两个Hermitian矩阵的Hadamard乘积的特征值估计
哈德曼乘积
哈德曼乘积1. 介绍哈德曼乘积（Hadamard product），也被称为元素乘积或Schur乘积，是矩阵和向量之间的一种二元运算。
该运算将两个相同维度的矩阵或向量中对应位置的元素进行逐个相乘，得到一个新的矩阵或向量。
哈德曼乘积在多个领域中都有广泛的应用，包括数学、物理、计算机科学等。
它在矩阵计算、信号处理、图像处理等领域中发挥着重要作用。
2. 定义和符号表示给定两个相同维度的矩阵A和B，它们的哈德曼乘积C表示为C = A ⊙ B。
其中⊙ 表示哈德曼乘积运算。
对于矩阵A和B中对应位置的元素aij和bij，C中对应位置的元素cij = aij * bij。
如果A和B是两个向量，则它们的哈德曼乘积可以表示为C = A ⊙ B = [a1 * b1, a2 * b2, …, an * bn]。
3. 性质3.1 结合性哈德曼乘积满足结合律，即对于三个相同维度的矩阵A、B和C，有(A ⊙ B) ⊙ C = A ⊙ (B ⊙ C)。
3.2 分配性哈德曼乘积满足分配律，即对于三个相同维度的矩阵A、B和C，有(A + B) ⊙ C= (A ⊙ C) + (B ⊙ C)，以及A ⊙ (B + C) = (A ⊙ B) + (A ⊙ C)。
3.3 单位元对于任意矩阵或向量A，都存在一个与其相同维度的单位元E，使得A ⊙ E = E⊙ A = A。
单位元E中的所有元素均为1。
4. 应用4.1 矩阵计算在矩阵计算中，哈德曼乘积常用于逐元素地处理两个具有相同维度的矩阵。
它可以实现矩阵的逐元素相乘，并得到一个新的矩阵。
例如，假设有两个3x3的矩阵A和B：A = [1, 2, 3;4, 5, 6;7, 8, 9]B = [9, 8, 7;6, 5, 4;3, 2, 1]它们的哈德曼乘积C为：C = A ⊙ B = [1*9, 2*8, 3*7;4*6, 5*5, 6*4;7*3, 8*2, 9*1]计算结果为：C = [9, 16, 21;24, 25, 24;21, 16, 9]4.2 图像处理在图像处理中，哈德曼乘积可以用于对图像进行逐像素的操作。
线性方程组求解的两类迭代法和矩阵HADAMARD积谱半径估计
线性方程组求解的两类迭代法和矩阵Hadamard积谱半径估计作者：程光辉学位授予单位：电子科技大学参考文献(37条)1.参考文献2.R J Plemmons M-matrix characterization 1-Non-singular M-matrix 19773.A Berman.R J Plemmons Nonnegative matrices in the mathematical sciences 19794.A D Gunawardena.S K Jain.L Snyder Modified iterative methods for consistent linear system 19915.T Kohno.H Kotakemori.H ui Improving method modified iterative methods for Z-matrices 19976.A Hadjidimos.D Noutsos.M Tzoumas More on modifications and improvements of classical iterative schemes for M-matrices[外文期刊] 20037.Willian S Halliwell A fast implicit iterative numerical method for solving multidimensionalpartial differential equation 19778.胡家赣线性方程组的PE方法 1982(02)9.胡家赣.王邦荣严格对角优势矩阵PE方法的收敛性 1986(04)10.梁吉业M矩阵PE方法的收敛性 1994(01)11.胡家赣.王邦荣解线性代数方程组的PE方法 1993(02)12.胡家赣.刘兴平EPE方法和可正定化矩阵 1997(01)13.张凯院.王自然解线性代数方程组的二次PE方法和二次PEk方法[期刊论文]-西北工业大学学报 2003(3)14.A Berman.R J Plemmons Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences 199415.胡家赣‖B-1A‖的估计及其应用 1982(03)16.G Meurant Computer solution of large linear systems 199917.A Hadjidimos Accelerated overrelaxation method 198718.胡家赣线性代数方程组的迭代解法 199119.D M Young Iterative solution of large linear systems 197120.