矩形的定义和性质
矩形定义的概念
矩形定义的概念矩形是一个平面图形，由四条边组成，其特点是相对边对称、两组对边相互平行。
矩形是平行四边形的特例，也是最常见的四边形之一。
下面将详细介绍矩形的定义及其性质。
首先，根据矩形的定义，其四边是直线段，且四个内角都是直角。
这意味着矩形的对角线相等且相互平分，因此可以用对角线的长度来计算矩形的面积和周长。
矩形的定义还包括两组对边相互平行。
这意味着矩形的两条对边长度相等且平行，两条相邻边也分别相等。
因此，矩形的任意一条边可以作为宽度，另一条边作为长度。
矩形的面积可以通过宽度乘以长度来计算，公式为：面积= 宽度×长度。
由于矩形的两条对边相等，所以宽度和长度可以互换位置得到相同的面积。
例如，一个矩形的宽度为3个单位，长度为5个单位，那么它的面积就是3 ×5 = 15个单位的平方。
矩形的周长可以通过将宽度和长度相加乘以2来计算，公式为：周长= 2 ×(宽度+ 长度)。
由于矩形的两条对边相等，所以宽度和长度可以互换位置得到相同的周长。
例如，一个矩形的宽度为3个单位，长度为5个单位，那么它的周长就是2 ×(3 + 5) = 16个单位。
除了面积和周长，矩形还有其他一些重要的性质。
首先，四个内角都是直角，即为90度。
这个特点使得矩形在建筑设计中广泛应用，因为直角可以使得建筑物更加稳定和结实。
其次，矩形的两条对边相等且平行。
这意味着矩形在对称性方面具有特殊性质。
对任意一条边进行平移、旋转或反射操作，都可以得到一个完全相同的矩形。
这个性质在几何学的证明和构造中经常使用。
此外，矩形还有一些与对角线相关的性质。
矩形的对角线相等且相互平分，意味着对角线的交点是矩形的中心。
同时，通过连接矩形的对角线，可以得到一个长方形。
长方形是特殊的矩形，其对角线相等且相互平分，但它的相邻边可以不相等。
矩形还有一些特殊情况，比如正方形。
正方形是一种具有特殊性质的矩形，它的四条边长度相等、四个内角都是直角。
《矩形的性质》课件
矩形的周长和面积计算
周长公式
矩形的周长是两倍长和两倍宽 的和。
面积公式
矩形的面积是长乘以宽。
实例演示
通过几个例子演示如何计算矩 形的周长和面积。
矩形的性质和推导
同位角和内角和
矩形中同位角互相相等，内角和为360度。
对角线关系
矩形的对角线相互垂直。中点连线长为矩形面积开根号两次。
《矩形的性质》PPT课件
欢迎来到《矩形的性质》课件！在这个课程中，我们将深入探讨矩形的定义、 特征、周长和面积计算、性质和推导、应用和联系。让我们一起开始吧！
矩形的定义和特征
1 矩形的定义
矩形是一种四边形，有四个内角为直角，且对边相等。
2 边长关系
矩形的相邻两边长度相等，对边长度也相等。
3 对角线性质
矩形与其他几何图形的联系
正方形和长方形
正方形是一种特殊的矩形，长方形是一种分类 的矩形。
平行四边形和菱形
平行四边形有一组对边平行，菱形在矩形的基 础上增加了对边相等的特性。
总结
1 矩形是一种特殊的四边形
它有许多有趣的性质和应用。
2 学习矩形有助于理解几何图形
并对工程、建筑和计算机图形学有所帮助。
矩形的面积性质
在周长一定的情况下，矩形的面积最大。
矩形的应用和实例
1
建筑设计中的矩形
许多建筑设计基于矩形的特点：平整、稳定、便于构造。
2
计算机图形学中的矩形
由于矩形方便处理，许多2D和3D计算机图形学软件使用矩形来表示图形。
3
矩形与数学方程的关系
许多数学方程中包含矩形，如直角坐标系和平面直角坐标系。
初中数学矩形的性质及其判定
矩形中考要求知识点睛矩形的性质及判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．例题精讲模块一矩形的概念【例1】矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．【答案】有一个角是直角；【例2】矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【答案】都是直角，相等，经过对边中点的直线；【例3】矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．【答案】平行四边形；对角线相等；三个角【例4】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【解析】省略 【答案】A【巩固】矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形 【解析】省略 【答案】2BC AB =模块二 矩形的性质【例5】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA【解析】省略 【答案】15︒【例6】矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则BC ＝______cm ，周长为 ．【答案】，【例7】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =. 求证：ABE ∆≌CDF ∆.D EFCAB【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是矩形∴90AB AD B D =∠=∠=，. 在ABE ∆和CDF ∆中， 又∵BE DF =， ∴ABE ∆≌CDF ∆.【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
矩形的性质的运用
相似性质
在矩形中，如果两个三角形具有相同 的角，则它们是相似的。利用相似性 质，可以比较两个三角形的边长比例， 从而得出它们的大小关系。
边长比例
在矩形中，如果两个三角形相似，它 们的边长比例是相等的。因此，可以 通过比较两个相似三角形的边长比例 来得出它们的大小关系。
矩形与圆的性质关系
圆心角
在矩形中，如果一个圆与矩形的两条边相切，那么这个圆的圆心角等于矩形的夹角。利用这个性质，可以计算出 圆的圆心角大小。
切线性质
在矩形中，如果一个圆与矩形的两条边相切，那么这个圆的切线与矩形的两条边平行。利用这个性质，可以得出 圆的切线性质。
