[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第二讲知识归纳与达标验收-
高二数学之数学人教A版选修4-1课件：本讲整合1
高二数学PPT之数学人教A版选修4-1课件：本讲整合1
本讲整合
本讲整合
知知识识网网络络
专 专题题归归纳纳
高 高考考体体验验
◆ 全书优质试题随意编辑 ◆ 课堂教学流程完美展示 ◆ 独家研发错题组卷系统
本讲整合 专题一 专题二 专题三
知知识识网网络络
专 专题题归归纳纳
高 高考考体体验验
专题一 证明等积线段或成比例线段 利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式,是解决这类问 题的基本方法.解决这类问题一般可分为三步: (1)把等积式化为比例式,从而确定相关的两个三角形相似. (2)确定两个◆相全书关优质试的题随三意编角辑 形◆ 课的堂教方学流法程完美是展示:把◆比独家例研发错式题组横卷系看统 或者竖看,将 两条线段中的相同字母消去一个,由余下的字母组成三角形. (3)设法找到证明这两个三角形相似的条件.
=
������������ ������������
.
∴
������������ ������������
=
������������ ������������.
又∵AP=AD,∴PQ=CF.
本讲整合
知知识识网网络络
专 专题题归归纳纳
高 高考考体体验验
专题一 专题二 专题三
应用3如图,△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,以AB为边向外作 正方形ABDE,连接EC交AB于点P,过点P作PQ ∥BC交AC于点Q.求 证:PQ=PB.
∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠CAE,
∴△CPQ∽△CEA.∴
������������ ������������
=
������������������������.
高二数学之数学人教A版选修4-1课件：本讲整合3
本讲整合
知识建构
知识建构
综合应用
专题一 专题二
证明:如图,连接DO并延长交BC于点E,连接AE.
∵三条侧棱AB,AC,AD两两互相垂直,O是顶点A在底面上的射影,
∴O是△BCD的垂心,则DE⊥BC.
可知AE⊥BC.
又AD⊥AB,AD⊥AC,
∴AD⊥面ABC,则AD⊥AE.
在Rt△DAE中,根据射影定理,有AE2=EO·ED,
综合应用
专题一 专题二
专题二 借助图形解决圆锥曲线问题
圆锥曲线的定义、性质是高考的重点和热点,讨论圆锥曲线的性 质时,借助图形的直观性,可以发现圆锥曲线的性质与图形之间的 对应关系,从而找到解决问题的思路.
应用 3 已知 F1,F2 是椭圆的左、右焦点,以 F1 为顶点,F2 为焦点
的抛物线交椭圆于
本讲整合
专题一 专题二
应用1
知识建构
知识建构
综合应用
如图,点O为正方体ABCD-A1B1C1D1的中心,点E为面BCC1B1的中
心,点F为B1C1的中点,则空间四边形D1OEF在该正方体的面上的正
射影可能是
.
本讲整合
专题一 专题二
知识建构
知识建构
综合应用
提示:要画出四边形D1OEF在该正方体各个面上的正射影,只要 画出四个顶点D1,O,E,F在每个面上的射影,再顺次连接即得在该面 上的射影.
本讲整合
高二数学PPT之数学人教A版选修4-1课件：本讲整合3
本讲整合
-1-
本讲整合
知识建构
知识建构
综合应用本Leabharlann 整合知识建构知识建构
综合应用
专题一 专题二
专题一 正射影问题 正射影的要求较平行射影要高,在以前的学习中也有一定的介绍, 要求会作出某个图形在平面上的正射影(尤其是在三视图中更明 显),而平行射影只要求了解即可.常与简单几何体相联系,在选择题、 填空题、解答题中均有可能出现,预计将来还会保持这种形式. 画出一个图形在一个平面上的射影的关键是确定该图形的关键点 如顶点等,画出这些关键点的射影,再依次连接即可得,此图形在该 平面上的射影.如果对平行投影理解不充分,对该类题目容易不知 所措.避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义,借助于空 间想象来完成.
2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1创新应用课件：第一讲 三 1.相似三角形的判定
3．如图，D 在 AB 上，且 DE∥BC 交 AC 于 E，F 在 AD 上， 且 AD2＝AF· AB，求证：△AEF∽△ACD.
AC AB 证明：∵DE∥BC，∴AE＝AD.① AD AB ∵AD ＝AF· AB，∴AF ＝AD.②
2
AC AD 由①②两式得AE＝AF ， 又∠A 为公共角，∴△AEF∽△ACD.
第三边 ． _________
(3)判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形 的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个
三边 对应成比例，两三角形相似． 三角形相似，简述为：______
[说明]
1.在这些判定方法中，应用最多的是判定定理 1，
即两角对应相等， 两三角形相似． 因为它的条件最容易寻求． 在 实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理 2 则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的 情况较多． 2．引理是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理，可以 判定两直线平行．
(2)判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的 两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么
夹角 相等， 两边 对应成比例且______ 这两个三角形相似， 简述为： ______
两三角形相似．
引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的
∠A＝36° ，BD 是角平分线，证明：△ABC∽△ BCD. [思路点拨] 已知 AB＝AC，∠A＝36° ，所
以∠ABC＝∠C＝72° ，而 BD 是角平分线，因此，可以考虑使 用判定定理 1.
[证明]
∵∠A＝36° ，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72° . 又∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝36° ， ∴∠A＝∠CBD. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.
2018学年高中数学人教A版选修4-1课件：3.1+2+3 平行射
【解析】 显然 A 正确；由于任一轴截面过轴线，故轴截面与圆柱的直截 面垂直，B 正确；C 显然正确；D 中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确． 【答案】 D
[ 质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
点 A′为 给定一个平面 α，从一点 A 作平面 α 的垂线，垂足为点 A′，称_______
点 A 在平面 α 上的正射影．
各点在平面 α 上的正射影 所组成的图形，称为这个图形在 一个图形上__________________________
平面 α 上的正射影．
2．平行射影
直线l的方向 设直线 l 与平面 α 相交(如图 311)，称______________
π ∴∠VOE＝∠AVO＝∠BVO＝4， π ∴∠VEO＝2，即 VE⊥OE. 又∵AB⊥CD，VO⊥CD，∴CD⊥平面 VA B. ∵VE⊂平面 VAB，∴VE⊥CD. 又∵OE∩CD＝O，OE⊂平面 CDE，CD⊂平面 CDE， ∴∠VOE 是截面与轴线的夹角， π ∴截面与轴线夹角大小为4. 由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面 CDE 与圆锥面的截线为 一抛物线．
[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案：第一讲第1节平面直角坐标
![[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案：第一讲第1节平面直角坐标](https://img.taocdn.com/s3/m/5009fe37a300a6c30c229f88.png)
[核心必知]1．平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用通过直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ＞0），y ′＝μ·y ，（μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[问题思考]1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．2．伸缩变换中的系数λ，μ有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？提示：伸缩变换中的系数λ>0，μ>0，在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a>0)，求直角顶点C的轨迹方程．[精讲详析]解答此题需要结合几何图形的结构特点，建立适当的平面直角坐标系，然后设出所求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式，化简后即可得到所求的轨迹方程．以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(－a，0)，B(a，0)，设顶点C(x，y)．法一：由△ABC是直角三角形可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得x2＋y2＝a2.依题意可知，x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．法二：由△ABC是直角三角形可知AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，则yx＋a·yx－a＝－1(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．法三：由△ABC是直角三角形可知|OC|＝|OB|，且点C与点B不重合，所以x2＋y2＝a(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．1．已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，求动点M的轨迹方程．解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，C(0，2)，D(0，－2)．设M(x，y)为轨迹上任一点，则|MA|＝（x＋4）2＋y2，|MB|＝（x－4）2＋y2，|MC|＝x2＋（y－2）2，|MD|＝x2＋（y＋2）2，∴由|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，可得[（x＋4）2＋y2][（x－4）2＋y2]＝[x2＋（y－2）2][x2＋（y＋2）2].化简，得y2－x2＋6＝0.∴点M的轨迹方程为x2－y2＝6.已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.[精讲详析]本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系． 设B (－a ，0)，C (a ，0)，A (0，h )．则直线AC 的方程为y ＝－ha x ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0.直线AB 的方程为y ＝ha x ＋h ，即：hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式：|BD |＝|2ah |a 2＋h2，|CE |＝|2ah |a 2＋h2，∴|BD |＝|CE |， 即BD ＝CE .(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握．(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．2．已知△ABC 中，BD ＝CD ，求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)． 