基本不等式公开课翁建 21页PPT文档
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2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第二课时基本不等式的应用)
利用基本不等式求最值 【例 1】 (1)已知 x<54，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值； (2)已知 0<x<12，求 y＝12x(1－2x)的最大值． [思路点拨] (1)看到求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值，想到如何才能出现 乘积定值；(2)要求 y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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10
合作探究 提素养
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11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
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38
13
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14
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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33
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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合作探究 提素养
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(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
《基本不等式》PPT课件
答案：－2
3．设 0<x<32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值． 解：∵0<x<32，∴3－2x>0， ∴y＝4x·(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤22x＋23－2x2＝92. 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立． ∵34∈0，32， ∴函数 y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92.
ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)；(a＋2 b)2 ≤ a2＋2 b2(a，b∈R)．
三、算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 a＋b，几何平均 2
数为 ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数 ．
四、利用基本不等式求最值问题
4．(1)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大值． (2)x＜3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值． (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求3x＋4y的最小值．
解：(1)∵0<x<2，∴2－x>0， ∴y＝ x2x＝ 2· x2－x≤ 2·x＋22－x＝ 2， 当且仅当 x＝2－x，即 x＝1 时取等号， ∴当 x＝1 时，函数 y＝ x4－2x的最大值是 2. (2)∵x＜3，∴x－3＜0，∴3－x＞0， ∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋(x－3)＋3
[归纳领悟] 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一 种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发， 借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最 后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可 知”，逐步推向“未知”．
[题组自测] 1．下列函数中，最小值为 4 的函数是
3．设 0<x<32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值． 解：∵0<x<32，∴3－2x>0， ∴y＝4x·(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤22x＋23－2x2＝92. 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立． ∵34∈0，32， ∴函数 y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92.
ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)；(a＋2 b)2 ≤ a2＋2 b2(a，b∈R)．
三、算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 a＋b，几何平均 2
数为 ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数 ．
四、利用基本不等式求最值问题
4．(1)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大值． (2)x＜3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值． (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求3x＋4y的最小值．
解：(1)∵0<x<2，∴2－x>0， ∴y＝ x2x＝ 2· x2－x≤ 2·x＋22－x＝ 2， 当且仅当 x＝2－x，即 x＝1 时取等号， ∴当 x＝1 时，函数 y＝ x4－2x的最大值是 2. (2)∵x＜3，∴x－3＜0，∴3－x＞0， ∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋(x－3)＋3
[归纳领悟] 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一 种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发， 借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最 后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可 知”，逐步推向“未知”．
[题组自测] 1．下列函数中，最小值为 4 的函数是
基本不等式优秀PPT课件
E
Rt三角形ACD与Rt三角形DCB相似
a CD CD b
CD2 ab CD ab
a b ab (当且仅当a b时，取" "号)
2
基本不等式的几何意义是：“.半径不小于半弦。” 11
1.如图,AB是圆o的
P
直径，Q是AB上任
一点，
AQ=a,BQ=b,过
点Q作垂直于AB的
A
ao
Qb
B
弦PQ，连AP,aBbP,
则半弦PQa=__b __,
半径AO=__2___
你能用这个图得出基本 2.PQ与AO的大小关系怎样
不等式的几何解释吗?
动态演示
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
.
12
证明:当 a 0,b 0 时,a b ab . 2
证明:要证 a b ab ① 2
只要证 a b ( 2 ab ) ②
那么错在哪里？
１．已知函数 f (x)
x
1
，求函数的
最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个
条件．
.
30
２．已知函数
f (x) x 3 (x 2) x2
，
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个 条件．
.
31
a2 b2
b
B
C a2 +b2 > 2ab
S四个三角形 2ab S大正方形 a2 b2
.
4
新课探究
特别地，当a=b时又有怎样的结论？
D
a2 +b2 =2ab
A
a GHFE
C
b
.
5
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2(xy)≥ 40
当且仅x+当y有x=最y小时值，_等_2_号__P成__立. 此时x=y=10.
因最此短，，x解 这最yx≥ 个短yx2矩的1y0x 形篱0y， 的笆可 2长是得 P 、40宽mxy.都1100为10m时，所用的篱笆
例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形
3.我们把不等式 a b ab (a≥0,b≥0)
2
称为基本不等式
把
a
2
b
看做两个正数a，b 的等差中项，
a b 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明上面 的基本不等式呢?
