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用导数讨论含参函数的单调性
单调性是描述函数的变化趋势的重要概念，其中，用导数讨论含参函数的单调性尤为重要。
首先，我们来解释“含参函数”一词的意思。
含参函数是指具有参数的函数，也叫带参数函数，它们可以用参数来控制函数的变化趋势。
其次，让我们来看看如何用导数讨论含参函数的单调性。
在微积分中，导数是用来表示函
数变化率的重要概念，它可以帮助我们确定函数的单调性。
通常情况下，当函数的导数大于0时，函数在此处是单调递增的；当函数的导数小于0时，函数在此处是单调递减的。
例如，考虑函数$y=ax^2+bx+c$，其中a，b，c均为常数。
该函数的导数为$y'=2ax+b$。
因此，当$2a>0$时，函数是单调递增的；当$2a<0$时，函数是单调递减的。
更一般地，如果函数$f(x)$的导数$f'(x)$满足$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递
增的；如果$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递减的。
再比如，考虑函数$y=sin(x)$，其导数为$y'=cos(x)$，当$cos(x)>0$时，函数$y=sin(x)$是单调递增的；当$cos(x)<0$时，函数$y=sin(x)$是单调递减的。
总之，用导数讨论含参函数的单调性是很有用的，我们可以用它来判断函数是单调递增还是单调递减。
正如著名数学家高斯所说：“数学是一种分析、综合和抽象的技术，它既是
一种艺术，也是一种科学。
”。
导数应用：含参函数的单调性讨论(一)
导数应用：含参函数的单调性讨论(一)一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。
二、典例讲解例1 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间 解：xax x f +=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('222≠-=-=x xa x x a x f (它与a x x g -=2)(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f >-<⇔≠>或)0(0)('a x x a x x f <<<<-⇔≠<00)0(0)('或此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a .步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。
(完整版)导数讨论含参单调性习题(含详解答案).doc
1．设函数．（ 1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（ 2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（ 3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（ 1）讨论的单调性；（ 2）当时，证明：；（ 3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．已知函数（其中，）.（ 1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（ 2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.（ 1）讨论函数的单调性；（ 2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.5 ．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数 .（ 1）求的值；（ 2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；6．已知函数ln , x ，其中.f x ax x F x e ax x 0, a 0（ 1）若f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围；（ 2）若a , 1 ，且函数 g x xe ax 1 2ax f x 的最小值为 M ，求 M 的e2最小值 .7．已知函数 f ( x) e x m ln x .（ 1）如x 1 是函数 f (x) 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性 f (x) ；（ 2）若x x0是函数f ( x)的极值点，且f ( x) 0 恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数 a 满足 a ln a 1 ） .8．已知函数 f x ln 1 mx x2mx ，其中0 m 1 ．2（ 1）当m 1时，求证： 1 x 0 时， f x x3；3（ 2）试讨论函数y f x 的零点个数．9．已知e 是自然对数的底数 , F x 2e x 1 x ln x, f x a x 1 3 .（1）设T x F x f x , 当a 1 2e 1时, 求证： T x 在 0, 上单调递增；（2）若x 1, F x f x , 求实数a的取值范围 .10 ．已知函数f x e x ax 2（1）若a 1 ，求函数f x 在区间[ 1,1]的最小值；（2）若a R, 讨论函数 f x 在 (0, ) 的单调性；（3）若对于任意的x1, x2 (0, ), 且 x1 x2,都有 x2 f ( x1) a x1 f ( x2 ) a 成立，求 a 的取值范围。
导数在数学含参问题中的应用
导数在数学含参问题中的应用新课程利用导数解决含参问题或恒成立问题，导数是分析和解决问题的有效工具。
但学生在运用导数解决含参的问题时，往往会束手无措，特别是对其中的分离参数无法纯粹的分离出来感到苦恼。
