导数应用：含参函数的单调性讨论(二)
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导数应用：含参函数的单调性讨论(二)
对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。
一、典型例题
例1、已知函数3
2
()331,f x ax x x a R =+++∈,讨论函数)(x f 的单调性.
分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)('>x f 的解区间；确定函数的减区间就是确定0)(' 解： 因为3 2 ()331,f x ax x x a R =+++∈， 所以/ 2 ()3(21)f x ax x =++ (1) 当0a =时，/ ()3(21)f x x =+，当1 ,2 x ≤-时，/ ()0f x ≤；当1,2 x ≥-时，/ ()0f x ≥； 所以函数()f x 在1(,]2-∞-上单调递增，在1[,)2 -+∞上单调递减； (2) 当0a >时，/2 ()3(21)f x ax x =++的图像开口向上，36(1)a ∆=- I) 当136(1)0,a a ≥∆=-≤时，时，/ ()0f x ≥，所以函数()f x 在R 上递增； II) 当0136(1)0,a a <<∆=->时，时，方程/ ()0f x =的两个根分别为 1211x x a a ---+= =且12,x x < 所以函数()f x 在1(, a --∞，1(,)a -+∞上单调递增， 在11( a a --+上单调递减； (3) 当0a <时，/2 ()3(21)f x ax x =++的图像开口向下，且36(1)0a ∆=-> 方程/ ()0f x =的两个根分别为1211,,x x a a --= =且12,x x > 所以函数()f x 在1(, a --∞，1()a -+∞上单调递减， 在11( )a a -+--上单调递增。 综上所述，当0a <时，所以函数()f x 在11( ,a a --上单调递增， 在1(, a -+-∞，1(,)a -+∞上单调递减； 当0a =时，()f x 在1(,]2-∞-上单调递增，在1 [,)2 -+∞上单调递减； 当01a <<时，所以函数()f x 在(-∞，)+∞上单调递增， 在上单调递减； 当1a ≥时，函数()f x 在R 上递增； 小结： 导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论（先讨论其为0情形），然后讨论判别式（先讨论判别式为负或为0的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的），判别式为正的情况下还要确定两根的大小（若不能确定的要进行一步讨论），最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。 例2．（2010山东理数改编） 已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-()a R ∈.讨论()f x 的单调性； 解：因为1()ln 1a f x x ax x -=-+ -的定义域为),0(+∞ 所以 2' 22 111()(0,)a ax x a f x a x x x x --+-=-+= ∈+∞， 令 2 ()1,(0,)h x ax x a x =-+-∈+∞，则)()('x g x f 与同号 法一：根据熟知二次函数性质可知g(x)的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论： ① 当0a ＜时，由于 1 10a -＜<1，)(x h 开口向下,结合其图象易知 (0,1)x ∈，()0h x ＞,此时' ()0f x ＜，函数 ()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x ＜，此时'()0f x ＞，函数()f x 单调递增. ②当0>a 时， )(x h 开口向上,但2x 是否在定义域需要讨论： 因 10011 ≥<⇔≤-a a a 或所以 i) 当1≥a 时，由于 1 10a -＜<1，)(x h 开口向上,结合其图象易知 (0,1)x ∈，()0h x ＜，此时' ()0f x ＞，函数()f x 单调递增. (1,)x ∈+∞时，()0h x ＞,此时'()0f x ＜，函数 ()f x 单调递减；