下面请大家一起观察图形：
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
END
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
Rt△ACD∽Rt△DCB， 所 以 B C D C
DC A C 所 以 D C 2B C A C a b
xy ≤ 81 即x=y=9
因菜x 此 园y≤ ，面这积x个最 2矩大y形，的最S 2长大 、面x 宽积y≤ 都是为81 4 19mS m22时，
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
4,函数的最4小 。值为
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
并说明此时x,y的值． 当x=6,y=4时,最小值为48
2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值最．小值为8
3已知2x+3y=2(x＞0,y＞0);则xy的最大值 是______6_______
4
已知 0 x 1 ，求函数 yx(13x)的最大值；
3
1/12
◎已知 x>0，y>0，且 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． 【错解一】 ∵x＋2y＝1，∴1x＋1y＝1＋1x＋1y－1 ＝x＋2y＋1x＋1y－1＝x＋1x＋2y＋1y－1 ≥2 x·1x＋2 2y·1y－1＝2＋2 2－1＝1＋2 2. ∴1x＋1y的最小值为 1＋2 2.
【错解二】 ∵x＋2y＝1，∴1x＋1y＝1x＋1y×1＝ 1x＋1y(x＋2y)≥2 2xy·2 x1y＝4 2， ∴1x＋1y的最小值为 4 2.
【错因】 错解一：在求解过程中两次使用基本不等式， 第一次是 x＋1x≥2，第二次是 2y＋1y≥2 2，这两次中取“＝” 号的条
定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”）
证明： a2b22a b(ab)2
当ab时(a， b)2 当ab时(a， b)2
0 0
a2 b2
2ab
1．指出定理适用范围： a,bR
2．强调取“=”的条件： a b
均值定理： 如果a, b∈R+，那么 ab ab
菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面
积最大，最大面积是多少？
A
D
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
y
则 2(若x x+、y)y=皆3为6 ,正x数+ ，y =18
B
x
C
矩形则菜当园x的+y面的积值为是x常y m数2S时，
当且x当xy仅y≤有且当x最仅x2=大当yy时值x1=2，_8y_时等_14_9，号_S _成2_；立得
D a OC b B
E
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
D a OC b B
E
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD
2
（当且仅当a=b 时，式中等号成立） 证明：∵ ( a)2( b)22ab
∴ab2 ab 即：ab ab
2
当且仅当a=b时 ab ab
2
称 a b 为a，b 的算术平均数，
2
称 a b 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数.
2．语言表述：两个非负数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
求函数的最小值．
解： f ( x) x 3 2 x 3
x2
x2
x 2
当且仅当
x3源自即x 3时，函数 x2的最小值是 6。
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
3 求函 ys数 ins4in其中 （ 0， 2]
的最小值。
解： ysinsi4n2 sinsi4n
a b ab 2
平潭城东中学 翁 建
教学目标
推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极 值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
教学重点： 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的
几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
件不一样．第一次中取“＝”号的条件为 x＝1，而第二 次中取“＝”号的条件为 y＝ 22，此时 x＋2y＝1＋ 2≠1， 不符合已知条件，所以这两次使用基本不等式的结果相加后 的“＝”号取不到．
错解二：在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋ 2y≥2 2xy，1x＋1y≥2 x1y，同样这两次中取“＝”号的解分 别为 x＝2y 与 x＝y，这自相矛盾，所以两式相乘后“＝”号 取不到．
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
规律：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
（积定和最小） 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
（和定积最大）
利用基本不等式求最值时，要注意
①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”
下面几道题的解答可能有错，如果错了，
那么错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
解 : f (x) x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 即x 1时函数 x
取到最小值2.
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f(x)x 3 (x2) ， x2
a b ≥ ab 几何意义：半径不小于弦长的一半 2
例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜
园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最
短的篱笆是多少？
A
D
解：如图设BC=x ，CD=y ，
y
则xy=若1x0、0，y皆篱为笆正的数长，为2(x+y)m. B
x
C
x 则y≥当xxyy的值 是x常数y≥ P时2，10020, 2当且仅当x=y时，
【正解】 ∵x＋2y＝1，且 x>0，y>0， ∴1x＋1y＝(x＋2y)1x＋1y ＝1＋2＋xy＋2xy≥3＋2 2，当且仅当xy＝2xy，即 x2＝2y2 时取“＝”号．
∴xx2＋＝22yy＝2，1， x>0，y>0，
x＝ 2－1，
解得y＝1－
2 2.
即 x＝ 2－1，y＝1－ 22时，1x＋1y取最小值为 3＋2 2.
当且仅x+当y有x=最y小时值，_等_2_号__P成__立. 此时x=y=10.
因最此短，，x解 这最yx≥ 个短yx2矩的1y0x 形篱0y， 的笆可 2长是得 P 、40宽mxy.都1100为10m时，所用的篱笆
例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形
3.我们把不等式 a b ab (a≥0,b≥0)
2
称为基本不等式
把
a
2
b
看做两个正数a，b 的等差中项，
a b 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明上面 的基本不等式呢?
