树与二叉树典型例题讲解
树与二叉树
树与二叉树————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：作业要求：五：2、3六:2、3、6(1)、７、１０七:１、2习题6一．名词解释（1）结点(２）结点的度(３）树的度(4）二叉树(5）哈夫曼树二．判断题（下列各题,正确的请在前面的括号内打√；错误的打ㄨ)( ）(1）树结构中每个结点最多只有一个直接前趋。
(ﻩ)(2）完全二叉树一定是满二叉树。
3）由树转换成二叉树，其根结点的右子树一定为空。
（ﻩ)(（)(4）在中序线索二叉树中，右线索若不为空，则一定指向其双亲。
( )(5）在前序遍历二叉树的序列中,任何结点的子树的所有结点都是直接跟在该结点之后。
()(6)一棵二叉树中序遍历序列的最后一个结点,必定是该二叉树前序遍历的最后一个结点。
( ）（7）用一维数组来存储二叉树时,总是以前序遍历存储结点。
( )（8)已知二叉树的前序遍历和后序遍历不能惟一确定这棵二叉树，这是因为不知道根结点是哪一个。
( )(9）二叉树按某种顺序线索后，任一结点均有指向其前趋和后继的线索。
（)(1０）二叉树的前序遍历中，任意一个结点均处于其子树结点的前面。
三.填空题1．结点的度是。
2．叶子结点是结点。
3.树的度是。
4.树中结点的最大层次称为树的。
5．对于二叉树来说，第i层上至多有个结点。
6．深度为h的二叉树至多有个结点。
７.对于一棵具有n个结点的树,该树中所有结点的度数之和为：。
8．在一棵二叉树中，度为2 的结点有5 个，度为1 的结点有6 个，则叶子结点数有ﻫ个。
9.由一棵二叉树的前序序列和 序列可惟一确定这棵二叉树。
10．有20个结点的完全二叉树，编码为1０的结点的父结点的编号是 。
11．有20个结点的完全二叉树,编码为10的结点的左子树结点的编号是 。
12.一棵含有n 个结点的完全二叉树,它的高度是 。
１3.树的存储结构有： 。
14.哈夫曼树是带权路径长度 的二叉树。
二叉树的遍历题目及答案
二叉树的遍历题目及答案1. 二叉树的基本组成部分是：根（N）、左子树（L）和右子树（R）。
因而二叉树的遍历次序有六种。
最常用的是三种：前序法（即按N L R次序），后序法（即按L R N 次序）和中序法（也称对称序法，即按L N R次序）。
这三种方法相互之间有关联。
若已知一棵二叉树的前序序列是BEFCGDH，中序序列是FEBGCHD，则它的后序序列必是 F E G H D C B 。
解：法1：先由已知条件画图，再后序遍历得到结果；法2：不画图也能快速得出后序序列，只要找到根的位置特征。
由前序先确定root，由中序先确定左子树。
例如，前序遍历BEFCGDH中，根结点在最前面，是B；则后序遍历中B一定在最后面。
法3：递归计算。
如B在前序序列中第一，中序中在中间（可知左右子树上有哪些元素），则在后序中必为最后。
如法对B的左右子树同样处理，则问题得解。
2.给定二叉树的两种遍历序列，分别是：前序遍历序列：D，A，C，E，B，H，F，G，I；中序遍历序列：D，C，B，E，H，A，G，I，F，试画出二叉树B，并简述由任意二叉树B的前序遍历序列和中序遍历序列求二叉树B的思想方法。
解：方法是：由前序先确定root，由中序可确定root的左、右子树。
然后由其左子树的元素集合和右子树的集合对应前序遍历序列中的元素集合，可继续确定root的左右孩子。
将他们分别作为新的root，不断递归，则所有元素都将被唯一确定，问题得解。
3、当一棵二叉树的前序序列和中序序列分别是HGEDBFCA和EGBDHFAC时，其后序序列必是A. BDEAGFHCB. EBDGACFHC. HGFEDCBAD. HFGDEABC答案：B4. 已知一棵二叉树的前序遍历为ABDECF，中序遍历为DBEAFC，则对该树进行后序遍历得到的序列为______。
A．DEBAFCB．DEFBCAC．DEBCFAD．DEBFCA[解析] 由二叉树前序遍历序列和中序遍历序列可以唯一确定一棵二叉树。
树-二叉树
信息学奥赛培训之『树——二叉树』树——二叉树为何要重点研究二叉树？ 引 ： 为何要重点研究二叉树 ？ （1）二叉树的结构最简单，规律性最强； （2）可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性。
一、二叉树基础1. 二叉树的定义 二叉树是一类非常重要的树形结构，它可以递归地定义如下： 二叉树 T 是有限个结点的集合，它或者是空集，或者由一个根结点以及分别称为左 子树和右子树的两棵互不相交的二叉树。
因此，二叉树的根可以有空的左子树或空的右子树，或者左、右子树均为空。
二叉树有 5 种基本形态，如图 1 所示。
