矩形的性质及判定知识点及典型例题
矩形的性质与判定典型例题
矩形的证明题目一．选择题（共5小题）1．（2016春•巴南区校级月考）如图矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成的,其中，第①个矩形的周长为6，第②个矩形的周长为10，第③个矩形的周长为16,…,则第⑧个矩形的周长为（)A．168 B．170 C．178 D．1882．（2016•姜堰区校级模拟）矩形ABCD中，AB=4，BC=8,矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF,则△BDF的面积是( ）A．32 B．16 C．8 D．16+a23．(2016•深圳模拟)如图所示，矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形;②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2015•十堰一模）如图,在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（）A．8B．8 C．4D．65．（2015•天台县模拟)如图，矩形ABCD中，BC=1，连接AC与BD交于点E1，过E1作E1F1⊥BC于F1，连接AF1交BD于E2，过E2作E2F2⊥BC于F2，连接AF2交BD于E3，过E3作E3F3⊥BC于F3，…，以此类推，则BF n （其中n为正整数）的长为( ）A． B． C． D．二．解答题(共25小题)6．（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．(1）求证：AE=DC;（2）已知DC=，求BE的长．7．(2015•玉林)如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长;（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．8．（2015•石家庄二模）已知：如图所示,四边形ABCD是矩形，分别以BC、CD为一边作等边△EBC和等边△FCD,点E在矩形上方,点F在矩形内部，连接AE、EF．（1）求∠ECF的度数;（2)求证:AE=FE．9．（2015春•巴南区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；(2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．10．（2015秋•开江县期末）已知，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点,CF交AB于点E，G是CF 上一点，且AG=AC，∠ACG=2∠GAF．（1）若∠ACB=60°，求∠ECB的度数．（2）若AF=12cm，AG=6。
八年级第3讲：矩形的性质与判定方法
初二寒假讲义3 矩形的性质与判定 2019.1.26【知识点梳理】1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2 . 矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.（2）矩形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心；矩形也是轴对称图形，矩形有 条对称轴，是经过对边中点的直线.（3）矩形的四个角都是 ，矩形的对角线 . 3. 矩形的面积：矩形的面积等于的 乘积.4. 矩形与三角形的关系：矩形被它的一条对角线分成一对全等的 三角形， 矩形被它的两条对角线分成两对全等的 三角形，这四个三角形面积相等. 5、矩形的判定方法：(1).有一个角是 的平行四边形叫做矩形，矩形通常也叫长方形； （2）四个角都是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形；6．直角三角形斜边中线定理：【问题探究】知识点1. 矩形性质的应用：例1：如图、ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5，在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△MNK. （1）若∠1=70°，求∠MKN 的度数；（2）△MNK 的面积能否小于1/2，若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由； （3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你探究可能出现的情况，求最大值。
BA DB A知识点2.矩形的面积：例题2：如图 ，矩形ABCD 中，AB ＝8㎝，CB ＝4㎝， E 是DC 的中点，BF ＝41BC ，则四边形DBFE 的面积 为 2cm ．知识点3..矩形折叠问题例题3：把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ， BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．知识点4：矩形的判定方法：例题4：如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠ACB 的角平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F 。
初二矩形性质及判定练习题
初二矩形性质及判定练习题
1. 矩形的定义
矩形是一个拥有四个直角的四边形。
它的特点是相邻的边相互垂直，所有的内角都是直角。
2. 矩形的性质
- 对角线相等：矩形的两条对角线相等，即AC = BD。
- 边相等：矩形的相对边相等，即AB = CD，BC = AD。
- 对角线互相平分：矩形的两条对角线都是互相平分对方的。
换句话说，AC平分BD，BD平分AC。
- 对角线垂直：矩形的两条对角线互相垂直，即∠ACD =
∠BAC = 90°，∠BCD = ∠ABD = 90°。
3. 判定矩形的条件
要判定一个四边形是否是矩形，需要满足以下条件之一：
- 四个内角都是直角。
- 对角线相等且互相平分对方。
- 两对相对边相等且平行。
4. 练题
1. 判断下列四边形是否是矩形：
- 一个有两对相对边分别相等且平行的四边形。
对角线不相等。
- 一个拥有四个直角的四边形。
对角线相等。
- 一个有两个内角不是直角的四边形。
对角线垂直且互相平分。
答案：
- 不是矩形。
- 是矩形。
- 不是矩形。
2. 画出一个矩形，标出其对角线和内角。
答案：
请自行练画图，标出对角线（AC和BD）和内角（如∠BAC
和∠BCD等）。
5. 总结
矩形是一个拥有四个直角的四边形，具有对角线相等且互相平
分对方、边相等和对角线垂直等性质。
要判定一个四边形是否是矩
形，可以根据四个内角是否都是直角、对角线的情况以及边的情况进行判断。
(完整版)22.3矩形的性质常考题(含详细的答案解析)