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矩形在解决实际问题中的应用
03
矩形的性质使得它在解决实际问题中具有广泛的应用，如建筑
设计、土地测量等。
矩形在立体几何中的应用
矩形在三维空间中的扩展
将矩形的各边在垂直方向上等比例延长，可以得到一个长方体，这是矩形在立体 几何中的基本应用。
矩形在解决实际问题中的应用
矩形的性质使得它在解决实际问题中具有广泛的应用，如建筑设计、机械制造等 。
矩形的尺寸精度高，易于加工和测量， 因此在各种机械零件中广泛应用。
矩形在电子设计中的应用
01
在电子设计中，矩形主要应用于电路板和集成电路的布局与设 计。
02
电路板上的元件和走线通常采用矩形形状，以充分利用空间并
保持设计的整洁和规整。
在集成电路设计中，矩形用于表示晶体管、电阻、电容等电子
03
元件的封装形式，以确保它们能够正确地连接和装配。
建筑物的门窗、墙壁、地面和天花板等常常采用矩形形状，因为它们能够提供稳定 和安全的结构。
矩形也是建筑设计中常用的构图元素，通过不同大小和位置的矩形组合，可以创造 出丰富的视觉效果和空间感。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。
二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。
求证：ABE ∆≌CDF ∆。
【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。
【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。
FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形。
【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
矩形—矩形的定义和性质 课件 2022—2023学年人教版数学八年级下册
A D
B
C
课堂练习
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( A ) A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 （ C ）
问： 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考. 矩形是不是轴 对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
矩形的性质：
对称性： 轴对称图形 .
对称轴： 2条
.
矩形的性质（除了平行四边形性质）：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
结
矩形是轴对称图形，有2条对称轴
论 格式：
二
∵四边形ABCD是矩形
矩形的性质
学习 目标
01
理解矩形 的定义和 与平行四 边形的区 别（重点）
02
掌握矩形 的性质并 会利用它 解决应用 题（难点）
03
掌握直角三 角形中线的 性质并会利 用它解决应 用题（难点）
导入
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
知识点1:矩形的定义
问：观察下面平行四边形内角的变化，你能从中得出矩形的概念吗？
6.如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点． (1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长； (2)求证：EF垂直平分AD
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝ 1 AB＝ 1 ×10＝5，
2
2
DF＝AF＝ 1 AC＝ 1 ×8＝4，
∴四边形AED2F的周长2 ＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 .
矩形的定义和性质
矩形的定义和性质
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
也就是长方形。
矩形的性质：
由于矩形是特殊的平行四边形，故包含平行四边形的性质；矩形的性质大致总结如下：
1、矩形具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分、矩形的四个角都是直角。
2、矩形的对角线相等、具有不稳定性（易变形）。
矩形的常见判定方法：
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形。
2、有三个角是直角的四边形是矩形、经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形、对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
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对角线
平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的判定定理
两组对边分别平行的四边形；
边
平行四
边形的 判定
两组对边分别相等的四边形； 一组对边平行且相等的四边形；
角
两组对角分别相等的四边形；
对角线 对角线互相平分的四边形；
1.什么叫平行四边形？
两组对边分别平 行的四边形叫做 平行四边形 .
A
2.平行四边形有哪些性质？ D边：①平行四边形的对边平行且相等. 角：②平行四边形的对角相等，邻角互补. 对角线：③平行四边形的对角线互相平分.
1 ∴ BO= AC 2
几何语言:
4.已知Rt△ ABC中，∠ABC=900， BD是斜边AC上的中线
(1)若BD=3㎝ 则AC＝ 6 ㎝
B A D
┓
C
(2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ 10 BD＝ 5 ㎝.
