证明圆的切线的方法
证明圆的切线方法
证明圆的切线方法(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900. DC即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.D∴OB=BC.∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP，OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1，∴△OCP ∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD ⊥AB ，∴∠OCP=900.∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F. 求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △∵O 是FG 的中点，∴O 是Rt △CFG 的外心.∵OC=OG ，∴∠3=∠G ，∵AD ∥BC ，∴∠G=∠4.∵AD=CD ，DE=DE ，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC ，BD=CD ，∴∠1=∠2.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF.∴F 在⊙D 上. ∴AC 与⊙D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900.求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足.∵AC ，BD 与⊙O 相切，∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB. ∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO.∴OD OC OB AC =.∵OA=OB ， ∴ODOC OA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900，O∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD,∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO ⊥BD.∵BD 与⊙O 相切于B ，∴AO 的延长线必经过点B.∴AB 是⊙O 的直径.∵AC ∥BD ，OA=OB ，CF=DF ，∴OF ∥AC ，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ，∴CF CD OF ==21.∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.。
专题复习与圆的切线有关的证明
是圆的切线
5、常用的添加辅助线的方法
（1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的 半径，再证半径垂直于该直线。 有切点，连半径，证垂直 （2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线 的垂线段，再证明这条垂线段为圆的半径 无切点，作垂直，证半径
切线的性质
如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点， 若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， 为半径作圆。
求证：AC 是⊙ O 的切线。
E
数学解答题P7 数学解答题P9
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
作业：《数学解答题》 P7-10第一问
专题复习 与圆的切线有关的证明
1、圆的切线性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径．
2、辅助线： 连接圆心与切点
连半径，得垂直
半径与切线垂直
3、切线判定
定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。
如何证明圆的切线
圆的切线证明专题
知识梳理：
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；
切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；
切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法：
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．
【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证：DC 是⊙O 的切线．
【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．
二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径． 图1
图2
例3.如图，已知两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD是小圆的切线。
例4.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F 分别是AC、BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。
三、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线
【例5】如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？。
圆的切线性质与判定
例2：如图，已知：AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC、AB交于D、E两点，过D点作DF⊥AC于F， （1）求证：DF是⊙O的切线；
证明：连结OD， ∵OB=OD，∴∠ODB=∠B 又∵AB=AC，∴∠C=∠B ∴∠ODB=∠C ∴OD∥AC 又∵DF⊥AC ∴∠DFC=90° ∴∠ODF=∠DFC=90° ∴DF⊥OD ∴DF为⊙O的切线
注意：确定唯一公共点，可证明直线和圆相切
例1：直线l和⊙O的公共点的个数为m，且m满足方程 m2+2m- 3=0, 试判断直线l和⊙ O的位置关系，并 说明理由.
例3．如图，直线y=－ x+4与y轴交于点A，与x轴交于 点B，以点C（ ，0）为圆心，OC的长为半径作⊙C， 证明：AB是⊙C的切线。 M 分析：由于不知AB和⊙C是否有公共点，故考虑过C作CM⊥AB于M，再证CM为⊙C的半径即可
小结一
确定唯一公共点，证切线
无交点，作垂直，证半径
有交点，连半径，证垂直
证明切线的一般方法简单表述为：
小试牛刀
例3：如图，已知：AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC、AB交于D、E两点，过D点作DF⊥AC于F，
（2）连结OP ∵AC与⊙O相切于点P，∴OP⊥AC 由（1）可知OD∥AC，且DF⊥AC， 故四边形ODFP为正方形 ∴PF=OD=OB=3 设AC=x，则在Rt△APO中有 AP2+OP2=OA2 即(x－4)2+32=(x－3)2 解得x=8 ∴AC=8
是圆的切线
是圆的切线
是圆的切线
3、圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。
圆的切线证明
圆的切线证明
一、连半径，证垂直
要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这
一点的半径，证明直线垂直于半径．
1、如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆
上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．
2、如图，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上
的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是
⊙O的切线．
3、已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交
⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。
二、作垂直；证半径
如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这
条直线的距离等于半径．
1、如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切
于点D。
求证：AC与⊙O相切。
2、已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.
求证：CD是⊙O的切线.
圆的切线长定理及其推论
圆的切线长定理及其推论一、引言圆是数学中重要的几何概念之一，它具有许多独特的性质和定理。
本文将重点介绍圆的切线长定理及其推论，通过详细的阐述和推导，帮助读者更好地理解和应用这一定理。
二、圆的切线长定理圆的切线长定理是指：若直线与圆相切，则切线的长度等于切点到圆心的距离的平方根乘以2。
证明：设圆的方程为x²+y²=r²，其中r为圆的半径，切点为P(x₀, y₀)。
设直线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
由于直线与圆相切，所以切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有：kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到：x²+(kx+b)²=r²化简得：(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线与圆相切，所以直线只有一个交点，即判别式等于0，即有：Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得：(k²+1)r²=b²解得：b=r√(k²+1)由直线方程y=kx+b，可得直线长度为：l=√(1+k²)由此可得切线的长度为：2l=2√(1+k²)即圆的切线长定理成立。
三、圆的切线长定理的推论根据圆的切线长定理，我们可以得出以下推论：推论1：若直线过圆的直径中点，则直线与圆相切。
证明：设直线方程为y=kx+b，过圆的直径中点，则直线过圆心，即切点的坐标满足直线方程和圆的方程，即有：kx₀+b=y₀x₀²+y₀²=r²将直线方程中的y用x和b表示，代入圆的方程，得到：x²+(kx+b)²=r²化简得：(1+k²)x²+2kbx+b²-r²=0由于直线过圆的直径中点，所以切点的坐标满足圆的方程，即有：x₀²+y₀²=r²将x₀²+y₀²=r²代入直线方程，得到：(1+k²)x₀²+2kbx₀+b²-r²=0由于直线方程与圆的方程有唯一交点，所以判别式等于0，即有：Δ=4k²b²-4(1+k²)(b²-r²)=0化简得：(k²+1)r²=b²由于直线方程过圆心，即切线的长度为0，所以有：b=0解得：k=0即斜率为0，即直线垂直于x轴，即直线过圆的直径中点。
圆的切线的证明
圆的切线的两种证明方法
方法归纳：连半径，证垂直或作垂直证半径
类型1：有切点，连半径，证垂直
A.利用角度转换证垂直
1.如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与⊙O相切.
