【4月广西来宾高三诊断理数】广西来宾市2020年4月份高三教学质量诊断性联合考试理科数学试卷及答案解析
广西南宁、梧州等八市2020届高三数学4月联合调研考试试题 文(含解析)
广西南宁、梧州等八市2020届高三数学4月联合调研考试试题文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则=( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【详解】解：由A中不等式变形得：x（x﹣4）＜0，解得：0＜x＜4，即A＝（0，4），∵B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}，故选：C．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数满足，是虚数单位则||=( )A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】【分析】根据复数的代数运算法则，求出复数z，再求它的模长即可．【详解】解：∵复数z满足，（i为虚数单位），∴z i，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．3.若向量,,则( )A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】A【解析】【分析】由向量的坐标运算可得的坐标，结合数量积的坐标运算可得结果．【详解】解：∵，，∴＝（4，），∴＝5故选：A．【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属基础题．4.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为万,各县人口占比如图.其中丙县人口为70万.则去年年底甲县的人口为( )A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万【答案】C【解析】【分析】根据统计图得到丙县人口所占百分比，求出四个县的总人口，进而可求出结果.【详解】由统计图可得，丙县人口占四个县总人口的，又丙县人口70万，所以四个县总人口为万，因甲县人口占四个县总人口的，所以甲县的人口为万.故选C【点睛】本题主要考查扇形统计图，会分析统计图即可，属于基础题型.5.已知双曲线的一个焦点为（2，0），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由双曲线的一个焦点坐标为（2，0），可求出双曲线的方程，进而可得其渐近线方程. 【详解】因为双曲线的一个焦点为（2，0），所以，故，因此双曲线的方程为，所以其渐近线方程为.故选C【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.6.某几何体的三视图，如图，则该几何体的体积为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由三视图可知，该几何体为正方体割去了一个四棱柱，进而可得其体积.【详解】由三视图可知，该几何体为棱长为2的正方体割去了一个四棱柱故所求体积为：故选：C【点睛】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．7.已知数列満足: ,，则=( )A. 0B. 1C. 2D. 6 【答案】B【解析】【分析】由，可得，以此类推，即可得出结果.【详解】因为，，所以，以此类推可得，，，.故选B【点睛】本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型.8.巳知将函数的图象向左平移个単位长度后.得到函数的图象.若是偶函数.则=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题意写出，根据是偶函数求出，即可得出结果.【详解】由题意可得：，因为是偶函数，所以，即， 又，所以，解得，所以，故；所以.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型. 9.已知.满足条件若的最小值为0,则=( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数化为，结合图像以及的最小值，即可求出结果. 【详解】由约束条件作出可行域，又目标函数表示直线在轴截距的二倍，因此截距越小，就越小； 由图像可得，当直线过点时，在轴截距最小； 由解得，所以，又的最小值为0，所以，解得.故选B【点睛】本题主要考查简单的线性规划，已知目标函数最值求参数的问题，属于常考题型.10.函数的单调增区间是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数可得y＝2sin（2x），把“2x”作为一个整体，再根据正弦函数的单调增区间，求出x的范围，即是所求函数的增区间．【详解】，由2kπ≤2x2kπ得，k πx≤k π（k∈z），∴函数的单调增区间是[k π，k π]（k∈z），故选：D．【点睛】本题考查了正弦函数的单调性应用，一般的做法是利用整体思想，根据正弦函数（余弦函数）的性质进行求解．11.已知抛物线的准线方程为，的顶点在抛物线上，两点在直线上，若，则面积的最小值为（）A. 5B. 4C.D. 1【答案】D【解析】【分析】先由题意求出，得到抛物线方程，再由得，设点到直线的距离为，故面积为，由点到直线的距离公式求出的最小值即可得出结果.【详解】因为抛物线的准线方程为，所以，抛物线方程为；又，所以，设点到直线的距离为，故面积为， 因为在抛物线上，设， 则，故.故选D【点睛】本题主要考查抛物线的应用，熟记抛物线性质以及点到直线距离公式即可，属于常考题型. 12.设过点的直线与圆的两个交点为，若，则=（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 先设，直线的方程为，联立直线与圆的方程，根据韦达定理以及，可求出，再由弦长公式即可求出结果.【详解】由题意，设，直线的方程为，由得，则，又，所以， 故，即，代入得：，故，又，即，整理得：，解得或，又，当时，；当时，；综上.故选A【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，熟记直线与圆位置关系，结合韦达定理、弦长公式求解即可，属于常考题型.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.曲线在点（0,1）处的切线方程为________.【答案】【解析】【分析】求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程．【详解】解：求导函数可得，y′＝（1+x）e x当x＝0时，y′＝1∴曲线在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝x，即．故答案为：．【点睛】本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，是基础题14.一直等差数列的前项和为，若，则=________.【答案】63【解析】【分析】由等差数列的前项和公式可得，即可求出结果.【详解】因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等差数列的前项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型.15.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的=________．【答案】65 【解析】 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的T ，a ，i 值，当i=6时，程序终止即可得到结论． 【详解】执行程序框图，T ＝0，a ＝﹣1，i ＝1， 满足条件i ≤5，执行循环，T ＝0，a ＝﹣1，i ＝1； 满足条件i ≤5，执行循环，T ＝1，a ＝0，i ＝2； 满足条件i ≤5，执行循环，T ＝1，a ＝1，i ＝3； 满足条件i ≤5，执行循环，T ＝4，a ＝2，i ＝4；满足条件i≤5，执行循环，T＝20，a＝3，i＝5；满足条件i≤5，执行循环，T＝65，a＝4，i＝6；此时，不满足条件i≤5，退出循环输出T的值为65．