第20届华杯赛小中组答案详解a卷

第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛

初赛 A 卷（小学中年级组）

总分：100 分时间：60分钟

一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）

1.森林里举行比赛，要派出狮子、老虎、豹子和大象中的两个动物去参加．如果派狮

子去，那么也要派老虎去；如果不派豹子去，那么也不能派老虎去；要是豹子参加的话，大象可不愿意去．那么，最后能去参加比赛的是（）．

（A）狮子、老虎（B）老虎、豹子（C）狮子、豹子（D）老虎、大象

【答案】B

【题型】逻辑推理、逆否命题

【解析】在逻辑推理中，原命题成立，则逆否命题也成立．

从题意出发：

（1）狮子去则老虎去，逆否命题：老虎不去则狮子也不去

（2）不派豹子则不派老虎，逆否命题：派老虎则要派豹子

（3）派豹子则大象不愿意去，逆否命题：大象去则不能派豹子

从（2）出发可以看出答案为 B.

题目要求有两个动物去，可以使用假设法，若狮子去，则老虎去，老虎去则豹子也去．三个动物去，矛盾，所以狮子不去．若豹子不去则老虎不去，那么只有大象去，矛盾，所以豹子去．豹子去则大象不去，由两种动物去得到结论，老虎要去．所以答案是 B，豹子和老虎去．

2.小明有多张面额为 1 元、2 元和 5 元的人民币, 他想用其中不多于 10 张的人民币购

买一只价格为 18 元的风筝, 要求至少用两种面额的人民币，那么不同的付款方式有（）种.

（A）3（B）9（C）11（D）8

【答案】C

【题型】奇数：列表枚举

【解析】

5 元 2 元 1 元总张数

3 0 3 6

3 1 1 5

2 4 0 6

2 3 2 7

2 2 4 8

1

2 1 6 9 2 0 8 10 1 6 1 8 1 5

3 9 1

4 5 10

8

2

10

共 11 种．

3. 如右图，在由1 ⋅1 的正方形组成的网格中,

写

有 2015 四个数字（阴影部分）．其边线要 么 是水平或竖直的直线段、要么是连接1⋅1 的 正方形相邻两边中点的线段，或者是1 ⋅1 的

正方形的对角线. 则图中 2015 四个数字

（阴影部分）的面积是（ ）．

（A ）47

（B ） 47 1

（C ）48

（D ） 48 1

2

2

【答案】B

【题型】几何：割补

【解析】

将小三角形移到空白处补成完整正方形再数正方形个数即可，共47.5 个．

4. 新生入校后，合唱队、田径队和舞蹈队共招收学员 100 人．如果合唱队招收的人数 比田径队多一倍，舞蹈队比合唱队多 10 人，那么舞蹈队招收（ ）人．（注：每人

限加入一个队） （A ）30

（B ）42

（C ）46

（D ）52

【答案】C

【题型】几何：割补

【解析】设田径队员为a 人，则合唱队员2a 人，舞蹈队员(2 a +10) 人，2a + a + 2 a + 10 = 100 ，则

a = 18 ，所以舞蹈队员18 ⋅ 2 + 10 = 46 人． 5. 一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间 66 分．那么，这只旧钟的 24 小时比标准时间的 24 小时（ ）．

（A ）快 12 分

（B ）快 6 分

（C ）慢 6 分

（D ）慢 12 分

【答案】D

【题型】时钟问题

【解析】时针速度为每分钟 0.5 度，分针速度为每分钟 6 度.分钟每比时针多跑一圈，即多跑 360 度，

360 = 720 时针分针重合一次.经过 6 − 0.5 11 分钟，旧钟时针分针重合一次，需要经过标准时间 66 分钟；则

2

旧钟的 24 小时，相当于标准时间的(24 ⋅ 60) ⋅66=1452

分钟，所以比标准时间 24 小时对应的720

11

24 ⋅ 60 = 1440 分钟多了1452-1440=12分钟，即慢了12分钟

6.一次考试共有 6 道选择题，评分规则如下：每人先给 6 分，答对一题加 4 分，答错

一题减 1 分，不答得 0 分．现有 51 名同学参加考试，那么, 至少有（）人得分相同．

（A）3（B）4（C）5（D）6

【答案】A

【题型】组合：抽屉原理【解析】设答对 x 题，答错y

题，x+y≤6；

当x =6时，得分30分；

当x =5时，y=0,1，对应得分26, 25；

当x =4时，y=0,1, 2，对应得分22, 21, 20；

当x =3时，y=0,1,2,3，对应得分18,17,16,15；

当x =2时，y=0,1, 2,3,4，对应得分14,13,12,11,10；

当x =1时，y=0,1,2,3,4,5，对应得分10,9,8, 7, 6,5；

当x =0时，y=0,1,2,3,4,5,6，对应得分6,5, 4,3, 2,1, 0；

共计 25 种得分，51⎪25=2⋅⋅⋅1，则至少2+1=3人得分相同．

二、填空题 (每小题 10 分, 共 40 分)

7.计算:

(1000 + 15 + 314) ⋅ (201 + 360 + 110) + (1000 − 201 − 360 − 110) ⋅ (15 + 314) =________．

【答案】1000000

【题型】计算：换元法

【解析】令a =15+314, b =201+360+110；则

(1000 + 15 + 314 )⋅(201 + 360 + 110 )+(1000 − 201 − 360 − 110 )⋅(15 + 314)

=(1000 +a)⋅b+(1000 −b)⋅a

=1000 a+ab+ 1000b−ab

=1000 (a+b)

=1000 ⋅(15 + 314 + 201 + 360 + 110)

=1000000

8. 角可以用它的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示,如右

图的∠AOB 符号（“∠”表示角），也可以用∠O 表示（顶点处

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