证明：以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则D (a ＋b 2，c 2)，∴AD 2＋BD 2＝（a ＋b ）24＋c 24＋（a －b ）24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)， AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2＋c 2. ∴AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y后的图形是什么形状？(1)y 2＝2x ；(2)x 2＋y 2＝1.[精讲详析] 本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．由伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入y 2＝2x ，可得4y ′2＝6x ′，即y ′2＝32x ′.即伸缩变换之后的图形还是抛物线．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入x 2＋y 2＝1，得(3x ′)2＋(2y ′)2＝1，即x ′219＋y ′214＝1， 即伸缩变换之后的图形为焦点在y 轴上的椭圆．利用坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ>0），y ′＝μ·y ，（μ>0）求变换后的曲线方程，其实质是从中求出⎩⎨⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，然后将其代入已知的曲线方程求得关于x ′，y ′的曲线方程．3．将圆锥曲线C 按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2＝1，求曲线C 的方程．解：设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y得⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .代入x ′2－y ′2＝1得(x 3)2－(y 2)2＝1，即x 29－y 24＝1为所求．本课时考点常以解答题(多出现在第(1)小问)的形式考查轨迹方程的求法，湖北高考将圆锥曲线的类型讨论同轨迹方程的求法相结合，以解答题的形式考查，是高考命题的一个新热点．[考题印证](湖北高考改编)设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．[命题立意] 本题考查圆锥曲线的相关知识以及轨迹方程的求法． [解]如图，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |. ①因为A 点在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0，1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．一、选择题1．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为( )A ．y ′＝3cos x ′2 B ．y ′＝3cos 2x ′C ．y ′＝13cos x ′2D ．y ′＝13cos 2x ′解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.又∵y ＝cos x ，∴13y ′＝cos x ′2，即y ′＝3cos x ′2. 2．直线2x ＋3y ＝0经伸缩变换后变为x ′＋y ′＝0，则该伸缩变换为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13yD.⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 解析：选B 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ>0）y ′＝μ·y ，（μ>0），将其代入方程x ′＋y ′＝0，得， λx ＋μy ＝0.又∵2x ＋3y ＝0，∴λ＝2，μ＝3.即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y .3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆 D ．双曲线 解析：选D 由伸缩变换的意义可得．4．已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B 设P 点的坐标为(x ，y )， ∵|P A |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]． 即(x －2)2＋y 2＝4.故P 点的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆， 它的面积为4π. 二、填空题5．将点P (2，3)变换为点P ′(1，1)的一个伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝hx （h >0）y ′＝kx （k >0），由⎩⎪⎨⎪⎧1＝2h1＝3k，解得⎩⎨⎧h ＝12，k ＝13∴⎩⎨⎧x ′＝x2，y ′＝y 3.答案：⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝y36．将对数曲线y ＝log 3x 的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________． 解析：设P (x ，y )为对数曲线y ＝log 3x 上任意一点，变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由题意知伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝y ′.代入y ＝log 3x 得y ′＝log 312x ′，即y ＝log 3x 2.答案：y ＝log 3x27．把圆x 2＋y 2＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆x ′2＋y ′216＝1，则坐标变换公式是________．解析：设φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0），则⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ.代入x 2＋y 2＝16得x ′216λ2＋y ′216μ2＝1.∴16λ2＝1，16μ2＝16. ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，μ＝1.故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 4，y ′＝y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 4，y ′＝y8．已知A (2，－1)，B (－1，1)，O 为坐标原点，动点M ，其中m ，n ∈R ，且2m 2－n 2＝2，则M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，则(x ，y )＝m (2，－1)＋n (－1，1)＝(2m －n ，n －m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －n ，y ＝n －m .又2m 2－n 2＝2，消去m ，n 得x 22－y 2＝1.答案：x 22－y 2＝1三、解答题9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 (x －42)2－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为 (x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得⎩⎨⎧x ′－2＝x －42，y ′＝3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝3y .所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象．10．在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为|P A |，|PB |，|PC |，且满足|P A |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程．解：以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P (x ，y )，B (－a ，0)，C (a ，0)，A (0，3a )，(y >0，a >0)用点的坐标表示等式|P A |2＝|PB |2＋|PC |2，有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2，即点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0)．11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)∴e ＝33， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13， ∴b 2a 2＝23. 又圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切，∴b ＝21＋1＝ 2. ∴b 2＝2，a 2＝3.因此，a ＝3，b ＝ 2.(2)由(1)知F 1，F 2两点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，由题意可设P (1，t )．那么线段PF 1的中点为N (0，t 2)． 设M (x ，y )，由于MN ―→＝(－x ，t 2－y )， PF 1―→＝(－2，－t )，则⎩⎪⎨⎪⎧MN ―→·PF 1―→＝2x ＋t （y －t 2）＝0y ＝t，消去t 得所求轨迹方程为y 2＝－4x ，曲线类型为抛物线．。
高中数学人教A版选修4-1 (3)
【自主解答】 (1)AB＝ ＝ ＝. (2)AB＝ ＝ ＝， BA＝ ＝ ＝.
(3)A2＝＝， B2＝＝.
这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意 义．(1)中尽管A、B均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB≠BA；(3)中尽管B ≠C，但有AB＝AC，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A2＝A，B2＝0，这里0是一个二 阶零矩阵．
在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O(0,0)，A(2,0)，B(1，)，求 △OAB在矩阵MN的作用变换下所得图形的面积，其中M＝， N＝. 【解】 MN＝ ＝ ＝.
又因为＝， ＝， ＝， 所以O，A，B三点在矩阵MN的作用变换下所得点分别为O′(0,0)，A′(2,0)，B′(2，－ 1)， 所以S△O′A′B′＝×2×1＝1. 故△OAB在矩阵MN的作用变换下所得图形的面积为1.
(教材第47页习题2.3第5题)已知 △ABC，A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，对它先作M＝对应的变换，再作N＝对应的变换，试研究 变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换．
(2013· 南京模拟)已知曲线C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵A＝对 应的变换，再作矩阵B＝对应的变换，得到曲线C2：＋y2＝1.求实数b的值． 【命题意图】 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能 力．
【提示】 不一致；因为前一个对应着先TN后TM的两次几何变换，而后者对应着先TM 后TN的两次几何变换.
矩阵的乘法运算 (1)已知A＝，B＝，计算AB. (2)已知A＝，B＝，计算AB，BA. (3)已知A＝，B＝，计算A2、B2. 【思路探究】 利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明．
对于二阶矩阵A、B来说，尽管AB、BA均有意义，但可能AB≠BA. (2)矩阵乘法满足结合律 设M、N、P均为二阶矩阵， 则一定有(MN)P＝M(NP)． (3)矩阵乘法不满足消去律 设A、B、C为二阶矩阵，当AB＝AC时，可能B≠C.