22.3矩形的性质常考题一、选择题（共28小题）1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（- 1，-1） , （- 1, 2）, （3, - 1）,则第四个顶点的坐标为 （ ）A 、（2, 2）B 、（3, 2）C （3, 3）D 、（2, 3）2、（ 2007?临沂）如图，矩形ABCD 中，AB=1, AD=2, M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿 A?B?C?M 运动，则厶APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）A 、1.6B 2.5C 3D 、3.44、 一次数学课上，老师请同学们在一张长为 18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（）A 、50B 50 或 40C 50 或 40 或 30D 、50 或 30 或 20 5、 菱形具有而矩形不具有性质是（）A 、对角线相等B 、对角线互相平分C 对角线互相垂直D 、对角线平分且相等6、 （2009?绥化）在矩形 ABCD 中，AB=1, AD= 一 _;, AF 平分/ DAB ,过C 点作CE! BD 于E ,延长 AF 、EC 交于点H,3、（2009?济南）如图，矩形 ABCD 中，AB=3, BC=5.过对角线交点 O 作OE 丄AC 交AD 于E ,贝U AE 的长是（下列结论中：①AF=FH ;②BO=BF ;③CA=CH ;④BE=3ED .正确的是（）9、（2007?潍坊）如图，矩形 ABCD 的周长为20cm ,两条对角线相交于 O 点，过点O 作AC 的垂线EF,分别交AD , BC 于E ，F 点，连接CE 则厶CDE 的周长为（）B 8cm D 、10cm如图，在矩形 ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ,则图中全等的直A 、6对B 5对C 4对D 、3对11、（2006?宿迁）如图，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，若/ BAD' =30 °则/ AED'等于（）C ①②④ 7、（2009?长如图, D 、②③④矩形ABCD 的两条对角线相交于点 O , / AOB=60°, AB=2,则矩形的对角线 AC 的长是（ ）C 2:，定不相等的是（A 、5cm C 、9cm 10、（2007?陕西）13、 （2006?大兴安岭）如图，在矩形 ABCD 中，EF// AB , GH// BC, EF 、GH 的交点P 在BD 上，图中面积相等的四边D 、55 °如图，在宽为 20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地•根据 ）C 60 ° 12、 （2006?恩施州） 的坐标分别是（2,A 、 （1, 1）C （1,- 2） B 45 °D 、75 °矩形ABCD 中的顶点A 、B 、C D 按顺时针方向排列，若在平面直角坐标系内, 0 ）、（0, 0）,且A 、C 两点关于x 轴对称，则C 点对应的坐标是（）B 、（1 , - 1）-.:'：）B 、D 两点对应D 、C 75 ° 15、（2005?泸州）图中数据，计算耕地的面积为（A 、600m 2 C 550m 2 16、（2005?福州） ABCD 的面积的（B 、551m 2 D 、500m 2如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点 O ,且分别交AB CD 于E 、F ,那么阴影部分的面积是矩形 ）143|17、（ 2004?绍兴）如图，一张矩形纸片沿 AB 对折，以AB 中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠, 再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则/ OCD 等于（）/ CED =60。
矩形的判定和性质
矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。
矩形的性质和判定同步练习及答案
矩形的性质和判定一．填空题1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为．题1 题3 题42．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= ．题5 题6 题76．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．题8 题11 题129．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填“合格”或“不合格”）11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是．12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．二．解答题13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．矩形的性质和判定解析一．填空题（共12小题）1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为12 ．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AEB=∠EBC，再求出∠ABE=∠EBC，根据等角对等边可得AE=AB，然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解．【解答】解：∵矩形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABC的平分线交AD边于点E，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=8，同理得出ED=DF=DC=4，∴AD=AE+ED=8+4=12，故答案为：12．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是80°．【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40°，两条对角线相交所成的钝角为：180°﹣40°×2=100°故它们所成锐角为：180°﹣100°=80°．故答案为80．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△ADB，∴，∵E是BC的中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE==，BD==，∴BF==，过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴==，∴FG=，BG=，∴CG=，∴CF==．故答案为：．