2022-2023学年上海市建平中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年全国高中高二上数学人教A版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 设集合＝，，则下列关系中正确的是（ ）A.B.C.D.2. 在到范围内，与角终边相同的角是( )A.B.C.D.3. 在平面直角坐标系中，点的直角坐标为．若以圆点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，则点的极坐标可以是( )A.B.C.D.P {x |0≤x ≤}2–√m =3–√m ⊆Pm ⊈Pm ∈Pm ∉P02π−4π3π6π32π34π3xOy P (1,−)3–√O x P (1,−)π3(2,π)43(2,−)π3(2,−π)43={，x >22x4. 函数定义域为（ ）A.B.C.D. 5. 设：关于的方程有解；：函数在区间上恒为正值，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 函数的图象大致为（ ）A.B.C.D.7. 一扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为( )A.y ={，x >22x −3x +1,x <1(−∞,1)(2,+∞)(1,2)(−∞,1)∪(2,+∞)p x −−a =04x 2x q f(x)=(x +a −2)log 2(0，+∞)p q f(x)=+cos xx 2x 241B.C.D.8. 关于抛物线，下面几点结论中，正确的有( )①当时，对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，当时，情况相反．②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点．③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同．④一元二次方程的根，就是抛物线与轴交点的横坐标．A.①②③④B.①②③C.①②D.①9. 若，，，则，，的大小关系为( )A.B.C.D.10. 已知函数且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（ ）A.B.C.D.11. 已知钝角三角形的最长边的长为，其余两边长为，则集合所表示的平面图形的面积是（ ）A.B.C.248y =a +bx +c(a ≠0)x 2a >0y x y x a <0a +bx +c =0x 2(a ≠0)y =a +bx +c x 2x a =1.1−3b =4log 3c =17log 9a b c a <b <ca <c <bb <a <cb <c <af(x)=+3(a >0a 2x−6a ≠1A A θ=sin θ−cos θsin θ+cos θ−17717ABC 2a b P ={(x,y)|x =a,y =b}24π−2D.12. 已知函数，则的解集为 A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知全集，，，则________．14. 下列结论中：①定义在上的函数在区间上是增函数，在区间也是增函数，则函数在上是增函数；②若，则函数不是奇函数；③函数的单调增区间是④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同；⑤函数的定义域一定不是空集；写出上述所有正确结论的序号：________．15. 已知，，则________．16. 设函数有两个零点，则实数的值是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知：存在，：任意 ，若且为假，或为真，求实数的取值范围．18. 已知函数满足.求的解析式；若的定义域为，求函数的值域．19. 已知函数.4π−2f(x)=4|x +2|+cos πxf(4x −7)≤3()[,2]32[1,]32[2,]52[,1]12U ={1,2,3,4,5,6,7}A ={2,4,5}B ={1,3,5,7}(A)∩(B)=∁U ∁U R f(x)(−∞,0](0,+∞)f(x)R f(2)=f(−2)f(x)f(x)=−1x(−∞,0)∪(0,+∞)cos(π−α)=35α∈(0,π)tan α=f(x)=|−a |−4x +a +11x −1a p ∈R,m +1≤0x 0x 20q x ∈R,+mx +1>0x 2p q p q m f (x)f (2x +2)=3+(x +1)log 2(1)f (x)(2)f (x)[1,8]g(x)=(x)−3f (2x)f 2f(x)=2sin x cos x +1()π求的值；求函数的最大值及对应的的值.20. 噪声是指发声体做无规则振动时发出的声音．声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．噪声不但会对听力造成损伤，也对人们的生活工作有所干扰，还能诱发多种致癌致命的疾病．科学家经过大量的分析发现：声音强度（分贝）与声音能量之间存在函数关系．经测定，数据如下表：声音能量声音强度为了描述声音强度（分贝）与声音能量之间的函数关系，现有以下两种模型供选择：，.选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并写出相应的解析式；对于人的耳朵，分贝的声音比较适宜室内谈话，分贝的声音比较适宜室外谈话．试问声音能量在什么范围时适合人与人交流谈话？ 21. 已知函数为奇函数.求的值；探究的单调性，并证明你的结论；求满足的的范围． 22. 已知函数，．当时，解不等式；若不等式对任意成立，求实数的取值范围．(1)f()π4(2)f(x)x D I (W/)cm 2I 10−1310−12×191010−12×281010−12×371010−12×461010−12D 304042.787544.471645.682046.6276D I (W/c )m 2D =KI +B D =M lgI +N (1)(2)(40,60](60,70]f(x)=a −2+12x (1)a (2)f(x)(3)f(a )<f(−2x +1)x 2x 2x f (x)=|3x −6|+|x −a|a ∈R (1)a =1f (x)<3(2)f (x)<11−4x x ∈[−4,−]32a参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】判断与的关系即可．【解答】∵集合＝，∴，2.【答案】C【考点】终边相同的角【解析】根据与角终边相同的角是 ，，求出结果．【解答】解：与角终边相同的角是，.令，可得与角终边相同的角是.故选．3.【答案】C3–√2–√P {x |0≤x ≤}2–√m =>3–√2–√−4π32kπ+(−)4π3k ∈z −4π32kπ−4π3k ∈Z k =1−4π32π3C点的极坐标和直角坐标的互化【解析】根据公式先求出点的极径和三角函数值，再根据点所在的象限确定极角，从而得到答案.【解答】解：由题意，设极角为，点的直角坐标为，所以.因为点在第四象限，所以，，则点的极坐标可以是：.故选.4.【答案】D【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】由的取值范围，能求出函数的定义域．【解答】解：∵，∴函数定义域，故选．5.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断对数函数的值域与最值|OP|==2+12(−)3–√2−−−−−−−−−−√θP (1,−)3–√tan θ==−−3–√13–√P θ=−+2kππ3k ∈Z P (2,−)π3C x y ={，x >22x −3x +1,x <1y ={，x >22x −3x +1,x <1y ={，x >22x −3x +1,x <1{x |x <1,或x >2}D此题暂无解析【解答】解：由题意知：即方程有解，，所以，：函数在区间上恒为正值，则，解得，所以是的必要不充分条件.故选.6.【答案】C【考点】对数函数图象与性质的综合应用【解析】先判断函数奇函数，再求出即可判断【解答】，则函数为奇函数，故排除，当＝时，＝，故排除，故选：．7.【答案】C【考点】扇形面积公式弧长公式【解析】p a =−4x 2x a =(−−2x 12)214a ≥−14q f(x)=(x +a −2)log 2(0，+∞)0+a −2≥1a ≥3p q B f(1)f(−x)==−=−f(x)(−x +cos(−x))2−x +cos x x 2x f(x)AD x 1f(1)1+cos 1>0B C此题暂无解析【解答】解：∵弧长，∴，由扇形的面积公式可得：.故选.8.【答案】A【考点】二次函数的性质【解析】利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①当时，对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，当时，情况相反，正确；②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的定点，正确；③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同，正确；④一元二次方程的根，就是抛物线与轴交点的横坐标，正确.故选.9.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：据题设知， l =|α|⋅r =2r =4r =2S =lr =×4×2=41212C a >0y x y x a <0a +bx +c =0x 2(a ≠0)y =a +bx +c x 2x A 0<a <1,b =4=，log 3log 316−−√c =17==17=.log 917log 39log 312log 3log 317−−√0<a <1<b <c所以.故选.10.【答案】D【考点】对数函数的单调性与特殊点任意角的三角函数【解析】此题暂无解析【解答】D 11.【答案】C【考点】线性规划的实际应用二元一次不等式（组）与平面区域【解析】钝角三角形的最长边的长为，其余两边长为、，由余弦定理可得，再由两边之和大于第三边，根据约束条件，画出可行域，可得可行域的面积．【解答】解：由钝角三角形的最长边的长为，其余两边长为、由余弦定理可得，再由两边之和大于第三边，得，且，，点表示的范围如下图所示，由图可得可行域的面积为答案：12.【答案】0<a <1<b <c A ABC 2a b +<4a 2b 2ABC 2a b+<4a 2b 2a +b >2a >0b >0P π−2CB【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：，将函数的图像向右平移两个单位长度后，得到，可知函数是偶函数，且在上单调递增，，，，，解得.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】⑤【考点】函数的定义域及其求法函数的概念及其构成要素∵f(x)=4|x +2|+cos πx =4|x +2|+cos π(x +2)f(x)g(x)=f(x −2)=4|x|+cos πxg(x)[0,+∞)∵f(4x −7)≤3∴f[(4x −5)−2]≤3∴g(4x −5)≤g(1)∴|4x −5|≤11≤x ≤32B利用函数的奇（偶）的定义和函数相等的定义判断不对，根据单调函数的定义判断对不对．根据函数的定义知正确．【解答】解：①由增函数的定义中“任意性”知，两个单调区间不能并在一起，故不对；②函数既是奇函数又是偶函数，但，故不对；③考察幂函数函数的单调性知，单调增区间是，，故不正确；④考察函数，但当定义域不同时，函数对应法则和值域可以相同，故不对；⑤根据函数的定义知函数的定义域一定不是空集，⑤正确．．故答案为⑤15.【答案】【考点】同角三角函数间的基本关系运用诱导公式化简求值【解析】由诱导公式可得的值，及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值即可．【解答】解： ，，，则，则，．故答案为：．16.【答案】，，【考点】函数零点的判定定理(2)(4)(1)(3)(5)y =0(x ∈R)f(2)=f(−2)f(x)=−1x(−∞,0)(0,+∞)y =0(x ∈R)−43cos a αtan α∵cos(π−α)=−cos α=35α∈(0,π)∴cos α=−<035α∈(,π)π2sin α==1−αcos 2−−−−−−−−√45∴tan α===−sin αcos α45−3543−43−12724由题意可得有两个不等实根，即为①或，②，讨论和，结合二次方程的解即可得到所求值．【解答】解：函数有两个零点，即为有两个不等实根，即为，①或，②由①可得，解得或，当时，；当时，，当时，由①可得；由②可得，符合题意；当时，由①可得；由②可得有两个相等的实根，即，解得或，符合题意．故答案为：，或.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：若且为假，或为真，则一真一假，当真假时 所以；当假真时 所以．故实数的取值范围是．【考点】全称命题与特称命题逻辑联结词“或”“且”“非”|−a |=4x −a −11x −1−a =4x −a −1≥01x −1−a =−4x +a +1≤01x −1a =4a <4f(x)=|−a |−4x +a +11x −1|−a |=4x −a −11x −1−a =4x −a −1≥01x −1−a =−4x +a +1≤01x −1−4x +1=01x −1x =054x =0a ≤−1x =54a ≤4a =4x =54x =2a <4x =544−(5+2a)x +2a +2=0x 2Δ=(5+2a −4×4(2a +2)=0)2a =−12a =72−12724p q p q p,q p q {m <0,m ≥2或m ≤−2,m ≤−2p q {m ≥0,−2<m <2,0≤m <2m (−∞,−2]∪[0,2)解：若且为假，或为真，则一真一假．当真假时 所以；当假时 所以．所以实数的取值范围是．【解答】解：若且为假，或为真，则一真一假，当真假时 所以；当假真时 所以．故实数的取值范围是．18.【答案】解：令，则，则，故的解析式为．由，得，又，则的定义域为，，因为，所以，因为函数在上单调递增，所以的值域为.【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：令，则，则，故的解析式为．p q p q p,q p q {m <0,m ≥2或m <−2,m ≤−2p q {m ≥0,−2<m <2,0≤m <2m (−∞,−2]∪(0,2)p q p q p,q p q {m <0,m ≥2或m ≤−2,m ≤−2p q {m ≥0,−2<m <2,0≤m <2m (−∞,−2]∪[0,2)(1)2x +2=t x =t −22f(t)=3+=2+t log 2t 2log 2f(x)f(x)=2+x log 2(2)2x ∈[1,8]x ∈[,4]12x ∈[1,8]g(x)[1,4]g(x)=(2+x −3(3+x)log 2)2log 2=(x +x −5log 2)2log 2x ∈[1,4]x ∈[0,2]log 2y =+x −5x 2[0,2]g(x)[−5,1](1)2x +2=t x =t −22f(t)=3+=2+t log 2t 2log 2f(x)f(x)=2+x log 2∈[,4]1由，得，又，则的定义域为，，因为，所以，因为函数在上单调递增，所以的值域为.19.【答案】解：.由已知，得，∴的最大值为，此时，即.【考点】任意角的三角函数正弦函数的定义域和值域函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：.由已知，得，∴的最大值为，此时，即.20.【答案】解：选择 . 理由如下：由，，，，，，可知当自变量增加量为常数时，函数增加量不是常数，则不选择，而选择.由题意，得 (2)2x ∈[1,8]x ∈[,4]12x ∈[1,8]g(x)[1,4]g(x)=(2+x −3(3+x)log 2)2log 2=(x +x −5log 2)2log 2x ∈[1,4]x ∈[0,2]log 2y =+x −5x 2[0,2]g(x)[−5,1](1)f()=2××+1=1+1=2π42–√22–√2(2)f(x)=sin 2x +1f(x)22x =+2kπ(k ∈Z)π2x =+kπ(k ∈Z)π4(1)f()=2××+1=1+1=2π42–√22–√2(2)f(x)=sin 2x +1f(x)22x =+2kπ(k ∈Z)π2x =+kπ(k ∈Z)π4(1)D =M lgI +N10−1310−12×191010−12×281010−12×371010−12⋯×91010−12D =KI +B D =M lgI +N {30=M lg +N,10−1340=M lg +N,10−12即解得故声音强度（分贝）与声音能量的函数解析式为 .由题意可知，当时，适合人与人交流谈话，所以，即，，解得 .故当声音能量时，适合人与人交流谈话．【考点】函数模型的选择与应用对数函数的定义域【解析】（1）选择 . 原因：……当自变量增加量为常数时，函数增加量不是常数，所以不选择一次函数，而选择，由已知可得： 即，解之得所以解析式为： .（2）由已知可得：当时，适合人与人交流谈话，所以，即：，即：，所以 .所以当声音能量时，适合人与人交流谈话．【解答】解：选择 . 理由如下：由，，，，，，可知当自变量增加量为常数时，函数增加量不是常数，则不选择，而选择.