故答案为：65．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．16.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】先作出函数图像，根据函数有3个零点，得到函数的图像与直线有三个交点，结合图像即可得出结果.【详解】由题意，作出函数的图像如下，因为函数有3个零点，所以关于的方程有三个不等实根；即函数的图像与直线有三个交点，由图像可得：，解得或.故答案为【点睛】本题主要考查函数的零点，灵活运用数形结合的思想即可求解，属于常考题型.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知在中. 所对的边分别为,若，的面积为.(1)求角的大小;(2)若,求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由三角形的面积为得到，由余弦定理以及得到，进而可求出，得到角；(2)由(1)的结果，先求出，根据，即可求出，再由正弦定理可得，即可求出结果.【详解】（1）由的面积为可得，由及余弦定理可得，故;(2)∵又，可得由正弦定理，,得【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.18.一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.日期第一年第二年第三年第四年优惠金额x（千10 11 13 12元）销售量y（辆）22 24 31 27(1)求出关于的线性回归方程；(2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：【答案】（1）；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【解析】【分析】（1）先由题中数据求出，再根据求出和，即可得出回归方程；（2）将代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得，∴,故，∴（2）由（1）得，当时，，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆.【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求和即可，属于常考题型.19.如图，在三棱柱中，⊥平面，，是侧面的对角线的交点，，分别是，中点（1）求证：平面；（2）求证：平面⊥平面【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）要证//平面，即证，利用中位线定理可得；（2）要证平面⊥平面，即证⊥平面，即证.【详解】（1）∵棱柱的侧面对角线的交点，∴是中点．∵是中点，∴∵平面，平面∴//平面（2）∵，是中点，∴．∵⊥平面，平面，∴．∵在棱柱中，∴．∵，，平面∴⊥平面.∵平面，∴平面⊥平面．【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于两点（1）说明曲线的形状，并写出其标准方程；（2）是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）曲线是椭圆，它的标准方程为；（2）存在点满足题意【解析】【分析】（1）先设动点坐标为，根据题意列出等式，化简整理即可求出结果；（2）分情况讨论如下：当直线与轴垂直时，易得点必在轴上.；当直线与轴垂直时，易得点的坐标只可能是；再证明直线斜率存在且时均有即可.【详解】（1）设动点坐标为点到直线的距离为．依题意可知则化简得所以曲线是椭圆，它的标准方程为（2）①当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，又因为,则从而点必在轴上.②当直线与轴垂直时，则，由①可设，由得，解得（舍去），或．则点的坐标只可能是．下面只需证明直线斜率存在且时均有即可.设直线的方程为，代入得.设所以设点关于轴对称的点坐标因为直线的斜率同理得直线的斜率，三点共线.故.所以存在点满足题意．【点睛】本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，属于常考题型.21.已知函数．（1）若函数的一个极值点为，求函数的极值；（2）讨论的单调性.【答案】（1）的极小值为，没有极大值（2）见解析【解析】【分析】（1）由函数的一个极值点为可得，求得a值，进而验证即可；（2）求出，对a分类讨论，解不等式即可得到的单调性.【详解】解：（1），∵是函数的一个极值点，∴，∴∴∴时，；时，，∴的单调减区间为，单调增区间为，∴的极小值为，没有极大值，(2)(x>0),当时，对，是减函数，当，由，得，，显然，且当时，是减函数；时，，是增函数，综上，时，的单调减区间为，没有增区间，时，的单调减区间为，单调增区间为.【点睛】本题考查了导函数的应用，涉及到函数的极值，单调性，考查转化能力与计算能力，属于基础题.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]已知曲线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)设.直线与曲线交于点.求的值.【答案】（1）；（2）7【解析】【分析】（1）先将化为，进而可得出其直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入（1）的结果，整理得到，再设，两点对应的参数分别为，进而可得，即可求出结果.【详解】（1）由得，∴，又，∴即曲线的直角坐标方程为．（2）将代入的直角坐标方程，得，∴，设，两点对应的参数分别为，∴．则.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及参数方程的应用，熟记公式即可求解，属于常考题型.23.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式；（2）若，使得成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分三种情况讨论，即可求出结果；（2）先由题意得，，令，求出的最小值，即可得出结果.【详解】（1）由，可得，当时，不成立，当时，，∴，当时，，成立，∴不等式的解集为．（2）依题意，，令，易知，则有，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的思想即可求解，属于常考题型.。
广西来宾市2024高三冲刺(高考数学)人教版质量检测(备考卷)完整试卷
广西来宾市2024高三冲刺（高考数学）人教版质量检测(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知四棱锥的底面ABCD是矩形，，，，．若四棱锥的外接球的体积为，则该球上的点到平面PAB的距离的最大值为（）A．6B．7C．8D．9第(2)题已知角，且，则的值为（）A．B．C．D．第(3)题已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（）A．当时，S的最大值为B．当时，S的最大值为C．当时，S的最大值为D．当时，S的最大值为第(4)题已知正方体分别是的中点，则（）A．平面B．平面C．平面D．平面第(5)题已知直线与椭圆，点分别为椭圆的左右焦点，直线，，垂足分别为点（不重合），那么“直线与椭圆相切”是“”的（）A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要第(6)题设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x＞2}，则＝（ ）A．{x|0＜x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|1≤x＜3}D．{x|0＜x＜3}第(7)题已知向量、、满足，，且，则（）A．B．C．D．第(8)题不等式的解集是A．（-，4）B．（-，1）C．（1，4）D．（1，5）二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是（）A．