 , 这将回到前一种情形 , 因此 ,只能是 d3 = p = 5 ,则 n = 12 + 22 + 52 + 102 = 130. 容易验证 ,130 的 4 个连续最小的正约数就是 1 ,2 ,5 ,10 ,满足条件 . 因此 , n = 130. 四、设
图4
图5
图2

2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛_7._2003年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题

2002年上海市中考数学试卷及参考答案

详解——2003年全国初中数学联合竞赛试卷及答案

2003年全国初中数学联赛预赛暨2002年山东省初中数学竞赛试题（有答案）

2002年全国初中数学竞赛试题参考答案

历年初中数学竞赛真题库含答案

2003年上海市中考数学试题及答案

2003第二十届 全国 初中数学联赛(含答案)

上海市中学生数学竞赛真题

2003第二十届 全国 初中数学联赛(含答案)

2004年宇振杯上海市初中数学竞赛

2003第二十届全国初中数学联赛(含答案)

2003第二十届全国初中数学联赛(含答案)