由题意，得 即{30=−13M +N,40=−12M +N,{M =10,N =160.D I (W/c )m 2D =10lgI +160(2)40<D ≤7040<10lgI +160≤70−120<10lgI ≤−90−12<lgI ≤−9<I ≤10−1210−9I ∈(,]10−1210−9D =M lgI +N,,×,×,×10−1310−12191010−12281010−12371010−12×91010−12D =M lgI +N {30=M lg +N,10−1340=M lg +M,10−12{30=−13M +N,40=−12M +N,{M =10,N =160,D =10lgI +16040<D ≤7040<10lgI +160≤70−120<10lgI ≤−90−12<lgI ≤−9<I ≤10−1210−9I ∈(,]10−1210−9(1)D =M lgI +N10−1310−12×191010−12×281010−12×371010−12⋯×91010−12D =KI +B D =M lgI +N {30=M lg +N,10−1340=M lg +N,10−12{30=−13M +N,40=−12M +N,解得故声音强度（分贝）与声音能量的函数解析式为 .由题意可知，当时，适合人与人交流谈话，所以，即，，解得 .故当声音能量时，适合人与人交流谈话．21.【答案】解：由于是定义在上的奇函数，故，解得.所以.∵的定义域为，∴任取且，则．∵在上是单调递增的，且，∴，∴，，，∴，即，∴在上单调递增．∵在上单调递增，∴当时，即，又，∴，解得：.【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）直接代入即可获得解答；（2）根据函数单调性的定义，首先应在所给区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法分析获得两数对应函数值之间的大小关系即可；{M =10,N =160.D I (W/c )m 2D =10lgI +160(2)40<D ≤7040<10lgI +160≤70−120<10lgI ≤−90−12<lgI ≤−9<I ≤10−1210−9I ∈(,]10−1210−9(1)f(x)R f(0)=a −=02+120a =1f(x)=1−2+12x (2)f(x)R ，∈R x 1x 2<x 1x 2f()−f()=a −−a +x 1x 22+12x 12+12x 2=2(−)2x 12x 2(+1)(+1)2x 12x 2y =2x R <x 1x 20<<2x 12x 2−<02x 12x 2+1>02x 1+1>02x 2f()−f()<0x 1x 2f()<f()x 1x 2f(x)R (3)f(x)R f(a )<f(−2x +1)x 2x 2a <−2x +1x 2x 2a =1−2x +1>0x <12解：由于是定义在上的奇函数，故，解得.所以.∵的定义域为，∴任取且，则．∵在上是单调递增的，且，∴，∴，，，∴，即，∴在上单调递增．∵在上单调递增，∴当时，即，又，∴，解得：.22.【答案】解：当时，，当 时， ,此时无解；当 时， ，解得；当时， ，解得 .综上：.由题意可知： ,即,即 且，即且，由于，故 且，即.(1)f(x)R f(0)=a −=02+120a =1f(x)=1−2+12x (2)f(x)R ，∈R x 1x 2<x 1x 2f()−f()=a −−a +x 1x 22+12x 12+12x 2=2(−)2x 12x 2(+1)(+1)2x 12x 2y =2x R <x 1x 20<<2x 12x 2−<02x 12x 2+1>02x 1+1>02x 2f()−f()<0x 1x 2f()<f()x 1x 2f(x)R (3)f(x)R f(a )<f(−2x +1)x 2x 2a <−2x +1x 2x 2a =1−2x +1>0x <12(1)a =1f(x)=|3x −6|+|x −1|x <16−3x +1−x <31≤x ≤26−3x +x −1<31<x ≤2x >23x −6+x −1<32<x <521<x <52(2)6−3x +|x −a|<11−4x|x −a|<5−x x −a <5−x x −a >x −5a >2x −5a <5x ∈[−4,−]32a >−8a <5−8<a <5不等式恒成立问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）直接分类讨论，解不等式即可；（2）利用不等式的性质化简，再解不等式，求出不等式，再去讨论即可得到结果.【解答】解：当时，，当 时， ,此时无解；当 时， ，解得；当时， ，解得 .综上：.由题意可知： ,即,即 且，即且，由于，故 且，即.x a (1)a =1f(x)=|3x −6|+|x −1|x <16−3x +1−x <31≤x ≤26−3x +x −1<31<x ≤2x >23x −6+x −1<32<x <521<x <52(2)6−3x +|x −a|<11−4x|x −a|<5−x x −a <5−x x −a >x −5a >2x −5a <5x ∈[−4,−]32a >−8a <5−8<a <5。
2022-2023学年人教A版高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1. 直线与轴交于点，把 绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围为( )A.B.C.D.3. 如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是( )A.B.C.l :x −y +2=03–√x A l A 45∘m m αcos α=−+6–√2–√4−2–√6–√4+6–√2–√4−6–√2–√4+k =2x 2y 2y k (0,+∞)(0,2)(1,+∞)(0,1)A(4,0)B(0,4)P(2,0)AB OB OB P 25–√33–√6210−−√D.4. 设集合，，当时，的取值范围是（ ）A.B.C.D.5. 平面内已知点，，若动点满足，则点的轨迹是（ ）A.线段B.双曲线C.抛物线D.椭圆6. 过双曲线：的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交另外一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.7. 过点且垂直于直线的直线方程为( )A.B.C.D.8. 在正四面体中，，分别是棱，的中点，，分别是直线，上的动点，且满足，是的中点，则点的轨迹围成的区域的面积是( )210−−√M ={(x,y)|+≤4}x 2y 2N ={(x,y)|(x −1+(y −1≤(r >0)})2)2r 2M ∩N =N r [0,−1]2–√[0,1](0,2−]2–√(0,2)A (−3，0)B (3，0)P |PA|+|PB|=6PC −=1x 2a 2y 2b 2F y =x b a A B |FB|=3|FA|C 2–√3–√22–√342–√3P(−1,3)x −2y +3=02x +y −1=02x +y −5=0x +2y −5=0x −2y +7=0ABCD P Q AB CD E F AB CD |PE|+|QF|=a M EF M 2A.B.C.D.9. 已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于，两点，且弦被点平分，则直线的方程为（ ）A.B.C.D.10. 已知半径为的动圆与定圆＝相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A.＝B.＝或＝C.＝D.＝或＝11. 设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是( )A.B.C.D.12. 已知椭圆的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）A.B.a 24a 22πa 24πa 22C :+=1y 29x 2P(，)1212C A B AB P AB 9x −y −4=09x +y −5=04x +2y −3=04x −2y −1=01(x −5+(y +7)2)216(x −5+(y +7)2)225(x −5+(y +7)2)23(x −5+(y +7)2)215(x −5+(y +7)2)29(x −5+(y +7)2)225(x −5+(y +7)2)29M (,1)x 0O :+=1x 2y 2N ∠OMN =60∘x 0[−,]3–√33–√3[−1,1][−,]2–√2–√[−,]3–√3–√C :+=1(m >4)x 2m y 2m −4F A(−2,2)C C P |PA|+|PF|=8m (6+,25]5–√[9,25](6+2,20]–√C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 空间直角坐标系中的点与之间的距离是________．14. 三条直线，，不能围成三角形，则的取值集合是________．15. 已知双曲线经过点，它的一条渐近线方程为．则双曲线的标准方程是________．16. 已知点，是椭圆 的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若椭圆的离心率为，且，则椭圆的方程为________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17. 已知直线，求直线的方程，使得：与平行，且过点；与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为 18. 在平面直角坐标系中，点的坐标为；以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为．若点为曲线上的动点，求线段的中点的轨迹的直角坐标方程；在的条件下，若过点的直线与曲线相交于，两点，求的值．19. 先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，．求直线与圆相切的概率；将，，的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．20. 已知双曲线：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为．求双曲线的方程；过点作两条相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点，求点到直线距离的最大值．21. 已知，直线.(6+2,20]5–√[3,5]A(2,3,5)B(3,1,4)x +y +1=02x −y +8=0ax +3y −5=0a C C(1,1)y =x 3–√C F 1F 2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 1F 2P C 23=S △PF 1F 215−−√C :2x +3y +6=0l 1l 2(1)l 2l 1(2,−1)(2)l 2l 1l 2 3.xOy P (1,0)O x M (2,)2–√3π4C 1ρ=4cos θ(1)N C 1MN T C 2(2)(1)P l C 2A B |PA|⋅|PB|2a b (1)ax +by +5=0+=1x 2y 2(2)a b 5Γ−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2P(2,1)F 1(1)Γ(2)P PA PB ΓA B P AB ⊙C :+−2x −4y −20=0x 2y 2l :(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0(1)l ⊙C求证：直线与恒有两个交点；若直线与的两个不同交点分别为，．求线段中点的轨迹方程，并求弦的最小值．22. 已知椭圆：的左、右焦点分别为．直线与交于，两点，，为椭圆上任意一点，且 的最大值为求椭圆的方程；过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线，的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.(1)l ⊙C (2)l ⊙C A B AB P AB C +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2,F 1F 2y =3b 5C A B ∠A B =F 290∘M C |M |⋅|M |F 1F 216.(1)C (2)C N C P Q N NP NQ 6PQ参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】设的倾斜角为，则，∴由题意知∴故选：．2.【答案】D【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】利用椭圆的定义求解．【解答】解：∵表示焦点在轴上的椭圆，把转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得．∴实数的取值范围是．故选．1θtan θ=3–√θ=60∘α=θ−=−45∘60∘45∘cos α=cos(−)=cos cos +sin sin sin 60∘45∘60∘45∘60∘45∘45∘=×+×=+122–√23–√22–√22–√44–√C +k =2x 2y 2y +k =2x 2y 2+=1x 22y 22k>22k 0<k <1k (0,1)D3.【答案】D【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】设点关于轴的对称点，点关于直线的对称点″，由对称特点可求和″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程″．【解答】解：点关于轴的对称点坐标是.设点关于直线的对称点.∴解得∴光线所经过的路程.故选．4.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】由题意可得、分别表示两个圆面，且这两个圆相内含或内切，，即，由此求得的取值范围．【解答】解：集合表示以原点为圆心、半径等于的圆面（圆及圆的内部），集合表示以为圆心、半径等于的圆面（圆及圆的内部）．当时，圆内含或内切与圆，故有，即，∴，故选．5.【答案】AP y P'P AB :x +y −4=0P P'P |P'P |P y P ′(−2,0)P AB :x +y −4=0P ′′(a,b) ×(−1)=−1，b −0a −2+−4=0，a +22b +02{a =4，b =2，|P ′P ′′|=210−−√D M N |CO |≤2−r ≤2−r 2–√r M O(0,0)2N C(1,1)r M ∩N =N C O |CO |≤2−r ≤2−r 2–√0<r ≤2−2–√C【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】双曲线的离心率双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，因为直线经过右焦点且与渐近线垂直，所以直线的方程为，与方程联立，解得，AB F :y =x l 1b a AB y =−(x −c)a b y =x b a A (,)a 2c ab c (,)−322因为，所以求得，再将点的坐标代入到方程当中，解得．故选．7.【答案】A【考点】直线的点斜式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】根据题意，易得直线的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．【解答】解：根据题意，易得直线的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过点，由点斜式得所求直线方程为．故选.8.【答案】B【考点】轨迹方程【解析】【解答】解： 如图，取，，，中点为，，，，|FB|=3|FA|B (,)−3c 2b 2c 3ab c B y =−x b a e =3–√B x −2y +3=012−2x −2y +3=012−2P(−1,3)2x +y −1=0A BC BD AC AD G H K L因为，是定点，所以的中点为定点，由对称性可知，，中点在中裁面上运动， ，.①又在正四面体中，对棱垂直，，以所在直线在平面上的投影为轴，所在直线在平面上的投影为轴，点在平面上的投影为，点在平面上的投影为，设点，，，由.②由①可得，即，，代入②式可得，画出点的轨迹为对角线长为的正方形，则点的轨迹围成的区域的面积是.故选.9.【答案】B【考点】P Q PQ O PQ EF GHLK ∵=++=++OM −→−OP −→−PE −→−EM −→−OQ −→−QF −→−FM −→−∴=(+)OM −→−12PE −→−QF −→−∴PE ⊥QF AB GHLK x CD GHLK y E GHLK E ′F GHLK F ′M(x,y)(,0)E ′x E ′(0,)F ′y F ′|PE|+|QF|=||+||=a x E ′y F ′=(+)OM −→−12OE ′−→−OF ′−→−x =12x E ′y =12y F ′|x|+|y|=a 2E a M a 22B与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】设出、的坐标利用中点坐标建立方程组，求出直线的斜率，进一步利用点斜式求得直线方程．【解答】解：已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于，两点，设，，则 ①， ②，联立成方程组，①②得：③.∵是，的中点，则，，代入③得，，则直线的方程为，整理得：.故选.10.【答案】D【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】由圆的方程找出圆心坐标和半径，又已知圆的半径，分两种情况考虑，当圆与圆内切时，动点的运动轨迹是以为圆心，半径为的圆；当圆与圆外切时，动点的轨迹是以为圆心，半径为上网圆，分别根据圆心坐标和求出的圆的半径写出圆的标准方程即可．【解答】由圆：＝，得到的坐标为，半径＝，且圆的半径＝，根据图象可知：当圆与圆内切时，圆心的轨迹是以为圆心，半径等于＝＝的圆，则圆的方程为：＝；当圆与圆外切时，圆心的轨迹是以为圆心，半径等于＝＝的圆，则圆的方程为：＝．综上，动圆圆心的轨迹方程为：＝或＝．11.