其实这一部分主要就是根据函数的单调性求出函数在一定条件下的最值，进而解决恒成立问题，含参数问题既是高中教学的重点和难点，又是历年高考的热点。
本文从常见题型对含参函数问题进行了分析与研究，着重介绍常见题型利用导数解决这些问题的基本策略。
标签：导数函数的单调性参数的取值范围恒成立导数的思想最初是由法国的数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但随着人们对导数概念和性质的进一步认识和研究便发现它的引出和定义始终贯穿着函数思想。
新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强它在解决函数的含参问题上带来了很大的便利。
以函数为载体，以导数为工具，运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围。
解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。
解决的主要途径是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为含参函数的最值讨论。
这也是最近几年高考在命题是在函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。
由于这类题目涉及的知识面广，综合性强，不少考生在处理这类问题时，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，以至于处于无从下手的盲区，希望下面一些拙见能对一些考生的备考有所作用。
一、含参函数的单调性的问题导数的运算，导数与函数单调性的关系，利用导数的性质对参数进行分类讨论综合运用化归与转化的思想。
【例1】已知函数f（x）=lnx-a2x2+ax（a∈R）.（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间;（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围.解析：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞），f′（x）= -2x+1=令f′（x）=0，即- =0，解得x=- 或x=1∵x>0，∴x=1.当00;当x>1时，f′（x）0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意.②当a>0时，f′（x）≤0（x>0）等价于（2ax+1）（ax-1）≥0（x>0），即x≥，此时f（x）的单调递减区间为.③当a0）等价于（2ax+1）（ax-1）≥0（x>0），即x≥- ，此时f（x）的单调递减区间为得a≤- .综上，实数a的取值范围是∪[1，+∞）.【例2】已知函数f（x）= -2x2+lnx，其中a为常数.（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间;（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围.解析：（1）若a=1，则f（x）=3x-2x2+lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）= -4x+3= = （x>0）.当x∈（0，1），f′（x）>0时，函数f（x）=3x-2x2+lnx单调递增.当x∈（1，+∞），f′（x）<0时，函数f（x）=3x-2x2+lnx单调递减.故函数f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）.（2）f′（x）= -4x+ ，若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，即在[1，2]上，f′（x）= -4x+ ≥0或f′（x）= -4x+ ≤0，即-4x+ ≥0或-4x+ ≤0在[1，2]上恒成立.即≥4x- 或≤4x- .令h（x）=4x- ，因为函数h（x）在[1，2]上单调递增，所以≥h（2）或≤h（1），即≥ 或≤3，解得a<0或0<a≤ 或a≥1.二、含参函数中的恒成立问题可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离或半分离（无法纯粹的分离），得到函数关系，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。
利用导数研究含参函数的单调性【公开课教学PPT课件】
3
2
y
y
y
-1 0 x
-1 a 0 x a -1 0 x
①当a=-1时
②当a>-1时
③当a<-1时
小结：当两根的大小不确定时，应进行分类讨论.
探究二
变式二：讨论函数f ( x) 1 x2 +(1 a)x a ln x的单调性. 2
y
y
0a
x a0 x
①当a>0时
②当a≤0时
小结：当根大小不确定时，应讨论根的大小及根是否在定义域内.
2、已知函数f ( x) ln x a ，求f ( x)的单调区间 x
3、已知函数f ( x) 1 ax2 x (a 1)ln x,讨论f ( x)的单调性 2
感谢您的指导
邱奉美
第三章 导数应用
利用导数研究含参函数的单调性
（第1课时）
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
3
2
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
0，x2
1
1)当 1 1即a 1时，f (x)在（0， ）上递增.
a
10 0a1 00
10
1 1
x 11
xx
1
xx
aa
2)当1 1即a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（ 1 ，1）上递减.
a
a
a
3)当1 1即0 a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（1，1 ）上递减.