逢明贤矩阵谱论 198921.R S Varga Matrix iterative analysis 200022.徐树方矩阵计算的理论与方法 199523.D J Evans.M M Martins.M E Trigo The AOR iterative method for new preconditioned linear systems[外文期刊] 200124.C Li.D J Evans Improving the SOR method[Technical Report 901,Department of ComputerStudies,University of Loughborough] 199425.N A Kahn.A Marcus A note on the Hadamard product 195926.张贤达矩阵分析与应用 200427.R A Horn.C R Johnson Topics in matrix analysis 199128.L Elsner.C R Johnson.J A Dias da Silva The Perron root of a weighted geometric mean of nonnegative matrices 198829.Samuel Karlin.Friedemann Ost Some monotonicity properties of Schur powers of matrices and related。
两个可乘矩阵的乘积矩阵的特征值关系的讨论
两个可乘矩阵的乘积矩阵的特征值关系的讨论作者：郑昌红来源：《科教导刊》2010年第27期摘要本文主要证明了两个可乘矩阵Am€譶与Bn€譵的乘积矩阵AB与BA的特征值的关系,先从A与B均为n阶方阵,且至少有一个矩阵可逆时的特殊情况出发,然后推广到一般的阶方阵,可以得到A与B均为n阶方阵时,AB与BA有相同的特征值;最后根据前面讨论的结论,得出更一般地情况,得到m阶方阵AB与n阶方阵BA的非零特征值全部相同,而零特征值的重数相差|n-m|。
中图分类号:O17文献标识码:A由方阵乘积的行列式,我们知道,当A与B均为n阶方阵时,有|AB| = |BA| = |A|·|B|,若A与B 为n阶对称矩阵,则|AB - E| = |(AB-E)T| = |BTAT - E| = |BA - E|,所以AB与BA有相同的特征值;A若B与均为n阶方阵,且至少有一个矩阵可逆,不妨设矩阵A可逆,则|AB - E| = |A-1| |AB - E| |A| = |A-1(AB - E)A| = |BA-E|。
这时我们可以看到,AB与BA有相同的特征值;那么一般地,A与B均为n阶方阵时,|AB - E|与|BA - E|是否相等呢?若相等,则AB与BA有相同特征值;更一般地,若A与B不是方阵,设A为m€譶矩阵,B为n€譵矩阵,则A与B可乘。
那么m阶方阵AB与n阶方阵BA的特征值有什么关系呢?首先我们讨论A与B均为n阶方阵时的情况。
A与B至少有一个矩阵可逆时,显然AB与BA有相同的特征值;若A与B均不可逆,设是AB的一个特征值,下面我们可以证明也是BA的特征值。
分两种情况讨论:(1) 当≠0时:因为是AB的特征值,所以存在非零向量x使得AB·x = x,这里Bx≠0,否则x = A·Bx = 0(x≠0)= 0,这与≠0矛盾。
两边同时左乘矩阵B,有B·AB·x = B·x (BA)·Bx =Bx ,而Bx≠0是非零向量,这说明Bx是矩阵BA的对应于特征值的特征向量,即也是BA的特征值。
哈德曼乘积
哈德曼乘积哈德曼乘积是一种数学运算，它是两个矩阵的对应元素相乘后再求和的结果。
这个概念由英国数学家哈德曼在20世纪初提出，被广泛应用于线性代数和统计学中。
哈德曼乘积的计算方法非常简单，只需要将两个矩阵的对应元素相乘后再求和即可。
例如，对于两个3x3的矩阵A和B，它们的哈德曼乘积可以表示为：C = A ⊙ B其中C是一个3x3的矩阵，它的每个元素c(i,j)等于a(i,j) * b(i,j)，其中a(i,j)和b(i,j)分别是矩阵A和B中第i行第j列的元素。
哈德曼乘积在实际应用中有着广泛的用途。
首先，在线性代数中，哈德曼乘积可以用来表示两个向量之间的内积。
内积是一种衡量向量之间相似度或相关性的方法，它在统计学、机器学习等领域中有着重要作用。
通过计算两个向量之间的哈德曼乘积，我们可以得到它们之间的内积值，从而判断它们的相似程度。
其次，在统计学中，哈德曼乘积可以用来计算两个随机变量之间的协方差。
协方差是一种衡量两个随机变量之间关系强度的指标，它在金融学、经济学等领域中有着广泛应用。
通过计算两个随机变量的哈德曼乘积，我们可以得到它们之间的协方差值，从而了解它们之间的关系。
此外，在图像处理和计算机视觉领域中，哈德曼乘积也被广泛应用。
图像可以表示为一个矩阵，其中每个元素代表一个像素点的亮度值。