2019高二数学人教A版选修4-5学案4.1数学归纳法导学案含解析
4.1 数学归纳法学习目标1．了解数学归纳法的原理．2．了解数学归纳法的使用范围．3．会用数学归纳法证明一些简单问题．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究思考探究探究1．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?探究2．在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？名师点拨：1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的．(1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证n ＝n 0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了n ＝n 0时，命题成立，n ＝n 0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)就有了依据，在n ＝n 0成立时，n 0＋1成立，n 0＋2成立……这样就可以无限推理下去，而证n ＝k ＋1就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．(2)应用数学归纳法的一般步骤①验证n ＝n 0(n 0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；②假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋时)，命题成立，利用假设证明n ＝k ＋1时命题也成立． 由①和②知，对一切n ≥n 0的正整数命题成立． 3．如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正整数有关的数学命题．(2)验证n ＝n 0是基础，找准n 0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从1开始． (3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．(4)正确寻求递推关系，①在验证n ＝n 0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；②在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出f (k )到f (k ＋1)的图形的变化情况；③对于整除性问题，往往添加项凑出假设．【例1】 看下面的证明是否正确，如果不正确，指出错误的原因，并加以改正． 用数学归纳法证明： 1－2＋4－8＋…＋(－1)n －1·2n －1＝(－1)n －1·2n 3＋13. 【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝23＋13＝1，等式成立．(2)假设n ＝k 时，等式成立，即1－2＋4－8＋…＋(－1)k －12k －1＝(－1)k －1·2k 3＋13. 则当n ＝k ＋1时，有1－2＋4－8＋…＋(－1)k －1·2k －1＋(－1)k ·2k＝1－－k ＋11－－＝13－－k ＋13＝13－(－1)k ＋1·2k ＋13 ＝(－1)k ·2k ＋13＋13. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)与(2)知，对任意n ∈N ＋等式成立．【变式训练1】 用数学归纳法证明：n ∈N ＋时， 11×3＋13×5＋…＋1n －n ＋＝n2n ＋1.【例2】 设x ∈N ＋，n ∈N ＋，求证：x n ＋2＋(x ＋1)2n＋1能被x 2＋x ＋1整除．【变式训练2】 求证：二项式x 2n －y 2n (n ∈N ＋)能被x ＋y 整除．【例3】 平面上有n 条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n 条直线把平面分割成f (n )＝n 2＋n ＋22块区域．【变式训练3】 已知n 个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2部分．参考答案1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的．(1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证n＝n0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了n＝n0时，命题成立，n＝n0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)就有了依据，在n ＝n0成立时，n0＋1成立，n0＋2成立……这样就可以无限推理下去，而证n＝k＋1就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．(2)应用数学归纳法的一般步骤①验证n＝n0(n0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；②假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋时)，命题成立，利用假设证明n＝k＋1时命题也成立．由①和②知，对一切n≥n0的正整数命题成立．3．如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正整数有关的数学命题．(2)验证n＝n0是基础，找准n0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从1开始．(3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从n＝k到n＝k＋1的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．(4)正确寻求递推关系，①在验证n ＝n 0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；②在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出f (k )到f (k ＋1)的图形的变化情况；③对于整除性问题，往往添加项凑出假设．探究1．提示 不一定．探究2．提示 不可以．这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤①，无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了.【例1】【解】 从上面的证明过程可以看出，是用数学归纳法证明等式成立．在第二步中，证n ＝k ＋1时没有用上假设，而是直接利用等比数列的求和公式，这是错误的．第二步正确证法应为：当n ＝k ＋1时，1－2＋4－8＋…＋(－1)k －1·2k －1＋(－1)k 2k＝(－1)k －1·2k 3＋13＋(－1)k ·2k ＝－(－1)k·2k 3＋(－1)k ·2k ＋13＝⎝⎛⎭⎫－13＋1(－1)k ·2k ＋13 ＝(－1)k·2k ＋13＋13.即当n ＝k ＋1时，等式也成立．【变式训练1】证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，∴等式成立． (2)假设n ＝k 时，等式成立，即 11×3＋13×5＋…＋1k －k ＋＝k 2k ＋1. 则当n ＝k ＋1时， 11×3＋13×5＋…＋1k －k ＋＋1k ＋k ＋＝k 2k ＋1＋1k ＋k ＋＝2k 2＋3k ＋1k ＋k ＋＝k ＋k ＋k ＋k ＋＝k ＋12k ＋3＝k ＋1k ＋＋1.即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)，(2)可知对一切n ∈N ＋等式成立．【例2】【证明】 (1)当n ＝1时，x 3＋(x ＋1)3＝[x ＋(x ＋1)]·[x 2－x (x ＋1)＋(x ＋1)2] ＝(2x ＋1)(x 2＋x ＋1)，结论成立． (2)假设n ＝k 时，结论成立，即 x k ＋2＋(x ＋1)2k＋1能被x 2＋x ＋1整除，那么当n ＝k ＋1时， x (k＋1)＋2＋(x ＋1)2(k＋1)＋1＝x ·x k ＋2＋(x ＋1)2(x ＋1)2k ＋1＝x [x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1]＋(x ＋1)2(x ＋1)2k ＋1－x (x ＋1)2k ＋1＝x [x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1]＋(x 2＋x ＋1)(x ＋1)2k ＋1.由假设知，x k ＋2＋(x ＋1)2k＋1及x 2＋x ＋1均能被x 2＋x ＋1整除，故x (k＋1)＋2＋(x ＋1)2(k＋1)＋1能被x 2＋x ＋1整除，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)知，原结论成立．【变式训练2】证明 (1)当n ＝1时，x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )， ∴命题成立．(2)假设n ＝k 时，x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除， 那么n ＝k ＋1时，x 2(k＋1)－y 2(k＋1)＝x 2·x 2k －y 2·y 2k＝x 2(x 2k －y 2k )＋x 2y 2k －y 2·y 2k ＝x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)． ∵x 2k －y 2k 与x 2－y 2都能被x ＋y 整除， ∴x 2(x 2k ＋y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)能被x ＋y 整除． 即n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 命题成立．【例3】【证明】 (1)当n ＝1时，一条直线把平面分割成2块． 而f (1)＝12＋1＋22＝2，命题成立．(2)假设n ＝k 时，k 条直线把平面分成f (k )＝k 2＋k ＋22块区域，那么当n ＝k ＋1时，设k ＋1条直线为l 1，l 2，l 3…l k ，l k ＋1，不妨取出l 1，余下的k 条直线l 2，l 3…，l k ，l k ＋1将平面分割成f (k )＝k 2＋k ＋22块区域， 直线l 1被这k 条直线分割成k ＋1条射线或线段，它们又分别将各自所在区域一分为二，故增加了k ＋1块区域，所以f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1＝k 2＋k ＋22＋k ＋1＝k 2＋3k ＋42＝k ＋2＋k ＋＋22，这就是说，当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，命题对一切n ∈N ＋成立．【变式训练3】证明 (1)当n ＝1时，1个圆把平面分成两部分，而2＝12－1＋2. 所以当n ＝1时，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2部分．当n＝k＋1时，平面上增加第k＋1个圆，它与原来的k个圆中的每个圆都相交于两个不同点，共2k个交点，而这2k个交点把第k＋1个圆分成2k段弧，每段弧把原来的区域隔成了两块区域，∴区域的块数增加了2k块．∴k＋1个圆把平面划分成的块数为(k2－k＋2)＋2k＝k2＋k＋2＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，∴当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)知，命题对n∈N＋都成立．。
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第一讲 知识归纳与达标验收 Word版含答案
【人教A 版】2017-2018学年高中数学选修4-1创新应用教学案[对应学生用书P16]近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：由CD ＝2，AB ＝4，EF ＝3， 得EF ＝12(CD ＋AB )，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，则梯形ABFE 与梯形EFCD 有相同的高，设为h ， 于是两梯形的面积比为 12(3＋4)h ∶12(2＋3)h ＝7∶5. 答案：7∶52.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°. 设AD ＝2，则AB ＝6，于是BD ＝4，OD ＝1.如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8，则CD ＝2 2. 在Rt △OCD 中，DE ＝OD ·CD OC ＝1×223＝223.则CE ＝DC 2－DE 2＝ 8－89＝83， EO ＝OC －CE ＝3－83＝13.因此CE EO ＝8313＝8.答案：8[对应学生用书P16]平行线分线段相关定理线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．[例1] 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DH ∥GC . 求证：EG ∥BH . [证明] ∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝AD AB. ∵DH ∥GC ，∴AH AC ＝ADAG .∴AE ·AB ＝AC ·AD ＝AH ·AG . ∴AE AH ＝AGAB.∴EG ∥BH . [例2] 如图，直线l 分别交△ABC 的边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，且AF ＝13AB ，BD ＝52BC ，试求ECAE.[解] 作CN ∥AB 交DF 于点N ，并作EG ∥AB 交BC 于点G ，由平行截割定理，知BF CN ＝DB DC ，CN AF ＝ECAE， 两式相乘，得BF CN ·CN AF ＝DB DC ·ECAE ，即EC AE ＝BF AF ·DC DB. 又由AF ＝13AB ，得BFAF ＝2，由BD ＝52BC ，得DC DB ＝35，所以EC AE ＝2×35＝65.相似三角形的判定与性质常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．[例3] 如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF .[证明] ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF ＝ABCB. 又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB .∴AP PQ ＝AB BC .∴AD CF ＝AP PQ. 又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .[例4] 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠B CD ，CE ⊥AD 于点E ，DE ＝2AE ，若△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积．[解] 如图，延长CB 、DA 交于点F ，又CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD .∴△FCD 为等腰三角形，E 为FD 的中点． ∴S △FCD ＝12FD ·CE＝12×2ED ·CE ＝2S △CED ＝2， EF ＝ED ＝2AE . ∴F A ＝AE ＝14FD .又∵AB ∥CD ， ∴△FBA ∽△FCD . ∴S △FBA S △FCD ＝(F A FD)2＝(14)2＝116.∴S △FBA ＝116×S △FCD ＝18. ∴S 四边形ABCE ＝S △FCD －S △CED －S △FBA ＝2－1－18＝78.射影定理为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．[例5] 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，EF ⊥AB于F .求证：CE 2＝BD ·DF .[证明] ∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ， ∴DE ∥BC .∴BD CE ＝AB AC .同理：CD ∥EF ，∴CE DF ＝ACAD .∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD ·AB . ∴AC AD ＝ABAC . ∴CE DF ＝BD CE. ∴CE 2＝BD ·DF .[对应学生用书P41] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′ B ．3A ′B ′＝B ′C ′ C ．BC ＝B ′C ′D ．AB ＝A ′B ′解析：∵AA ′∥BB ′∥CC ′，∴AB BC ＝A ′B ′B ′C ′＝13.∴3A ′B ′＝B ′C ′. 答案：B2.如图，∠ACB ＝90°.CD ⊥AB 于D ，AD ＝3、CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4C.3∶ 2D.2∶ 3解析：Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴AC BC ＝AD CD ＝32.答案：A3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝ 2 cm ，则CD 和BC的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm 解析：设AD ＝x ，则由射影定理得x (x ＋3)＝4， 即x ＝1(负值舍去)， 则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)， BC ＝BD ·AB ＝3(3＋1)＝23(cm)． 答案：D4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD 的高，且AC＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215B.215C.3215D.2125解析：AC 2＝CD ·BC ， 即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝ 2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215. 答案：A5．如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC ；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由∠B ＝∠ACD ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；②由∠ADC ＝∠ACB ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；③AC CD ＝ABBC ，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC 2＝AD ·AB 可得AC AD ＝ABAC，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似．答案：C6.如图，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5解析：由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴(ADAB )2＝S △ADE S △ABC ＝19. ∴AD AB ＝13，AD DB ＝12. 答案：C7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：A 中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ； D 中AB AC ＝DEDF，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ∽△DEF ；而C 中不能保证三边对应成比例． 答案：C8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°.CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.14B.13C.12D ．2解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶4. 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 答案：C9.在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△EDF . ∴DE AB ＝DF FB ＝25. ∴S △DEF S △ABF ＝(25)2＝425.又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410. 答案：A10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD ＝3.则AE ∶EC ＝( )A.125 B.512 C.75D.57解析：∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BCCD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125. ∴AE EC ＝AG CD ＝125. 答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长∶△ABC 的周长等于________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵BD ＝2AD ，∴AB ＝3AD .∴AD AB ＝13. ∴△ADE 的周长△ABC 的周长＝AD AB ＝13.答案：1312．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：∵DE ∥BC ， ∴DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝6×53＝10， 又DF ∥AC ，∴DE ＝FC ＝6. ∴BF ＝BC －FC ＝4. 答案：413．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO 与DE 、BC 分别交于N 、M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：OD OC ＝DN MC ＝14，∴OE OB ＝OD OC ＝14. ∴NE BM ＝OE OB ＝14. 又DE BC ＝OD OC ＝14， ∴AE AC ＝DE BC ＝14. ∴AE ∶EC ＝1∶3. 答案：1∶4 1∶314．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________m.解析：∵BD ∥AE ，∴BCAB ＝CDDE .∴BC ＝AB ·CDDE.∵AB ＝1.8 m ，DE ＝2.7 m ，CE ＝8.7 m ， ∴CD ＝CE －DE ＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC ＝1.8×62.7＝4(m)．答案：4三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB. ∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝ANNC .∵BD ＝DC ， ∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝AN NC. ∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：BP 2＝PE ·PF .证明：连接PC ，∵AB ＝AC ，AD 是中线， ∴AD 是△ABC 的对称轴， 故PC ＝PB ， ∠PCE ＝∠ABP . ∵CF ∥AB ， ∴∠PFC ＝∠ABP ， 故∠PCE ＝∠PFC ，∵∠CPE ＝∠FPC ， ∴△EPC ∽△CPF ， 故PC PF ＝PE PC， 即PC 2＝PE ·PF ， ∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB 、DC 于E 、F ，交DA 、BC 的延长线于G 、H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F 、H 、C 重合时，请判断PE 、PC 、PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD .∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PBPD ，∴PE PF ＝PHPG.∴PE ·PG ＝PH ·PF . (2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图， ∵AB ∥CD ， ∴PE PC ＝PBPD. ∵AD ∥BC ，∴PC PG ＝PBPD .∴PE PC ＝PCPG，即PC 2＝PE ·PG . 18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图)．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单位为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？解：(1)∵四边形ABCD 为梯形，∴AD ∥BC . ∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC )2＝14.∵种植△AMD 地带花费160元， ∴S △AMD ＝1608＝20(m 2)．∴S △CMB ＝80(m 2)．∴△CMB地带的花费为80×8＝640元．(2)S△ABMS△AMD ＝BMDM＝BCAD＝2，∴S△ABM＝2S△AMD＝40(m2)．同理：S△DMC＝40(m2)．所剩资金为：1600－160－640＝800元，而800÷(S△ABM＋S△DMC)＝10(元/m2)．故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．11。
2017-2018学年高中数学选修4-1全一册学案人教A版111P
2017~2018学年人教A版高中数学选修4-1全册学案汇编目录第一讲相似三角形的判定及有关性质 (1)一平行线等分线段定理 (1)二行线分线段成比例定理 (10)三．相似三角形的判定1 (20)四．相似三角形的性质2 (28)五角三角形的射影定理 (37)六本讲高考热点解读与高频考点例析 (44)第二讲直线与园的位置关系 (48)一圆周角定理 (48)二圆内接四边形的性质与判定定理 (57)三圆的切线的性质及判定定理 (67)四弦切角的性质 (79)五与圆有关的比例线段 (88)六本讲高考热点解读与高频考点例析 (98)第三讲圆锥曲线性质的探讨 (103)第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理1．平行线等分线段定理(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)用符号语言表述：已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′(如图)，如果AB＝BC，那么A′B′＝B′C′.(1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线，它是由三条或三条以上的平行线组成的．(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等．2．平行线等分线段定理的推论(1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．(2)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．推论既可用来平分已知线段，也可用来证明线段的倍数问题．l2∥l3∥l4，l，l′分别交l1，l2，l3，l4如图，已知直线l于A，B，C，D和A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD.求证：A1B1＝B1C1＝C1D1.直接利用平行线等分线段定理即可．∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝BC，∴A1B1＝B1C1.∵直线l2∥l3∥l4，且BC＝CD，∴B1C1＝C1D1，∴A1B1＝B1C1＝C1D1.平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．1．