下面请大家一起观察图形：
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
END
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
Rt△ACD∽Rt△DCB， 所 以 B C D C
DC A C 所 以 D C 2B C A C a b
xy ≤ 81 即x=y=9
因菜x 此 园y≤ ，面这积x个最 2矩大y形，的最S 2长大 、面x 宽积y≤ 都是为81 4 19mS m22时，
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
4,函数的最4小 。值为
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
并说明此时x,y的值． 当x=6,y=4时,最小值为48
2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值最．小值为8
3已知2x+3y=2(x＞0,y＞0);则xy的最大值 是______6_______
4
已知 0 x 1 ，求函数 yx(13x)的最大值；
3
1/12
◎已知 x>0，y>0，且 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． 【错解一】 ∵x＋2y＝1，∴1x＋1y＝1＋1x＋1y－1 ＝x＋2y＋1x＋1y－1＝x＋1x＋2y＋1y－1 ≥2 x·1x＋2 2y·1y－1＝2＋2 2－1＝1＋2 2. ∴1x＋1y的最小值为 1＋2 2.
【错解二】 ∵x＋2y＝1，∴1x＋1y＝1x＋1y×1＝ 1x＋1y(x＋2y)≥2 2xy·2 x1y＝4 2， ∴1x＋1y的最小值为 4 2.
【错因】 错解一：在求解过程中两次使用基本不等式， 第一次是 x＋1x≥2，第二次是 2y＋1y≥2 2，这两次中取“＝” 号的条
定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”）
证明： a2b22a b(ab)2
当ab时(a， b)2 当ab时(a， b)2
0 0
a2 b2
2ab
1．指出定理适用范围： a,bR
2．强调取“=”的条件： a b
均值定理： 如果a, b∈R+，那么 ab ab
菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面
积最大，最大面积是多少？
A
D
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
y
则 2(若x x+、y)y=皆3为6 ,正x数+ ，y =18
B
x
C
矩形则菜当园x的+y面的积值为是x常y m数2S时，
当且x当xy仅y≤有且当x最仅x2=大当yy时值x1=2，_8y_时等_14_9，号_S _成2_；立得
D a OC b B
E
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
D a OC b B
E
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD
2
（当且仅当a=b 时，式中等号成立） 证明：∵ ( a)2( b)22ab
∴ab2 ab 即：ab ab
2
当且仅当a=b时 ab ab
2
称 a b 为a，b 的算术平均数，
2
称 a b 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数.
2．语言表述：两个非负数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
求函数的最小值．
解： f ( x) x 3 2 x 3
x2
x2
x 2
当且仅当
x3源自即x 3时，函数 x2的最小值是 6。
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
3 求函 ys数 ins4in其中 （ 0， 2]
的最小值。
解： ysinsi4n2 sinsi4n
a b ab 2
平潭城东中学 翁 建
教学目标
推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极 值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
教学重点： 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的
几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
件不一样．第一次中取“＝”号的条件为 x＝1，而第二 次中取“＝”号的条件为 y＝ 22，此时 x＋2y＝1＋ 2≠1， 不符合已知条件，所以这两次使用基本不等式的结果相加后 的“＝”号取不到．
错解二：在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋ 2y≥2 2xy，1x＋1y≥2 x1y，同样这两次中取“＝”号的解分 别为 x＝2y 与 x＝y，这自相矛盾，所以两式相乘后“＝”号 取不到．
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
规律：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
（积定和最小） 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
（和定积最大）
利用基本不等式求最值时，要注意
①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”
下面几道题的解答可能有错，如果错了，
那么错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
解 : f (x) x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 即x 1时函数 x
取到最小值2.
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f(x)x 3 (x2) ， x2
a b ≥ ab 几何意义：半径不小于弦长的一半 2
例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜
园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最
短的篱笆是多少？
A
D
解：如图设BC=x ，CD=y ，
y
则xy=若1x0、0，y皆篱为笆正的数长，为2(x+y)m. B
x
C
x 则y≥当xxyy的值 是x常数y≥ P时2，10020, 2当且仅当x=y时，
【正解】 ∵x＋2y＝1，且 x>0，y>0， ∴1x＋1y＝(x＋2y)1x＋1y ＝1＋2＋xy＋2xy≥3＋2 2，当且仅当xy＝2xy，即 x2＝2y2 时取“＝”号．
∴xx2＋＝22yy＝2，1， x>0，y>0，
x＝ 2－1，
解得y＝1－
2 2.
即 x＝ 2－1，y＝1－ 22时，1x＋1y取最小值为 3＋2 2.