图1 二叉树的 5 种基本形态在二叉树中，每个结点至多有两个儿子，并且有左、右之分。
因此任一结点的儿子 不外 4 种情况：没有儿子；只有一个左儿子；只有一个右儿子；有一个左儿子并且有一 个右儿子。
注意：二叉树与树和有序树 的区别 二叉树与度数不超过 2 的树不同，与度数不超过 2 的有序树也不同。
在有序树中，11如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，则称该树为有序树，否则称为无序树。
-1-信息学奥赛培训之『树——二叉树』虽然一个结点的儿子之间是有左右次序的，但若该结点只有一个儿子时，就无须区分其 左右次序。
而在二叉树中，即使是一个儿子也有左右之分。
例如图 2-1 中(a)和(b)是两棵 不同的二叉树。
虽然它们与图 2-2 中的普通树(作为无序树或有序树)很相似，但它们却 不能等同于这棵普通的树。
若将这 3 棵树均看作是有序树，则它们就是相同的了。
图2-1 两棵不同的二叉树图2-2 一棵普通的树由此可见，尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
不是 ．．2. 二叉树的性质图3 二叉树性质１： 在二叉树的第 i 层上至多有 2 i −1 结点(i>=1)。
性质２： 深度为 k 的二叉树至多有 2 k − 1 个结点(k>=1)。
性质３： 对任何一棵二叉树 T，如果其终端结点数为 n0,度为 2 的结点数为 n2,则 n0=n2+1。
树和二叉树习题答案
第六章 练习1、试分别画出具有3个结点的树和3个结点的二叉树的所有不同形态。
态。
解：（1）3个结点的树：（2）3个结点的二叉树：2、已知一棵度为m 的树中有个度为1的结点，个度为2 结点，…，个度为m 的结点，问该树中有多少个叶子结点？解：由树的特征可知，除顶点外每个结点对应于一条边，总边数等于各顶点度数之和，所以有：所以：3、对第1题所得的各种形态的二叉树，分别写出前序、中序和后序遍历的序列。
解：(1) 前：ABC 中：BAC 后：BCA (2) 前：ABC 中：CBA 后：CBA (3) 前：ABC 中：BCA 后：CBA (4) 前：ABC 中：ABC 后：CBA (5) 前：ABC 中：ACB 后：CBA4、试以二叉链表作为存储结构，编写算法将二叉树中所有结点的左、右子树相互交换。
ABCA B CAB CA B C ACB A B CACBvoid Bitree_Revolute(Bitree T)//交换所有结点的左右子树 {T->lchild<->T->rchild; //交换左右子树 if(T->lchild) Bitree_Revolute(T->lchild);if(T->rchild) Bitree_Revolute(T->rchild); //左右子树再分别交换各自的左右子树}//Bitree_Revolute5、画出和下面树对应的二叉树：A BCDEFGHIJK6、画出和下面二叉树对应的森林：7、写出判断给定的二叉树是否是完全二叉树的算法。
int IsFull_Bitree(Bitree T)//判断二叉树是否完全二叉树,是则返回1,否则返回0{InitQueue(Q);flag=0;EnQueue(Q,T); //建立工作队列while(!QueueEmpty(Q)){DeQueue(Q,p);if(!p) flag=1;else if(flag) return 0;else{EnQueue(Q,p->lchild);EnQueue(Q,p->rchild); //不管孩子是否为空,都入队列}}//whilereturn 1;}//IsFull_Bitree分析:该问题可以通过层序遍历的方法来解决.不管当前结点是否有左右孩子,都入队列.这样当树为完全二叉树时,遍历时得到是一个连续的不包含空指针的序列.反之,则序列中会含有空指针.8、根据栈的存储结构写出二叉树的非递归形式的先序遍历算法。
二叉树的几个经典例题
⼆叉树的⼏个经典例题⼆叉树遍历1题⽬描述编⼀个程序，读⼊⽤户输⼊的⼀串先序遍历字符串，根据此字符串建⽴⼀个⼆叉树（以指针⽅式存储）。
例如如下的先序遍历字符串： ABC##DE#G##F### 其中“#”表⽰的是空格，空格字符代表空树。
建⽴起此⼆叉树以后，再对⼆叉树进⾏中序遍历，输出遍历结果。
输⼊描述:输⼊包括1⾏字符串，长度不超过100。
输出描述:可能有多组测试数据，对于每组数据，输出将输⼊字符串建⽴⼆叉树后中序遍历的序列，每个字符后⾯都有⼀个空格。
每个输出结果占⼀⾏。
输⼊abc##de#g##f###输出c b e gd f a思路：递归建树。
每次都获取输⼊字符串的当前元素，根据题⽬要求（先序、中序、后序等+其他限制条件）建树。
再根据题⽬要求输出即可。