通过计算两幅图像矩阵之间的哈德曼乘积，我们可以得到它们之间的相似度或相关性。
这对于图像匹配、图像检索等任务非常有帮助。
总结起来，哈德曼乘积是一种重要的数学运算，在线性代数、统计学和图像处理等领域中有着广泛应用。
通过计算两个矩阵或向量之间的对应元素相乘后再求和，我们可以得到它们之间的相似度、相关性或协方差等重要指标。
这使得哈德曼乘积成为了解决实际问题的有力工具。
hadamard 积和矩阵乘法
题目：探索hadamard积和矩阵乘法的深度与广度在数学和计算机科学中，矩阵运算是非常重要的一部分。
而hadamard积和矩阵乘法作为矩阵运算中的两种不同方式，它们分别具有不同的特点和应用场景。
本文将从深度和广度两个方面来探讨这两种矩阵运算，帮助读者更全面地理解它们的概念、特点和应用。
一、hadamard积1. hadamard积的定义在数学中，两个相同大小的矩阵之间的hadamard积是指对应位置上的元素相乘得到的新矩阵。
假设有两个相同大小的矩阵A和B，它们的hadamard积记作A⊙B，那么新矩阵C中的元素c(i,j)=a(i,j)×b(i,j)。
利用符号表示，即c(i,j)=a(i,j)×b(i,j)。
这种积在一些特定的数学和工程问题中有着重要的应用。
2. hadamard积的特点hadamard积的性质包括易于计算和应用、逐元素操作等。
相比于传统的矩阵乘法，hadamard积更适合于对应位置上元素之间存在某种关系的情况，比如矩阵相似性、关联性等。
3. hadamard积的应用hadamard积在信号处理、图像处理、分布式计算等领域有着广泛的应用。
在这些领域中，hadamard积能够很好地处理对应位置上元素之间的关联关系，从而得到更有意义的结果。
二、矩阵乘法1. 矩阵乘法的定义在矩阵运算中，矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，当A的列数等于B的行数时，它们可以进行矩阵乘法运算，得到一个新的矩阵C。
新矩阵C的元素c(i,j)是由A的第i行与B的第j列对应元素相乘再相加得到的。
2. 矩阵乘法的特点矩阵乘法具有结合律、分配律等性质，同时也是一种线性变换。
它在代数、几何、物理等领域有着广泛的应用，是矩阵运算中的重要内容。
3. 矩阵乘法的应用矩阵乘法在计算机图形学、神经网络、数据压缩等领域有着重要的应用。
在这些领域中，矩阵乘法可以很好地描述和处理复杂的计算问题，为问题的求解提供了重要的数学基础。
矩阵相乘的特征值分解
矩阵相乘的特征值分解1. 介绍矩阵相乘是线性代数中的重要概念，而特征值分解是矩阵分析中的一种重要方法。
本文将探讨矩阵相乘的特征值分解，包括其定义、性质、计算方法以及在实际应用中的意义。
2. 矩阵相乘的定义矩阵相乘是指将两个矩阵按照一定的规则进行乘法运算得到一个新的矩阵的操作。
设有两个矩阵A和B，A的维度为m×n，B的维度为n×p，那么A与B的乘积C的维度为m×p。
矩阵相乘的定义如下：C(i,j) = Σ(A(i,k) * B(k,j))，其中k的取值范围为1到n。
3. 特征值分解的定义特征值分解是将一个方阵分解为特征值和特征向量的乘积的过程。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx，其中λ是A的特征值，x是对应的特征向量，则A可以被特征值和特征向量的乘积表示为：A = PDP^(-1)其中P是由A的特征向量组成的矩阵，D是由A的特征值组成的对角矩阵。
4. 特征值分解的性质特征值分解具有以下性质：•方阵A可逆当且仅当其所有特征值都不为零。
•如果A是实对称矩阵，则其特征值都是实数。
•如果A是正定矩阵，则其特征值都大于零。
•如果A是对称矩阵，则其特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。
5. 特征值分解的计算方法特征值分解的计算方法有多种，常用的方法包括幂法、反幂法和QR方法等。
这些方法利用矩阵的特征值和特征向量的性质，通过迭代计算逼近矩阵的特征值和特征向量。
5.1 幂法幂法是一种迭代计算特征值和特征向量的方法。
其基本思想是通过迭代计算矩阵A的幂次向量序列，然后取序列中的向量的模长逼近最大特征值，并将向量归一化得到对应的特征向量。
5.2 反幂法反幂法是幂法的一种变形，用于计算矩阵A的最小特征值和对应的特征向量。
反幂法的基本思想是通过迭代计算矩阵A的逆的幂次向量序列，然后取序列中的向量的模长逼近最小特征值的倒数，并将向量归一化得到对应的特征向量。
Chapter5(3) Hermite 矩阵特征值表示
x ci qi q1 , q2 ,
i 1
于是， x H Ax c1 , c2 , c1 c2 H , cn Q AQ cn
c1 , c2 ,
n
1 , cn
2
n
2
c1 c2 n cn
2
, n
Aqi i qi , i 1, 2,
, n.