探究二
变式三：讨论函数f ( x) 1 x2 (a 1)x a ln x的单调性. 2
3-2导数的应用(一)—— 单调性
第19页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
由f′(x)>0，解得x>1＋ 2或x<1－ 2. 由f′(x)<0，解得1－ 2<x<1或1<x<1＋ 2. ∴f(x)的单调递增区间是(－∞，1－ 2)，(1＋ 2，＋∞)， f(x)的单调递减区间是(1－ 2，1)，(1，1＋ 2)．
第20页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
x f′(x) f(x) (－∞，k) － k 0 0 (k，－k) ＋ －k 0 4k2e
－1
(－k，＋∞) －
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递 增区间是(k，－k)．
第31页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【答案】 当k>0时，增区间(－∞，－k)和(k，＋∞)，减区 间(－k，k)；当k<0时，减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，增区 间是(k，－k)．
第 9页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
答案 C 解析 根据题意f′(x)在[a，b]上是先增后减的函数，则在 函数f(x)的图像上，各点的切线斜率是先随x的增大而增大，然 后随x的增大而减小，由四个选项的图形对比可以看出，只有选 项C满足题意．
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高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
第 6页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
1．(课本习题改编)函数y＝3x2－2lnx的单调递增区间为 ________，单调递减区间为__________．
第 7页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
3 3 答案 ( ，＋∞)，(0， ) 3 3
2 2 6x －2 解析 y′＝6x－x＝ x .
导数应用之含参函数单调性的讨论(含答案)
1
导数应用之含参函数单调性的讨论
一．预备知识：
（一）二次方程根的分布：
1．已知方程4x 2+2(m-1)x+(2m+3)=0（m ∈R ）有两个正根，求实数m 的取值范围。
2．已知方程2x 2-(m+1)x+m=0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
（二）穿根法拓展：
1．
02
2
2>--+x x x 2．(e x -1)(x-1)＞0 3．(e x -1)(x-1)2＞0
4．(e -x -1)(x-1)＞0 5．(1-lnx)(x-1)＞0
二．导后“一次”型：
1．已知函数f(x)=ax-(a+1)·ln(x+1)，a ≥-1，求函数f(x)的单调区间。
2．已知函数f(x)=e x -ax ，讨论函数f(x)的单调性。
三．导后“二次型”：
3．已知函数f(x)=lnx+x 2-ax(a ∈R)，求函数f(x)的单调区间。
2
4．已知函数f(x)=m ·ln(x+2)+2
1x 2
+1，讨论函数f(x)的单调性。
5．求函数f(x)=(1-a)lnx-x+2
2
ax 的单调区间。
6．已知函数f(x)=(ax 2-x)·lnx-2
1ax 2
+x ，讨论f(x)的单调性。
四．导后求导型
7．已知函数f(x)=e x -x 2，求函数f(x)的单调区间。
8．已知函数f(x)=
x
e
x 1
ln ，求函数f(x)的单调区间。
9．已知函数f(x)=e mx +x 2-mx ，讨论函数f(x)的单调性。
3
4。
专题5导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)-13页文档资料
〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解[典例1] 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间． 解：xax x f +=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('222≠-=-=x xa x x a x f (它与a x x g -=2)(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f >-<⇔≠>或)0(0)('a x x a x x f <<<<-⇔≠<00)0(0)('或此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a .步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并．