1 #include<bits/stdc++.h>2using namespace std;3struct node{4char data;5 node *lchild,*rchild;6 node(char c):data(c),lchild(NULL),rchild(NULL){}7 };8string s;9int loc;10 node* create(){11char c=s[loc++];//获取每⼀个字符串元素12if(c=='#') return NULL;13 node *t=new node(c);//创建新节点14 t->lchild=create();15 t->rchild=create();16return t;17 }18void inorder(node *t){//递归中序19if(t){20 inorder(t->lchild);21 cout<<t->data<<'';22 inorder(t->rchild);23 }24 }25int main(){26while(cin>>s){27 loc=0;28 node *t=create();//先序遍历建树29 inorder(t);//中序遍历并输出30 cout<<endl;31 }32return0;33 }⼆叉树遍历2题⽬描述⼆叉树的前序、中序、后序遍历的定义：前序遍历：对任⼀⼦树，先访问跟，然后遍历其左⼦树，最后遍历其右⼦树；中序遍历：对任⼀⼦树，先遍历其左⼦树，然后访问根，最后遍历其右⼦树；后序遍历：对任⼀⼦树，先遍历其左⼦树，然后遍历其右⼦树，最后访问根。
树二叉树树森林与二叉树的转换树的应用课件
当 i = k+1 时，第k+1的结点至多是第k层结点 的两倍，即总的结点个数至多为2×2k-1 = 2k
故命题成立
2019/11/4
10
性质2 高度为k的二叉树最多有 2k-1个结点。 (k 1)
证明：仅当每一层都含有最大结点数时，二叉树 的结点数最多，利用性质1可得二叉树的结点数 至多为：
} return root; }
2019/11/4
24
二叉树的遍历
中序遍历
中序遍历二叉树算法的框架是： • 若二叉树为空，则空操作； • 否则
– 中序遍历左子树 (L)； – 访问根结点 (V)； – 中序遍历右子树 (R)。
遍历结果 a+b*c-d-e/f
2019/11/4
表达式语法树25
中序遍历算法
若设二叉树的高度为h，则共有h+1层。 除第h层外，其它各层(0h-1)的结点数都达 到最大个数，第h层从右向左连续缺若干结 点，这就是完全二叉树。
2019/11/4
13
性质4 具有n个结点的完全二叉树的高度
为 log2n +1
证明：设完全二叉树的高度为h，则有
2h-1 - 1 < n 2h - 1 2h-1 <= n < 2h
取对数 2019/11/4
h
–
1
<
log2(n)
<
h
14
性质5 如果将一棵有n个结点的完全二叉树自顶向下，同一层自
左向右连续给结点编号1, 2, …, n-1,n，然后按此结点编号将树中
各结点顺序地存放于一个一维数组中, 并简称编号为i的结点为结
数据结构详细教案——树与二叉树
数据结构详细教案——树与二叉树一、教学目标1.了解树和二叉树的基本概念和特点；2.掌握树和二叉树的基本操作；3.能够通过递归遍历树和二叉树。
二、教学重难点1.树和二叉树的基本概念和特点；2.递归遍历树和二叉树。
三、教学内容1.树的概念和特点1.1树的定义树是n（n>=0）个节点的有限集。
当n=0时，称为空树；如果不为空树，则1. 树有且仅有一个特殊节点被称为根（Root）；2.其余节点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1，T2，...，Tm，其中每个集合又是一棵树。
1.2节点间的关系- 父节点（parent）是当前节点的直接上级节点；- 子节点（child）是当前节点的直接下级节点；- 兄弟节点（sibling）是具有同一父节点的节点；- 祖先节点（ancestor）是通过从当前节点到根的任意路径可以到达的节点；- 子孙节点（descendant）是通过从该节点到子树的任意节点可以到达的节点。
1.3树的特点-树是一个有层次的结构，可以看作是一个鱼骨图；-树中的每个节点都可以有多个子节点，但只有一个父节点；-树中的节点之间是唯一的，不存在重复节点；-树中的任意两个节点之间都有且仅有一条路径连接。
2.二叉树的概念和特点2.1二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构，它的每个节点最多只能有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
