信号与系统 (奥本海默) 总结 复习

第一章：

Singnals and System（信号与系统）

1－1：continuous-time and discrete-time signals（连续时间与离散时间信号）

信号：信息的载体。

在信号与系统分析中，信号的表达式为函数（functions）

P3:Signals are represented mathematically as functions of one or more independent variables （独立自变量）。

例如：关于某导线电流强度对应不同时间的函数I(t)；等比数列的某一个数对应其序号的函数a[n]=b^n

自变量的定义域为连续的时间段（有限或无限）的信号（函数）称为连续时间信号x(t)

自变量的定义域为间断的时间点（一般地，归一为整数点…－1，0，1，2…）的信号称为离散时间信号x[n]又叫序列（sequences）。两者有相似处，离散时间函数（又称为离散时间序列）可以看作连续时间函数对整数点时间进行抽样得到，但两者计算上有很大区别。

信号（函数）对应某一自变量值的信号函数值大小称为信号的幅度（phenomenon）。例如x(t)=2t，在t=3时x(t)=x(3)=6就是此刻的幅度。

Signal energy and power（信号的能量与功率）

把信号看作电流，该电流在某一段时间内流过1欧姆的电阻产生的能量和平均功率(average power)便是信号在该段时间的能量与功率。因此可得在t1~~t2内信号x(t)的能量为：

E=∫(t1~t2)(|x(t)|^2)dt，

而相应这段时间的功率则为

P=E/(t2-t1)

信号在整个定义域的能量

E∞=（limT→∞）∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt

信号在整个定义域的平均功率

P∞=(limT→∞)(1/2T)∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt

相应的，对于离散时间信号则有P6-7(1,7)(1,9)(这个东西要输入太困难了，呵呵)

显然，对于一个信号在无穷区间的能量与平均功率有三种可能：

平均功率无穷大，总能量无穷大（2）平均功率有限，总能量无穷大（3）总能量有限，平均功率无穷小（也是有限）

1-2:Transformations of the independent variable（自变量的变换）

自变量的变换就是对信号x(t)或x[n]的自变量t或n进行相应变换，由此会影响信号。

time shift（时移），将x(t)/x[n]变成x(t-t0)/x[n-n0]。结果是使信号形状不变，但在位置上相对原来的信号有移位。注意：当t/n0>0时，信号向右移动，反之则向左。

time reversal（时间反转）将x(t)/x[n]变成x(-t)/x[-n]。新信号等于把原来信号以t=0/n=0为轴反转得到。

time scaling（尺度变换）将x(t)变成x(at)，a>0，则新信号等于把原信号在横坐标上压缩或拉伸为原先的1/a。例如x(2t)信号等于横向压缩为原先1/2。离散信号的时间尺度变换很复杂，因为它只能在整点取值

Periodic signals（周期信号）

这是非常重要的一类信号。

连续周期信号定义：若某一连续信号选x（t）对任意t有

x(t)=x(t+T)

则x(t)称为周期信号，T(不为0)称为周期（period）

一个周期信号有无穷多个周期，其中最小的T0称为基波周期或基本周期（fundamental period）。其余周期T都是T0的整倍数

对于常数信号x(t)=C，不存在基波周期的概念，这是一类特殊的周期信号。

不具有周期性质的信号叫非周期信号（aperiodic signal）

类似的，离散信号中满足x[n]=x[n+N]的叫做周期信号，N为周期。最小的N0为基波周期。但常数信号有基波周期为1！

Even and odd signals（偶信号与奇信号）

从t=0轴反转后与原信号重合的信号称为偶信号,即满足x(t)=x(-t)

从t=0轴反转后与原信号相反的信号称为奇信号，即满足x(t)=-x(-t)

任何一个信号x(t)都可以分解为一个偶信号和一个奇信号的和，分别叫做这个信号x(t)的偶部（even part 和奇部（odd part）

Ev{x(t)}=(1/2)[x(t)+x(-t)];Od{x(t)}=(1/2)[x(t)-x(-t)]，

离散也完全一样。

1－3Exponential and Sinusoidal Signals（指数信号与正弦信号）

comtinuous-time complex Exponential and Sinusoidal Signals(连续时间复指数信号与正弦信号)

x(t)=Ce^(at)。

一般而言C与a都是复数。

实指数信号(real Exponential signal)：C和a都是实数(real)。X(0)=C,a>0，信号随时间增长；a<0信号随时间衰减

周期复指数和正弦信号（periodic complex Exponential and Sinusoidal Signals）

周期复指数信号：a为纯虚数（imaginary），则x(t)=e^(jw0t)

由于e^ja=e^j(a+2π),或e^（j2π）＝1，因此x(t)=x(t+(2π/w0))

T0=2π/|w0|为基波周期。

X(t)=Acos(ωt+φ)或x(t)=Asin(ωt+φ)称为正弦信号，也是基波周期为T0=2π/|ω|的周期函数。

由欧拉公式（Euler’s relation）:e^(j(ωt+φ))=cos(ωt+φ)+jsin(ωt+φ)可以完成指数函数与正弦函数的相互表达和转换

cos(ωt+φ)＝（1/2）（e^(j(ωt+φ))＋e^(－j(ωt+φ))）

sin(ωt+φ)＝(1/2j)（e^(j(ωt+φ))－e^(－j(ωt+φ))）

对于周期复指数信号和正弦信号，基波周期为2π/ω,|ω|称为基波角频率（fundamental frequency）

对于周期复指数信号和正弦信号而言，很明显其能量与功率的关系是在无穷区间的有限平均功率和无穷总能量。

A set of harmonically related complex exponentials（一组成谐波关系的复指数信号）

一个重要的概念。

指的是这样一组复指数信号φk(t)=exp(jkω0t),k=0,1,-1,2,-2……显然这些信号都是周期信号，具有共同周期2π/ω0。这样一组复指数周期信号就称为一组谐波。