[变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞)0(1)('>+=+=x xa x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0<a 时 a x x x f ->⇔>>)0(0)('; a x x x f -<<⇔><0)0(0)('此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -．[典例2] 讨论x ax x f ln )(+=的单调性． 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞)0(11)('>+=+=x xax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) I ）当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('-=⇔=没有意义）此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ II ）当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， （此时ax x f 10)('-=⇔=不在定义域内，没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞III)当0<a 时, 令ax x f 10)('-=⇔= 于是，当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)所以， 此时)(x f 在),0(a-为单调增函数，)(x f 在),1(+∞-a是单调减函数， 即)(x f 的增区间为)1,0(a -;)(x f 的减区间为),1(+∞-a．小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性．即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号．一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性． [变式练习2] 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性． 解：x ax x f ln 21)(2+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('2>+=+=x xax x ax x f , 它与1)(2+=ax x g 同号. 令)0(010)('2>=+⇔=x ax x f ，当0≥a 时，无解；当0<a 时,aaa x --=-=1(另一根不在定义域内舍去)i)当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('2-=⇔=没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ii)当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，(此时 方程012=+ax 判别式0<∆,方程无解)此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞iii)当0<a 时,当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号))+∞是单调减函数，即)(x f 的增区间为)1,0(a-;)(x f 的减区间为),1(+∞-a ．小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果．对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论． [典例3] 求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间． 解：1)(232--+=x ax x a x f 的定义域为R ，)1)(13(123)('22+-=-+=ax ax ax x a x fI) 当0=a 时，⇒<-=01)('x f )(x f 在R 上单调递减，)(x f 减区间为R ，无增区间． II) 当0≠a 时032>a ，)('x f 是开口向上的二次函数，令)0(1,310)('21≠-===a ax a x x f 得, 因此可知（结合)('x f 的图象） i)当0>a 时，21x x >ax a x f a x a x x f 3110)(';3110)('<<-⇔<>-<⇔>或 所以此时，)(x f 的增区间为),31()1,(+∞--∞aa 和；)(x f 的减区间为)31,1(a a -ii) 当0<a 时，21x x <ax a x f ax a x x f 1310)(';1310)('-<<⇔<-><⇔>或所以此时，)(x f 的增区间为),1()31,(+∞--∞aa 和；)(x f 的减区间为)1,31(a a -．小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况）。
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导数应用：含参函数的单调性讨论(一)一、思想方法：f '( x) 0 x A B ... f ( x) 增区间为 和A, B ...f '( x) 0 x C D ... f ( x) 增区间为 和C, D ... x D 时f '( x) 0 f (x)在区间 D 上为增函数 x D 时f '( x)0 f (x)在区间 D 上为减函数 x D 时f '( x)f (x)在区间 D 上为常函数讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。
