伪随机序列主要性质的研究

伪随机序列的主要性质研究

王磊

学号：

摘要：伪随机序列在保密通信、航空航天、测距、密码学、自动控制等领域具有重要作用。扩频通信系统的频谱扩展是借助扩频函数而实现的。典型的扩频函数就是伪随机序列，实用的伪随机序列必须是具有随机性，有尖锐的自相关特性，有较小的互相关值，有较多的序列数；同时还要求序列平衡，易于实现等特点。本文介绍了应用比较广泛的m序列、gold序列和M序列,研究了伪随机序列的共有性质及其各自序列的特性。

关键词：伪随机序列，m序列，M序列，Gold序列

Studies of the major properties of Pseudo-random sequence

Wang Lei

Abstract: Pseudo—Random Sequences play an important role in many fields such as secret communication, aviation, auto-control and cryptography. The spread spectrum of communication system is achieved through spread spectrum functions. A typical spread spectrum function is pseudo-random sequence, useful pseudo-random sequence must be random, with sharp autocorrelation, cross-correlation values are smaller, have more serial numbers; also called sequence of balance, easy-to- and implement. This article describes m sequence, gold series and M series, which are broader applied and studies the nature of pseudo-random sequences and their respective sequences shared characteristics.

Keywords: Pseudo-random sequence, m sequence, gold series, M series.

1 伪随机序列的概念

在现代科学中，白噪声由于其瞬时值服从正态分布、功率谱在很宽频带内都是均匀的等特性而被很多系统所青睐。根据香农的理论，在高斯白噪声干扰情况下，在平均功率受限的信道上，实现有效和可靠通信的最佳信号是具有白噪声统计特性的信号。这是因为白噪声信号的自相关函数具有冲击函数的特点，即具有尖锐的自相关特性。

白噪声是一种服从正态分布，功率谱均匀的随机过程。其随机性意味着：无周期，无法复制与预测。无周期则无法存储，不可重复则无法验证，不可预测使得其在实际工程应用中无法被利用。为了能达到工作的要求，需要引入具有逼近白噪声统计特性的人工信号序列，这就是伪随机序列产生的根源。

因此在工程实践中，只能用类似带限白噪声统计特性的伪随机码信号来逼近。伪随机码(pseudo random code)简称PN码，可以人为产生与复制，具有类似白噪声的性质。伪随机序列是一种确定但“随机”产生的序列[1]。即伪随机序列是具有随机特性的确定序列，是针对AWGN演化而来的，它采用只有“0”和“1”两种电平的编码结构，拥有极好的相关性，具有很强的抗干扰能力[2]，序列的均衡性很好实现较容易。因此，伪随机序列应用十分广泛，如在直扩系统中用于扩展传递的信号，在调频系统中用来控制调频系统的频率合成器。

2 伪随机序列的特点

2.1 随机序列

随机序列具有以下4个基本特性：

①序列中高低电平出现的次数大致相等；

②序列具有良好的相关特性；

③序列中连续出现的高电平或低电平被称为游程，而长度为n(n为自然数)的游程出现的次数占总游程数的1／2 ；

④随意将一个序列位移得到的新序列与原序列比较，只有一半的元素相同。

2.2 伪随机序列

伪随机序列也应具有以上4个特性．伪随机序列是人为构成的数字序列，因此它是离散的，只包含高低2种电平，不可能具有真正的正态分布特

性．但如果序列的长度逼近无限大时，由中心极限定理可知，它趋于正态分布。

周期为T 的伪随机二进制序列应满足Golomb 提出的三条随机性公设[3] ：

① 若T 为奇数，则序列{bi }一个周期内0的个数和1的个数相差1；若T 为偶数，则0的个数和1的个数相等。

② 长度为T 的周期内，1游程的个数占游程总数的1／2，2游程的个数占游程总数的1／22，⋯ ，d 游程的个数占游程总数的1／2d ，而任意长度的0的游程个数与1的游程个数相同。

③ 序列的异相自相关函数R(j)是一个常数。 公设①和②的意义很明确，主要用于衡量序列的平衡性和随机性，而公设③ 意味着对序列与其平移后的序列作比较，不能获取其它任何信息。

3 伪随机序列的分类及其特性

3.1 伪随机序列的分类

现代科学中常用的伪随机序列有m 序列、Gold 序列、M 序列、Walsh 序列以及R-s 序列等。

最常用的伪随机序列之一是m 序列[4]，m 序列是一种重要的伪随机序列，由于其容易产生、规律性强，而且具有许多优良的性能，因此是最早得到广泛应用的，同时如Gold 序列等很多伪随机序列都是由m 序列衍生而来的。

3.2 m 序列及其特性分析

m 序列是由n 级线性移位寄存器产生的周期为2n -1的码序列，是最长线性移位寄存器序列的简称，其结构框图如图所示。

线性反馈移位寄存器

m 序列的理论已经很成熟，n 级移位寄存器可以产生的m 序列个数由下式决定：

()21n s N n φ=-

其中，φ(x)为欧拉函数，其值小于等于x ，并与x 互质的正整数的个数(包括1在内)。

m 序列的性质：

(1)平衡性：在m 序列的一个周期中，“1” 的

个数比“0”的个数只多一个。这表明，序列平均值很小，它可降低载漏发射功率，防止载漏干扰。

(2)尖锐的自相关特性：易于同步捕捉。 周期序列的互相关函数的定义为：

(),1

1p

a b i i j i R j a b p +==∑

式中p 为序列的周期。若两个函数相等，称自相关函数，记作R(j)。对于取值是+1和一1，周期为p 的二进制码元序列自相关函数为：

()1,

1,

1,2,,1

j R j p j

p =⎧=⎨

-=-⎩

m 序列是一双值自相关序列，有优良的自相关特性。但是，在码分多址通信中，不同地址的扩频码互相关值要小，以便互不干扰，使用m 序列作为地址码时，组成互相关值小的序列集很少。

3.2 Gold 序列及其特性分析

Gold 序列是为了解决m 序列个数不多且m 序列之间的互相关函数值不理想而提出的，它是用一对周期和速率均相同的m 序列优选对模2加后得到的。其发生器结构框图如图所示：

Gold 码序列发生器

Gold 序列具有良好的自、互相关特性，且地址数远远大于m 序列地址数。所谓m 序列优选对是指：设a 是对应于n 级本原多项式f(x)所产生的m 序列，b 是对应于n 级本原多项式g(x)所产生的m 序列，当它

们的互相关函数值|R a ，b (k)|满足

()()12,21n a b R k n +≤+为奇数，()()12

,2

1n a b R k n +≤+为偶数则m 序列a 和b

构成一对优选对。Gold 码是由两个码长相等，码时钟速率相同的m 序列优选对模2加构成。每改变两个m 序列相对位移就可得到一个新的Gold 序列，当相对位移(2n -1)位时，就可得到一族(2n -1)个Gold 序列。再加上两个m 序列，共有(2n -1)Gold 序列码。

Gold 序列的性质：

(1)平衡性：Gold 码可分为平衡码和非平衡码，平衡码约占总码的一半。