如图，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BE等于( )A．9 B．10 C．11 D．12解析：选A 过O作一直线与AB，CD，EF平行，因为AO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BE＝9.2．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′.求证：A′D′＝B′C′.证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于O点，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a，∴AA′∥OO′∥CC′.∴O′A′＝O′C′.同理，O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′.E.求证：AG＝2DE.AF＝FC，GF∥EC→AG＝GE→△BDG≌△CDE→AG＝2DE在△AEC 中， ∵AF ＝FC ，GF ∥EC ， ∴AG ＝GE . ∵CE ∥FB ，∴∠GBD ＝∠ECD ，∠BGD ＝∠E . 又BD ＝DC ， ∴△BDG ≌△CDE . 故DG ＝DE ，即GE ＝2DE ， ∴AG ＝2DE .此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．3.如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE 平行于AB 交BC 于E ，AD ＝6，求BE 的长．解：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以OA ＝OC ，BC ＝AD . 因为AB ∥DC ，OE ∥AB ， 所以DC ∥OE ∥AB . 因为AD ＝6，所以BE ＝EC ＝12BC ＝12AD ＝3.4．已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F .求证：AF ＝13AC .证明：如图，过D 作DG ∥BF 交AC 于点G . 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DG ∥BF ，∴G 为CF 的中点，即CG ＝GF . 在△ADG 中，E 是AD 的中点，EF ∥DG ，∴F 是AG 的中点，即AF ＝FG . ∴AF ＝13AC .求证：AM ＝BM .解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件． 过点M 作ME ∥BC 交AB 于点E .∵AD ∥BC ，∴AD ∥EM ∥BC . 又∵M 是CD 的中点， ∴E 是AB 的中点． ∵∠ABC ＝90°， ∴ME 垂直平分AB . ∴AM ＝BM .有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．5．若将本例中“M 是CD 的中点”与“AM ＝BM ”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明．解：结论成立．证明如下：过点M 作ME ⊥AB 于点E ， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB .∵ME ⊥AB ， ∴ME ∥BC ∥AD . ∵AM ＝BM ，且ME ⊥AB ， ∴E 为AB 的中点， ∴M 为CD 的中点．6．如图所示，E ，F 是▱ABCD 的边AD ，BC 上的点，过AB 的中点M 作MN ∥BC ，分别交EF ，CD 于点P ，N ，则EP ＝12________，CD ＝2________＝2________＝2________＝2________.答案：EF DN NC AM MB课时跟踪检测(一)一、选择题1．在梯形ABCD 中，M ，N 分别是腰AB 与腰CD 的中点，且AD ＝2，BC ＝4，则MN 等于( ) A ．2.5B ．3C ．3.5D ．不确定解析：选B 由梯形中位线定理知选B.2．如图，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，如果DC ＝13BD ，那么FC 是BF 的( )A.53倍 B.43倍 C.32倍 D.23倍解析：选A ∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ， ∴EF ∥AD .又E 为AB 的中点，由推论1知F 为BD 的中点， 即BF ＝FD . 又DC ＝13BD ，∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .3．梯形的中位线长为15 cm ，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm解析：选A 如图，设MP ∶PN ＝2∶3，则MP ＝6 cm ，PN ＝9 cm. ∵MN 为梯形ABCD 的中位线，在△BAD 中，MP 为其中位线， ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm.4．梯形的一腰长为10 cm ，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm ，则此梯形的面积为 ( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2解析：选D 如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm ， ∴AD ＋BC ＝2³12＝24(cm)．∴梯形的面积S ＝12(AD ＋BC )²AE ＝12³5³24＝60 (cm 2)．二、填空题5．如图，在AD 两旁作AB ∥CD 且AB ＝CD ，A 1，A 2为AB 的两个三等分点，C 1，C 2为CD 的两个三等分点，连接A 1C ，A 2C 1，BC 2，则把AD 分成四条线段的长度________(填“相等”或“不相等”)．解析：如图，过A 作直线AM 平行于A1C ，过D 作直线DN 平行于BC 2，由AB ∥CD ，A 1，A 2为AB 的两个三等分点，C 1，C 2为CD 的两个三等分点，可得四边形A 1CC 1A 2，四边形A 2C 1C 2B 为平行四边形，所以A 1C∥A 2C 1∥C 2B ，所以AM ∥A 1C ∥A 2C 1∥C 2B ∥DN ，因为AA 1＝A 1A 2＝A 2B ＝CC 1＝C 1C 2＝C 2D ，由平行线等分线段定理知，A 1C ，A 2C 1，BC 2把AD 分成四条线段的长度相等．答案：相等6．如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝2 cm ，则AC ＝______；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.解析：由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，得F 为AD 的中点． 由EG ∥AC ，得EG ＝12AD ＝FD ＝2 cm ，结合CD ＝12AD ，可以得到F ，D 是AC 的三等分点， 则AC ＝3EG ＝6 cm.由EF ∥BD ，得EF ＝12BD ＝5 cm.答案：6 cm 5 cm7．如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于点P ，DN ∥CP .若AB ＝6 cm ，则AP ＝________；若PM ＝1 cm ，则PC ＝________.解析：由AD ⊥BC ，AB ＝AC ，知BD ＝CD ， 又DN ∥CP ， ∴BN ＝NP ，又AM ＝MD ，PM ∥DN ，知AP ＝PN ， ∴AP ＝13AB ＝2 cm.易知PM ＝12DN ，DN ＝12PC ，∴PC ＝4PM ＝4 cm. 答案：2 cm 4 cm 三、解答题8．已知△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 的三等分点(BE >CE )，AE ，CD 交于点F . 求证：F 是CD 的中点． 证明：如图，过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，在△ABE 中，∵AD ＝BD ，DG ∥AE ， ∴BG ＝GE .∵E 是BC 的三等分点， ∴BG ＝GE ＝EC .在△CDG 中，∵GE ＝CE ，DG ∥EF ， ∴DF ＝CF ， 即F 是CD 的中点．9.如图，在等腰梯形中，AB ∥CD ，AD ＝12 cm ，AC 交梯形中位线EG 于点F ，若EF ＝4 cm ，FG ＝10 cm.求此梯形的面积．解：作高DM ，CN ， 则四边形DMNC 为矩形．∵EG 是梯形ABCD 的中位线， ∴EG ∥DC ∥AB . ∴F 是AC 的中点．∴DC ＝2EF ＝8，AB ＝2FG ＝20，MN ＝DC ＝8.在Rt △ADM 和Rt △BCN 中，AD ＝BC ，∠DAM ＝∠CBN ，∠AMD ＝∠BNC ，∴△ADM ≌△BCN . ∴AM ＝BN ＝12(20－8)＝6.∴DM ＝AD 2－AM 2＝122－62＝6 3. ∴S 梯形＝EG ²DM ＝14³63＝84 3 (cm 2)．10.已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，四边形ABDE 是平行四边形，AD的延长线交EC 于F .求证：EF ＝FC .证明：法一：如图，连接BE 交AF 于点O . ∵四边形ABDE 是平行四边形，∴BO ＝OE . 又∵AF ∥BC ， ∴EF ＝FC . 法二：如图，延长ED 交BC 于点H .∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AB ∥ED ，AB ∥DH ，AB ＝ED .又∵AF ∥BC ，∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图，延长EA交CB的延长线于点M. ∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥EA，AE＝BD.又∵AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM＝BD.∴AM＝AE.∴EF＝FC.二行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理(1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． (2)图形语言：如图l 1∥l 2∥l 3， 则有：AB BC ＝DE EF，AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EF DF. 变式有：AB DE ＝BC EF ，AB DE ＝AC DF ，BC EF ＝ACDF.“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段成对应线段，如图中AB 和DE ；而“对应线段成比例”是指同一条直线上的两条线段的比等于与它们对应的另一条直线上的两条线段的比．2．平行线分线段成比例定理的推论(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)图形语言：如图l 1∥l 2∥l 3，则有：AD AB ＝AE AC ，AD DB ＝AE EC ，DB AB ＝CEAC.3．平行线分线段成比例定理的作用平行线分线段成比例定理及推论是研究相似三角形的理论基础，它可以判定线段成比例．另外，当不能直接证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成另两条线段的比，来得出正确结论．合理添加平行线，运用定理及推论列比例式，再经过线段间的转换可以求线段的比值或证明线段间倍数关系．交AB 于点E ，DF 的延长线交BC 于点H ，DE 的延长线交CB 的延长线于点G .求证：BC ＝GH .可找出两个基本图形：△ABC 和△DHG ，EF 是这两个图形的截线． ∵FE ∥BC ， ∴EF BC ＝AE AB ，EF GH ＝DFDH.∵AD ∥EF ∥BH ，∴AE AB ＝DFDH.∴EF BC ＝EF GH.∴BC ＝GH .在利用平行线证明或计算时，常常根据已知条件将复杂的图形进行分解，从中找出基本图形，“借图解题”．1．已知：如图所示，l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝mn .求证：DE DF ＝mm ＋n.证明：∵l 1∥l 2∥l 3， ∴AB BC ＝DE EF ＝m n . ∴EF DE ＝n m，则EF ＋DE DE ＝n ＋mm， 即DF DE ＝m ＋n m .∴DE DF ＝mm ＋n.2.如图，已知AE ∥CF ∥DG ，AB ∶BC ∶CD ＝1∶2∶3，CF ＝12 cm ，求AE ，DG 的长．解：∵AE ∥CF ，∴AE CF ＝ABBC.∴AE ＝AB BC²CF .∵AB ∶BC ＝1∶2，CF ＝12 cm ， ∴AE ＝12³12＝6 (cm)．∵CF ∥DG ， ∴BC BD ＝CF DG.∵BC CD ＝23， ∴BC BD ＝25. ∴DG ＝BD BC ²CF ＝52³12＝30(cm).求证：AB AC ＝EG FH.由题目中的两组平行线，利用平行线分线段成比例定理，寻求与AB AC ，EG FH均相等的公共比例式．∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB AC ＝DE DF. 又∵EG ∥FH ，∴EG FH ＝DE DF. ∴AB AC ＝EG FH.在此题中，DE DF 是AB AC 与EGFH的公共比，公共比大多是两个或两个以上的比例式都具有的一个公共比，通常是两个图形中公共边的比．当要证的结论不是比例式(通常是等积式)时，常转化为比例式来突破题设的条件，其中公共比是常用的转化方法．3．已知：如图，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点E ，连接AE交CD 于点F ，FG ∥AD 交DE 于点G .求证：FC ＝FG .证明：在正方形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴FC AB ＝EF AE. ∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝EFAE.∴FC AB ＝FG AD. ∵AB ＝AD . ∴FC ＝FG .4．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，DE 交AC 于点G ，交BC 于点F .求证：(1)DG 2＝GE ²GF ； (2)CF CB ＝ABAE.证明：(1)∵CD ∥AE ， ∴DG GE ＝CG AG. 