基本不等式的几种应用技巧PPT课件
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小结
利用基本不等式求最值
（１）注意事项：一正，二定，三相等； （２）形式上不符合条件的，应先变形，再用基本不等
式，常用变形方法有： 添项，凑系数，拆项， “１”的代换等方法. （３）取不到等号时，用函数单调性求最值.
即 一 不 正 ,a 0 ,b 0 常 用 a b 2a b
二不定,需变形 三 不 等 ,常 用 单 调 性
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基本不等式的几种应用技巧
蒙城六中 陈涛
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基本不等式的几种应用技巧
最值问题始终是高考数学的热点题 型之一，而利用基本不等式求函数的 最值是应用比较广泛且方便的解题方 法。本节课我们将对基本不等式应用 过程中的注意事项及常用的变形技巧 做简单的梳理。
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基本不等式的几种应用技巧
基本不等式
ab ab(a0,b0) 2
.
基本不等式的几种应用技巧
练一练
1.已x知 2,求函 y数 x 4 的最.大值 x2
２ .若 0x2,则函 yx数 82x 2有最
值 ，此时x=
４ ３ ..已 求函 x知 y0 数 ,求 x2函 5y 的x 数 2最 3 xx小 .4的 值 最. 大 x2 4
.
基本不等式的几种应用技巧
方法分析 对于常见的分子为二次式，分 母为一次式的分式函数求最值，我 们常将分子中的变量凑成分母的形 式，然后分离分式，再用基本不等 式解决。
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基本不等式的几种应用技巧
解： x 1 ， x 1 0 ，
y
x2
3x1
x12５ x１ ５
x1
x1
x1 5 52 x1• 5 ５
x1
x1
2 55
当且仅 x当 12 5,即x 51时等号
成立，故原函为 数 ２５ 的５ 值， 域
.
基本不等式的几种应用技巧
题型四：“１”的整体代换
例 .已 ４x知 y, R ,若 2xy1求 ,1１的最 值小
解 x0，y0
xy
错因：解答中两次
：
12xy2 2xy
运用基本不等式取“=”
xy 1 即 1 2 2 2 xy
2
号过渡，而这两次取
112 122 24 2 “=”号的条件是不同
.
基本不等式的几种应用技巧
又 0si n1, 原数 函不能取 22最 . 小
令 y你的还单ts 记调 得性2it函么在 n则 ,数 ？0α y, 1上 xy t 单a 2 xt调 ,,ta 递 0 0减 ,1， t 当t1时， 即 si n1 , 时 ,
y y有最小 . 值 min 3 2
x y
2 2
1
2
2 2
ymin 32 2
基本不等式的几种应用技巧
题型五：等号不成立，改用单调性
例５.已知 的最小值.
0，
2
，求函数
ysin 2 sin
解 ：
0， 2， 0sin1，
ysin 2 sin
2
sin• 2 sin
2
2
当且s仅 i n当 s2 i n时， si即 n 2时，
等号.成立
.
基本不等式的几种应用技巧
解： ０ x 4 , 8 2 x 0 一正
yx82x12x•82x
2
12x82x2 8
二定
2 2
当且2仅 x8当 2x,即 x2时等号成
从而y有最大值８.
三相等
.
基本不等式的几种应用技巧
题型三：拆项
例３.当 x1 时，求函数 y x2 3x1 的值域. x1
y ＝１ ４
，则
分析：因为x ,y都大于０，因此对所给条件直接运用基 本不等式即可得到x.y相应的不等式
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基本不等式的几种应用技巧
解： x0 ,y0 ,
一正
１３ ＝ x４ y２３ x•4y
xy 3
当且仅 xy当 ，x即 6,y8时取等号， 34
于是 xy １，xy 3， 3
故xy的最大值为３.
x y xy
的，故结果错.
即11的最小值为4 2.
xy
.