【答案】A B +=1y 29x 2P(，)1212A B A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=1y 219x 21+=1y 229x 22−+(+)(−)=0(+)(−)y 1y 2y 1y 29x 1x 2x 1x 2P(,)1212A B +=1x 1x 2+=1y 1y 2k ==−9−y 1y 2−x 1x 2AB y −=−9(x −)12129x +y −5=0B A R B r B A B A R −r B A B A R +r A (x −5+(y +7)2)216A (5,−7)R 4B r 1B A B A R −r 4−13B (x −5+(y +7)2)29B A B A R +r 4+15B (x −5+(y +7)2)225(x −5+(y +7)2)225(x −5+(y +7)2)29直线与圆的位置关系【解析】利用直线与圆的位置关系，结合图象即可得到答案.【解答】解：已知点，要使圆存在点，使得，则的最大值大于或等于时一定存在点，使得，因为点在直线动，而当与圆相切时取得最大值，此时 ，，只有时，才能找到符合条件的点，因为，所以的取值范围是.故选.12.【答案】A【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）M (,1)x 0O :+=1x 2y 2N ∠OMN =60∘∠OMN 60∘N ∠OMN =60∘M y =1MN ∠OMN ON =1|MN|==|ON|tan 60∘3–√3|MN|≤3–√3M (,1)x 0||=|MN|x 0x 0[−,]3–√33–√3A【考点】空间两点间的距离公式【解析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：空间直角坐标系中的点与之间的距离：．故答案为：．14.【答案】【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】根据三条直线不能构成三角形的条件，即可求出的取值集合．【解答】解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，∵直线与相交于点，当直线经过点时，，解得．直线，，的斜率分别为，，，当直线与平行，得，解得．当直线与平行，得，解得．故答案为：15.6–√A(2,3,5)B(3,1,4)=(2−3+(3−1+(5−4)2)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√6–√6–√{，3，−6}13a x +y +1=02x −y +8=0(−3,2)ax +3y −5=0(−3,2)−3a +6−5=0a =13x +y +1=02x −y +8=0ax +3y −5=0−12−a 3x +y +1=0ax +3y −5=0−=−1a 3a =32x −y +8=0ax +3y −5=0−=2a 3a =−6{，3，−6}13【答案】【考点】双曲线的标准方程【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可将双曲线的方程设为，将点坐标代入可得的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，将点代入可得，．故答案为：．16.【答案】【考点】椭圆的离心率三角形的面积公式解三角形椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，，由椭圆的定义可得，所以，从而，−=13x 22y 22C y =x 3–√−3=λ(λ≠0)y 2x 2C λC y =x 3–√−3=λ(λ≠0)y 2x 2C(1,1)λ=−2−=13x 22y 22−=13x 22y 22+=1x 29y 25|P |=||=2c F 1F 1F 2|P |=2a −2c F 2cos ∠P ===(−1)=F 2F 1|P |F 22||F 1F 2a −c 2c 121e 14sin ∠P =F 2F 115−−√42因为椭圆的离心率为，所以，又，解得，所以，，故椭圆的方程为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】解：设，∵过点，∴，解得，∴的方程为： .设，设与轴交于点，与轴交于点），∴，∴，，∴的方程为：或.【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】解：（）设，∵过点，∴，解得所以的方程为： 解：（2）设，设与（轴交于点，与少轴交于点）∴，∴所以的方程为：或【解答】解：设，∵过点，∴，解得，∴的方程为： .设，设与轴交于点，与轴交于点），∴，∴，，∴的方程为：或.=c a 23=⋅|P |⋅||sin ∠P S △PF 1F 212F 2F 1F 2F 2F 1=c(a −c)=15−−√215−−√4c 2=S △PF 1F 215−−√=4c 2=9a 2=5b 2C +=1x 29y 25+=1x 29y 25(1):2x +3y +m =0l 2l 2(2,−1)4−3+m =0m =−1l 22x +3y −1=0(2):3x −2y +p =0l 2l 2x M (−,0)p 3y H(0,p 2=|(−)⋅|=3S △MOH 12p 3p 2=36p 2∴p =±6l 23x −2y +6=03x −2y −6=01:2x +3y +m =0l 2l 2(2,−1)4−3+m =0m =−1l 22x +3y −1=0:3x −2y +p =0l 2l 2M (−,0)p 3H(0,p 2=[−)⋅|=3S △MOH 12p 3p 2=36p 2∴p =±6I 23x −2y +6=03x −2y −6=0(1):2x +3y +m =0l 2l 2(2,−1)4−3+m =0m =−1l 22x +3y −1=0(2):3x −2y +p =0l 2l 2x M (−,0)p 3y H(0,p 2=|(−)⋅|=3S △MOH 12p 3p 2=36p 2∴p =±6l 23x −2y +6=03x −2y −6=018.【答案】解：点的直角坐标方程为，将，，代入曲线的极坐标方程，所以曲线的直角坐标方程为，整理为．设点的坐标为，点的坐标为，则，由为的中点，有 得 代入，得，整理得，故线段的中点的轨迹的直角坐标方程为；设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），，对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程后整理为，得，，所以．所以的值为．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化参数方程的优越性圆的极坐标方程直线与圆相交的性质轨迹方程【解析】左侧图片未给出解析【解答】解：点的直角坐标方程为，将，，代入曲线的极坐标方程，所以曲线的直角坐标方程为，整理为．设点的坐标为，点的坐标为，则，由为的中点，有 得 代入，得，整理得，故线段的中点的轨迹的直角坐标方程为；设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），，对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程后整理为，得，，所以．(1)M (−2,2)ρ=+x 2y 2−−−−−−√x =ρcos θy =ρsin θC 1C 1+−4x =0x 2y 2+=4(x −2)2y 2T (x,y)N (m,n)+=4(m −2)2n 2T MN {2x =m −2,2y =n +2,{m =2x +2,n =2y −2,+=4(m −2)2n 24+=4x 2(2y −2)2+=1x 2(y −1)2MN T C 2+=1x 2(y −1)2(2)l θl {x =1+t cos θ,y =t sin θ,t A B t 1t 2l C 2+2(cos θ−sin θ)t +1=0t 2+=−2(cos θ−sin θ)t 1t 2⋅=1t 1t 2|PA|⋅|PB|=||=1t 1t 2|PA|⋅|PB|1(1)M (−2,2)ρ=+x 2y 2−−−−−−√x =ρcos θy =ρsin θC 1C 1+−4x =0x 2y 2+=4(x −2)2y 2T (x,y)N (m,n)+=4(m −2)2n 2T MN {2x =m −2,2y =n +2,{m =2x +2,n =2y −2,+=4(m −2)2n 24+=4x 2(2y −2)2+=1x 2(y −1)2MN T C 2+=1x 2(y −1)2(2)l θl {x =1+t cos θ,y =t sin θ,t A B t 1t 2l C 2+2(cos θ−sin θ)t +1=0t 2+=−2(cos θ−sin θ)t 1t 2⋅=1t 1t 2|PA|⋅|PB|=||=1t 1t 2|PA|⋅|PB|所以的值为．19.【答案】解：先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，，则事件总数为．∵直线与圆相切的充要条件是：，即：.由于，，∴满足条件的情况只有，或，，两种情况．∴直线与圆相切的概率是.先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，，事件总数为．∵三角形的一边长为，∴时，，∴时，，∴时，或，∴时，或，∴时，或或或或或，∴时，或，∴这三条线段能构成等腰三角形的共有(种)．而所有的情况共有(种)，故三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】本题考查的知识点是古典概型，我们要列出一枚骰子连掷两次先后出现的点数所有的情况个数（1）再根求出满足条件直线与圆的事件个数，然后代入古典概型公式即可求解；（2）再根求出满足条件，，的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的事件个数，然后代入古典概型公式即可求解．【解答】解：先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，，则事件总数为．∵直线与圆相切的充要条件是：，即：.由于，，∴满足条件的情况只有，或，，两种情况．|PA|⋅|PB|1(1)2a b 6×6=36ax +by +5=0+=1x 2y 2=15+a 2b2−−−−−−√+=25a 2b 2a b ∈{1,2,3,4,5,6}a =3b =4a =4b =3ax +by +5=0+=1x 2y 2=236118(2)2a b 6×6=365a =1b =5a =2b =5a =3b =35a =4b =45a =5b =123456a =6b =561+1+2+2+6+2=146×6=36=1436718ax +by +5=0+=1x 2y 2a b 5(1)2a b 6×6=36ax +by +5=0+=1x 2y 2=15+a 2b 2−−−−−−√+=25a 2b 2a b ∈{1,2,3,4,5,6}a =3b =4a =4b =321∴直线与圆相切的概率是.先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，，事件总数为．∵三角形的一边长为，∴时，，∴时，，∴时，或，∴时，或，∴时，或或或或或，∴时，或，∴这三条线段能构成等腰三角形的共有(种)．而所有的情况共有(种)，故三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．20.【答案】解：将的坐标代入双曲线的方程，可得，由焦点到一条渐近线的距离为，可得，解得，即有双曲线的方程为；①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去，得，设，可得，解得，，∴点的坐标为，同理算出的坐标为，因此，直线的方程为，化简得即,ax +by +5=0+=1x 2y 2=236118(2)2a b 6×6=365a =1b =5a =2b =5a =3b =35a =4b =45a =5b =123456a =6b =561+1+2+2+6+2=146×6=36=1436718(1)P −=14a 21b 2F(c,0)y =x b a 1d ==b =1|bc|+a 2b 2−−−−−−√a =2–√Γ−=1x 22y 2(2)PA PA y −1=k(x −2){y =kx +1−2k ，−2=2，x 2y 2y (1−2)−4k(1−2k)x −2(4−4k +2)=0k 2x 2k 2A(m,n)2m =2(4−4k +2)k 22−1k 2m =4−4k +2k 22−1k 2n =−2+4k −1k 22−1k 2A (,)4−4k +2k 22−1k 2−2+4k −1k 22−1k 2B (,)2+4k +4k 22−k 2−−4k −2k 22−k 2AB =y −−2+4k −1k 22−1k 2−−−4k −2k 22−k 2−2+4k −1k 22−1k 2x −4−4k +2k 22−1k 2−2+4k +4k 22−k 24−4k +2k 22−1k 2(−)(y −)2+4k +4k 22−k 24−4k +2k 22−1k 2−2+4k −1k 22−1k 2=(−)(x −)−−4k −2k 22−k 2−2+4k −1k 22−1k 22+4k +4k 22−k 2(y +)8+4+4k −8k 4k 3(2−)(2−1)k 2k 22−4k +1k 22−1k 2=(x −)−4−4−4k −4k 4k 3(2−)(2−1)k 2k 24−4k +2k 22−1k 22++k −2)(y +)2−4k +12即.取，化简得直线方程为；取，化简得直线方程为．∵直线与直线交于点，∴猜想所有的直线经过点，∵将代入直线方程，得左右两边相等，∴直线恒经过定点．②当直线的斜率不存在时，可得，，此时直线的方程为，得直线经过上述的点．综上所述，可得直线恒经过定点，其坐标为．当时，到直线的距离最大，且为．【考点】直线与双曲线结合的最值问题双曲线的标准方程点到直线的距离公式【解析】（1）将的坐标代入双曲线的方程，再由点到直线的距离公式，可得，解得，进而得到双曲线的方程；（2）若直线的斜率存在，设方程为，将其与双曲线方程联解得到点关于的坐标形式，同理得到点关于的坐标形式．由直线方程的两点式列式得到直线含有参数的形式，化简后取特殊的值找到可能经过的定点为，再代入方程加以检验可得所有的直线都经过点．在直线的斜率不存在时，易得的方程为，直线也经过上述的点．由此即可得到直线恒经过定点，其坐标为．当垂直于时，取得最大值．【解答】解：将的坐标代入双曲线的方程，可得，由焦点到一条渐近线的距离为，可得，解得，即有双曲线的方程为；①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去，得，(2++k −2)(y +)k 4k 32−4k +1k 22−1k 2=(−−−k +1)(x −)k 4k 34−4k +2k 22−1k 2k =1AB y =−x +3k =2AB y =−x +5834y =−x +3y =−x +5834P(6,−3)AB P(6,−3)P(6,−3)AB P(6,−3)PA A(2,−1)B(−2,1)AB y =−x 12P AB M (6,−3)PM ⊥AB P AB =4(2−6+(1+3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√2–√P b =1a PA y −1=k(x −2)A k B k AB k k P(6,−3)AB P PA AB y =−x 12P AB M (6,−3)PM AB (1)P −=14a 21b 2F(c,0)y =x b a 1d ==b =1|bc|+a 2b 2−−−−−−√a =2–√Γ−=1x 22y 2(2)PA PA y −1=k(x −2){y =kx +1−2k ，−2=2，x 2y 2y (1−2)−4k(1−2k)x −2(4−4k +2)=0k 2x 2k 2m =2(4−4k +2)2设，可得，解得，，∴点的坐标为，同理算出的坐标为，因此，直线的方程为，化简得即,即.取，化简得直线方程为；取，化简得直线方程为．∵直线与直线交于点，∴猜想所有的直线经过点，∵将代入直线方程，得左右两边相等，∴直线恒经过定点．②当直线的斜率不存在时，可得，，此时直线的方程为，得直线经过上述的点．综上所述，可得直线恒经过定点，其坐标为．当时，到直线的距离最大，且为．21.【答案】证明：，即，圆心，半径.又直线，化为，由解得所以直线恒过定点，由，A(m,n)2m =2(4−4k +2)k 22−1k 2m =4−4k +2k 22−1k 2n =−2+4k −1k 22−1k 2A (,)4−4k +2k 22−1k 2−2+4k −1k 22−1k 2B (,)2+4k +4k 22−k 2−−4k −2k 22−k 2AB =y −−2+4k −1k 22−1k 2−−−4k −2k 22−k 2−2+4k −1k 22−1k 2x −4−4k +2k 22−1k 2−2+4k +4k 22−k 24−4k +2k 22−1k 2(−)(y −)2+4k +4k 22−k 24−4k +2k 22−1k 2−2+4k −1k 22−1k 2=(−)(x −)−−4k −2k 22−k 2−2+4k −1k 22−1k 22+4k +4k 22−k 2(y +)8+4+4k −8k 4k 3(2−)(2−1)k 2k 22−4k +1k 22−1k 2=(x −)−4−4−4k −4k 4k 3(2−)(2−1)k 2k 24−4k +2k 22−1k 2(2++k −2)(y +)k 4k 32−4k +1k 22−1k 2=(−−−k +1)(x −)k 4k 34−4k +2k 22−1k 2k =1AB y =−x +3k =2AB y =−x +5834y =−x +3y =−x +5834P(6,−3)AB P(6,−3)P(6,−3)AB P(6,−3)PA A(2,−1)B(−2,1)AB y =−x 12P AB M (6,−3)PM ⊥AB P AB =4(2−6+(1+3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√2–√(1)⊙C :+−2x −4y −20=0x 2y 2+=25(x −1)2(y −2)2C (1,2)r =5l :(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0m(2x +y −7)+(x +y −4)=0{2x +y −7=0,x +y −4=0,{x =3,y =1,l Q (3,1)|CQ|==<5+(3−1)2(1−2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√Q C l ⊙C可得在圆内，则直线与恒有两个交点．