二次函数中三角形问题(含问题详解)

二次函数中的三角形一．与三角形面积例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22k y kx =+-与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。

C 是抛物线的顶点。

（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）； （2）若点A 在点B 的左侧，且021<⋅x x 。

①当k 取何值时，直线通过点B ；②是否存在实数k ，使ABC ABP S S ∆∆=？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。

例2：已知抛物线)1(3)4(2-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， （1）求m 的取值范围；（2）若0<m ，直线1-=kx y 经过点A ，与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式； （3）若A 点在B 点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使直线P A 平分ACD ∆的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

例3．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)。

(1)写出A 、B 、C 、D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B 、C 的抛物线的解析式； (3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；(4)△PEB 的面积S △PEB 与△PBC 的面积S △PBC 具有怎样的关系？证明你的结论。

A BC DO E x y(第25题图)例4.如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于AB ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．二．与三角形形状例5. 如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．图2图1例 6.如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．x 图①x 图②x 图③例7. 已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．例8.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． (1)求点B 的坐标；(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方， 那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)(第25题图)三．二次函数与三角形相似 例9：已知一次函数1243--=x y 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、C 两点， （1）求出A 、C 两点的坐标；（2）在x 轴上找出点B ，使ACB ∆∽AOC ∆，若抛物线过A 、B 、C 三点，求出此抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，使m AP =，是否存在m 的值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。

例10.如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2164y x =-与直线12y x =相交于A B ，两点． （1）求线段AB 的长．（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？（3）如图8，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ，两点，垂足为点M ，分别求出OM OC OD ，，的长，并验证等式222111OC OD OM +=是否成立．（4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =o∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =，ABOyx图7ABO yx图8CD MAB c =．CD h =，试说明：222111a b h +=．例11.在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，圆心A 的坐标为（2，0），⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC ，交x 轴于点B ． （1）求直线CB 的解析式；（2）若抛物线y =ax 2+b x +c 的顶点在直线BC 上，与x 轴的交点恰为点E 、F ，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C 是否在抛物线上？（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 △AOC 相似？直接写出两组这样的点． ．例12.如图12，2的正方形ABCD 的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线2y x bx c =++经过点B 且与直线AB 只有一个公共点． （1）求直线AB 的解析式．（3分）（2）求抛物线2y x bx c =++的解析式．（3分）（3）若点P 为（2）中抛物线上一点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，问是否存在这样的点P ，使PMC ADC :△△？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（5分）BA DCO x y图12例13.如图，矩形A BC O '''是矩形OABC （边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上）绕B 点逆时针旋转得到的，O '点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(13)，．（1）如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过O ，O '两点且图象顶点M 的纵坐标为1-，求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P ，使得POM △为直角三角形？若存在，请求出P 点的坐标和POM △的面积；若不存在，请说明理由；答案：例1：解：（1）2)1(--=k y 最小值。

（2）①解得当34-=k 时，直线过B ； ②过C 作AB CD ⊥于D ，则22)1()1(-=--=k k CD ，把0=x 代入直线22k kx y -+=，得22k y -=，∴22k OP -=，0421<=k x x Θ。

∴022,0>-<k k ，∴22kOP -=。

若ABC ABP S S ∆∆=，即0,2121>⋅=⋅AB CD AB OP AB Θ，∴CD OP =，即2)1(22-=+-k k解得0,2,2121<=-=k k k Θ，∴取21-=k ，∴当21-=k 时，ABC ABP S S ∆∆=此时所求的抛物线的解析式为：22--=x x y从以上解答中可以看出三角形面积相等作为已知条件的作用是利用三角形的面积公式，再利用同底等高的性质推出线段相等，仅此而已。

例2. 解：（1）2-≠m ； （2）652-+-=x x y ；（3）如图，假设在第一象限内，抛物线上存在点P ，使直线P A 平分ACD ∆的面积，则直线P A 必过DC 的中点M 。

)6,0(),1,0(--C D Θ，∴)27,0(-M 。

令0=y ，则0652=-+x x ，解得3,221==x x 。

A Θ在B 的左侧，∴A 坐标是（2，0）。

设直线P A 的解析式为)0(,≠+=k b kx y则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0227b k b 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2747b k 。

∴直线AM 的解析式为2747-=x y 。

方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-=6527472x x y x y 的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧==162145 922211y x y x 。

∴点P 的坐标为（2，0）（即A 点）或)1621,45(-。

这两点均不在第一象限。

∴第一象限内，抛物线上不存在点P ，使P A 平分ACD ∆的面积。

本题第（3）小题是存在型问题，是结论开放题，应先假设存在，然后在假设的前提下，通过计算说明在第一象限内不存在符合要求的点（求出的点不在第一象限），有一定的难度，主要是这种题型学生不熟悉。