的实部为B．复数在复平面中对应的点在第四象限C．D．第(2)题下列命题中，真命题有（）A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5B．若随机变量，则C．若事件A，B满足且，则A与B独立D．若随机变量，则第(3)题在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（）A．B．2C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，已知四面体，和是边长为2的正三角形，，是该四面体表面及其内部的动点．若，，则点轨迹的长度为______；若在内（含边界）且，则点轨迹的长度为______．第(2)题将函数表示为，其中，，，，为实数，则______.第(3)题某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是___，表面积（单位：cm2）是___．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题数列，满足，，.（1）求证：是常数列；（2）若是递减数列，求与的关系；（3）设，，当时，求的取值范围.第(2)题已知函数，（，）（1）当，讨论在上的零点个数；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.第(3)题作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长，下面给出的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长．(1)在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；(2)通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，记X 为“选取的2个年份中，增长率高于的年份的个数”，求X 的分布列及数学期望；(3)设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为，平均数为，比较和与的大小（只需写出结论）．第(4)题设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数使对任意正整数都成立.（1）现在给出只有5项的有限数列其中；试判断数列是否为集合的元素；（2）数列的前项和为且对任意正整数点在直线上，证明：数列并写出实数的取值范围；（3）设数列且对满足条件②中的实数的最小值都有求证：数列一定是单调递增数列.第(5)题在△ABC 中，已知，b ＝1，B ＝30°．(1)求角A ；(2)求△ABC 的面积．。
广西来宾市2024高三冲刺(高考数学)人教版质量检测(巩固卷)完整试卷
广西来宾市2024高三冲刺（高考数学）人教版质量检测(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知是虚数单位，若复数满足，则的实部是（ ）
A．B．C．D．
第(2)题已知向量在单位向量上的投影向量为，则（ ）
A．-3B．-1C．3D．5
第(3)题若是等比数列，，，则（ ）
A．7B．9C．25D．35
第(4)题中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
第(5)题已知向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ）A．B．
C．D．
第(6)题已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
第(7)题天气是影响生产､生活的重要因素.淮北统计年鉴上显示2021年淮北市分月平均气温和降水量如下表：
月价123456789101112
温度2.18.010.314.621.127.327.326.324.217.010.34.4
降雨量6.726.555.428.694.999.9560.7238.3137.520.424.21.3则2021年淮北市平均气温的众数和降水量的75%分位数分别是（ ）A．10.3；99.9B．27.3；118.7C．10.3、27.3；118.7D．10.3、27.3；137.5
第(8)题我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为
（ ）
A．B．
C．D
．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题为了贯彻“双减”政策，实现德､智､体､美､劳全面发展的育人目标，某校制订了一套五育并举的量化评价标准，如图是该校甲､乙两个班在评比时的得分（各项满分10分，得分越高，成绩越好）折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班五项评比得分的极差为1.7B．甲班五项评比得分的平均数小于乙班五项评比得分的平均数
广西来宾、玉林、梧州2021届高三数学下学期4月模拟联考试题 理(扫描版)
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。
1、首先，认真研究考试办法。
这一点对知识水平比较高的考生非常重要。
随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。
最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。
很多老师也会讲解考试的办法。
但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。
有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。
2、其次，试着从考官的角度思考问题。
考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。
如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。
如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。
具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。
高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。
当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。
3、再次，适当思考一下考试后的事。
如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。
那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。
这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。
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高三·数学（理科）第1页（共4页）广西2020年4月份高三教学质量诊断性联合考试数学(理科)参考答案及评分标准