解：由题意知，设点为弦的中点，由可知，所以点的轨迹方程是以为直径的圆，线段的中点为，，则线段中点的轨迹方程为.由圆的几何性质可知，当是弦的中点时，最小．弦心距，的半径为，可得.【考点】直线与圆的位置关系直线恒过定点圆的标准方程与一般方程的转化轨迹方程【解析】【解答】证明：，即，圆心，半径.又直线，化为，由解得所以直线恒过定点，由，可得在圆内，则直线与恒有两个交点．解：由题意知，设点为弦的中点，由可知，所以点的轨迹方程是以为直径的圆，线段的中点为，，则线段中点的轨迹方程为.由圆的几何性质可知，当是弦的中点时，最小．弦心距，的半径为，可得.22.【答案】Q C l ⊙C (2)P (x,y)AB (1)CP ⊥PQ P CQ CQ (2,)32|CQ|=5–√AB P +=(x −2)2(y −)32254Q (3,1)AB |AB|d =|CQ|=5–√⊙C 5|AB =2=4|max −52()5–√2−−−−−−−−−√5–√(1)⊙C :+−2x −4y −20=0x 2y 2+=25(x −1)2(y −2)2C (1,2)r =5l :(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0m(2x +y −7)+(x +y −4)=0{2x +y −7=0,x +y −4=0,{x =3,y =1,l Q (3,1)|CQ|==<5+(3−1)2(1−2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√Q C l ⊙C (2)P (x,y)AB (1)CP ⊥PQ P CQ CQ (2,)32|CQ|=5–√AB P +=(x −2)2(y −)32254Q (3,1)AB |AB|d =|CQ|=5–√⊙C 5|AB =2=4|max −52()5–√2−−−−−−−−−√5–√ =1,22解：联立方程组解得或不妨设，则．因为，所以，所以，即．因为，所以．故椭圆的方程为．证明：当直线的斜率存在时，显然斜率不为，否则直线，的斜率之和为，不合题意．设直线的方程为，，．联立得，由，得，则．①由，得，②将①代入②，整理得，所以即所以直线恒过定点．当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，其中，即由，得所以.故当直线的斜率不存在时，直线也过定点.综上所述，直线恒过定点．【考点】(1) +=1,x 2a 2y 2b 2y =b,35x =−,4a 5y =b,35x =,4a 5y = b.35A (−a,b),B (a,b)45354535=(−c −,),=(−c +,)A F 2−→−4a 53b 5B F 2−→−4a 53b 5∠A B =F 290∘⋅=−+=0A F 2−→−B F 2−→−c 21625a 2925b 29=16a 2b 23a =4b |M |⋅|M |≤==16F 1F 2()|M |+|M |F 1F 222a 2a =4,b =3C +=1x 216y 29(2)PQ 0NP NQ 0PQ y =kx +m(k ≠0,m ≠3)P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2{y =kx +m,9+16=144,x 2y 2(9+16)+32kmx +16−144=0k 2x 2m 2Δ>0<16+9m 2k 2+=−,=x 1x 232km 9+16k 2x 1x 216−144m 29+16k 2+=6k NP k NQ +k +m −3x 1x 1k +m −3x 2x 2=2k +(m −3)×=6+x 1x 2x 1x 2m =k −3y =kx +k −3y +3=k (x +1)PQ (−1,−3)PQ PQ x =,P (,),Q (,)x 0x 0y 1x 0y 2=−y 2y 1+=0.y 1y 2+=6k NP k NQ +−3y 1x 0−3y 2x 0===6.+−6y 1y 2x 0−6x 0=−1x 0PQ PQ (−1,−3)PQ (−1,−3)圆锥曲线中的定点与定值问题直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】无无【解答】解：联立方程组解得或不妨设，则．因为，所以，所以，即．因为，所以．故椭圆的方程为．证明：当直线的斜率存在时，显然斜率不为，否则直线，的斜率之和为，不合题意．设直线的方程为，，．联立得，由，得，则．①由，得，②将①代入②，整理得，所以即所以直线恒过定点．当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，其中，即由，得所以.(1) +=1,x 2a 2y 2b 2y =b,35 x =−,4a 5y =b,35 x =,4a 5y = b.35A (−a,b),B (a,b)45354535=(−c −,),=(−c +,)A F 2−→−4a 53b 5B F 2−→−4a 53b 5∠A B =F 290∘⋅=−+=0A F 2−→−B F 2−→−c 21625a 2925b 29=16a 2b 23a =4b |M |⋅|M |≤==16F 1F 2()|M |+|M |F 1F 222a 2a =4,b =3C +=1x 216y 29(2)PQ 0NP NQ 0PQ y =kx +m(k ≠0,m ≠3)P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2{y =kx +m,9+16=144,x 2y 2(9+16)+32kmx +16−144=0k 2x 2m 2Δ>0<16+9m 2k 2+=−,=x 1x 232km 9+16k 2x 1x 216−144m 29+16k 2+=6k NP k NQ +k +m −3x 1x 1k +m −3x 2x 2=2k +(m −3)×=6+x 1x 2x 1x 2m =k −3y =kx +k −3y +3=k (x +1)PQ (−1,−3)PQ PQ x =,P (,),Q (,)x 0x 0y 1x 0y 2=−y 2y 1+=0.y 1y 2+=6k NP k NQ +−3y 1x 0−3y 2x 0===6.+−6y 1y 2x 0−6x 0=−1x 0PQ PQ (−1,−3)故当直线的斜率不存在时，直线也过定点.综上所述，直线恒过定点．PQ PQ (−1,−3)PQ (−1,−3)。
2022-2023学年人教A版(2019)高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知函数，则的图象在点处的切线方程的倾斜角为 ( )A.B.C.D.2. 如图．平行六面体中，，则等于（ ）A.B.C.D.3. 已知直线：，则直线的倾斜角是（ ）A.B.C.D.f (x)=cos x e xf (x)x =0π23π34π4π6ABCD −A 1B 1C 1D 1=x +y +z C A 1−→−AB −→−BC −→−CC 1−→−x +y +z 1567623l 3x +y +6=03–√l 30∘60∘120∘150∘=14. 已知 ，则“”是“两直线 与平行”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 经过点且在轴上的截距为的直线方程是( )A.B.C.D.6. 在平行六面体中，设，则等于（ ）A.B.C.D.7. 已知的最小值是（ ）A.B.C.D.8. 若空间三点，，，向量与，分别垂直，且，则的值是（ ）A.B.a ∈R a =16:x +2ay −1=0l 1:(3a −1)x −ay −1=0l 2A (−1,4)x 3y =−x −3y =x +3y =−x +3y =−x +5ABCD −A 1B 1C 1D 1=x +2y +3z AC 1→AB →BC →CC 1→x +y +z 12356116=(0,2t −1,1−t)，=(t,t,2)，则|−|a →b →b →a →5–√6–√2–√3–√A(0,1,5)B(1,5,0)C(5,0,1)=(x,y,z)a ¯¯¯AB −→−AC −→−||=a ¯¯¯15−−√x 2y 2z 2215152C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知直线，动直线，则下列结论错误的是A.不存在，使得的倾斜角为B.对任意的，与都有公共点C.对任意的，与都不重合D.对任意的，与都不垂直10. 如图，正方形的边长为，，分别为，的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是( )A.异面直线与所成的角为定值B.存在某个位置，使得直线与直线垂直C.三棱锥与体积之比值为定值D.四面体的外接球体积为11. 已知，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，，且满足，则下列说法正确的是( )A.双曲线的离心率为B.双曲线的渐近线方程为C.若的最小值为，则双曲线方程为D.存在点，使得125521:x −y −1=0l 1:(k +1)x +ky +k =0(k ∈R)l 2()k l 290∘k l 1l 2k l 1l 2k l 1l 2ABCD 1M N BC CD AC D ABC AC MN AD BC N −ACM B −ACD ABCD π2–√3A B C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2P C PA PB k 1k 2⋅=k 1k 214C 2C y =±x 12|AB|4−=1x 24y 2P ||+||=k 1k 22–√2F =112. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是( )A.异面直线，所成角为定值B.C.的面积与的面积相等D.三棱锥的体积为定值卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，为平面内两个不共线向量，则，若，、三点共线，则＝________．14. 中，，，，则在方向上的投影是________．15. 空间向量，，，且．则________．16. 直线在轴上的截距为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知的三个顶点坐标分别是，，.求它的外接圆的方程；求过点，倾斜角为的直线被圆截得弦的长 18. 如图，在几何体中，四边形为等腰梯形，且，，四边形为矩形，且，，分别为，的中点．ABCD −A 1B 1C 1D 11B 1D 1E F EF =12AE BF AC ⊥BF△AEF △BEF A −BEF e 1→e 2→=2−3MN →e 1→e 2→=λ+6NP →e 1→e 2→M N P λ△ABC |+|=|−|AB →AC →AB →AC →AB =3AC =4BC →CA →=(−1,1,−2)a →=(1,−2,−1)b →=(x,y,−2)n →//n →b →⋅=a →n →y =3x +2y △ABC A(−3,1)B(5,5)C(2,−4)(1)Q (2)(−1,0)135∘Q EF .ABCDEF ABCD AB =2CD =2∠ABC =60∘ACFE FB =2–√M N EF AB求证：平面；若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 19. 如图，四边形为梯形，，，点在线段上，满足，且，现将沿翻折到位置，使得．证明：；求直线与面所成角的正弦值．20. 已知直线.若直线不经过第二象限，求的取值范围；设直线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 21. 在多面体中，是边长为的正方形，，平面平面求证：平面;求直线与平面所成角的正弦值.22. 如图，平面四边形，点在边上， ，且是边长为的正方形．沿着直线将折起，使平面平面（如图），已知，分别是棱，的中点，是棱上一点．(1)MN//FCB (2)AF FCB 60∘MAB MAC ABCD AB //CD ∠C =60∘E CD BE ⊥CD CE =AB =CD =214△ADE AE AME MC =210−−√(1)AE ⊥MB (2)CM AME l :kx −2y −3+k =0(1)l k (2)l x A y B △AOB 4O l AFCDEB BCDE 2CF//AB ABCF ⊥BCDE,AB =2FC =2.AB ⊥CE.(1)BD ⊥CFE (2)EF ADF ABCE D CE CD =DE ABCD 2AD △ADE ADE ⊥ABCD F H EA EC G BC求证：平面平面；若直线与平面所成的角的正切值为时，求锐二面角的余弦值．(1)DFG ⊥ABE (2)GH ABCD 2–√2F −DG −H参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】直线的倾斜角【解析】先求函数的导函数，再求所求切线的斜率,即，由于切点为，故由点斜式即可得所求切线的方程，即可求出倾斜角.【解答】解：∵∴ .∴，.即函数图象在点处的切线斜率为.∴倾斜角为.故选.2.【答案】A【考点】空间向量的加减法【解析】由空间向量平行六面体法则可得：，由于，，．代入比较即可得出．【解答】(x)f ′(0)f ′(0,1)f (x)=cos xe x (x)==−f ′−sin x −cos x e x e x ()e x 2−9x −cos x e x (0)=−1f ′f (0)=1f (x)(0,1)−1π34B =++C A 1−→−A A 1−→−A 1B 1−→−−A 1D 1−→−−=A 1B 1−→−−AB −→−=A 1D 1−→−−BC −→−=A A 1−→−C C 1−→−++−→−−→−−→−−−→−−解：如图所示，由空间向量平行六面体法则可得：，而，，．∴．∴．故选：．3.【答案】C【考点】直线的斜率直线的倾斜角【解析】无【解答】解：因为，所以，设直线的倾斜角为，则，因为，所以．故选．4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，且，解得或，∴是直线与直线平行的充分非必要条件，故选.5.=++C A 1−→−A A 1−→−A 1B 1−→−−A 1D 1−→−−=A 1B 1−→−−AB −→−=A 1D 1−→−−BC −→−=A A 1−→−C C 1−→−=−++C A 1−→−CC 1−→−AB −→−BC −→−x +y +z =1+1−1=1A 3x +y +6=03–√y =−x −23–√3–√l αtan α=−3–√≤α<0∘180∘α=120∘C 1⋅(−a)−2a(3a −1)=01⋅(−1)−(3a −1)⋅(−1)≠0a =0a =16a =16x +2ay −1=0(3a −1)x −ay −1=0AC【考点】直线的点斜式方程【解析】设出直线方程，根据直线在轴上的截距是，求出直线方程即可．【解答】解：由题意可知，该直线的斜率存在，∵所求直线过点，∴可设直线方程为.，令，可得，解得，∴所求直线的方程为.故选．6.【答案】D【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】在平行六面体中，用 、、 表示出 ，将它和题中已知的 的解析式作对照，求出、、 的值．【解答】∵在平行六面体中，，又∵，∴＝，＝，＝，∴＝，，，∴＝，7.【答案】Cx 3A (−1,4)y −4=k (x +1)∵k ≠0y =0x =−−1=34kk =−1y =−x +3C ABCD −A 1B 1C 1D 1AB →BC →CC 1→AC 1→AC 1→x y z ABCD −A 1B 1C 1D 1=x +2y +3z AC 1→AB →BC →CC 1→=++AC 1→AB →BC →CC 1→x 12y 13z 1x 1y =12z =13x +y +z 1++=1213116空间向量的夹角与距离求解公式【解析】依据空间向量的模的坐标法表示，将问题化为关于的二次函数去解决．【解答】解：；故答案选8.【答案】C【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【解析】利用向量垂直与数量积的关系、向量的模的计算公式即可得出．【解答】解：∵空间三点，，，∴，．又向量与，分别垂直，∴，，．∴解得，∴．故选：．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线的倾斜角t |−|==≥b →a →(0−t +(2t −1−t +(1−t −2)2)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√3+2t 2−−−−−−√2–√C A(0,1,5)B(1,5,0)C(5,0,1)=(1,4,−5)AB −→−=(5,−1,−4)AC −→−=(x,y,z)a ¯¯¯AB −→−AC −→−⋅=0a ¯¯¯AC −→−⋅=0a →AB −→−||=a →15−−√5x −y −4z =0x +4y −5z =0=++x 2y 2z 2−−−−−−−−−−√15−−√===5x 2y 2z 2=125x 2y 2z 2C【解析】通过两直线的位置关系判断以及直线系方程的应用，即可求解.【解答】解：，当时，的倾斜角为，故错误，符合题意；，的方程整理为 ，由此可知直线必过定点，又点也在上，故正确，不符合题意；，当时，两直线重合，故错误，符合题意；，∵，∴两直线不垂直，故正确，不符合题意.