㎝，
例1 已知：矩形ABCD的两条对角线相交 与O，∠AOD=120°，AB = 4cm. 求矩形对角线的长 A
C
猜想1：矩形的四个角都是直角．
当平行四边形ABCD的一个∠ABC为直角时,观察 其对角线AC、BD的长度有何变化？
猜想2：矩形的对角线相等．
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明： ∵矩形ABCD ∴ ∠A=90° 又 ∵平行四边形ABCD ∴ ∠A=∠C
1
D
O
解：∵矩形ABCD
∴OA = OD（矩形的对角线相等且平分）
∵ ∠AOD=120° ∴ ∠1=30°
B
C
又∵ ∠ABC=90°（ 矩形的每个内角都是直角 ）
∴BD = 2AB=2×4=8cm
例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个 小三角形，如果四个小三角形的周长的和是 86cm，对角线的长是13cm，那么矩形的周长是 多少？
D
C
解：∵矩形ABCD ∴∠ABC=90 ° 在Rt△ABC中，由勾股定理得： AB² +BC² =AC ² 解得：AC=10 又∵矩形ABCD ∴ BD=AC=10
∴OC=
1 2
AC = 5
矩形的对称性：
中心对称图形
O
轴பைடு நூலகம்称图形
已知：在△ABC中∠ACB=90°，AD = BD
1 求证：CD = 2
6. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB， 则∠BAE等于 A．30° B．45° C．60°
[ A ]
D．120°
如图，在矩形ABCD中，对角线 AC、BD相交于O，DE⊥AC于E， EC：AE=1：3，CD=5cm，求 AC的长度。 A D
O B
E
C
B
C
生活中的矩形
窗框
书桌面
课本封面
地砖
五星红旗
电视机面
香港区旗
手表
探究矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角
是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
请用所学的知识诊断下面的语句,若正确请在括号里打“√” 若“有病”请开 药方： √ 1.矩形是特殊的平行四边形,特殊之处就是有一个角是直角.( ) 2.平行四边形是矩形. ( 有一个角是直角的平行四边形是直角 )
AB 证明：延长CD到E使DE=CD，连 结AE、BE. ∵AD = BD ，CD = ED ∴平行四边形ACBE A 又∵∠ACB = 90
D
E
∴矩形ABCD ∴CE = AB
由于CD=
∴
CD =
1 2 1 2
C
B
CE
AB
A
推论：
O
直角三角形斜边上的
C
B
中线等于斜边的一半.
∵Rt△ABC, OA=OC
A
O
D
B
C
（1）矩形具有而平行四边形不具有的性质（ D ） （A）内角和是360度（B）对角相等（C）对边平行且相 等（D）对角线相等 （2）下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ） （A）对角线相等（B）四个角相等（C）是轴对称图形 （D）对角线垂直 （3）由已知矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线， 该垂线分直角为3：1两部分，则垂线与另一条对角线的 B 夹角是（ ） （A）50度（B）45度（C）30度（D）22.5度
4. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四 条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是 [ D ]
A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形 C．对角线互垂直平分的四边形 D．对角线垂直的四边形
5. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两 条对角线所夹锐角的度数为 [ D ] A．50° B．60° C．70° D．80°
B C A D
∴AC = BD
即矩形的对角线相等
矩形的特殊性质
矩形的对角线相等
A D
几何语言
∵矩形ABCD ∴AC = BD
B
C
从角上看：
矩形的四个角都是直角． 从对角线上看： 矩形的两条对角线相等， 且互相平分。
如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6， BC=8， 求AC、BD、OC的长
A O B
19.2 特殊的平行四边形
新思路教育 刘邦明
一、复习回顾
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A D C 四边形ABCD AB∥CD A B
□ ABCD
如果
D C
B
AD∥BC
边 平行四
平行四边形的两组对边分别平行； 平行四边形的两组对边分别相等；
边形的
性质：
角
平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补；
B
A
D
∠B = ∠D
C
∠A +∠B =180° ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 即矩形的四个角都是直角
矩形的特殊性质
矩形的四个角都是直角
A D
几何语言
∵矩形ABCD
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900
B
C
求证:矩形的对角线相等
已知：如图,四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD 证明：在矩形ABCD中 ∵∠ABC = ∠DCB = 90° 又∵AB = DC ， BC = CB ∴△ABC≌△DCB
3.平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等 ;平行四边形的对角相等; √ 平行四边形的对角线互相平分.) 矩形也具有. ( )
具备平行四边形所有的性质
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边 形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
A D
B 当平行四边形ABCD的一个∠ABC为直角时,观察其它角