x Cn ,存在c1 , c2 ,
n
, cn使得 c1 c1 c c 2 2 , qn Q . cn cn
P 1C
n s 1
H 2
上两式分别称为特征值的极小极大原理与特征值 的极大极小原理.
r min R x x 0, P2H x 0
min R x 其中 P2 qr 1 ,
, qs 1 , 1 s n;
, qr ,
0 x span q1 ,
, qn , 1 r n.
定理4
设A Cnn是Hermite矩阵，1 2 特征值，则
§5.3 Hermite 矩阵特征值表示
一、Hermite 矩阵的最大与最小特征值 定义1（ Rayleigh商）
设 A Cnn 为Hermite矩阵，0 x Cn , 称 x H Ax R x H x x 为矩阵A的Rayleigh商.
定理1
设A C 是Hermite矩阵，1 ,2 , ,n是A的n个
定理3
设A Cnn是Hermite矩阵，1 ,2 , 特征值，满足 1 2
矩阵特征值的估计
第三部分矩阵特征值的估计§1. 特征值界的估计引理1. n阶复矩阵A，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A的特征值。
即存在一个酉矩阵U和三角矩阵T，使引理2. 设，则Proof:设则引理3. A为正规矩阵A酉相似于对角矩阵。
（注：正规矩阵：）即存在酉矩阵U使Th1.设A为n阶矩阵，为其特征值，则：A为正规矩阵，等号成立。
Proof:由引理1.存在酉阵U，使（三角阵）——①对①两边取共轭转置：——②①②（为酉阵）即设令，则A=B+C：其中B为Hermit阵（即）实C为反Hermit阵（即）虚注：引入B,C的目的是为了研究A的特征值的实部和虚部的估计。
Th2.设A,B,C如上所设，为A的特征值，则有：①②③Proof:由,同理可证：其它两个注：该定理对A特征值进行了界的估计，以及特征值的实部和虚部都有了界的估计，下面给出对A特征值虚部估计更精确的一个定理。
Th3.设，则其中，为上述C的第i行第j列元素Proof:（略）eg1.设则由Th3.易见，Th3.比Th2.中③要精确。
据上述定理可得如下推论：推论1：实对称矩阵的特征值令为实数。
推论2：Hermit矩阵的特征值令为实数。
推论3：反Hermit矩阵的特征值令为虚数或零。
Proof1:A为实对称，则，则即由Th2即为实数Proof2:A为H—阵，则，则，即为实数Proof3: A为反H—阵，则，设为特征值，由Th2.即为纯虚数或零。
Th4.幂等阵的特征值为0或1Proof:设为A的特征值，Z为A的对应于的特征向量。
即或1.Th5.设A,B为n阶实对称矩阵，矩阵B半正定（B的特征值非负），则其中分别为A+B和A的特征值，且即A+B与A的特征值按递减顺序排列。
§2. 圆盘定理及其推广上节我们对矩阵的特征值作了大致的估计，本节所有讲的圆盘定理是对矩阵的特征值在复平面上的具体位置作了更精确的估计。
Th1.圆盘定理：设，则A的特征值（即都在复平面上的n个圆盘内）其中（称为盖尔圆盘）Proof:设为A的特征值，X为特征向量，则，取即说明：①圆盘；称为Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆盘。
M矩阵Hadamard积的特征值的界
第 ２期
蒋建 新 ， 等： 矩阵Ｈ ａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ积 的特征 值 的界
Ａｌ １ Ａ１ ２
３ ０ １
定理 １ 设 Ａ ＝（ ａ ）∈ Ｍｎ ， Ａ一 ＝ （ ） ， 则 ｑ （ Ａ ｏ Ａ ）
式
Ａ２ ２
０
， 对角块 Ａ 不 可约 ， ｉ＝ １ ，
（ 文 山 学 院数 学 学 院 ， 云南 文山 ６ ６ ３ ０ ０ ０）
＊ ＝ 摘 Nhomakorabea要： 利 用矩 阵特 征值 包含 域 定理 中 系数 的不 同选择 ， 以及 非奇 异 矩 阵Ａ的逆矩 阵 Ａ 的
。