故选.10.【答案】A,C,D【考点】异面直线及其所成的角两条直线垂直的判定棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：选项，取中点，连接，，则，且，所以平面，所以，异面直线与所成的角为，又，所以异面直线与所成的角为定值，故选项正确；选项，若直线与直线垂直，因为直线与直线也垂直，则直线平面，所以直线直线，又因为，所以平面，所以，而是以和为腰长的等腰三角形，这显然不可能，故选项不正确；选项，，分别为正方形的边，的中点，所以三角形与的面积比为，A k =0l 290∘AB l 2k (x +y +1)+x =0l 2(0,−1)(0,−1)l 1BC k =−12CD 1⋅(k +1)+(−1)k ≠0D AC A AC O OB OD AC ⊥OB AC ⊥OD AC ⊥OBD AC ⊥BD AC BD 90∘MN//BD AC MN A B AD BC AB BC BC ⊥ABD BC ⊥BD BD ⊥AC BD ⊥ABC BD ⊥OB △OBD OB OD B C M N ABCD BC CD ACD ACN 2:1ACD ACN又因为到面的距离与到面的距离之比为，所以三棱锥与的体积之比为定值，故选项正确；选项，外接球球心为的中点，易知外接球半径为，∴ ，故选项正确．故选．11.【答案】B,C【考点】基本不等式在最值问题中的应用斜率的计算公式直线与双曲线结合的最值问题双曲线的离心率双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：设，，．因为，，都在双曲线上，所以，，两式相减得．即，所以 ，所以，即，故选项正确；又，故选项错误；因为||的最小值为，所以，，，所以双曲线的方程为，故选项正确；因为 ，B ACD M ACN 2:1N −ACM B −ACD 14C D O AC R =2–√2V =π=43R 3π2–√3D ACD P(,)x 1y 1A(m,n)B(−m,−n)P A B C −=1x 21a 2y 21b 2−=1m 2a 2n 2b 2=−x 21m 2a 2−y 21n 2b 2=−y 21n 2−x 21m 2b 2a 2⋅k 1=⋅k 2−n y 1−m x 1==+n y 1+m x 1−y 21n 2−x 21m 2b 2a 2=b 2a 214=b a 12B e ====c a 1+b 2a 2−−−−−−√1+14−−−−−√5–√2A AB 42a =4a =2b =1C −=1x 24y 2C ||+||≥2=k 1k 2||⋅||k 1k 2−−−−−−−√2×=112|=||=1当且仅当时等号成立，所以，故选项错误．故选．12.【答案】B,D【考点】柱体、锥体、台体的体积计算两条直线垂直的判定空间中直线与直线之间的位置关系棱柱的结构特征用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】利用空间向量结合取特值说明错误；由线面垂直可得线线垂直，说明正确；由到的距离大于到的距离，说明错误；由到平面的距离及三角形的面积均为定值说明正确．【解答】解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系则，，设，则，其中，，，，||=||=k 1k 212||+||≥1>k 1k 22–√2D BC A B A B 1D 1B B 1D 1C A BDD 1B 1BEF D D A(1,0,0)B(1,1,0)E(a,a,1)F(a +,a +,1)2–√22–√20≤a ≤1−2–√2=(a −1,a,1)AE −→−=(a +−1,a +−1,1)BF −→−2–√22–√2cos , =AE −→−BF −→−⋅AE −→−BF −→−||⋅||AE −→−BF −→−=(2a −1)(a +−1)+12√2⋅(a −1++1)2a 2−−−−−−−−−−−−−−√2(a +−1+12√2)2−−−−−−−−−−−−−−−√ , =−→−4−–√取时，，取时，， ，异面直线，所成角不是定值，故错误；由正方体的结构特征可知，， ，又，平面 ，则，故正确；∵到的距离为 ，到的距离大于上下底面中心的连线的长度，则到的距离大于，的面积大于的面积，故错误；∵到平面的距离为，的面积为定值，三棱锥的体积为定值，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】共线向量与共面向量【解析】由已知结合共线向量基本定理列式求解．【解答】∵，，且，、三点共线，∴，即，则，解得．14.【答案】【考点】向量的投影a =0cos , =AE −→−BF −→−4−2–√42−2–√−−−−−−√a =1−2–√2cos , =AE −→−BF −→−13−2–√−−−−−−√∵≠4−2–√42−2–√−−−−−−√13−2–√−−−−−−√∴AE BF A D ⊥AC D 1BD ⊥AC BD ∩D =D D 1∴AC ⊥BDD 1B 1AC ⊥BF B B B 1D 1B =1B 1A B 1D 1A B 1D 11∴△AEF △BEF C A BDD 1B 12–√2△BEF ∴A −BEF D BD −4=2−3MN →e 1→e 2→=λ+6NP →e 1→e 2→M N P =μMN →NP →2−3=λμ+6μe 1→e 2→e 1→e 2→{ λμ=26μ=−3 λ=−4μ=−12−4【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】【考点】空间向量的数量积运算共线向量与共面向量【解析】由，利用向量共线定理可得：存在实数使得，再利用数量积运算即可得出．【解答】解：∵，∴存在实数使得，∴解得，．∴，∴．故答案为：．16.【答案】【考点】直线的斜截式方程【解析】根据直线的斜截式方程，结合题中的数据即可得到已知直线在轴上的截距值．【解答】解：∵直线中，常数项−2//n →b →k =k n →b →//n →b →k =k n →b → x =k ，y =−2k ，−2=−k ，x =2y =−4=(2,−4,−2)n →⋅=−2−4+4=−2a →n →−22y y =3x +2b =2∴直线在轴上的截距为故答案为：四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：设外接圆的方程为，将点，，分别代入得：解得：∴.∵倾斜角为，∴斜率为，∴直线的方程为，即.圆心到直线的距离为：，∴.【考点】圆的标准方程轨迹方程直线的点斜式方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：设外接圆的方程为，将点，，分别代入得：解得：∴.y =3x +2y 22(1)(x −a +(y −b =)2)2r 2A(−3,1)B(5,5)C(2,−4) (−3−a +(1−b =，)2)2r 2(5−a +(5−b =，)2)2r 2(2−a +(−4−b =，)2)2r 2 a =2，b =1，r =5.(x −2+(y −1=25)2)2(2)135∘−1y =−(x +1)x +y +1=0d ==2|2+1+1|1+1−−−−√2–√EF =2=2−r 2d 2−−−−−−√17−−√(1)(x −a +(y −b =)2)2r 2A(−3,1)B(5,5)C(2,−4) (−3−a +(1−b =，)2)2r 2(5−a +(5−b =，)2)2r 2(2−a +(−4−b =，)2)2r 2 a =2，b =1，r =5.(x −2+(y −1=25)2)2(2)135∘∵倾斜角为，∴斜率为，∴直线的方程为，即.圆心到直线的距离为：，∴.18.【答案】()证明：取的中点，连结，，则，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.解：由四边形为等腰梯形，且，,可得，，所以，所以又因为四边形为矩形，所以，所以平面，所以为直线与平面所成的角，即，所以.又因为，所以，所以则可建立如图所示的空间直角坐标系.则，， ，所以，，设为平面的法向量，则即取，则为平面的一个法向量，又为平面的一个法向量，(2)135∘−1y =−(x +1)x +y +1=0d ==2|2+1+1|1+1−−−−√2–√EF =2=2−r 2d 2−−−−−−√17−−√1BC Q NQ FQ NQ AC =//12MF AC =//12MF NQ =//MNQF MN//FQ FQ ⊂FCB MN ⊂FCB MN//FCB (2)ABCD AB =2CD =2∠ABC =60∘BC =1AC =3–√∠ACB =90∘AC ⊥BC.ACFE AC ⊥CF AC ⊥FCB ∠AFC AF FCB ∠AFC =60∘FC =1FB =2–√F =F +C B 2C 2B 2FC ⊥BC.C −xyz A(,0,0)3–√B(0,1,0)M (,0,1)3–√2=(,0,−1)MA −→−3–√2=(−,1,0)AB −→−3–√=(x,y,z)m →MAB ⋅=0，MA −→−m →⋅=0，AB −→−m → x −z =0，3–√2−x +y =0，3–√x =23–√=(2,6,3)m →3–√MAB =(0,1,0)n →MAC , ===→→所以，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为【考点】直线与平面平行的判定二面角的平面角及求法空间中平面与平面之间的位置关系【解析】暂无暂无【解答】()证明：取的中点，连结，，则，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.解：由四边形为等腰梯形，且，,可得，，所以，所以又因为四边形为矩形，所以，所以平面，所以为直线与平面所成的角，即，所以.又因为，所以，所以则可建立如图所示的空间直角坐标系.则，， ，所以，，cos , ===m →n →⋅m →n →||||m →n →6×157−−√657−−√57=257−−√19MAB MAC .257−−√191BC Q NQ FQ NQ AC =//12MF AC =//12MF NQ =//MNQF MN//FQ FQ ⊂FCB MN ⊂FCB MN//FCB (2)ABCD AB =2CD =2∠ABC =60∘BC =1AC =3–√∠ACB =90∘AC ⊥BC.ACFE AC ⊥CF AC ⊥FCB ∠AFC AF FCB ∠AFC =60∘FC =1FB =2–√F =F +C B 2C 2B 2FC ⊥BC.C −xyz A(,0,0)3–√B(0,1,0)M (,0,1)3–√2=(,0,−1)MA −→−3–√2=(−,1,0)AB −→−3–√ =0，−→−设为平面的法向量，则即取，则为平面的一个法向量，又为平面的一个法向量，所以，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为19.【答案】证明：如图，连结交于点，∵，，∴，.∵，∴，，∴，∴，∴.∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，.∵，平面，平面，∴平面，∴．解：如图，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则有，则，，，=(x,y,z)m →MAB ⋅=0，MA −→−m →⋅=0，AB −→−m → x −z =0，3–√2−x +y =0，3–√x =23–√=(2,6,3)m →3–√MAB =(0,1,0)n →MAC cos , ===m →n →⋅m →n →||||m →n →6×157−−√657−−√57=257−−√19MAB MAC .257−−√19(1)BD AE N ∠C =60∘CE =2BE =CE ⋅tan =260∘3–√BC ==4CE cos 60∘CE =CD =214CD =8DE =CD −CE =6BD ===4B +D E 2E 2−−−−−−−−−−√12+36−−−−−−√3–√B +B =C D 2C 2D 2BC ⊥BD AB//CE AB =AE ABCE BC //AE AE ⊥BD AE ⊥BN AE ⊥MN BN ∩MN =N BN ⊂MNB MN ⊂MNB AE ⊥MNB AE ⊥MB (2)BE x BA y BM z A(0,2,0)，C(2,−2,0)，E(2,0,0)，3–√3–√M(0,0,2)6–√=(0,−2,2)AM −→−6–√=(2,−2,0)AE −→−3–√=(2,−2,−2)MC −→−3–√6–√(x,y,z)→设平面的法向量为，由得可取，∴.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角两条直线垂直的判定【解析】Ⅰ连，交于，推导出，，从而平面，由此能证明．Ⅱ设直线与面所成角为，则，其中为到面的距离，由，得到面的距离即到面的距离．由求出，由此能求出直线与面所成角的正弦值．【解答】证明：如图，连结交于点，∵，，∴，.∵，∴，，∴，∴，∴.∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，.∵，平面，平面，∴平面，∴．AME =(x,y,z)m →⋅=0，m →AM −→−⋅=0，m →AE −→−{−2y +2z =0，6–√2x −2y =0，3–√=(，，1)m →2–√6–√sin θ=cos <，>==m →MC −→−⋅m →MC −→−||⋅||m →MC −→−15−−√15()BD AE N AE ⊥BN AE ⊥MN AE ⊥MNB AE ⊥MB ()CM AME θsin θ=h MC h C AME AE //BC C AME B AME =∗∗BM ==∗h V M−ABE 13S △ABE V B−AME 13S △AEM h =26–√3CM AME (1)BD AE N ∠C =60∘CE =2BE =CE ⋅tan =260∘3–√BC ==4CE cos 60∘CE =CD =214CD =8DE =CD −CE =6BD ===4B +D E 2E 2−−−−−−−−−−√12+36−−−−−−√3–√B +B =C D 2C 2D 2BC ⊥BD AB//CE AB =AE ABCE BC //AE AE ⊥BD AE ⊥BN AE ⊥MN BN ∩MN =N BN ⊂MNB MN ⊂MNB AE ⊥MNB AE ⊥MB (2)BA解：如图，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则有，则，，，设平面的法向量为，由得可取，∴.20.【答案】解：，即.若直线不经过第二象限，则解得：.设直线与轴的负半轴交于点，则，与轴的负半轴交于点，则，故 ，解得：，.故直线方程是：或.【考点】三角形的面积公式(2)BE x BA y BM z A(0,2,0)，C(2,−2,0)，E(2,0,0)，3–√3–√M(0,0,2)6–√=(0,−2,2)AM −→−6–√=(2,−2,0)AE −→−3–√=(2,−2,−2)MC −→−3–√6–√AME =(x,y,z)m → ⋅=0，m →AM −→−⋅=0，m →AE −→−{−2y +2z =0，6–√2x −2y =0，3–√=(，，1)m →2–√6–√sin θ=cos <，>==m →MC −→−⋅m →MC −→−||⋅||m →MC −→−15−−√15(1)kx −2y −3+k =0y =x +k 2k −32l ≥0，k 2≤0，k −320≤k ≤3(2)l x A A (,0)3−k k y B B (0,)k −32⋅(−)123−k k (−)=4k −32k =−9k =−1x +2y +4=09x +2y −12=0直线的截距式方程直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】（1）根据直线的点斜式方程求出的方程即可；（2）求出，的坐标，得到关于的方程，解出即可．【解答】解：，即.若直线不经过第二象限，则 解得：.设直线与轴的负半轴交于点，则，与轴的负半轴交于点，则，故 ，解得：，.故直线方程是：或.21.【答案】解：是正方形，∵平面平面，平面 平面.平面,平面，平面,，平面以为原点，向量分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则.则‘设平面的法向量为，则，取，则，，，k A B k (1)kx −2y −3+k =0y =x +k 2k −32l ≥0，k 2≤0，k −320≤k ≤3(2)l x A A (,0)3−k ky B B (0,)k −32⋅(−)123−k k(−)=4k −32k =−9k =−1x +2y +4=09x +2y −12=0(1)∵BCDE ∴BE ⊥BC,BD ⊥CEABCF ⊥BCDE ABCF∩BCDE =BC ∴BE ⊥ABCF ∴BE ⊥AB,∵AB ⊥CE,BE ∩CE =E∴AB ⊥BCDE ∵CF//AB∴CF ⊥BCDE ∴CF ⊥BD ，∵CF ∩CE =C ∴BD ⊥CFE.(2)B ,,BC −→−BE −→−BA −→−x y z E(0,2,0),F(2,0,1),A(0,0,2),D(2,2,0)=(2,−2,1),=(−2,−2,2),=(0,−2,1)EF −→−DA −→−DF −→−ADF =(x ，y ，z)n → ⋅=−2y +z =0n →DF −→−⋅=−2x −2y +2z =0n →DA −→−y =1z =2x =1∴=(1，1，2)n →ADF θ设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为【考点】用空间向量求直线与平面的夹角直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：是正方形，∵平面平面，平面 平面.平面,平面，平面,，平面以为原点，向量分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则.