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt △DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM=AD，∵AE=2EM，∴BC=AD=3EM，连接DM，如图所示：在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM=CM，∴BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，解得：x=，∴BM=；故答案为：．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= 5 ．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为56．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，∵AB=6cm，BC=8cm，∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），∴DO=5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF=OD=，故答案为：．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为∠DAB=90°（填一个即可）．【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【解答】解：可以添加条件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠DAB=90°．9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为∠BAD=90°．【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框合格（填“合格”或“不合格”）【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．【解答】解：解：∵802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，∴∠D=90°，同理：∠B=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为合格．11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是∠A=90°．【分析】根据有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可解决问题．【解答】解：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当∠A=90°时，四边形ABCD是平行四边形．故答案为∠A=90°．（填∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°也可以）12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．二．解答题（共6小题）13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角；（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin ∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，BH=AB•sin45°=7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB=．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．∵AB=14，DE=8，∴CE=6．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∴∠DEA=∠DAE=45°．∴AD=DE=8．∴BC=8．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，∠HAB=45°，∴BH=AB•sin45°=7．∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，∴sin∠AEB=．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO=OC，∵OE=OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，由勾股定理得：AD===15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．【分析】（1）由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由∠B=90°可证得结论；（2）利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC，再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD，可证得ED=EC．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，且FC=AB，∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，∵四边形ABCF为矩形，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，∴∠D=∠ECD，∴ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【解答】（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．∴AE===．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．（2）首先证明AD=DF，求出AD即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴DF∥BE，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，∴AD==5，∴矩形的面积为20．18．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD．【分析】（1）先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可．（2）欲证明AF平分∠BAD，只要证明∠DAF=∠BAF即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）由（1）可知AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AD=DF，∴∠DAF=∠AFD，∴∠BAF=∠DAF，即AF平分∠BAD．。