2.2二叉树的特点-二叉树的度最大为2，即每个节点最多有两个子节点；-二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点；-对于任意一颗二叉树，如果其叶子节点数为n0，度为2的节点数为n2，则有n0=n2+1；-完全二叉树是一种特殊的二叉树，除了最后一层的叶子节点外，每一层的节点都是满的。
四、教学过程1.讲解树和二叉树的基本概念和特点，引导学生理解树和二叉树的定义和节点间的关系。
2.分析树和二叉树的基本操作，并通过实例演示操作过程，让学生掌握操作的步骤和方法。
3.运用递归算法遍历树和二叉树的过程，详细讲解前序遍历、中序遍历和后序遍历的定义和实现方法。
数据结构习题与答案--树和二叉树
第六章树和二叉树一、判断题( t )01、若二叉树用二叉链表作存贮结构，则在n个结点的二叉树链表中只有n—1个非空指针域。
( f )02、二叉树中每个结点的两棵子树的高度差等于1。
(t )03、二叉树中每个结点的两棵子树是有序的。
( f )04、二叉树中每个结点有两棵非空子树或有两棵空子树。
( f )05、二叉树中所有结点个数是2k-1-1，其中k是树的深度。
(f )06、二叉树中所有结点，如果不存在非空左子树，则不存在非空右子树。
( f )07、对于一棵非空二叉树，它的根结点作为第一层，则它的第i层上最多能有2i—1个结点。
(t )08、用二叉链表法存储包含n个结点的二叉树，结点的2n个指针区域中有n+1个为空指针。
(t)09、具有12个结点的完全二叉树有5个度为2的结点。
( f )10、二叉树中每个结点的关键字值大于其左非空子树(若存在的话)所有结点的关键字值，且小于其右非空子树(若存在的话)所有结点的关键字值。
( f )11、二叉树按某种顺序线索化后，任一结点均有指向其前驱和后续的线索。
( t )12、二叉树的先序遍历序列中，任意一个结点均处在其孩子结点的前面。
二、填空题01、由3个结点所构成的二叉树有_5_种形态。
02、一棵深度为6的满二叉树有____个分支结点和____个叶子。
03、一棵具有257个结点的完全二叉树，它的深度为____。
04、设一棵完全二叉树有700个结点，则共有____个叶子结点。
05、设一棵完全二叉树具有1000个结点，则此完全二叉树有____个叶子结点，有____个度为2的结点，有____个结点只有非空左子树，有____个结点只有非空右子树。
06、一棵含有n个结点的k叉树，可能达到的最大深度为____，最小深度为____。
07、二叉树的基本组成部分是：根(N)、左子树(L)和右子树(R)。
因而二叉树的遍历次序有六种。
最常用的是三种：前序法(即按N L R次序)，后序法(即按LRN次序)和中序法(也称对称序法，即按L N R次序)。
二叉查找树 例题
二叉查找树例题
二叉查找树（Binary Search Tree）是一种特殊的二叉树，每个节点的键值都大于左子树任意节点的键值，小于右子树任意节点的键值。
这种结构使得在二叉查找树中查找、插入和删除元素的操作都变得相对简单。
以下是一个简单的二叉查找树的例题：
题目：给定一个未排序的整数数组，检查是否存在重复元素。
解题思路：
这道题可以使用二叉查找树解决。
我们可以遍历数组中的每个元素，并将它们插入到二叉查找树中。
如果存在重复元素，则插入操作会失败，我们就可以提前返回结果。
如果不存在重复元素，则插入所有元素后，我们遍历二叉查找树即可验证结果。
具体实现如下：
1. 定义一个二叉查找树节点类，包含键值和左右子节点。
2. 定义一个二叉查找树类，包含根节点和插入、查找、遍历等方法。
3. 遍历给定的未排序整数数组，将每个元素插入到二叉查找树中。
如果插入失败（即该元素已存在于二叉查找树中），则说明存在重复元素，返回true。
4. 如果插入所有元素后都没有返回true，则遍历二叉查找树中的所有节点，检查它们的键值是否在给定的未排序整数数组中出现过。
如果出现过，则说明存在重复元素，返回true；否则返回false。
时间复杂度：O(nlogn)，其中n 是给定数组的长度。
空间复杂度：O(n)，其中n 是给定数组的长度。
如何将一棵树转化为对应的二叉树
如何将一棵树转化为对应的二叉树
如何将一棵树转化为对应的二叉树？ 解答： 1. 将 节点的孩子 放在左子树； 2. 将 节点的兄弟 放在右子树。 例题：
答案：
延伸： 任何一棵树都可以表示成二叉树，并不是任何一棵二叉树都可以表示成树。那么树多还是二叉树多？ 1. 任何一棵树都可以表示成二叉树，结合以上题目很容易理解。 2.不是任何一棵二叉树都可以表示成树： 当根节点包含右子树的时候，就无法表示成树了。 3. 树多还是二叉树多的问题： 二叉树也是树的一种，如果按照包含关系来说，树肯