含参函数单调性

含参数函数单调性

● 基础知识总结与逻辑关系

一、

函数的单调性

求可导函数单调区间的一般步骤与方法: 1) 确定函数的()f x 的定义区间;

2) 求'()f x ,令'()0f x =,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根;

3) 把函数()f x 的无定义点的横坐标与上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些 点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间;

4) 确定'()f x 在各个区间内的符号,由'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间内的单调性、

二、 函数的极值

求函数的极值的三个基本步骤

1) 求导数'()f x ;

2) 求方程'()0f x =的所有实数根;

3) 检验'()f x 在方程'()0f x =的根左右的符号,如果就是左正右负(左负右正),则()f x 在

这个根处取得极大(小)值、

三、 求函数最值

1) 求函数()f x 在区间(,)a b 上的极值;

2) 将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较,其中最大的一个就就是最大值,最小的一个就

就是最小值、

四 利用导数证明不等式

1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式

我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时,则该函数在该区间上单调递增(或递减)、因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的、即把证明不等式转化为证明函数的单调性、具体有如下几种形式:

① 直接构造函数,然后用导数证明该函数的增减性;再利用函数在它的同一单调递增(减)

区间,自变量越大,函数值越大(小),来证明不等式成立、

② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性,达到证明不等式的目

的、

2） 利用导数求出函数的最值(或值域)后,再证明不等式、

导数的另一个作用就是求函数的最值、 因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数求出该函数的最值;由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立,可得该不等式恒成立、从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题、

含参函数的单调性,核心就是三个步骤,四个流程:

1)第一步:先求定义域,再求导; 2)第二步:准确求出导数()f x '之后,按以下四个流程依次走:

【注意题目本身给定的参数范围】

流程①:最高次项系数如果含参数,分 “0=;

0>; 0<” 三种情况依次讨论

该系数。(不含参就直接略过)“0=”时,求出参数的值,代回()f x ',写出不含参数

的

()f x '的最简洁、直观的形式;“0>”或“0<”时,把最高次项系数外提,化简变

形(含因式分解)到最简洁、直观的形式,能直接瞧出根来。 流程②:接流程①,判断方程()0f x '=就是否有根。 如果方程()0f x '=没有

任何实根,说明

()0f x '>或()0f x '<恒成立,()f x 恒定单增或单减,直接写

结论;如果方程()0

f x '=有实根,全部求出来,写明

“1

x = ”,“2x = ”然后进入流程③。

流程③:判断由②得出的根就是否在定义域内。 (i)定义域内没有根,写出

()f x ',肯定有()0f x '>或()0f x '<,说明函数

()f x 在定义域内恒定单增或单减,直接写出结论;(ii)定义域内有且只有一个根,

对这个唯一的根进行列表,判断

()f x 单调递增区间与单调递减区间;(iii)定义域

内有两根(包含两等根或两异根),那么就进入流程④。 流程④:在流程③中确定二次函数型

()0f x '=在定义域内有两根12,x x 的情况

下,讨论两根大小(“=”,“>”,“<”)。然后列表,依据表格写出结论。

3)第三步:(3)写综上所述。对参数的所有可能取值都要写出,对应结论相同的时候,参数范围必须合并。

【题】讨论函数()(0)kx

f x xe k =≠的单调区间。

【难度】**

【题】讨论函数2

()ln(1)2

k f x x x x =+-+的单调区间。

【难度】***

【点评】求单调区间的步骤(1)确定函数的定义域,(2)求出

()f x ',令

()0f x '= ,求出根,求出在定义域内所有的根,,(3)

把函数的间断点在横坐标上从小到大排列起来,把定义域分成若干个小区间,(4)确定()f x '在每个区间的正负号,求出相应

的单调区间。

【题】判断函数2

()4ln f x x x a x =++的单调性。 【难度】***

【题】求函数232

()14

a f x x ax x =+++的单调区间。 【难度】***

【题】、求函数2

()(1)(2,)x

f x e x ax x a R =-+>-∈的单调区间。 【难度】***

【题】求函数2

1()ln ()2

f x x a x a R =+∈的单调区间。

【难度】***

【题】讨论函数2

()2ln(21)f x kx x x =++-的单调性。 【难度】***

【题】讨论函数()1

kx

e f x x =-的单调性。

【难度】**