例 .已 ４x知 y , R ,若 2xy1求 ,1 １的最 值小 xy
正解：
1 x
1 y
１x １y2x y
3 y 2x 32 2
xy
“1”代换 法
当 且 仅 当 y2 x即 y2 x时 ， 等 号 成 立 . xy
而 y 2x
2x y 1
当且仅当a b时等号成立
常用不等式串
2ab ab a b a2 b2
ab
2
2
当且仅当 a b 时等号成立
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基本不等式的几种应用技巧
最值定理
已知x,y都是正数：
（１）如果积 x y是定值p，那么当且仅当 xy 时，和x y 有
最小值 ２ p
（２）如果和x y是定值s，那么当且仅当 xy时，积 x y有最
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基本不等式的几种应用技巧
题型二：添项
例２Ａ函数.３y２3x2３x261的最小Ｂ值.是３ （ ）
Ｃ.６ ２
Ｄ６. ２３
方法提示 对于求和的表达式的最值计算，若
要用基本不等式解决，就要努力构造含 变量的表达式乘积为定值的结构，我们 常通过添项来解决。
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基本不等式的几种应用技巧
解:y3x2x261＝３ x2１ 二定x261３
２３x2 １•x261３＝６２３
当且仅x2当 １３ x261时，等号成
即ymin６２３
三相等
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基本不等式的几种应用技巧
题型三：凑系数
例3.已知 0x4，求 yx82x的最大值。
方法提示
对于求积的表达式的最值计算，若 要用基本不等式解决，就要努力构造 含变量的表达式的和为定值的结构，
我们常通过凑相应的变量系数来解决。
大值 1 S 2 4
定积求和，和最小；定和求积，积最大
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基本不等式的几种应用技巧
应用基本不等式应注意的事项 （１）各项必须为正值 （２）含变量的各项和或积必须为定值 （３）必须有自变量值能使函数值取到“=”号
“一正,二定,三相等”
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基本不等式的几种应用技巧Baidu Nhomakorabea
题型一：基本不等式的直接应用
例xy１的已最知大值x,为yR__，_且__满__足_。３x
小结
利用基本不等式求最值
（１）注意事项：一正，二定，三相等； （２）形式上不符合条件的，应先变形，再用基本不等
式，常用变形方法有： 添项，凑系数，拆项， “１”的代换等方法. （３）取不到等号时，用函数单调性求最值.
即 一 不 正 ,a 0 ,b 0 常 用 a b 2a b
二不定,需变形 三 不 等 ,常 用 单 调 性
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基本不等式的几种应用技巧
蒙城六中 陈涛
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基本不等式的几种应用技巧
最值问题始终是高考数学的热点题 型之一，而利用基本不等式求函数的 最值是应用比较广泛且方便的解题方 法。本节课我们将对基本不等式应用 过程中的注意事项及常用的变形技巧 做简单的梳理。
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基本不等式的几种应用技巧
基本不等式
ab ab(a0,b0) 2
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基本不等式的几种应用技巧
练一练
1.已x知 2,求函 y数 x 4 的最.大值 x2
２ .若 0x2,则函 yx数 82x 2有最
值 ，此时x=
４ ３ ..已 求函 x知 y0 数 ,求 x2函 5y 的x 数 2最 3 xx小 .4的 值 最. 大 x2 4
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基本不等式的几种应用技巧
方法分析 对于常见的分子为二次式，分 母为一次式的分式函数求最值，我 们常将分子中的变量凑成分母的形 式，然后分离分式，再用基本不等 式解决。
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基本不等式的几种应用技巧
解： x 1 ， x 1 0 ，
y
x2
3x1
x12５ x１ ５
x1
x1
x1 5 52 x1• 5 ５
x1
x1
2 55
当且仅 x当 12 5,即x 51时等号
成立，故原函为 数 ２５ 的５ 值， 域
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基本不等式的几种应用技巧
题型四：“１”的整体代换
例 .已 ４x知 y, R ,若 2xy1求 ,1１的最 值小
解 x0，y0
xy
错因：解答中两次
：
12xy2 2xy
运用基本不等式取“=”
xy 1 即 1 2 2 2 xy
2
号过渡，而这两次取
112 122 24 2 “=”号的条件是不同
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基本不等式的几种应用技巧
又 0si n1, 原数 函不能取 22最 . 小
令 y你的还单ts 记调 得性2it函么在 n则 ,数 ？0α y, 1上 xy t 单a 2 xt调 ,,ta 递 0 0减 ,1， t 当t1时， 即 si n1 , 时 ,
y y有最小 . 值 min 3 2
x y
2 2
1
2
2 2
ymin 32 2
基本不等式的几种应用技巧
题型五：等号不成立，改用单调性
例５.已知 的最小值.