又∵AD ∥CF ， ∴GF DG ＝CG AG .∴DG GE ＝GF DG，即DG 2＝GE ²GF . (2)∵BF ∥AD ，∴AB AE ＝DFDE.又∵CD ∥BE ，∴CF CB ＝DF DE. ∴CF CB ＝AB AE.点F ，求证：AC BC ＝AFDF.由已知条件，结合图形特点，可添加平行线，构造出能够运用平行线分线段成比例定理或其推论的基本图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比，得证．作EH ∥AB 交AC 于点H ，则AC AH ＝BC BE ，∴AC BC ＝AHBE.同理，AF AH ＝DF DE，∴AF DF ＝AHDE.∵△BDC 为直角三角形，且E 为BC 边中点，∴BE ＝CE ＝DE .∴AH BE ＝AH DE .∴AC BC ＝AFDF.证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究．有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的．5．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且EF ∥BC ，若AE EB ＝23，AD ＝8 cm ，BC ＝18 cm ，求EF 的长．解：作AG ∥DC 分别交BC ，EF 于G ，H ，∴AD ＝HF ＝GC ＝8 cm.BG ＝18－8＝10(cm)． ∵AE EB ＝23， ∴AE AB ＝25. ∴EH BG ＝AE AB ＝25. ∴EH ＝25³BG ＝25³10＝4(cm)．∴EF ＝EH ＋HF ＝4＋8＝12(cm)．6.如图所示，已知△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于点F ，求EF FC ＋AFFD的值．解：过点D 作DG ∥AB 交EC 于点G ， 则DG BE ＝CD BC ＝CG EC ＝13，而AE BE ＝13，即AE BE ＝DG BE， 所以AE ＝DG .从而有AF ＝DF ，EF ＝FG ＝CG ， 故EF FC ＋AF FD ＝EF 2EF ＋AFAF＝12＋1＝32. 课时跟踪检测(二)一、选择题1.如图所示，DE ∥AB ，DF ∥BC ，下列结论中不．正确的是( ) A.AD DC ＝AF DE B.CE CB ＝BFABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DFBC解析：选D ∵DF ∥EB ，DE ∥FB ， ∴四边形DEBF 为平行四边形． ∴DE ＝BF ，DF ＝EB . ∴AD DC ＝AF FB ＝AFDE，A 正确．CE CB ＝DE AB ＝BFAB，B 正确． CD AD ＝CE EB ＝CEDF，C 正确． 2．已知线段a ，m ，n 且ax ＝mn ，求作x ，图中作法正确的是( )解析：选C 因为ax ＝mn ，所以a m ＝nx，故选C.3.如图，在△ACE 中，B ，D 分别在AC ，AE 上，下列推理不．正确的是( )A ．BD ∥CE ⇒AB AC ＝BD CE B ．BD ∥CE ⇒AD AE ＝BD CE C ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝AD DED ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝BD CE解析：选D 由平行线分线段成比例定理的推论不难得出选项A 、B 、C 都是正确的，D 项是错误的．4．如图，将一块边长为12的正方形纸ABCD 的顶点A ，折叠至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM 和MQ 的比是()A ．5∶12B ．5∶13C ．5∶19D ．5∶21解析：选C 如图，作MN ∥AD 交DC 于N ， ∴DN NE ＝AM ME.又∵AM ＝ME ，∴DN ＝NE ＝12DE ＝52.∴NC ＝NE ＋EC ＝52＋7＝192.∵PD ∥MN ∥QC ， ∴PM MQ ＝DN NC ＝52192＝519. 二、填空题5．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝________.解析：∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝DE BC ＝EFBF.∵BF ∶EF ＝3∶2， ∴AC ∶AE ＝3∶2. 答案：3∶26.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于点F ，则BF FC＝________.解析：过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M .∵点E 是BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF ＝FM . ∵点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF . ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.答案：127．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ∶AB ∶BC ＝3∶4∶6，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，AE ∶AB ＝DF ∶DC ＝1∶3.若四边形ABCD 的周长为1，则四边形AEFD 的周长为________．解析：因为在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ∶AB ∶BC ＝3∶4∶6，所以可设AD ＝3k ，AB ＝4k ，BC ＝6k ， 作DG ⊥BC 交BC 于点G ，交EF 于点H ， 则DG ＝4k ，GC ＝3k ，所以DC ＝16k 2＋9k 2＝5k ， 因为四边形ABCD 的周长为1，所以3k ＋4k ＋6k ＋5k ＝1，所以k ＝118，因为E ，F 分别是AB ，CD 上的点，AE ∶AB ＝DF ∶DC ＝1∶3，所以AE ＝4k 3，DF ＝5k3，取BE ，CF 的中点M ，N ，令EF ＝x ，MN ＝y ，则由梯形中位线得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3k ＋y ，2y ＝x ＋6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，y ＝5k ，即EF ＝4k .所以四边形AEFD 的周长是3k ＋4k 3＋4k ＋5k 3＝10k ＝10³118＝59.答案：59三、解答题8.如图，B 在AC 上，D 在BE 上，且AB ∶BC ＝2∶1，ED ∶DB ＝2∶1，求AD ∶DF .解：过点D 作DG ∥AC 交FC 于点G ，则DG BC ＝ED EB ＝23，所以DG ＝23BC ，又BC ＝13AC ，所以DG ＝29AC ，所以DF AF ＝DG AC ＝29，所以DF ＝29AF ，从而AD ＝79AF ，故AD ∶DF ＝7∶2.9.如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过O 作AB 的平行线，与AD ，BC 分别交于E ，F ，与CD 的延长线交于K .求证：KO 2＝KE ²KF .证明：延长CK ，BA ，设它们交于点H . 因为KO ∥HB ， 所以KO HB ＝DK DH ，KE HA ＝DKDH .所以KO HB ＝KE HA，即KO KE ＝HB HA. 因为KF ∥HB ， 同理可得KF KO ＝HBHA.所以KO KE ＝KF KO，即KO 2＝KE ²KF .10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .(1)求证：EO ＝OF ； (2)求EO AD ＋EO BC的值； (3)求证：1AD ＋1BC ＝2EF.解：(1)证明：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ， ∴EF ∥AD ∥BC . ∵EF ∥BC ，∴EO BC ＝AE AB ，OF BC ＝DFDC.∵EF ∥AD ∥BC ， ∴AE AB ＝DF DC . ∴EO BC ＝OF BC. ∴EO ＝OF . (2)∵EO ∥AD ， ∴EO AD ＝BE BA. 由(1)知EO BC ＝AEAB，∴EO AD ＋EO BC ＝BE BA ＋AE AB ＝BE ＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知EO AD ＋EOBC＝1，∴2EO AD ＋2EOBC＝2.又EF ＝2EO ，∴EF AD ＋EF BC＝2. ∴1AD ＋1BC ＝2EF.三．相似三角形的判定11．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．3．直角三角形相似的判定定理(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．△ABC∽△BCD.已知AB ＝AC ，∠A ＝36°，所以∠ABC ＝∠C ＝72°，而BD 是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.∵∠A ＝36°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°. 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝36°. ∴∠A ＝∠CBD .又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BCD .判定两三角形相似，可按下面顺序进行： (1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．1.如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使△ABE 和△ACD 相似的是( )A ．∠B ＝∠C B ．∠ADC ＝∠AEB C ．BE ＝CD ，AB ＝ACD ．AD ∶AC ＝AE ∶AB解析：选C 在选项A 、B 的条件下，两三角形有两组对应角相等，所以两三角形相似，在D 项的条件下，两三角形有两边对应成比例且夹角相等．故选项A 、B 、D 都能推出两三角形相似．在C 项的条件下推不出两三角形相似．2．如图，在四边形ABCD 中，AEEB ＝AF FD ，BG GC ＝DHHC，EH ，FG 相交于点O .求证：△OEF ∽△OHG . 证明：如图，连接BD .∵AE EB ＝AF FD， ∴EF ∥BD . 又∵BG GC ＝DH HC， ∴GH ∥BD . ∴EF ∥GH .∴∠EFO ＝∠HGO ，∠OHG ＝∠OEF .∴△OEF ∽△OHG .3.如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC ＝1∶4，求证：AE EF ＝ADEC.证明：设正方形ABCD 的边长为4a ， 则AD ＝BC ＝4a ，DE ＝EC ＝2a . 因为CF ∶BC ＝1∶4，所以CF ＝a ，所以AD EC ＝4a 2a ＝2，DE CF ＝2aa＝2，所以AD EC ＝DE CF.又因为∠D ＝∠C ＝90°， 所以△ADE ∽△ECF . 所以AE EF ＝AD EC.如图，D 为△AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H ，连接GH .求证：GH ∥AB .根据此图形的特点可先证比例式GE DE ＝EHEB成立，再证△EGH ∽△EDB ，由相似三角形的定义得∠EHG ＝∠EBD 即可．∵DE ∥BC ， ∴GE FC ＝AG AF ＝DG FB ，即GE DG ＝CFFB.又∵DF ∥AC ，∴EH HB ＝CFFB. ∴GE DG ＝EH HB .∴GE ED ＝EHEB.又∠GEH ＝∠DEB ，∴△EGH ∽△EDB . ∴∠EHG ＝∠EBD . ∴GH ∥AB .不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系、线段之间的数量关系．4.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点F 在BA 的延长线上，连接CF 交AD 于点E .(1)求证：△CDE ∽△FAE ；(2)当E 是AD 的中点，且BC ＝2CD 时，求证：∠F ＝∠BCF . 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD .又∵点F 在BA 的延长线上， ∴∠DCF ＝∠F ，∠D ＝∠FAE . ∴△CDE ∽△FAE . (2)∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE .由△CDE ∽△FAE ，得CD FA ＝DE AE. ∴CD ＝FA . ∴AB ＝CD ＝AF . ∴BF ＝2CD .又∵BC ＝2CD ，∴BC ＝BF . ∴∠F ＝∠BCF .5.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，点E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F .求证：AB AC ＝DF AF.证明：∵E 是Rt △ADC 斜边AC 上的中点，∴AE ＝EC ＝ED . ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF .又∵AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠C . ∴∠BAD ＝∠BDF .又∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF ， ∴DB AD ＝DF AF.又在Rt △ABD 与Rt △CBA 中，AB AC ＝DBAD， ∴AB AC ＝DF AF.课时跟踪检测(三)一、选择题1．如图所示，点E 是▱ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对解析：选B 有3对，因为∠ABC ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠EAD ，所以△ABE ∽△FDA ， 因为∠ABC ＝∠DCE ，∠E 为公共角， 所以△BAE ∽△CFE .因为∠AFD ＝∠EFC ，∠DAF ＝∠AEC ， 所以△ADF ∽△ECF .2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D 等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．