则‘设平面的法向量为，则，取，则，，，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为EF ADF θsin θ===|⋅|n →EF −→−||⋅||n →EF −→−|2×1−2×1+1×2|+(−2+22)212−−−−−−−−−−−−−√++121222−−−−−−−−−−√6–√9∴EF ADF .6–√9(1)∵BCDE ∴BE ⊥BC,BD ⊥CEABCF ⊥BCDE ABCF∩BCDE =BC ∴BE ⊥ABCF ∴BE ⊥AB,∵AB ⊥CE,BE ∩CE =E∴AB ⊥BCDE ∵CF//AB∴CF ⊥BCDE ∴CF ⊥BD ，∵CF ∩CE =C ∴BD ⊥CFE.(2)B ,,BC −→−BE −→−BA −→−x y z E(0,2,0),F(2,0,1),A(0,0,2),D(2,2,0)=(2,−2,1),=(−2,−2,2),=(0,−2,1)EF −→−DA −→−DF −→−ADF =(x ，y ，z)n → ⋅=−2y +z =0n →DF −→−⋅=−2x −2y +2z =0n →DA −→−y =1z =2x =1∴=(1，1，2)n →EF ADF θsin θ===|⋅|n →EF −→−||⋅||n →EF −→−|2×1−2×1+1×2|+(−2+22)212−−−−−−−−−−−−−√++121222−−−−−−−−−−√6–√9∴EF ADF .6–√922.【答案】证明：∵平面平面，，∴平面，∴，∵，是的中点，∴，∴⊥平面，又∵ 平面，∴平面平面．解：取中点，连接， 则，，∵平面平面，，∴平面，∴平面，即为直线与平面所成的角，，∴，，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，即不妨令，则，即不妨令，则，(1)ADE ⊥ABCD AB ⊥AD AB ⊥ADE AB ⊥DF DE =DA F EA DF ⊥AE DF ABE DF ⊂DFG DFG ⊥ABE (2)CD M MG MH//DE MH =DE =112ADE ⊥ABCD DE ⊥AD DE ⊥ABCD MH ⊥ABCD ∠HGM GH ABCD tan ∠HGM ==1GM 2–√2GM =2–√GC =1D DA DC DE x y z D −xyz F (1,0,1)H (0,1,1)G (1,2,0)=(1,2,0)DG −→−=(1,0,1)DF −→−=(0,1,1)DH −→−FDG =(a,b,c)n 1−→DGH =(x,y,z)n 2−→ ⋅=0,DG −→−n 1−→⋅=0,DF −→−n 1−→{a +2b =0,a +c =0,a =−2=(−2,1,2)n 1−→ ⋅=0,DG −→−n 2−→⋅=0,DH −→−n 2−→{x +2y =0,y +z =0,x =−2=(−2,1,−1)n 2−→ , ===−→−→，由题意知二面角为锐二面角，其余弦值为．【考点】平面与平面垂直的判定二面角的平面角及求法用空间向量求平面间的夹角【解析】此题暂无解析【解答】证明：∵平面平面，，∴平面，∴，∵，是的中点，∴，∴⊥平面，又∵ 平面，∴平面平面．解：取中点，连接， 则，，∵平面平面，，∴平面，∴平面，即为直线与平面所成的角，，∴，，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，cos , ===n 1−→n 2−→⋅n 1−→n 2−→||⋅||n 1−→n 2−→33⋅6–√6–√6F −DG −H 6–√6(1)ADE ⊥ABCD AB ⊥AD AB ⊥ADE AB ⊥DF DE =DA F EA DF ⊥AE DF ABE DF ⊂DFG DFG ⊥ABE (2)CD M MG MH//DE MH =DE =112ADE ⊥ABCD DE ⊥AD DE ⊥ABCD MH ⊥ABCD ∠HGM GH ABCD tan ∠HGM ==1GM 2–√2GM =2–√GC =1D DA DC DE x y z D −xyz F (1,0,1)H (0,1,1)G (1,2,0)=(1,2,0)DG −→−=(1,0,1)DF −→−=(0,1,1)DH −→−FDG =(a,b,c)n 1−→DGH =(x,y,z)n 2−→ =0,−→−即不妨令，则，即不妨令，则，，由题意知二面角为锐二面角，其余弦值为． ⋅=0,DG −→−n 1−→⋅=0,DF −→−n 1−→{a +2b =0,a +c =0,a =−2=(−2,1,2)n 1−→ ⋅=0,DG −→−n 2−→⋅=0,DH −→−n 2−→{x +2y =0,y +z =0,x =−2=(−2,1,−1)n 2−→cos , ===n 1−→n 2−→⋅n 1−→n 2−→||⋅||n 1−→n 2−→33⋅6–√6–√6F −DG −H 6–√6。
2022-2023学年人教A版(2019)高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 直线的倾斜角是（ ）A.B.C.D.2. 正四棱锥中，设，，，为底面中一点，且 面，则( )A.B.C.D.3. 若直线与直线的斜率互为相反数，则的倾斜角为 A.B. C.y =−x +130∘45∘135∘150∘P −ABCD =AB −→−a →=AD −→−b →=AP −→−c →O ABCD PO ⊥ABCD =PO −→−++a →b →c→+−a →b →c→+−12a →12b →c →++12a →12b →c →:x +y +1=0l 13–√l 2l 2()30∘60∘120∘150∘D.4. “”是“两直线 与平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ）A.＝B.＝C.＝D.＝6. 三棱锥中，，分别是，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）A.B.C.D.7. 已知，，，则向量与的夹角为 A.B.C.D.8. 若，，，，则等于（ ）150∘a =16:x +2ay −1=0l 1:(3a −1)x −ay −1=0l 2(−1,1)135∘x −y 0x +y 0x −y 1x +y 1O −ABC M N AB OC =OA −→−a →=OB −→−b →=OC −→−c →a →b →c →NM −→−NM −→−(−++)12a →b →c →(+−)12a →b →c →(−+)12a →b →c →(−−+)12a →b →c →A(2,−5,1)B(2,−2,4)C(1,−4,1)AB −→−AC −→−()30∘45∘60∘90∘=(2,2,0)a →=(1,3,z)b →<a →>=b →60∘z −−√A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列说法错误的是 A.一条直线的斜率为，则这条直线的倾斜角是B.过点和点的直线的方程为C.若两直线平行，则它们的斜率相等D.若两直线斜率之积等于，则两直线垂直10. 如图，正方体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）A.若点在线段上，则不存在点满足B.若点在线段上，则四面体的体积为定值C.若点在线段上，异面直线与所成角的取值范围是D.若点是正方体表面上的动点，满足的动点轨迹长度为11. 已知，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，，且满足，则下列说法正确的是( )A.双曲线的离心率为B.双曲线的渐近线方程为C.若的最小值为，则双曲线方程为22−−√−22−−√±22−−√±42−−√()k =tan ααA(,)x 1y 1B(,)x 2y 2=y −y 1−y 2y 1x −x 1−x 2x 1−1ABCD −A 1B 1C 1D 1a M D A 1M CM ⊥AD 1M D A 1M −CB 1D 1M D A 1BM CB 1[,]30∘90∘M AM =a 2–√3πa 2A B C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2P C PA PB k 1k 2⋅=k 1k 214C 2C y =±x 12|AB|4−=1x 24y 2|+||=–√D.存在点，使得12. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点，平面，，，，则( )A.三棱锥的体积为B.平面截三棱锥所得的截面面积为C.点与点到平面的距离相等D.直线与直线垂直卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，若，则________．14. 向量在向量方向上的投影数量为________.15. 空间向量，，，且．则________．16. 在轴上的截距是，倾斜角为的直线方程为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线的方程为，求边所在直线的方程．18. （本小题满分分）如图，四边形是某半圆柱的轴截面（过上、下底面圆心连线的截面）线段是该半圆柱的一条母线，点为线段的中点．P ||+||=k 1k 22–√2P −ABC D E F PC AC AB PA ⊥ABC ∠ABC =90∘AB =PA =6BC =8D −BEF 6DEF P −ABC 12P A BDE PB DF ={3λ,6,λ+6}，={λ+1,3,2λ}a →b →//a →b →λ==(2,1)a →=(−3,2)b →=(−1,1,−2)a →=(1,−2,−1)b →=(x,y,−2)n →//n →b →⋅=a →n →y 230∘△ABC A(3,−1)AB 6x +10y −59=0∠B x −4y +10=0BC 12BCC 1B 1AA 1D AA 1在线段上是否存在一点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，试说明理由．若，且点 到平面 的距离为，求线段的长．19. 如图，在四棱锥中，，，，是的中点，平面平面．证明：；求直线与平面所成的角的正弦值．20. 函数．画出的图象，并求的最小值；若恒成立，求的取值范围．21. 在如图的几何体中，平面为正方形，平面为等腰梯形，，，，．求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值．22. 如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，且，四边形是等腰梯形，且，.(1)BC E AE//B D C 1E (2)BA =AC =1B 1B D C 11BB 1P −ABCD PA =PB =AD =CD =BC =212AD//BC AD ⊥CD E PA PAB ⊥ABCD (1)PB ⊥CE (2)CE PBC f(x)=|2x +1|−|x −1|(1)f(x)f(x)(2)f(x)≥a(x −2)a CDEF ABCD AB //CD AB =2BC ∠ABC =60∘AC ⊥FB (1)AC ⊥FBC (2)BF ADE ABCDEF ABCD 2∠BAD =60∘BDEF DE =EF =FB =1AC ⊥BF证明：平面平面，求该多面体的体积.(1)BDEF ⊥ABCD (2)参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】由直线方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角．【解答】解：可得直线的斜率为，设倾斜角为，则，∴.故选.2.【答案】C【考点】空间向量的加减法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，是正三棱锥底面的一点，∴为面的中点.如图：连接，相交于点，y =−x +1−1αtan α=−1α=135∘C PO ⊥ABCD O ABCD O ABCD AC BD O∴，.故选.3.【答案】B【考点】直线的斜率直线的倾斜角【解析】由已知求得直线的斜率，进一步得到直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求得的倾斜角。
2022-2023学年人教A版高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：45 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1. 已知直线经过点和点，则直线的斜率为（ ）A.B.C.D.2. 已知变量，之间的一组数据如表：若关于的线性回归方程为，则( )A.B.C.D.3. 在平面直角坐标系中，直线不经过 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且焦距为，则 A.A (0,4)B (1,3)AB 3−22−1x y y x =0.7x +y ^a ^=a ^0.10.20.350.45x −3y +2=0()C ：−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b242–√a =()42–√2–√B.C.D.5. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.6. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的离心率是 A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）7. （5分） 已知点在曲线上，点在直线上，则的最小值为________.三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）8. 从某企业生产的某种产品抽取件，测量这些产品的一项指标值，由测量结果得频率分布表：质量指标值分组频数在图上作出这些数据的频率分布直方图；22–√42y =x +b y =3−4x −x 2−−−−−−√b [−1,1+2]2–√[1−2,1+2]2–√2–√[1−2,3]2–√[1−,3]2–√E ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2F(3,0)F E A B AB (2,−1)E ()123–√3132–√2P (a,b)y =x 2Q (c,d)l :x −y =1+(a −c)2(b −d)2−−−−−−−−−−−−−−−√100[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]62638228(1)估计这种产品质量指标值的中位数（精确到）、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品”的规定？9. 已知椭圆经过点，离心率为，，，为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点．若直线与椭圆交于，两点，求；若直线，的斜率都存在，求证：为定值．(2)0.1(3)9580%+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2(0,1)3–√2A B C ++=OA −→−OB −→−OC −→−0→O (1)y =x −1M N |MN |(2)AB OC ⋅k AB k OC参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1.【答案】D【考点】斜率的计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：已知直线上两点坐标，可求直线斜率，.故选.2.【答案】C【考点】求解线性回归方程【解析】先计算平均数，利用线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，，，代入线性回归方程为，可得，∴.故选.3.k ===−1−y 2y 1−x 2x 13−41−0D ==4.5x¯¯¯3+4+5+64==3.5y ¯¯¯ 2.5+3+4+4.54=0.7x +y^a ^ 3.5=0.7×4.5+a ^=0.35a ^C【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】化直线方程为斜截式，由直线斜率和截距的意义可得．【解答】解：直线可化为，∴直线的斜率为，截距为，∴直线不经过第四象限．故选．4.【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】由双曲线的两条渐近线垂直和焦距，可得方程组，进而可得．【解答】解：由题意，双曲线两条渐近线互相垂直，且焦距为 ，可得解得故选.5.【答案】C【考点】曲线与方程x −3y +2=0y =x +13231323D −=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b2a C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 242–√ b =a ，2c =4，2–√+=，a 2b 2c 2{a =b =2，c =2.2–√D直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：直线表示斜率为的直线，而曲线可化为，，即表示以为圆心以为半径的下半圆，如图，由图可知，当直线与曲线相切时取到最小值，则有，解得或；当直线经过点时取到最大值，此时，所以.故选.6.【答案】D【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：设，，代入椭圆的方程可得，．两式相减可得：．由，，y =x +b 1y =3−4x −x 2−−−−−−√(x −2+(y −3=4)2)2(1≤y ≤3)(2,3)2y =x +b y =3−4x −x 2−−−−−−√=2|b −1|2–√b =1−22–√b =1+22–√y =x +b (0,3)b =3b ∈[1−2,3]2–√C A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=1x 21a 2y 21b 2+=1x 22a 2y 22b2+=0(−)(+)x 1x 2x 1x 2a 2(−)(+)y 1y 2y 1y 2b2+=4x 1x 2+=−2y 1y 2==1B−−1−0，代入上式可得：．