2017高考数学二轮专题复习(检测)-第二篇 专题满分突破 专题七 概率与统计：课时巩固过关练(二十)

课时巩固过关练(二十) 概率、随机变量与分布列

一、选择题 1．(2016·吉林扶余月考)甲同学参加一次数学竞赛考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，规定每次考试都从备选中有放回地取题，每次取一题，取三次随机进行测试，至少答对2题才算合格，则甲合格的概率为( )

A．0.72 B.23 C．0.36 D．0.648 解析：甲合格的情况有两种情况，即甲答对两题或者甲答对三题，设甲答对的题数为X，则P(合格)＝P(X＝2)＋P(X＝3)

＝C26C14C310＋C36C310＝12＋16＝23. 答案：B 2．集合A＝{(x，y)|y≥|x－1|}，集合B＝{(x，y)|y≤－|x|＋6}，先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子得点数为a，掷第二颗骰子 得点数为b，则(a，b)∈A∩B的概率等于( )

A.14 B.29

C.736 D.1136 解析：先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子得点数为a，掷第二颗骰子得点数为b，则(a，b)共有36种结果．集合A＝{(x，y)|y≥|x－1|}，集合B＝{(x，y)|y≤－|x|＋6}，则A∩B＝{(x，y)|y≥|x－1|，y≤－|x|＋6}，把所有的点数代入集合检验，满足题意的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)

共11种，故所求概率为1136. 答案：D 3．(2016·四川南充一模)春节前，某市一过江大桥上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14 解析：设两串彩灯分别在通电后x秒，y秒第一次闪亮，则所有的可能情况对应的平面区域为正方形OABC，作出直线x－y＝3和直线y－x＝3，则两灯在第一次闪亮时刻不超过3秒对应的平面区域为六边形ODEBGF，

∴P＝S六边形S正方形＝36－12×32×236＝34.

答案：B 4．(2016·河北邯郸大名一中月考)在

满足条件 2x－y－2≤0，3x＋y－3≥0，x＋y－7≤0的区域内任取一点M(x，y)，则点M(x，y)满足不等式(x－1)2＋y2<1的概率为( ) A.π60 B.π120 C．1－π60 D．1－π120 解析：如图，不等式组表示的平面区域为△ABC，可求出其面积为15；不等式(x－1)2＋y2<1表示的是以(1,0)为圆心，1为半径的圆面．由图知，圆面与不等式组

表示的平面区域的公共部分为18个圆，即

公共部分的面积为π8.由几何概型的概率公

式得，所求概率为π815＝π120.

答案：B 5．将数字1,2,3,4任意排成一排，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，则巧合数的数学期望为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：设ξ为巧合数，则P(ξ＝0)＝9A44

＝924，P(ξ＝1)＝C14×2A44＝13，P(ξ＝2)＝C24A44＝14，P(ξ＝3)＝0，P(ξ＝4)＝C44A44＝124，所以

E(ξ)＝0×924＋1×13＋2×14＋3×0＋4×124＝1，即巧合数的期望为1. 答案：A 6．如图，EFGH是以O为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形HOE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝( )

A.14 B.13 C.π8 D.π4 解析：由题意，得P(AB)＝S△EOHS⊙O＝12×1×12π×12＝14π，∵P(A)＝S正方形EFGHS⊙O＝1π，∴

P(B|A)＝PABPA＝14. 答案：A 7．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9,0.9,0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为( ) A．0.998 B．0.046 C．0.002 D．0.954 解析：设Ak表示“第k架武装直升机命中目标”，k＝1,2,3，这里A1，A2，A3

独立，且P(A1)＝0.9，P(A2)＝0.9，P(A3)

＝0.8.①恰有两枚导弹命中目标的概率为P(A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.9×0.9×0.2＋ 0.9×0.1×0.8＋0.1×0.9×0.8＝0.306.②三枚导弹都命中的概率为0.9×0.9×0.8＝0.648.∴目标被摧毁的概率为P＝0.306＋0.648＝0.954. 答案：D 8．已知三个正态分布密度函数φi(x)

＝12πσie－x－μi22σ2i(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则( )

A．μ1σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2C．μ1＝μ2D．μ1解析：三个正态分布密度函数的对称轴分别为直线x＝μ1，x＝μ2，x＝μ3，由图象可知μ1样，比φ3(x)瘦高，∴σ1＝σ2答案：D 二、填空题 9．袋子里装有5只球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3只球，用X表示取 出的球的最大编号，则E(X)等于__________． 解析：X可能的取值为3,4,5，则P(X

＝3)＝110，P(X＝4)＝310，P(X＝5)＝610＝35，

∴E(X)＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5. 答案：4.5 三、解答题 10．(2016·山东德州期末)某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有10人．

(1)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数； (2)若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，3人9 分，5人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和X的分布列和数学期望． 解：(1)因为“铅球”科目中成绩等级为E的学生有10人，所以该班有10÷0.2＝50(人)，所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为50×(1－0.375－0.375－0.150－0.020)＝50×0.080＝4. (2)设两人成绩之和为X，则X的值可以为：16,17,18,19,20.

P(X＝16)＝C25C210＝1045＝29；P(X＝17)＝C15C13C210＝1545＝13；P(X＝18)＝C15C12C210＋C23C210＝1345；

P(X＝19)＝C12C13C210＝645＝215；P(X＝20)＝C22C210

＝145.

∴X的分布列为 X 16 17 18 19 20

P 29 13 1345 215 145 ∴X的数学期望为 E(X)＝10×16＋15×17＋13×18＋6×19＋20×145

＝78345＝875. 11．(2016·湖南浏阳一中期中)英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)． (1)英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率； (2)某学生对后两天所学过的单词每

个能默写对的概率为45，对前两天所学过

的单词每个能默写对的概率为35.若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和期望． 解：(1)设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个是后两天学过的事件为A，

则由题意可得P(A)＝C36C16＋C46C412＝311. (2)由题意可得ξ可取0,1,2,3，则有P(ξ＝0)＝152×25＝2125，P(ξ＝1)＝C12×45×15

×25＋152×35＝19125，P(ξ＝2)＝452×25＋C12

×45×15×35＝56125，P(ξ＝3)＝452×35＝48125. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 错误! 错误! 错误! 错误!

故E(ξ)＝0×2125＋1×19125＋2×56125＋

3×48125＝115.