3．如图，要使△ACD ∽△BCA ，下列各式中必须成立的是( ) A.AC AB ＝ADBC B.AD CD ＝AC BCC ．AC 2＝CD ²CB D ．CD 2＝AC ²AB解析：选C ∠C ＝∠C ，只有AC CD ＝CB AC，即AC 2＝CD ²CB 时，才能使△ACD ∽△BCA . 4．如图，在等边三角形ABC 中，E 为AB 的中点，点D 在AC 上，使得AD AC ＝13，则有( )A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD解析：选B 因为∠A ＝∠C ，BC AE ＝CDAD＝2，所以△AED ∽△CBD . 二、填空题5．如图所示，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，那么CD ＝________.解析：∵∠BAC ＝∠ADC ， 又∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△DAC . ∴AC CD ＝BC AC.又∵AC ＝8，BC ＝16. ∴CD ＝4. 答案：46．如图所示，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3，AC ＝4，则AD ＝________，BD ＝________.解析：由题设可求得AB ＝5， ∵Rt △ABC ∽Rt △ACD ，∴AB AC ＝AC AD .∴AD ＝AC 2AB ＝165. 又∵Rt △ABC ∽Rt △CBD ，∴AB CB ＝BC BD .∴BD ＝BC 2AB ＝95. 答案：165 957．已知在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线EF 与AD 交于点E ，与BC 的延长线交于点F ，若CF ＝4，BC ＝5，则DF ＝________.解析：连接AF .∵EF ⊥AD ，AE ＝ED ， ∴AF ＝DF ， ∠FAD ＝∠FDA .又∵∠FAD ＝∠DAC ＋∠CAF ， ∠FDA ＝∠BAD ＋∠B ， 且∠DAC ＝∠BAD ，∴∠CAF ＝∠B .而∠CFA ＝∠AFB ， ∴△AFC ∽△BFA . ∴AF CF ＝BF AF.∴AF 2＝CF ²BF ＝4³(4＋5)＝36. ∴AF ＝6，即DF ＝6. 答案：6 三、解答题8.如图，D 在AB 上，且DE ∥BC 交AC 于点E ，F 在AD 上，且AD 2＝AF ²AB .求证：△AEF ∽△ACD . 证明：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC. ∵AD 2＝AF ²AB ，∴AD AB ＝AF AD. ∴AE AC ＝AF AD.又∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACD .9.如图，直线EF 交AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，AC ⊥BC ，且AB ²CD ＝DE ²AC .求证：AE ²CE ＝DE ²EF . 证明：∵AB ²CD ＝DE ²AC ∴AB DE ＝AC CD. ∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°. ∴△ACB ∽△DCE . ∴∠A ＝∠D .又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC . ∴AE DE ＝EF CE. ∴AE ²CE ＝DE ²EF .10.如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，∠AFE ＝∠B ，AE ＝6，ED ＝3，AF ＝8.(1)求AC 的长；(2)求CD 2BC2的值．解：(1)∵EF ∥CD ， ∴AE AD ＝AF AC.∵AE ＝6，ED ＝3，AF ＝8， ∴66＋3＝8AC. ∴AC ＝12.(2)∵EF ∥DC ，∴∠AFE ＝∠ACD ， 又∠AFE ＝∠B ，∴∠ACD ＝∠B . 又∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC . ∴CD BC ＝AD AC ＝6＋312＝34.∴CD 2BC 2＝916.四．相似三角形的性质21．相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方． 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．△ABC 2，S △AEF ＝4 cm 2，求sin A 的值．由题目条件证明△AEC ∽△AFB ，得AE ∶AF ＝AC ∶AB ，由此推知△AEF ∽△ACB ，进而求出线段EC 与AC 的比值．∵CE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ， ∴∠AEC ＝∠AFB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△AFB . ∴AE AF ＝AC AB.又∵∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝S △AEF S △ACB ＝436. ∴AE AC ＝26＝13. 设AE ＝k ，则AC ＝3k ， ∴EC ＝22k .∴sin A ＝EC AC ＝223.利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．1．如图，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F .若AD ＝3，AB ＝5，求：(1)AG AF的值；(2)△ADE 与△ABC 的周长之比； (3)△ADE 与△ABC 的面积之比． 解：(1)在△ADE 与△ABC 中， 因为∠ADE ＝∠B ，∠BAD 为公共角， 所以△ADE ∽△ABC ，所以AG AF ＝AB AD ＝53. (2)△ADE 与△ABC 的周长之比等于它们的相似比， 即AD ∶AB ＝3∶5.(3)△ADE 与△ABC 的面积之比等于它们相似比的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝925.2.如图，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝2∶3.(1)求△AEF 与△CDF 周长的比； (2)若S △AEF ＝8，求S △CDF .解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD 且AB ＝CD .∵AE EB ＝23， ∴AE AE ＋EB ＝22＋3，即AE AB ＝25. ∴AE CD ＝25. 又由AB ∥CD 知△AEF ∽△CDF ，∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝2∶5.(2)S△AEF∶S△CDF＝4∶25，又S△AEF＝8，∴S△CDF＝50.DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m，它们之间的距离为30 m，小张身高为1.6 m．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．如图，设小张与教学楼的距离至少应有x m，才能看到水塔．连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FG⊥CD于点G，交AB于点H，则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形．∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG.∴AH∶DG＝FH∶FG.即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)，解得x＝55.2(m)．故小张与教学楼的距离至少应有55.2 m才能看到水塔．此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．3．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC ∽△ADE .∵BC ⊥AE ，DE ⊥AE ，∴∠ACB ＝∠AED ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ADE . (2)由(1)得△ABC ∽△ADE ，∴AC AE ＝BCDE. ∵AC ＝2 m ，AE ＝2＋18＝20 m ，BC ＝1.6 m. ∴220＝1.6DE，∴DE ＝16 m. 答：古塔的高度为16 m.4．有一块三角形铁片ABC ，已知最长边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况．如图(1)，矩形的长EF 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，高AD 交GH 于K ，设矩形的宽为x cm ，则长为2x cm.由HG ∥BC ，得△AHG ∽△ABC .得AK ∶AD ＝HG ∶BC ，所以(8－x )∶8＝2x ∶12，即x ＝247(cm)．则S 矩形EFGH ＝2x 2＝1 15249(cm 2)．如图(2)，矩形的宽MN 在BC 上，类似地可求得S 矩形MNPQ ＝18(cm 2)． 即加工成的铁片的面积为1 15249 cm 2或18 cm 2.课时跟踪检测(四)一、选择题1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：选D 由DE ∥BC ，得△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AE AC ，∴AD DB ＝AE EC ＝12.∴DB ＝4³2＝8(cm)．2.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，AE 交对角线BD 于点G ，且△BEG 的面积是1 cm 2，则▱ABCD 的面积为( )A ．8 cm 2B ．10 cm 2C ．12 cm 2D ．14 cm 2解析：选C 因为AD ∥BC ，所以△BEG ∽△DAG ，因为BE ＝EC ，所以BE BC ＝BE DA ＝12.所以S △BEG S △DAG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BE DA 2＝14， 即S △DAG ＝4S △BEG ＝4(cm 2)． 又因为AD ∥BC ，所以AG EG ＝DABE＝2，所以S △BAG S △BEG ＝AGEG＝2， 所以S △BAG ＝2S △BEG ＝2(cm 2)，所以S △ABD ＝S △BAG ＋S △DAG ＝2＋4＝6(cm 2)， 所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝2³6＝12(cm 2)．3．如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：选D ∵△CBF ∽△CDE ， ∴BF DE ＝CB CD. ∴BF ＝DE ²CB CD ＝3³610＝1.8. 4．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，DC ＝80，那么EF 的值是( )A ．10B ．12C ．16D ．18解析：选C ∵AB ∥EF ∥CD ， ∴AE EC ＝AB DC ＝2080＝14.∴EF AB ＝EC AC ＝45. ∴EF ＝45AB ＝45³20＝16.二、填空题5．(广东高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F, 则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________.解析：由CD ∥AE ，得△CDF ∽△AEF ， 于是△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝AB AE ＝3.答案：36．如图，在△ABC 中有一个矩形EFGH ，其顶点E ，F 分别在AC ，AB 上，G ，H 在BC 上，若EF ＝2FG ，BC ＝20，△ABC 的高AD ＝10，则FG ＝________.解析：设FG ＝x ，因为EF ＝2FG ，所以EF ＝2x . 因为EF ∥BC ，所以△AFE ∽△ABC ，所以AM AD ＝EF BC ，即10－x 10＝2x 20，解得x ＝5，即FG ＝5. 答案：57．如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S矩形ABCD＝40 cm 2.S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5，则AE 的长为________．解析：因为∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ， 所以△ABE ∽△DBA . 所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5， 所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm ，DB ＝5k cm ， 则AD ＝2k cm. 因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2，所以k ²2k ＝40，所以k ＝25(cm)． 所以BD ＝5k ＝10 (cm)，AD ＝45(cm)． 又因为S △ABD ＝12BD ²AE ＝20，所以12²10²AE ＝20.所以AE ＝4(cm)． 答案：4 cm 三、解答题8．如图，已知△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 是AC 上的点，BE ，CD 交于点M .若AC ＝3AE ，求∠EMC 的度数．解：如图，作EF ⊥BC 于点F ， 设AB ＝AC ＝3，则AD ＝32，BC ＝32，CE ＝2，EF ＝FC ＝ 2.∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC ，∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ，∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.9.如图，▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，。
高中数学人教A版选修课件：4.1 数学归纳法
(k-3)(k≥4).