又，，联立解得，．∴椭圆的离心率.故选.二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）7.【答案】【考点】点到直线的距离公式【解析】直接由点到直线的距离，结合函数的性质，即可求得最小值.【解答】解：由题意可知，曲线上的点到直线的距离最小时，得得最小值，由，则当时，最小值为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）8.【答案】解：如图.∵===1k AB −y 1y 2−x 1x 2−1−02−3∴−=−≠0x 1x 2y 1y 2=2a 2b 2c =3=−c 2a 2b 2=18a 2=9b 2e ===c a 332–√2–√2D 32–√8y =x 2l :x −y =1(a −c +(b −d )2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(a −c +(b −d )2)2−−−−−−−−−−−−−−−√==x −−1∣∣x 2∣∣2–√+(x −)122342–√x =12(a −c +(b −d )2)2−−−−−−−−−−−−−−−√=342–√32–√832–√8(1)质量指标值的样本中位数为：，质量指标值的样本平均数为．质量指标值不低于的产品所占比例的估计值为，所以不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品”的规定．【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数、百分位数【解析】无无无【解答】解：如图.质量指标值的样本中位数为：，质量指标值的样本平均数为(2)95+×10≈99.70.180.38=80×0.06+90×0.26+100×0.38+x¯¯¯110×0.22+120×0.08=100(3)950.38+0.22+0.08=0.68<0.89580%(1)(2)95+×10≈99.70.180.38=80×0.06+90×0.26+100×0.38+¯¯¯．质量指标值不低于的产品所占比例的估计值为，所以不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品”的规定．9.【答案】解：由题意可得，，＝，解得，，所以椭圆的方程为：，设，，联立直线与椭圆的方程可得：整理可得：，解得，或，时，，时，，即，，所以.证明：设，，由，可得，因为直线，的斜率都存在，所以，，所以，因为，在椭圆上，所以所以，即，所以为定值．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆的标准方程直线和圆的方程的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，，＝，=80×0.06+90×0.26+100×0.38+x¯¯¯110×0.22+120×0.08=100(3)950.38+0.22+0.08=0.68<0.89580%(1)b =1=c a 3–√2a 2+b 2c 2=4a 2=1b 2+=1x 24y 2M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2{y =x −1，+4−4=0.x 2y 25−8x =0x 2x =0x =85x =0y =−1x =85y =35M(0,−1)N(,)8535|MN |===(+(+185)235)2−−−−−−−−−−−−−√+64256425−−−−−−−√82–√5(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2++=OA −→−OB −→−OC −→−0→C(−−,−−)x 1x 2y 1y 2AB OC =k AB −y 1y 2−x 1x 2==k OC −−y 1y 2−−x 1x 2+y 1y2+x 1x 2⋅=k AB k OC−y 12y 22−x 12x 22A B+=1，x 124y 12+=1，x 224y 22+−=0−x 12x 224y 21y 22=−−y 12y 22−x 12x 2214⋅k ABk OC −14(1)b =1=c a 3–√2a 2+b 2c 2=42=12解得，，所以椭圆的方程为：，设，，联立直线与椭圆的方程可得：整理可得：，解得，或，时，，时，，即，，所以.证明：设，，由，可得，因为直线，的斜率都存在，所以，，所以，因为，在椭圆上，所以所以，即，所以为定值．=4a 2=1b 2+=1x 24y 2M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2{ y =x −1，+4−4=0.x 2y 25−8x =0x 2x =0x =85x =0y =−1x =85y =35M(0,−1)N(,)8535|MN |===(+(+185)235)2−−−−−−−−−−−−−√+64256425−−−−−−−√82–√5(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2++=OA −→−OB −→−OC −→−0→C(−−,−−)x 1x 2y 1y 2AB OC =k AB −y 1y 2−x 1x 2==k OC −−y 1y 2−−x 1x 2+y 1y2+x 1x 2⋅=k AB k OC−y 12y 22−x 12x 22A B+=1，x 124y 12+=1，x 224y 22+−=0−x 12x 224y 21y 22=−−y 12y 22−x 12x 2214⋅k AB k OC −14。
2022-2023学年人教A版(2019)高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 与直线平行，且它们之间的距离为的直线方程为（ ）A.或B.或C.或D.或2. （·全国）已知椭圆：的左、右焦点为，离心率为，过的直线交于，两点．若的周长为，则的方程为（ ）A.B.C.D.3. 命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是( )A.B.C.D.x +y +3=032–√x −y +8=0x −y −1=0x +y +8=0x +y −1=0x +y −3=0x +y +3=0x +y −3=0x +y +9=02014C +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2,F 1F 23–√3F 2l C A B △A B F 143–√C +=1x 23y 22+=1x 23y 2+=1x 212y 28+=1x 212y 24p +=1x 25−m y 2m −1y p 4<m <53<m <51<m <5m >1=1(k >0)22:+=1(k >0)224. 已知椭圆，椭圆，椭圆，则()A.与的离心率相等，与的焦距相等B.与的离心率相等，与的焦距相等C.与的焦距相等，与的离心率相等D.与的焦距相等，与的短轴长相等5. 若圆关于直线对称，则( )A.B.C.D.6. 曲线＝的对称性为（ ）A.关于原点成中心对称B.关于点成中心对称C.关于直线＝对称D.曲线不具有对称性7. 如图，棱长为的正方体的内切球为球○，、分别是棱和棱的中点，在棱动，则下列结论成立的有（ ）A.存在点，使垂直于平面B.对于任意点，平面M :+=1(k >0)x 216y 29N :+=1(k >0)x 2+16k 2y 2+9k 2P :+=1y 232x 218M N M P M N N P M N M P M N M P +=5(x −1)2(y −1)2y =kx +2k =2−21−1C :+2xy +4x 20(−2,0)y x C 2ABCD −A 1B 1C 1D 1EF AB CC 1G BC G OD EFGG OAM EFG–√C.直线的被球○截得的弦长为D.过直线的平面截球所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为8. 一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发径直驶向位于海监船正北的处岛屿，船速为，这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ）小时.A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列命题为真命题的是A.若，则B.若，则C.若且，则D.若，则10. 已知圆，直线．则下列四个命题正确的是A.直线恒过定点B.当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于C.圆与曲线：恰有三条公切线，则D.当时，直线上一个动点向圆引两条切线，，其中，为切点，则直线经过点11. 定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等于，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”．则下列直线是圆的“相关直线”的为 A.B.C.EF 2–√EF O π226km 40km A 30km B 10km/h 1234( )a >b >0a >bc 2c 2a <b <0>ab >a 2b 2a >b >0c <0>c a 2c b 2a >b <1a 1bC :+=4x 2y 2l :(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)( )l (−3,3)m =0C l 1C +−6x −8y +m =0x 2y 2m =16m =13l P C PA PB A B AB (−,−)169491C :+=4(x +1)2(y −2)2()y =13x −4y +12=02x +y =0D.12. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于 A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 经过两条直线和的交点且斜率为的直线的方程是________．14. 圆和的位置关系是________．15. 已知两点，，点是圆上任意点，则面积的最小值是________．16. 已知椭圆，点，是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的点，，，则椭圆的离心率为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. （·山东）平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上．求椭圆的方程；设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于，两点，射线交椭圆于点．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求面积的最大值．18. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，分别为椭圆的左、右顶点，12x −5y −17=0F 1F 2P |P |:||:|P |=4:3:2F 1F 1F 2F 2()12232233x +5y −1=04x +3y −5=01l :+=4C 1x 2y 2:+−6x +8y −24=0C 2x 2y 2A(−2,0)B(0,2)C +−2x +2y =0x 2y 2△ABC C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2A ∠A =F 1F 215∘∠A =F 2F 175∘2015xOy C +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 23–√2(,)3–√12C C E +=1x 24a 2y 24b 2P C P y =kx +m E A B PO E Q |OQ||OP|△ABQ x C :+=1(a >0)x 2a2y 232AB C C A AM AM，为椭圆上的两点（异于，），连结，，，且斜率是斜率的倍．求椭圆的方程；证明：直线恒过定点．19. 设曲线，点为的焦点，过点作斜率为的直线与曲线交于，两点，点，的横坐标的倒数和为求曲线的标准方程；过焦点作斜率为的直线交曲线于，两点，分别以点，为切点作曲线的切线相交于点，过点作轴的垂线交轴于点，求面积的最小值．20. 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆与圆的极坐标方程分别为，.求直线的普通方程及圆和圆对应的直角坐标方程；曲线由圆与圆构成，若直线与曲线有且仅有四个公共点，求的取值范围．21. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上位于轴上方一点，且垂直于轴，连结并延长交椭圆于另一点，设．若点的坐标为 ，求椭圆的方程；若，求椭圆的离心率的取值范围．22. 已知直线的倾斜角为，且经过点．Ⅰ求直线的方程；Ⅱ求点关于直线的对称点的坐标．M N C A B AM BN MN BN AM 3(1)C (2)MN C :=2py (p >0)x 2F C F 1l C A B A B −1.(1)C (2)F k l ′C M N M N C P P x x Q △MNQ xOy l {x =t cos α−3，y =t sin αt a ∈[0,π)O x M N ρ=−2cos θρ=6cos θ3–√(1)l M N (2)C M N l C αxOy C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2P x PF 2x PF 1Q =λPQ −→−Q F 1−→−(1)P (2,3)C (2)4≤λ≤5C l 135∘P(1,1)()l ()A(3,4)l A'参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】两条平行直线间的距离【解析】设所求直线方程为，运用两平行直线的距离公式，解关于的方程，即可得到所求方程．【解答】解：设所求直线方程为，则由两平行直线的距离公式可得，解得或．则所求直线方程为或，故选．2.【答案】A【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】根据题意，因为的周长为，所以，所以．又因为椭圆的离心率，所以，所以椭圆的方程为．3.x +y +m =0m x +y +m =0d ==3|m −3|+1212−−−−−−√2–√m =9−3x +y −3=0x +y +9=0D △A B F 143–√|AF 1|+|AB|+|B |=|A |+|A |+|B |+|B |=F 1F 1F 2F 1F 24a =43–√a =3–√e ==c a 3–√3c =1,=−=3−1=2b 2a 2c 2C +x 23=1y 22【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断椭圆的定义【解析】由方程表示椭圆求得范围，由充分不必要条件得答案.【解答】解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以 解得.因为，所以使命题成立的充分不必要条件是.故选．4.【答案】C【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率【解析】无【解答】解：因为，所以与的焦距相等．因为的焦距，的焦距，所以，所以与的离心率相等．故选．5.【答案】+=1x 25−m y 2m −1y 5−m >0，m −1>0，m −1>5−m ，3<m <5(4,5)⊂(3,5)p A A +16−(+9)=16−9k 2k 2M N M :16−9=7P :32−18=14=7161432M P CD【考点】关于点、直线对称的圆的方程直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：圆关于直线对称，所以圆心在直线上，解得，．故选．6.【答案】A【考点】曲线与方程【解析】设点在曲线上，可得点关于原点的对称点也在曲线上，则答案可求．【解答】设点 在曲线上，则＝，即＝，则点关于原点的对称点也在曲线上．∴曲线关于原点对称．7.【答案】C,D【考点】函数模型的选择与应用点到直线的距离公式多面体和旋转体表面上的最短距离问题余弦定理+=5(x −1)2(y −1)2y =kx +2(1,1)y =kx +2k =1−2=−1D P(a,b)(a,b ∈R)P P'(−a,−b)P(a,b)(a,b ∈R)+2ab +4a 20(−a +2(−a)(−b)+4)20P P'(−a,−b)分段函数的应用【解析】1【解答】18.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系直线的截距式方程点到直线的距离公式【解析】以为原点，建立直角坐标系，求出直线和圆的方程，然后根据直线和圆的位置关系，求出持续时间长．【解答】解：如图，以海监船所处点为原点，建立平面直角坐标系，则，，直线 的方程为，即 ，圆的方程为 .设到距离为，则 ，所以外籍轮船能被海监船监测到，设持续时间为，则，故外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,CO AB O O A (40，0)B (0，30)AB +=1x 40y 303x +4y −120=0O +=x 2y 2262O AB d d ==24<26|−120|5t t ==2(h)2−262242−−−−−−−−√102h B【考点】不等式的基本性质命题的真假判断与应用【解析】根据不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于，当时，不等式不成立，故为假命题；对于，若，则成立，故为真命题；对于，若且，则，则成立，故为真命题；对于，若，，则不等式不成立，故为假命题.