矩形的判定知识点
矩形的判定知识点介绍矩形是一种常见的几何形状，具有四个直角和四条边相等的特点。
在几何学中，判定一个图形是否为矩形是一个重要的问题。
本文将深入探讨矩形的判定知识点，包括矩形的定义、性质、判定方法以及相关例题。
矩形的定义和性质矩形是一种特殊的四边形，具有以下定义和性质：1.定义：矩形是一个有四个直角的四边形。
2.性质：–矩形的对边相等且平行。
–矩形的对角线相等且相交于中点。
–矩形的内角都是直角（90度）。
–矩形的内角和为360度。
–矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽。
–矩形的面积等于长乘以宽。
矩形的判定方法判定一个图形是否为矩形有多种方法，下面介绍几种常见的判定方法：方法一：判定对边是否相等且平行矩形的对边相等且平行是矩形的基本性质之一，因此可以通过判定对边是否相等且平行来判定一个图形是否为矩形。
具体步骤如下：1.测量四条边的长度，如果相邻两边的长度相等，则说明对边相等。
2.使用直线工具或量角器测量相邻两条边的夹角，如果夹角为直角（90度），则说明对边平行。
如果所有的对边都相等且平行，则可以判定该图形为矩形。
方法二：判定对角线是否相等且相交于中点矩形的对角线相等且相交于中点是矩形的另一个重要性质，因此可以通过判定对角线是否相等且相交于中点来判定一个图形是否为矩形。
具体步骤如下：1.测量对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，则说明对角线相等。
2.使用直线工具或量角器测量两条对角线的夹角，如果夹角为直角（90度），则说明对角线相交于中点。
如果对角线相等且相交于中点，则可以判定该图形为矩形。
方法三：判定内角是否为直角（90度）矩形的内角都是直角（90度）是矩形的重要性质之一，因此可以通过判定内角是否为直角来判定一个图形是否为矩形。
具体步骤如下：1.使用直角仪或量角器测量内角的大小，如果内角为直角（90度），则说明内角为直角。
如果所有的内角都为直角，则可以判定该图形为矩形。
矩形的判定例题下面列举几个常见的矩形的判定例题，供读者练习和巩固所学知识：1.判定图形ABCD是否为矩形，已知AB = BC = CD = DA，∠ABC = 90度。
矩形的判定和性质(含解析)
矩形的判定和性质一、选择题1、如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是( )A .B .C .1D .二、填空题2、如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为__________.三、解答题3、如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．4、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E在边AC上，延长BC 至D点，使CE=CD，延长BE交AD于F，过点C作CG∥BF，交AD于点G，在BE上取一点H，使∠HCE=∠DCG．（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：四边形FHCG是正方形；[注：若要用∠1、∠2等，请不要标在此图，要标在答题纸的图形上]．5、如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形。
6、如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．7、张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下题：【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．矩形的判定和性质的答案和解析一、选择题1、答案：D试题分析：过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论.解：过F作FH⊥AE于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∴DE=BF，∴AF=3-DE，∴AE=，∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，∴∠DAE=∠AFH，∴△ADE∽△AFH，∴，∴AE=AF，∴=3-DE，∴DE=，故选：D.二、填空题2、答案：6试题分析：根据折叠的性质求出AF=CF，根据勾股定理得出关于CF的方程，求出CF，求出BF，根据面积公式求出即可。
矩形的性质与判定
矩形的性质与判定矩形作为几何形体中的一种，具有其独特的性质与判定方法。
在本文中，我们将探讨矩形的定义、性质以及如何准确判断一个图形是否为矩形。
一、矩形的定义矩形是一种特殊的四边形，它的四个内角均为直角。
矩形的定义可以简洁地表达为：具有四条边且四个内角均为直角的四边形即为矩形。
二、矩形的性质矩形具有以下性质，对于认识矩形的形态和特点非常重要。
1. 边长性质：矩形的相对边长相等，即相对边对应的长度相等。
2. 对角线性质：矩形的对角线相等，即矩形的两条对角线长度相等。
3. 对称性质：矩形具有对称性，即以矩形的任意一条对角线为对称轴，两侧的部分完全相同。
4. 垂直性质：矩形的边两两相交成直角，即任意两边之间的夹角为90度。
5. 平行性质：矩形的相对边平行，即相对的两条边永远平行。
三、矩形的判定如何准确判断一个图形是否为矩形？下面将介绍两种常见的判定方法。
1. 边长判定法：若一个四边形的四条边两两相等，且任意两相邻边夹角为直角，则该四边形是矩形。
例如，若四边形ABCD的边长满足AB=BC=CD=DA，且∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，那么四边形ABCD就是矩形。
2. 对角线判定法：若一个四边形的对角线互相垂直且长度相等，则该四边形是矩形。
例如，若四边形EFGH的对角线EG和FH互相垂直且长度相等，那么四边形EFGH就是矩形。
四、矩形的应用矩形在现实生活中有着广泛的应用。
以下是矩形应用的几个典型例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，矩形是常见的几何形状之一。
例如，房屋的窗户、门洞等往往是矩形的形状。
2. 电子屏幕：计算机显示屏、电视屏幕等常常采用矩形的形状，这是因为矩形易于制造和布局，并且能够满足人眼对图像的需求。
3. 图像处理：在图像处理领域，矩形是图像的基本元素之一。
很多图像处理算法和技术都是基于矩形的性质和特点进行设计和实现的。
五、总结矩形作为一种特殊的四边形，在几何学中具有重要的地位。
矩形的性质和判定典型例题1
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
矩形的性质和判定典型例题1
变式 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AC=8cm，求矩形BC的长.