2.如图，点C在⊙O上AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C 在⊙O上，∠CAB=30°求证：DC是⊙O的切线.
3.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切.
4.如图,三角形ABC内接于圆O,角B=60度,CD是圆O的直线,点P是圆O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.求证：PA是圆O的切线
B.利用全等证垂直
5.如图，已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC,过A作AD∥OC交⊙O 于点D，连接CD．求证：CD是⊙O的切线
6. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为
切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.
C.利用勾股定理逆定理证垂直
7.如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC=8，PB=4，AB=12，求证：PC是⊙O的切线．
D.利用垂径定理的推论证垂直
类型2：无切点，作垂直,证半径
9.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切。
10.如图,四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AD+BC=AB，AB为⊙O的直径，求证：⊙O与CD相切．
11.如图，△ABC中AB=AC，D是BC边的中点，以点D为圆心的圆与AB相切于点E．求证：AC与⊙D相切．。
初中考数学专题总复习《圆》切线判定的常见方法
第1题解图
2. 如图，已知AB是O的直径，C是O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝ ∠BAC. 求证：CD是O的切线．
证明：如解图，连接OC，
∵AB是O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＋∠ABC＝90°，
第2题图
∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠BCD＝∠BAC， ∴∠BCD＋∠OCB＝∠BAC＋∠ABC＝90°， ∴OC⊥CD. ∵OC是O的半径， ∴CD是O的切线．
第4题解图
∴△BOE ≌△BOC(AAS)． ∴EO＝CO， ∵CO是O的半径， ∴EO是O的半径． ∴AB为O的切线．
第4题解图
切线判定的常见方法
微专题 切线判定的常见方法
方法1 连半径，证垂直
方法解读 当直线与圆的公共点已知时，常连接圆心与直线和圆的公共点，证所连半径与直 线垂直，简记：“连半径，证垂直”； (1)图中没有90°角需构造 构造一：若图中已知直径，则利用直径所对的圆周角是90°，构造直角． 构造二：若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角． (2)图中有90°角：①利用等角代换证得垂直；②利用平行线性质证得垂直；③利 用三角形全等证得垂直．
方法应用
1. (2020云南省卷节选)如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD⊥CE，垂足为D， AC平分∠DAB. 求证： CE是O的切线．
证明：如解图，连接OC.
∵AD⊥CE， ∴∠ADC＝90°.
第1题图
∵OA＝OC，AC平分∠DAB， ∴∠CAO＝∠ACO，∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴OC∥AD， ∴∠OCE＝∠ADC＝90°. 又∵OC是O的半径， ∴CE是O的切线．
第2题解图
方法2 作垂直，证半径
中考复习专题——圆切线证明
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：一、假设直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直〞，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、假设直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径〞例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 ：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，假设∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB是⊙O的弦〔非直径〕，C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．，BF和AD交于E，例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF求证：AE=BE．例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．〔1〕求证：AD=DC．〔2〕求证：DE是⊙O1的切线．AB CDEF G O例6如图，直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．〔1〕求∠ACM 的度数．〔2〕在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． 〔1〕假设圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ 〔2〕假设点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19.如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；〔3〕假设3(22)OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积。
中考复习专题——圆切线证明
中考复习专题——圆切线证明中考复习专题--------圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC 于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例 5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC ∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.[习题练习]例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD 与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF，BF和AD交于E，求证：AE=BE．例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．AB CDE F G O例6如图，已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．（1）求∠ACM 的度数．（2）在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3．（1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？（2）若点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19.如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；（3）若3(2OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积。
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证明圆的切线的方法
首先，我们可以利用圆的性质得出结论：以圆心和切点为端点的线段与切线垂直。
证明方法如下：
设圆的圆心为O，切点为P，切线为l。
首先，连接OP。
由于切线与半径垂直，所以OP与l垂直。
即∠OPB = 90。
又因为OP是圆的半径，所以OP与圆切线BP相等。
即OP = PB。
综上所述，得出OPB是一个等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的性质，∠OBP = 45。
又因为切线与BP相交，所以切线与OP也相交。
设切线与OP的交点为Q。
则∠POQ = 45。
由于OP与l垂直，所以∠POQ = 90。
综上所述，得出切线l与切点P的连线OP垂直于切线l。
因此，我们证明了以圆心和切点为端点的线段与切线垂直，即切线和圆的切点相切。