一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.A【解答】∵,∴.2.C【解答】∵,∴.3.B【解答】从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字,位于01至50中间(含端点),选出的四个数依次为41,48,28,19,则选出的第4个个体的编号为19.4.A【解答】根据程序框图知,该程序运行后是输出当时,令,解得;当时,,满足题意;当时,令,解得,不满足题意;综上,若输出的,那么输入的为或0.5.C【解答】∵,∴.6.A【解答】由双曲线1,得,∴,∴双曲线的离心率.7.C【解答】.令,解得或或或,观察各选项中的图形,可知只有选项C符合题意.8.A【解答】①若,且,表示两个不同的点,则由平面的基本性质的公理1,可得,故正确.②若若,且,表示两个不同的点,分两种情况:若,表示两个不同的平面,则由平面的基本性质的公理2,可得;若与表示相同的平面,则与重合,故不正确.③若,则不能判定是否在平面上,故不正确.④若,,,,,,分两种情况:若,,不共线,由平面的基本性质的公理3,可得与重合;若,,共线,则不能判定与重合,故不正确.所以其中正确的有1个.9.B【解答】二项式的展开式中,第项为.令,解得,此时为;令,解得,此时.∴展开式中含的项的系数是.10.D【解答】由,得,由题意,得,∴,当且仅当,即时取等号,此时.11.B【解答】①∵集合表示直线上的点构成的点集合,集合表示圆心为,半径为3的圆上的点构成的点集合,由圆心到直线的距离,知有两个交点,故①错误;②当时,显然定义域不是,当时,分母恒不为0,∴,解得,故②正确;③的定义域为且,∴可化简为.∵,∴是奇函数,故③错误;④令,则,∴,∵,当或或或或时,,故④正确.12.C【解答】∵,∴,则,即,即,即.∵,∴,解得,此时,即.
二､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.【解答】∵共线,∴,∴,∴.14.【解答】∵在数列中,,∴数列是首项为1,公差为2的等差数列,为前n项和,∴.∵,∴,解得或(舍去).15.【解答】如图,设椭圆的左焦点为.由椭圆定义得,即,∵为线段的中点,为线段的中点,∴,代入,得,解得,∴,∴的离心率为.
16.【解答】由题意,知正四棱锥如图所示,则.高三·数学（理科）第2页（共4页）
三､解答题(共70分)17.解:(1)由直方图,得.············3分∴.·····················································································6分(2)由直方图可知,新生上学所需时间在[60,100]的频率为,······8分∴估计全校新生上学所需时间在[60,100]的概率为0.12.································9分∴(名),·······································································11分故估计800名新生中有96名学生可以申请住宿.·········································12分18.解:(1)∵,且,∴,·······························································2分则有,∴,·····································································4分∵B为三角形的内角,∴,∴.·····································································5分∵C为三角形的内角,∴.································································6分(2)∵∴······················································8分又∵,∴,································································10分∴,当且仅当时取等号.故的最小值为12.············································································12分19.解:(1)证明:在中,,由余弦定理,得,∴,∴,即.····································································2分∵,故⊥平面.···············································································3分∵平面,∴.························································································4分又∵,∴⊥平面.·················································································6分(2)由题意,知两两垂直,.如图,以为坐标原点,所在的直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,.·······································7分高三·数学（理科）第3页（共4页）
设,由,得,得,∴·················································································9分设平面MBD的法向量为,则⊥⊥,∴即·····························································10分令,得平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为则.···············································12分20.解:(1)由已知可得的定义域为.∵,∴,············································································1分∴,····························································································2分∴.··········································································3分令,得,令,得,···········································4分∴的单调递增区间为,单调递减区间为.·······························5分(2)不等式可化为.·········6分令,则,····················································7分令,则的对称轴为.①当,即时,易知在上单调递减,∴,·········································································8分若,则,∴,∴在上单调递减,,不合题意.······························9分若,则,∴必存在,使得时,,∴,∴在上单调递增,恒成立,符合题意.······················10分②当,即时,易知必存在,使得在上单调递增,∴,∴,∴在上单调递增,恒成立,符合题意.······················11分综上所述,的取值范围是.···························································12分21.解:(1)由题意,设过点的直线的斜率为,则,设,.∵,∴,∴①.·······························································2分联立直线与抛物线方程,得整理,得则②.································································3分由①②,得,∴,解得,·············································································4分∴直线的方程为.·································································5分(2)证明:根据(1),联立直线与抛物线的方程,得整理,得则.···································································7分∵,,∴.