解： 在矩形ABCD中，
A
D
∵ ∠AOD=120°
∴ ∠AOB=60°
∵OA=OB
O
∴ △AOB为等边三角形
B
1
C
∴A
F
C
老张讲数学
矩形的性质和判定典型例题1
矩形的性质和判定典型例题1
例题1：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4
㎝
求矩形对角线的长？
解：∵ 四边形ABCD是矩形
A
∴AC与BD相等且互相平分
o
D
∴ OA=OB ∵ ∠AOB=60°
B
C
∴ △AOB是等边三角形 ∴ OA=AB=4(㎝)
2
在Rt△ABC中，
BC=
AC2 - AB2 = 82 - 42 =
48 （cm）
方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形.
矩形的性质和判定典型例题1
练习1：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠BOC=120°,AB=6㎝，(1)求矩形对角线的长？(2)BC的长?
（3）矩形的面积？
A
D
o
B
C
矩形的性质和判定典型例题1
练习2：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠BOC=120°,AB=AO
则∠ABD的度数？
A
D
o
B
C
矩形的性质和判定典型例题1
练习3：如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF,连接 AF,DE相交于点O.求证：（1）△ABF≌ △DCE；（2） △AOD是等 腰三角形
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1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：
① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等． ④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半． 点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．
一、矩形的判定 【例1】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ） A．对角线相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对边相等
【例2】 如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果60BAF， 则DAE
FED
CB
A
矩形的性质 及判定 【例3】 在矩形ABCD中，点H为AD的中点，P为BC上任意一点，PEHC交HC于点E，PFBH
交BH于点F，当ABBC，满足条件 时，四边形PEHF是矩形
【例4】 如图，在四边形ABCD中，90ABCBCD，ACBD，求证：四边形ABCD是矩形．
CDBA
【例5】 如图，已知在四边形ABCD中，ACDB交于O，E、F、G、H分别是四边的中点，求证四边形EFGH是矩形．
HGOFED
CBA
【例6】 如图，在平行四边形ABCD中，M是AD的中点，且MBMC， 求证：四边形ABCD是矩形． MCDBA
【例7】 设凸四边形ABCD的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个 四边形是什么四边形?请证明你的结论。 【例8】 如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形．
NMQP
DCBA
【例9】 如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AFBD，连结BF． ⑴ 求证：BDCD． ⑵ 如果ABAC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
F
EDCB
A
【例10】 如图，在ABC中，点D是AC边上的一个动点，过点D作直线MNBC∥，若MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F （1）求证：DEDF （2）当点D运动到何处时，四边形AECF为矩形？请说明理由！
NMFE
D
CB
A 3
21FE
DCBA
【例11】 已知，如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，AF是BAC的外角平分线，DE∥AB
交AF于E，试说明四边形ADCE是矩形．
【例12】 如图所示，在RtABC中，90ABC，将RtABC绕点C顺时针方向旋转60得到DEC点E
在AC上，再将RtABC沿着AB所在直线翻转180得到ABF连接AD． ⑴ 求证：四边形AFCD是菱形； ⑵ 连接BE并延长交AD于G连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？
ABCDG