二、典例讲解例 1 讨论 f (x)xa的单调性，求其单调区间x步骤小结： 1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界） ，5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。
变式练习 1 : 讨论 f ( x) x a ln x 的单调性，求其单调区间例 2．讨论 f ( x) ax ln x 的单调性小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。
即先求出 f ' ( x) 的零点，再其分区间然后定 f ' ( x) 在相应区间的符号。
一般先讨论 f ' ( x) 0 无解情况，再讨论解f ' (x) 0 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域的），即根据 f ' (x) 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。
变式练习 2. 讨论 f (x) 1 ax2 ln x 的单调性2小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii) 可合并为一类结果。
对于二次型函数（如g( x) ax 21）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。
例3．求f ( x) a 2 x3ax 2x 1 的单调区间小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况）。
含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注意结合图象确定相应区间正负。
变式练习 3．求 f ( x) 1 x3 1 ax2 x 1 的单调区间3 2小结：三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论；然后再讨论有两不等根的，结合导函数图象列变化表，注意用根的符号x1 , x2代替复杂的式，最后结论才写回。
0 时，相应区间原函数为常数，一般中个别点处导数为 0 不影响单调性。
只有在某区间导数恒为学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况。
例4．已知函数 f (x) ax3 3x2 3x 1,a R ,讨论函数 f ( x) 的单调性.分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。
而确定函数的增区间就是确定 f ' (x) 0 的解区间；确定函数的减区间就是确定 f ' ( x) 0 的解区间；讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。
小结：导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论（先讨论其为0 情形），然后讨论判别式（先讨论判别式为负或为0 的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的），判别式为正的情况下还要确定两根的大小（若不能确定的要进行一步讨论），最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。
例 5．已知函数f (x) ln x ax 1 a1 (a R) .讨论 f ( x) 的单调性；x小结：此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域，再讨论两根大小注，结合 g(x) 的图象确定其在相应区间的符号，得出导函数符号。
讨论要点与解含参不等式的讨论相应。
三、巩固作业：1. 已知函数f (x) ln x a. ，求 f ( x) 的单调区间. x2. 已知函数f(x)= 1x 2－ ax+( a－ 1) ln x，讨论函数f ( x) 的单调性,求出其单调区间。
23.已知函数 f (x)=ln(1+x)-x+ x2(k≥0)，求 f (x)的单调区间.4 、设a0 ，讨论函数 f ( x) ln x a(1 a)x22(1a) x 的单调性．注意：必须问什么答什么，分类讨论最后必须有综述.a 的定义域为 ( ,0) (0, )1、解： f ( x) xxax 2 a2a 同号 )f ' (x) 1x 2 (x 0) (它与 g( x) xx 2I ）当 a 0 时， f ' ( x)0( x 0) 恒成立，此时 f ( x) 在 (,0) 和 (0,) 都是单调增函数，即 f ( x) 的增区间是 ( ,0) 和 (0, ) ;II) 当 a0 时 f ' (x)0( x0)xa 或 x af ' (x) 0( x 0)ax 0或 0 xa 此时 f ( x) 在 (, a ) 和 ( a,) 都是单调增函数，f ( x) 在 ( a ,0) 和 (0, a) 都是单调减函数，即 f (x) 的增区间为 ( , a ) 和 ( a ,) ;f (x) 的减区间为 ( a,0) 和 (0, a ) .