例3.例4.[解] （1）解：依题意得216412y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解之得12126432x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ (63)(42)A B ∴--，，，（2）作AB 的垂直平分线交x 轴，y 轴于C D ，两点，交AB 于M （如图1） 由（1）可知：3525OA OB == 55AB ∴=152OM AB OB ∴=-= 过B 作BE x ⊥轴，E 为垂足由BEO OCM △∽△，得：54OC OM OC OB OE =∴=，，同理：55500242OD C D ⎛⎫⎛⎫=∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 设CD 的解析式为(0)y kx b k =+≠52045522k k b b b ⎧==+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩ AB ∴的垂直平分线的解析式为：522y x =-． （3）若存在点P 使APB △的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线12y x m =-+上，并设该直线与x 轴，y 轴交于G H ，两点（如图2）．yxO图1D M ACB第26题Ｅ212164y x m y x ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=-+⎪⎩2116042x x m ∴-+-= Q 抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m ⎛⎫∴--⨯-= ⎪⎝⎭，2523144m P ⎛⎫∴=∴ ⎪⎝⎭，在直线12524GH y x =-+：中， 25250024G H ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，GH ∴=设O 到GH 的距离为d ，112211252524224GH d OG OH d d AB GH ∴=∴⨯=⨯⨯∴=g g g Q ，∥P ∴到AB 的距离等于O 到GH 的距离d ．例5.解：（1）抛物线的对称轴5522a x a -=-= （2）(30)A -， (54)B ， (04)C ，把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得16a =-215466y x x ∴=-++（3）存在符合条件的点P 共有3图2设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，52BM = ①以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．222228480AB AQ BQ ∴=+=+=在1Rt ANP △中，1PN ====1522P ⎛∴- ⎝⎭， ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △． 在2Rt BMP △中，2MP ====25822P ⎛⎫-∴ ⎪ ⎪⎝⎭，③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3Rt Rt PCK BAQ △∽△． 312P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5P K =Q 5CK ∴= 于是1OK =3(2.51)P ∴-，例6.解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如21y x =+，2y x x =+，2(1)2y x =-+或223y x x =-+，2(1)y x =+，2(1y x =-．（2）设抛物线2l 的函数表达式为2y x bx c =++，Q 点(12)A ，，(31)B ，在抛物线2l 上，x212931b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩，解得9211.2b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线2l 的函数表达式为291122y x x =-+． （3）229119722416y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，C ∴点的坐标为97416⎛⎫⎪⎝⎭，．过A B C ，，三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D E F ，，， 则2AD =，716CF =，1BE =，2DE =，54DF =，34FE =． ABC ADEB ADFC CFEB S S S S ∴=--△梯形梯形梯形．117517315(21)22122164216416⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 延长BA 交y 轴于点G ，设直线AB 的函数表达式为y mx n =+，Q 点(12)A ，，(31)B ，在直线AB 上，213.m n m n =+⎧∴⎨=+⎩，解得125.2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AB 的函数表达式为1522y x =-+．G ∴点的坐标为502⎛⎫⎪⎝⎭，．设K 点坐标为(0)h ，，分两种情况： 若K 点位于G 点的上方，则52KG h =-． 连结AK BK ，．151553122222ABK BKG AKG S S S h h h ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯--⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△．1516ABK ABC S S ==Q △△， 图②515216h ∴-=，解得5516h =． K ∴点的坐标为55016⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若K 点位于G 点的下方，则52KG h =-． 同理可得，2516h =． K ∴点的坐标为25016⎛⎫⎪⎝⎭，．（4）作图痕迹如图③所示．由图③可知，点P 共有3个可能的位置．例7.解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B ， ∴(1)(5)y a x x =--． 又∵抛物线经过点(0,5)C ， ∴55a =，1a =．∴抛物线的解析式为2(1)(5)65y x x x x =--=-+． （2）∵E 点在抛物线上， ∴m = 42–4×6+5 = -3．∵直线y = kx +b 过点C （0， 5）、E （4， –3）， ∴5,4 3.b k b =⎧⎨+=-⎩ 解得k = -2，b = 5． 设直线y =-2x +5与x 轴的交点为D ， 当y =0时，-2x +5=0，解得x =52． ∴D 点的坐标为（52，0）． ∴S =S △BDC + S △BDE=1515(5)5+(5)32222⨯-⨯⨯-⨯=10．（3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上， ∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．（4）除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形． 理由如下：x∵220024254AP BP ==+=>，∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点B 、1P 、2P 、3P 、A 、4P 、5P 、6P ，除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点．例8．解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，由已知可得：OB ＝OA=2，∠BOD ＝60°在Rt △OBD 中，∠ODB ＝90°，∠OBD ＝30°∴OD ＝1，DB ＝3 ∴点B 的坐标是（1，3）（2）设所求抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由已知可得：03420c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得：33a b c =23，=，=03∴所求抛物线解析式为232333y x x =+ （备注：a 、b 的值各得1分）（3）存在 由232333y x x =+ 配方后得：233(1)33y x =+- ∴抛物线的对称轴为1x =-（也可用顶点坐标公式求出）∵点C 在对称轴1x =-上，△BOC 的周长＝OB+BC+CO ； ∵OB=2，要使△BOC 的周长最小，必须BC+CO 最小， ∵点O 与点A 关于直线1x =-对称，有CO=CA △BOC 的周长＝OB+BC+CO ＝OB+BC+CA∴当A 、C 、B 三点共线，即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时△BOC 的周长最小。