元 素估计 式的 不 同选择 ， 得到 了ｑ （ ａ。 Ａ ） ， ｑ （ Ｂ。 Ａ ）新的 一些 下界．这 些估 计 式使 得估 计 ｑ （ ａ 一） ， ｑ （ Ｂ。Ａ ）下界 时 的选择 更加 丰 富．
相 容 的估 计 式
Ｉ ＋
Ｉ≤
Ｉ ｍＨ
卢 ｌ ， Ｊ≠ ｉ （ １ ）
Ｍ证 明了 Ａ。Ａ ～， Ｂ。 Ａ 仍是 非 奇异 矩 阵． 引入下 面 的记 号
＋∑ １ Ｉ ｓ “
Ｉ≤
Ｉ’ ‘ ， ． ｉ
卢 Ｉ ， Ｊ≠ ｉ （ ２ ）
Ｒ 。 ＝ ∑ ｌ 口 ＊ Ｉ ， ｄ ＝
第３ ３卷 第 ２期
２ ０ １ ５ 年 ０ ３月
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｒ ｎ ｕ ｓ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｊ≠ ｉ ， √∈
矩阵特征值的乘积
矩阵特征值的乘积数学篇矩阵特征值的乘积矩阵是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
而矩阵的特征值则是矩阵理论中的重要概念之一。
在矩阵的运算中，特征值的乘积也是一个非常重要的概念，本文将对矩阵特征值的乘积进行详细的介绍。
首先，我们来了解一下矩阵的特征值。
矩阵的特征值是指矩阵在某个方向上的伸缩比例，也就是说，矩阵的特征值是一个标量，它与矩阵的行列式和特征向量有关。
特征向量是指在矩阵变换下不变的向量，也就是说，矩阵变换后，特征向量的方向不变，只是长度发生了变化。
接下来，我们来看一下矩阵特征值的乘积。
矩阵特征值的乘积是指矩阵的所有特征值相乘的结果。
这个乘积在矩阵理论中有着非常重要的应用，它可以用来计算矩阵的行列式、矩阵的迹等等。
那么，矩阵特征值的乘积具体有哪些应用呢？首先，我们来看一下矩阵的行列式。
矩阵的行列式是指矩阵的所有元素按照一定的规则排列后所得到的一个标量。
矩阵的行列式可以用来判断矩阵是否可逆，如果矩阵的行列式为0，则矩阵不可逆。
而矩阵的行列式可以通过矩阵特征值的乘积来计算，具体的计算公式为：行列式等于矩阵的特征值相乘。
除了矩阵的行列式之外，矩阵特征值的乘积还可以用来计算矩阵的迹。
矩阵的迹是指矩阵对角线上的元素之和，它也是一个非常重要的概念。
矩阵的迹可以用来计算矩阵的特征值之和，具体的计算公式为：矩阵的迹等于矩阵的特征值之和。
总之，矩阵特征值的乘积在矩阵理论中有着非常重要的应用。
它可以用来计算矩阵的行列式、矩阵的迹等等。
在实际应用中，矩阵特征值的乘积也有着广泛的应用，例如在图像处理、信号处理、机器学习等领域中都有着重要的应用。
因此，对于矩阵特征值的乘积的研究和应用具有非常重要的意义。
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两个Hermitian矩阵的Hadamard乘积的特征值估计杨忠鹏;冯晓霞
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】2001(017)001
【摘要】Schur定理规定了半正定矩阵的Hadamard乘积的所有特征值的整体界限.Eric Iksoon Im在同样的条件下确定了每个特征值的特殊的界限.本文给出了Hermitian矩阵的Hadamard乘积的每个特征值的估计,改进和推广了I.Schur和Eric Iksoon Im的相应结果.
【总页数】4页(P86-89)
【作者】杨忠鹏;冯晓霞
【作者单位】北华大学师范理学院数学系;北华大学师范理学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.矩阵Hadamard乘积的特征值和奇异值估计 [J], 杨兴东;孙诗
2.关于两个M-矩阵Hadamard积的特征值的新估计 [J], 周平
3.矩阵的Hadamard乘积的特征值估计 [J], 朱家骏;屠伯埙
4.关于正定Hermitian矩阵乘积的特征值估计 [J], 黄欣
5.矩阵Hadamard乘积的特征值和奇异值估计 [J], 杨兴东;孙诗
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