EF 【例13】 如图，在ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，AEF的两条高相交于M，20AC，16EF，求AM的长．
MF
E
DC
B
A 【例14】 已知，如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CEAC，F是AE中点．求证：BFDF． A
BC
E
FD
板块二、矩形的性质及应用 【例15】 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AEAD，DFAE，垂足为F.线段DF与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即DF .(写出一条线段即可) EFDCA
B 【例16】 如图，矩形ABCD中，ACBD，相交于点O，AE平分BAD交BC于E，若15CAE，求BOE=
EOD
CB
A
【例17】 如图所示，在长方形ABCD中，点M是边AD的中点，点N是边DC的中点，AN与MC交于点P．若33MCBNBC，求MPA的度数．
MPNDC
BA 【例18】 如图，把矩形ABCD的对角线AC分成四段，以每一段为对角线作矩形，对应边与原矩形的边平行，设这四个小矩形的周长和为P，矩形ABCD的周长为L，则P与L的关系式
D
CBA
【例19】 如图，在矩形ABCD中，,EF分别是,BCAD上的点，且BEDF. 求证：ABE≌CDF. D
EF
CAB 【例20】 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，60AOB，2AB，则矩形的对角线AC的长是（ ）
A．2 B．4 C．23 D．43
OD
CB
A 【例21】 矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，如果ABC的周长比AOB的周长大10cm，则边AD的长是 ．
【例22】 如图，在矩形ABCD中，点EF，分别在边ABCD，上，BFDE∥，若12cm7cmADAB，，且:5:2AEEB，则阴影部分EBPD的面积为
FE
A
BCD
【例23】 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AEBD于E，31DAEBAE∶∶，则EAC_______．
EOD
CBA
【例24】 如图，在矩形ABCD中，EFABGHBCEFGH∥，∥，，的交点在BD上，图中面积相等的四边形有（ ）
HGO
F
ED
CB
A
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【例25】 如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为 D
CBA
【例26】 如图，有一矩形纸片ABCD，106ABAD，，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，在将AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CEF的面积为
EDCBAABCDFEDC
BA 【例27】 如图，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示，则该主板的周长为 4mm16mm24mm
【例28】 如图在矩形ABCD中，已知12AD，5AB，P是AD边上任意一点，PEBDPFAC，，E、F分别是垂足，求PEPF的值．
OPABCD
EF
【例29】 如图，在矩形ABCD中，2BC，AEBD于E，若30BAE，则ECDAS ． ED
CB
A
【例30】 如图，ABCD，四边形ABDE和CBFG都是矩形，70BAC，则DBF等于 GFD
ECBA
【例31】 某台球桌为如图所示长方形ABCD，小球从A沿45角出击，恰好经过5次碰撞到B处，则:ABBC= DCB
AD
CBA
【例32】 已知，矩形ABCD和点P，当点P如图位置时，求证：PBCPACPCDSSS△△△ P
A
BCD
【例33】 矩形ABCD中，34ABAD，，将矩形沿EF对折，使点C与A重合，如图，求折痕EF的长 GF
ED
CB
A
【例34】 如图，矩形ABCD中，对角线ACBD，相交于点O，AEBO于E，OFAD于F，已知 3cmOF，且:1:3BEED，求BD的长
OF
EDCBA
【例35】 已知矩形ABCD和点P，当点P在矩形ABCD内时，试求证：PBCPACPCDSSS△△△ PABCD
【例36】 如图所示，矩形ABCD内一点P到A、B、C的长分别是3、4、5，求PD的长． PDCBA
【例37】 如图，O是矩形ABCD的对角线交点，过点O作EFAC分别交AD、BC于F、E，若2cmAB，4cmBC，求四边形AECF的面积．
OF
ED
CBA
【例38】 （西城区抽样测试）如图，将矩形ABCD沿AC翻折，使点B落在点E处，连接DE、CE，过点E作EHAC，垂足为H． ⑴判断ACED是什么图形,并加以证明； ⑵若8AB，6AD．求DE的长； ⑶四边形ACED中，比较AEEC与ACEH的大小．
DC
BA
E
H