变式 1解： f ( x) xa ln x 的定义域为 (0,)f ' (x) 1I ）当 a 0 时， 此时 f ( x)ax a0) (它与 g( x)x a 同号 )x(xxf ' ( x) 0( x 0) 恒成立，在 (0, ) 为单调增函数，即 f ( x) 的增区间为 (0, ) ，不存在减区间 ; II) 当 a0 时f ' ( x) 0( x 0)x a ;f ' (x) 0(x0)0 xa此时 f ( x) 在 (a, ) 为单调增函数，f ( x) 在 (0, a) 是单调减函数，即 f (x) 的增区间为 ( a,) ; f (x) 的减区间为 ( 0, a) . 2 解： f (x)ax ln x 的定义域为 ( 0,)1 ax 1(它与 g(x)ax 1 同号 )f ' ( x) a( x 0)xxI ）当 a0 时， f ' (x)0(x 0) 恒成立 （此时 f ' ( x) 0x1 没有意义）a此时 f (x) 在 (0, ) 为单调增函数，即 f (x) 的增区间为 (0,)II ）当 a0 时， f ' (x)0(x 0) 恒成立， （此时 f '( x)x1 不在定义域，没有意义）a此时 f ( x) 在 (0, ) 为单调增函数，即 f ( x) 的增区间为 (0,)III)当 a0时 , 令 f ' (x) 0x1 a于是，当 x 变化时， f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表：(结合 g(x) 图象定号 )x1 1 1)(0, )(,aaaf ' (x)f ( x)增↗减↘所以，此时 f ( x) 在 (0,1) 为单调增函数，f ( x) 在 ( 1 , ) 是单调减函数，aa即 f (x) 的增区间为 (0, 1 ) ; f (x) 的减区间为 ( 1, ) .aa变式 2 解： f (x)1 ax2 ln x 的定义域为 (0, )2f ' (x) ax1 ax 21( x 0) , 它与 g(x)ax 2 1同号 .x x令 f ' (x) 0ax 2 1 0( x 0) ，当 a 0 时，无解；当 a 0 时, x1 aa(另一根不在定义域舍去 )ai) 当 a0 时， f ' ( x)0(x0) 恒成立 （此时 f '( x) 0x 21 没有意义）a此时 f (x) 在 (0, ) 为单调增函数，即f (x) 的增区间为 (0,)ii) 当 a0 时， f '( x)0( x 0) 恒成立，(此时 方程 ax 21 0 判别式0 ,方程无解 )此时 f ( x) 在 (0, ) 为单调增函数，即 f ( x) 的增区间为 (0,)iii)当 a 0时 ,当 x 变化时， f ' (x), f (x) 的变化情况如下表：(结合 g(x) 图象定号 )x(0,1 ) 1 (1 , )aaaf ' (x)f ( x)增↗减↘所以， 此时 f (x) 在 (0,1 ) 为单调增函数， f ( x) 在 (1, ) 是单调减函数，aa即 f (x) 的增区间为 ( 0,1) ; f ( x) 的减区间为 (1 , ) .aa3 解： f (x)a 2 x 3 ax 2 x 1的定义域为 R ，f ' ( x)3a 2 x 2 2ax 1 (3ax 1)(ax 1)I) 当 a 0时， f ' ( x) 1 0 f (x) 在 R 上单调递减， f (x) 减区间为 R ，无增区间。
II) 当 a0 时 3a 2 0 ， f '( x) 是开口向上的二次函数，令 f ' ( x)0得 x 11, x 21 0) ,f ' ( x) 的图象）3a (a 因此可知（结合ai)当 a 0 时， x 1 x 2f ' (x) 0x1或 x1; f ' ( x) 01 x 1a3aa 3a所以此时， f (x) 的增区间为 (1 和 1) ； f (x) 的减区间为( 1 1 ),)( ,a ,a 3a3aii)当 a0时， x 1 x 2f ' (x)x 1或 x1 ;3aa f ' (x) 01 13axa所以此时，f (x) 的增区间为 (,1)和( 1 ,3aa 变式 3 解： f ( x) 的定义域为 R ， f ' ( x) x 2ax 1f ' ( x) 是开口向上的二次函数，a 24I)当02 a 2 时， f ' (x) 0 恒成立所以此时 f (x) 在 R 上单调递增，f ( x) 增区间为11) ； f ( x) 的减区间为 (,)R ，无减区间。
II)当a2或a2 时令 f ' ( x)0得 x 1aa 24, x 2aa24, x 1 x 2 22 因此可知（结合 f ' ( x) 的图象） f (x) 与 f ' (x) 随 x 变化情况如下表x( , x 1 )x 1( x 1 , x 2 )x 2( x 2 , )f ' (x)f (x)增↗减↘增↗所以此时， f ( x) 的增区间为 (, aa 24)和( aa 2 4, )；22f (x) 的减区间为 (aa 2 4 , aa 2 4 ) 22练习 1 解： 函数的定义域为（0，+ ）， f x 1ax ax2x 2,x令 f ' x 0得：xa若a 即 a ，则f x0, f x 在 (0, ) 上单调递增； 0 0若a即 a ，则由 f x 得 x>-a , 由 f x 0 得 x<-a0 0 0fx 在 ( a , )上单调递增 , 在 0,-a 上单调递减 .