二次函数及三角形周长,面积最值问题

二次函数与三角形周长，面积最值问题

知识点：1、二次函数线段，周长问题

2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题

3、二次函数面积最大值问题

【新授课】

考点1：线段、周长问题

例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），

如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习

1、如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐标．

2、如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式．

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点

M 的坐标；若不存在，请说明理由．

B

x

A

y O C x

O

A

B

y

例2. (2018•莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，求线段DE长度的最大值；

练习

1、如图，抛物线y =

2

1x 2

+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；

⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． （4）过点F 作FG 垂直X 轴，并与直线BC 交于点H ，求FH 的最大值。

2、 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =

-与抛物线21

4

y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式；

（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．

y

x

E P O D

C

B

A

考点2：二次函数面积最大值

1. (2018•泰安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；

2.(2018•东营)如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)（a>0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．

（1）求线段OC的长度；

（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC

面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

练习

1.如图，抛物线经过A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．

（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．

（3）在（2）的条件下，连接MB ，MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及四边形OBMC 的最大面积；若不存在，请说明理由．

B

C

A O M

N

x

y

B

C

A

O

M

N x

y

课后练习

1、（2017·衢州）定义：如图1，抛物线与轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足，则称点P为抛物线的勾股点。

(1)直接写出抛物线的勾股点的坐标；

(2)如图2，已知抛物线C ： 与 轴交于A ，B 两点，点P （1， ）

是抛物线C 的勾股点，求抛物线C 的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点Q 在抛物线C 上，求满足条件

的点Q （异于点P ）

的坐标

2、如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线2

23

y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线5

2

x =

上． （1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断

点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交

CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．