2
当 n=k+1 时,凸 k+1 边形是在凸 k 边形的基础上增加了一条边,
增加了一个顶点 Ak+1,增加的对角线是顶点 Ak+1 与不相邻顶点的连
线再加上原凸 k 边形的一边 A1Ak,共增加的对角线条数为
(k+1-3)+1=k-1.
题型一
题型二
题型三
1
题型四
1
1
f(k+1) = 2 (k-3)+k-1 = 2 (k2-k-2) = 2 (k+1)(k-2) =
即(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).
题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数
因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技
巧,凑出当n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 求证:x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除.
结构的变化特点.并且一定要记住:在证明当n=k+1成立时,必须使
用归纳假设.
题型一
题型二
题型三
题型四
1
1
=
1
1+1
1
【变式训练 2】 用数学归纳法证明: 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ +
1
2
1
1
1
= +1 + +2 + ⋯ + 2 (n∈N+).
1
证明:(1)当 n=1 时,左边=1 − 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[k12] 最新K12 [对应学生用书P35] 近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等． 1．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于________．
解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝AB2－BD2＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即(2)2＝2r－1，解得r＝32.
答案：32 2.(新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明： (1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2. 证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA. [k12] 最新K12 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC. 因此BE＝EC. (2)由切割线定理得PA2＝PB·PC. 因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB. 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC， 所以AD·DE＝2PB2
.
3．(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径； (2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BCFA＝DCEA， 故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA. 因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC， 故∠EFA＝∠CFE＝90°. 所以∠CBA＝ 90°，因此CA是△ABC外接圆的直径． (2)连接CE，因为∠CBE＝90°， 所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE. 由BD＝BE，有CE＝DC. 又BC2＝DB·BA＝2DB2， 所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2
.
而DC2＝DB·DA＝3DB2， [k12] 最新K12 故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.
[对应学生用书P35] 圆内接四边形的判定与性质 圆内接四边形是中学教学的主要研究问题之一，近几年各地的高考选做题中常涉及圆内接四边形的判定和性质． [例1] 已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F. 求证：C、D、E、F四点共圆． [证明] 连接EF， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以∠B＋∠C＝180°. 因为四边形ABFE内接于圆， 所以∠B＋∠AEF＝180°. 所以∠AEF＝∠C. 所以C、D、E、F四点共圆． [例2] 如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( ) A．120° B．136° C．144° D．150° [解析] 由圆内接四边形性质知∠A＝∠DCE， 而∠BCD∶∠ECD＝3∶2， 且∠BCD＋∠ECD＝180°，∠ECD＝72°. 又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝144°. [答案] C 直线与圆相切 直线与圆有三种位置关系，即相交、相切、相离；其中直线与圆相切的位置关系非常重要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点[k12] 最新K12 之一，解题时要特别注意． [例3] 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB. (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)已知PA＝3，BC＝1，求⊙O的半径． [解] (1)证明：如图，连接OB. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA. ∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA. ∴∠OAB＋∠PAB＝ ∠OBA＋∠PBA， 即∠PAO＝∠PBO. 又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°. ∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线． (2)连接OP，交AB于点D.如图． ∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB. ∴∠PAO＝∠PDA＝90°. 又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA. ∴APDP＝POPA.∴AP2＝PO·DP. 又∵OD＝12BC＝12，∴PO(PO－OD)＝AP2
.
即PO2－12PO＝(3)2，解得PO＝2. 在Rt△APO中，OA＝PO2－PA2＝1， 即⊙O的半径为1. 与圆有关的比例线段 [k12] 最新K12 圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形，结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论． [例4] 如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长． [解] 设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE， 即4(4＋x)＝x(x＋10)， 化简得x2＋6x－16＝0， 解得x＝2或x＝－8(舍去)， 即CD＝6，CE＝12. 连接AB，因为CA为小圆的直径， 所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°， 则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°， 则CD2＋DE2＝CE2， 所以62＋DE2＝122， 所以DE＝63. [例5] △ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是⊙O的切线交AC于M(如图)． 求证：DC2＝AC·CM. [证明] 连接AD、OD. ∵AB是直径，∴AD⊥BC. ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ODA. 又AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD. 则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC. ∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM. 则DM⊥AC，DC2＝AC·CM. [k12] 最新K12 [对应学生用书P43] (时间：90分钟，满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．圆内接四边形的4个角中，如果没有直角，那么一定有( ) A．2个锐角和2个钝角 B．1个锐角和3个钝角 C．1个钝角和3个锐角 D．都是锐角或都是钝角 解析：由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4个角中若没有直角，则必有2个锐角和2个钝角． 答案：A 2.如图，在⊙O中，弦AB长等于半径，E为BA延长线上一点，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数是( ) A．60° B．50° C．45° D．30° 解析：∠BCD＝∠DAE＝80°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12AC，
∴∠ACB＝30°.∴∠ACD＝80°－30°＝50°. 答案：B 3．如图所示，在半径为2 cm的⊙O内有长为23 cm的弦AB.则此弦所对的圆心角∠AOB为( ) A．60° B．90° C．120° D．150° 解析：作OC⊥AB于C，则BC＝3，
在Rt△BOC中cos ∠B＝BOOB＝32.
∴∠B＝30°. ∴∠BOC＝60°.∴∠AOB＝120°. 答案：C [k12] 最新K12 4.如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦CD的距离为( )
A.2143 B.289 C.273 D.809 解析：过O作OH⊥CD，连接OD， 则DH＝12CD，
由相交弦定理知， AE·BE＝CE·DE. 设CE＝4x，则DE＝9x，
∴4×4＝4x×9x，解得x＝23， ∴OH＝OD2－DH2＝ 52－1332＝2143.
答案：A 5.如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，且PB＝BC，PA＝32，那么BC的长为( ) A.3 B．23 C．3 D．33 解析：根据切割线定理PA2＝PB·PC，
所以(32)2＝2PB2
.所以PB＝3＝BC.
答案：C 6．两个同心圆的半径分别为3 cm和6 cm，作大圆的弦MN＝63 cm，则MN与小圆的位置关系是( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 解析：作OA⊥MN于A.连接OM.
则MA＝12MN＝33.
在Rt△OMA中， OA＝OM2－AM2＝3(cm)．