0，
2
，求函数
ysin 2 sin
解 ：
0， 2， 0sin1，
ysin 2 sin
2
sin• 2 sin
2
2
当且s仅 i n当 s2 i n时， si即 n 2时，
等号.成立
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基本不等式的几种应用技巧
解： ０ x 4 , 8 2 x 0 一正
yx82x12x•82x
2
12x82x2 8
二定
2 2
当且2仅 x8当 2x,即 x2时等号成
从而y有最大值８.
三相等
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基本不等式的几种应用技巧
题型三：拆项
例３.当 x1 时，求函数 y x2 3x1 的值域. x1
y ＝１ ４
，则
分析：因为x ,y都大于０，因此对所给条件直接运用基 本不等式即可得到x.y相应的不等式
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基本不等式的几种应用技巧
解： x0 ,y0 ,
一正
１３ ＝ x４ y２３ x•4y
xy 3
当且仅 xy当 ，x即 6,y8时取等号， 34
于是 xy １，xy 3， 3
故xy的最大值为３.
x y xy
的，故结果错.
即11的最小值为4 2.
xy
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例 .已 ４x知 y , R ,若 2xy1求 ,1 １的最 值小 xy
正解：
1 x
1 y
１x １y2x y
3 y 2x 32 2
xy
“1”代换 法
当 且 仅 当 y2 x即 y2 x时 ， 等 号 成 立 . xy
而 y 2x
2x y 1
当且仅当a b时等号成立
常用不等式串
2ab ab a b a2 b2
ab
2
2
当且仅当 a b 时等号成立
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基本不等式的几种应用技巧
最值定理
已知x,y都是正数：
（１）如果积 x y是定值p，那么当且仅当 xy 时，和x y 有
最小值 ２ p
（２）如果和x y是定值s，那么当且仅当 xy时，积 x y有最
.
基本不等式的几种应用技巧
题型二：添项
例２Ａ函数.３y２3x2３x261的最小Ｂ值.是３ （ ）
Ｃ.６ ２
Ｄ６. ２３
方法提示 对于求和的表达式的最值计算，若
要用基本不等式解决，就要努力构造含 变量的表达式乘积为定值的结构，我们 常通过添项来解决。
.
基本不等式的几种应用技巧
解:y3x2x261＝３ x2１ 二定x261３
２３x2 １•x261３＝６２３
当且仅x2当 １３ x261时，等号成
即ymin６２３
三相等
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基本不等式的几种应用技巧
题型三：凑系数
例3.已知 0x4，求 yx82x的最大值。
方法提示
对于求积的表达式的最值计算，若 要用基本不等式解决，就要努力构造 含变量的表达式的和为定值的结构，
我们常通过凑相应的变量系数来解决。
大值 1 S 2 4
定积求和，和最小；定和求积，积最大
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基本不等式的几种应用技巧
应用基本不等式应注意的事项 （１）各项必须为正值 （２）含变量的各项和或积必须为定值 （３）必须有自变量值能使函数值取到“=”号
“一正,二定,三相等”
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基本不等式的几种应用技巧Baidu Nhomakorabea
题型一：基本不等式的直接应用
例xy１的已最知大值x,为yR__，_且__满__足_。３x