总之，当 a 0时，f x 在 (0,)上单调递增；当 a 0时，f x 在 ( a , ) 上单调递增 , 在 0,-a上单调递减 .练习 2解：f ( x) 的定义域为 (0,) .f '(x) x aa 1 x 2ax a 1 ( x 1)(x 1 a)x1 x a1=xx xx令f 'x0得: x 11, x 2 a 1(1) 若 a 1 0即a1时， f ' (x)0 x 1; f ' (x) 0 0 x 1此时 f ( x)在(1, )单调递增 ,在 (0,1)单调递减(2) 若 a 1 0即 a 1时，①若a 1 1 即a 2 时， f ' ( x) ( x 1)2 >0, 故 f (x) 在(0, ) 单调递增.x②若 0< a 1 1 ,即 1 a 2 时，由 f ' ( x)0 得， a 1x 1 ；由 f ' ( x) 0得， 0 x a 1或x 1故 f ( x) 在 (a 1,1) 单调递减，在 (0, a 1),(1, ) 单调递增 .③若 a 1 1,即 a 2 时，由 f ' ( x)0 得， 1 x a 1 ；由 f ' ( x) 0得， 0 x 1或x a 1故 f ( x) 在 (1,a 1) 单调递减，在 (0,1),( a 1, ) 单调递增 .综上所述 ，当 a1 ， f ( x) 单调增区为 (1, ) ,减区间是 (0,1) ;当 1 a 2 时， f (x) 的减区间是 ( a 1,1) ，增区间是 (0, a 1),(1,) ；当a2时， f ( x) 在定义域上递增，单调增区为 (0, ) （不存在减区间） ;当 a 2时， f ( x) 的减区间是 (1,a 1) ，在增区间是 (0,1),( a 1, ) .、解： x (1, ) ， x( kx k 1) .'1 kf '(x)令 f x0得 : x 1 0, x 2, k31 xk（ 1） 当 k0 时， f '( x)x .1x所以，在区间 ( 1,0) 上， f '(x) 0 ；在区间 (0, ) 上， f '( x) 0 .故 f (x) 的单调递增区间是( 1,0) ，单调递减区间是 (0,) .（ 2）当 x1即1k1时，考虑到 k>0得，无解 .2k（ 3）当 x 2x 1 即 k 1 时， f '(x)x 2故 f ( x) 的单调递增区间是 ( 1, ) .1 x（ 4）当 x 2 x 1 即0 k （0 ）时，1 Q k由 f '( x)0 得， 0 x 1k；由 f ' ( x) 0 得， 1 x0或 x1 kkk故 f (x) 的单调递增区间是( 1,0) 和 (1 k, ) ，单调递减区间是(0,1 k) .kk（5）当 21 即k 1 （Q k 0 ）时，x x由 f ' ( x)0 得，1 kx 0 ；由 f ' ( x) 0 得， 1 x1 k或 x 0kk故 f (x) 的单调递增区间是( 1,1 k) 和 (0, ) ，单调递减区间是 (1 k k,0) .k综上知 : 当 k0 时， f ( x) 得单调递增区间是 ( 1,0) ，单调递减区间是 (0, ) ；当 k 1 时， f ( x) 的单调递增区间是 ( 1,) ；当 0k1时， f (x) 的单调递增区间是 (1,0) 和 1 k ,1 k () ，单调递减区间是 (0,)kk4、解： 函数 f (x) 的定义域为 (0,)f ( x)12a(1 a) x2(1 a)2a(1 a) x22(1 a) x 1 (x>0)xx令 g ( x) 2a(1 a) x 2 2(1 a) x 1,则 f ' ( x) 与 g( x) 同号（1）当 a1 0, f (x)ln x 在定义域 (0,) 上为增函数1时， g (x) 1, f '( x)x(2) 当 a1时 ,4(1 a) 2 8a(1 a) 12 a 2 16a4 4(3a 1)(a 1)当1 a 1 时， g(x)开口向上，图象在 x 轴上方，所以 g (x)3所以 f ( x) 0 ，则 f (x) 在 (0, ) 上单调递增a 1,此时令 f (x) 0 ，解得 x 11 a , x 21 a 当或 a 12a(1 2a(1 a)3a)由于 2a(1 a) 0a 1 g( x)开口向上且 0x 1x 2 ，因此可进一步分类讨论如下：i) 当 a 1 时， 2a(1 a)0 g (x)开口向下 ，x 20 x 1 ∵ x 0 ， f (x) 00 x x 1 ;f (x) 0x x 1则 f (x) 在 (0,1 a (3a 1)(a 1)) 上单调递增，2a(1 a)在 (1 a (3a 1)(a 1) , ) 上单调递减 2a(1 a)ii)当 0 a1 0 x x 1 或 x x2 ; f (x) 0x 1 x x 2时， f ( x) 03则 f ( x) 在 (0, 1 a(3a 1)(a 1) ) ， ( 1 a(3a 1)(a 1) , ) 上单调递增，2a(1 a) 2a(1 a)在 ( 1a(3a 1)(a 1) , 1 a(3a 1)(a 1) ) 上单调递减2a(1 a)2a(1 a)综上所述， f(x)的单调区间根据参数 a 讨论情况如下表：11 a 1a1a33(0, x 1 )( x 1, x 2 )( x 2 , )(0,)(0, x 1)( x 1, )增 Z减 ]增 Z增 Z增 Z增 ]（其中 x 11(a 1)(3a 1), x 2 1(a 1)(3a 1) )2a 2a(1 a)2a2a(1 a)当 k1 时， f (x) 的单调递增区间是 ( 1,1 k) 和 (0, ) ，单调递减区间是 (1 k,0) .kk。