故选.10.【答案】A,C,D【考点】直线与圆的位置关系命题的真假判断与应用直线与圆相交的性质圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．【解答】解：，直线方程可化为，令，则，，，直线恒过定点，故正确；，当时，直线方程为，圆心到直线的距离.圆半径，，故圆上有四个点到直线的距离等于，故错误；，圆，曲线，即，两圆心的距离，A c =0A B a <b <0>ab >a 2b 2B C a >b >0c <0<1a 21b 2>c a 2c b 2C D a =1b =−1D BC A m(x +3)+3x +4y −3=0x +3=03x +4y −3=0∴x =−3y =3∴l (−3,3)A B m =0l 3x +4y −3=0C (0,0)l d ==|−3|+3242−−−−−−√35∵r =2∴r −d =2−=>13575C l 1B C ∵C :+=4x 2y 2+−6x −8y +m =0x 2y 2+=25−m (x −3)2(y −4)2t ==5(0−3+(0−4)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√∴5=2+25−m −−−−−−√，解得：，故正确；，当时，直线，化简为：.是直线上一动点，设，圆，圆心，半径，以线段为直径的圆方程为：，即：，又圆的方程为，圆与圆的公共弦方程为，公共弦即为，则解得直线经过点，故正确． 故选．11.【答案】B,C【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，圆的半径为，圆心到“相关直线”的距离，对于，，错误；对于，，正确；对于，，正确；对于，，错误，故选．12.【答案】A,C【考点】双曲线的离心率∴5=2+25−m−−−−−−√m =16C D m =13l :16x +4y +36=04x +y +9=0∵P l P (t,−9−4t)C :+=4x 2y 2C (0,0)r =2PC M (x −t)x +(9+4t +y)y =0+(−t)x ++9y +4ty =0x 2y 2∵C +=4x 2y 2∴C M −tx +4ty +9y +4=0l AB (4y −x)t +9y +4=0{4y −x =0,9y +4=0, x =−,169y =−,49∴AB (−,−)16949D ACD 2C (−1,2)d <1A d =1B d =15C d =0D d =3BC椭圆的离心率双曲线的定义椭圆的定义【解析】由已知可令，，，结合椭圆的性质，可得椭圆的离心率．【解答】解：∵圆锥曲线上存在点满足，则不妨令，，，当曲线为椭圆时，有，，故.当曲线为双曲线时，有，故.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】两条直线的交点坐标直线的点斜式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】先求出两圆的圆心坐标和半径，求出两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径作对比，得出结论．|P |=4k F 1||=3k F 1F 2|P |=2k F 2P |P |:||:|P |=4:3:2F 1F 1F 2F 2|P |=4k F 1||=3k F 1F 2|P |=2k F 22a =|P |+|P |=6k F 1F 22c =3k e ==c a 122a =|P |−|P |=2k ，2c =3k F 1F 2e ==c a 32AC解：∵圆的圆心，半径为， 即，圆心，半径为 ，两圆的圆心距等于，正好等于两圆的半径之差，故两圆相内切，故答案为：内切．15.【答案】【考点】直线和圆的方程的应用【解析】化简圆的方程为标准方程，求出圆心到直线的距离，减去半径，即可得到距离的最小值，然后求解三角形的面积．【解答】圆化为，即，由题意即为在圆上找一点到线段的距离最小即可，直线，，∴线段，圆心到其距离，∴圆上某点到线段的距离最小值为，16.【答案】【考点】椭圆的离心率椭圆的定义【解析】根据题意，是以为斜边的直角三角形．利用直角三角形三角函数的定义，可得，最后结合椭圆的定义和离心率的公式，可求出椭圆的离心率．:+=4C 1x 2y 2(0,0)C 12:+−6x +8y −24=0C 2x 2y 2(x −3+(y +4=49)2)2(3,4)C 27=59+16−−−−−√2+−2x +2y =0x 2y 2(−2x +1)+(+2y +1)=2x 2y 2(x −1+(y +1=2)2)2AB AB ：==1k AB 2−00−(−2)y −2=x AB :y =x +2(−2≤x ≤0)(1,−1)d ==2|1+2−(−1)|+1212−−−−−−√2–√AB 2−=2–√2–√2–√=|AB |×=×2×=(2)S △ABC min 122–√122–√2–√6–√3△MF 1F 2F 1F 2=|M |+|M |F 1F 2||F 1F 26–√2解：∵中，，，∴，即是以为斜边的直角三角形．∵是椭圆上一点，∴，.∵在中，，，∴，即，∴椭圆的离心率.故答案为：.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】（ⅰ）（ⅱ）【考点】椭圆的定义和性质椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】规范解答解：由题意知．又，解得．所以椭圆的方程为审题路线图△AF1F2∠A=F1F215∘∠A=F2F175∘∠A=F1F290∘△AF1F2F1F2A+=1(a>b>0)x2a2y2b2|A|+|A|=2aF1F2||=2cF1F2Rt△AF1F2sin∠A==F1F2|A|F2||F1F2−6–√2–√4sin∠A==F2F1|A|F1||F1F2+6–√2–√4+=|A|F2||F1F2|A|F1||F1F26–√2=2a2c6–√2e===ca16√26–√36–√3+=1x24y2263–√+=13a214b2=−a2b2−−−−−−√a3–√2=4,=1a2b2C+=1.x24y2答题模板 第一步 求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程．第二步 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：，然后研究判别式，利用根与系数的关系．第三步 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系．第四步 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系．第五步 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件．评分细则 第（1）问中，求关系式直接得，扣分；规范解答 由（1）知椭圆的方程为．（ⅰ）设，由题意知．因为，又，即，所以，即．（ⅱ）设．将代入椭圆的方程，可得，由，可得，①则有．所以．因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积．设，将代入椭圆的方程，可得，由，可得．②由①②可知，因此，故，当且仅当，即时取得最大值．由（ⅰ）知，面积为，所以面积的最大值为．审题路线图①A +Bx +C =0x 2−=a 2c 2b 2b =11E +=1x 216y 24P (,),=λx 0y 0|OQ||OP|Q(−λ,−λ)x 0y 0+=1x 204y 20+=1(−λ)x 0216(−λ)y 024(+)=1λ24x 204y 20λ=2=2|OQ||OP|A(,),B(,)x 1y 1x 2y 2y =kx +m E (1+4)+k 2x 28kmx +4−16=0m 2Δ>0<4+16m 2k 2+=−,=x 1x 28km 1+4k 2x 1x 24−16m 21+4k 2|−|=x 1x 2416+4−k 2m 2−−−−−−−−−−−√1+4k 2y =kx +m y (0,m)△OAB S =|m|⋅|−|=12x 1x 22|m|16+4−k 2m 2−−−−−−−−−−−√1+4k 2=2(16+4−)k 2m 2m 2−−−−−−−−−−−−−−−−√1+4k 2=2(4−)m 21+4k 2m 21+4k 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=t m 21+4k 2y =kx +m C (1+4)+8kmx +4−4=0k 2x 2m 2Δ≥0≤1+4m 2k 20<t ≤1S =2=2(4−t)t −−−−−−√−+4t t 2−−−−−−−√S ≤23–√t =1=1+4m 2k 223–√△ABQ 3S △ABQ 63–√②答题模板 第一步 求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程．第二步 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：，然后研究判别式，利用根与系数的关系．第三步 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系．第四步 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系．第五步 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件．评分细则 第（2）问中，求时，给出，坐标关系给分；无”和“”者，每处扣分；联立方程消元得出关于的一元二次方程给分；根与系数的关系写出后再给分；求最值时，不指明最值取得的条件扣分．18.【答案】解：由题意可得解得椭圆的方程为：.证明：连结，设，，，，∴.∵点在椭圆上，∴.∵，∴.①当直线斜率不存在时，设直线的方程为：，不妨设在轴上方，∴，，∵，∴，∴此时直线的方程为：.②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，联立方程消去得：，∴，.A +Bx +C =0x 2|OQ||OP|P Q 1Δ>0Δ≥01x 111(1){2c =2，=+3，a 2c 2{a =2，c =1，∴C +=1x 24y 23(2)BM M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2∵A(−2,0)B(2,0)⋅=⋅=k AM k BM y 1+2x 1y 1−2x 1y 12−4x 12M(,)x 1y 1⋅===−k AM k BM y 12−4x 123−34x 12−4x 1234k BN =3k AM ⋅=−k BN k BM 94MN MN x=m M x M(m,)12−3m 24−−−−−−−−√N(m,−)12−3m 24−−−−−−−−√⋅=−k BN k BM 94m=1MN x=1MN MN y=kx +t y =kx +t ，+=1，x 24y 23y (3+4)+8ktx +4−12k 2x 2t 2=0+=−x 1x 28kt 3+4k 2=x 1x 24−12t 23+4k 2=−(k +t)(k +t)∵，∴，解得：，，若，则直线的方程为：，恒过定点，当直线斜率不存在时亦符合；若，则直线的方程为：，恒过定点，与点重合，舍去.综上所求，直线恒过定点．【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】（1）根据题意列出方程组，解出方程组即可得到椭圆方程；（2）连接，设，，由椭圆的性质可得，故而可得，当直线斜率不存在时，设直线的方程为：＝，解出＝，当直线斜率存在时，设直线的方程为：＝，再与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，可得出＝，得出与的关系代入直线方程即可得定点．【解答】解：由题意可得解得椭圆的方程为：.证明：连结，设，，，，∴.∵点在椭圆上，∴.∵，∴.①当直线斜率不存在时，设直线的方程为：，不妨设在轴上方，∴，，∵，∴，∴此时直线的方程为：，②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，联立方程⋅=⋅k BN k BM y 1−2x 1y 2−2x 2==−(k +t)(k +t)x 1x 2−2(+)+4x 1x 2x 1x 294+3kt +2t 2k 2=0t=−k t=−2k t=−k MN y=kx −k (1,0)MN t=−2k MN y=kx −2k (2,0)B MN (1,0){2c =2=+3a 2c 2BM M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2⋅=−k AM k BM 34⋅=−k BN k BM 94MN MN x m m 1MN MN y kx +t +3kt +2t 2k 20k t (1){2c =2，=+3，a 2c 2{a =2，c =1，∴C +=1x 24y 23(2)BM M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2∵A(−2,0)B(2,0)⋅=⋅=k AM k BM y 1+2x 1y 1−2x 1y 12−4x 12M(,)x 1y 1⋅===−k AM k BM y 12−4x 123−34x 12−4x 1234k BN =3k AM ⋅=−k BN k BM 94MN MN x=m M x M(m,)12−3m 24−−−−−−−−√N(m,−)12−3m 24−−−−−−−−√⋅=−k BN k BM 94m=1MN x=1MN MN y=kx +t y =kx +t ，+=1，x 24y 23(3+4)+8ktx +4−12222消去得：，∴，.∵，∴，解得：，，若，则直线的方程为：，恒过定点，当直线斜率不存在时亦符合；若，则直线的方程为：，恒过定点，与点重合，舍去.综上所求，直线恒过定点．19.【答案】解：由题意可知：，故可设直线的方程为，即，联立方程可得，由题意知：，即，即，得，曲线的标准方程为．由题意知直线的斜率是存在的，故设的方程为，设与曲线相交于点，，联立方程可得，，由，得，．，①，，②，上述两式相减得：，y (3+4)+8ktx +4−12k 2x 2t 2=0+=−x 1x 28kt 3+4k 2=x 1x 24−12t 23+4k 2⋅=⋅k BN k BM y 1−2x 1y 2−2x 1==−(k +t)(k +t)x 1x 2−2(+)+4x 1x 2x 1x 294+3kt +2t 2k 2=0t=−k t=−2k t=−k MN y=kx −k (1,0)MN t=−2k MN y=kx −2k (2,0)B MN (1,0)(1)F (0,)p 2l y −=x −0p 2x −y +=0p 2{=2py ，x 2x −y +=0，p 2−2px −=0x 2p 2∴ Δ=4+4>0，p 2p 2+=2p ，x A x B ⋅=−，x A x B p 2+=−11x A 1x B =−1+x A x B ⋅x A x B =−12p −p 2p =2∴C =4y x 2(2)l ′l ′y =kx +1l ′C M (,)x 1y 1N (,)(≠)x 2y 2x 1x 2{=4y ，x 2y =kx +1，−4kx −4=0x 2∴ Δ=16+16>0，k 2+=4k ，x 1x 2⋅=−4，x 1x 2∴|MN|==4(+1)(1+)(16+16)k 2k 2−−−−−−−−−−−−−−−−√k 2=4y x 2y =14x 2∴=x y ′12∴=k MP 12x 1∴:y −=(x −)l MP y 112x 1x 1∴=k NP 12x 2∴:y −=(x −)l NP y 212x 2x 2==2k x P +x 1x 22∴=2k Q (2k,0)，点坐标为．点到直线的距离为，，又，，易知当时，的面积最小，且为，即．【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线结合的最值问题根与系数的关系直线与椭圆结合的最值问题点到直线的距离公式三角形的面积公式【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：由题意可知：，故可设直线的方程为，即，联立方程可得，由题意知：，即，即，得，曲线的标准方程为．由题意知直线的斜率是存在的，故设的方程为，设与曲线相交于点，，∴=2k x Q ∴Q (2k,0)∴Q l ′=d Q 2+1∣∣k 2∣∣+1k 2−−−−−√∴=|MN|⋅=×4(1+)×S △MNQ 12d Q 12k 22+1∣∣k 2∣∣+1k 2−−−−−√=2(2+1)k 2+1k 2−−−−−√∵k ∈R ∴≥0k 2=0k 2S △MNQ 2=2()S △MNQ min (1)F (0,)p 2l y −=x −0p 2x −y +=0p 2{=2py ，x 2x −y +=0，p 2−2px −=0x 2p 2∴ Δ=4+4>0，p 2p 2+=2p ，x A x B ⋅=−，x A x B p 2+=−11x A 1x B =−1+x A x B ⋅x A x B =−12p −p 2p =2∴C =4y x 2(2)l ′l ′y =kx +1l ′C M (,)x 1y 1N (,)(≠)x 2y 2x 1x 2=4y ，2联立方程可得，，由，得，．，①，，②，上述两式相减得：，，点坐标为．点到直线的距离为，，又，，易知当时，的面积最小，且为，即．20.【答案】解：由题意得，当时，此时直线的方程为，当时，，，此时直线的方程为，对于圆，，对于圆，.如图，{=4y ，x 2y =kx +1，−4kx −4=0x 2∴ Δ=16+16>0，k 2+=4k ，x 1x 2⋅=−4，x 1x 2∴|MN|==4(+1)(1+)(16+16)k 2k 2−−−−−−−−−−−−−−−−√k 2=4y x 2y =14x 2∴=x y ′12∴=k MP 12x 1∴:y −=(x −)l MP y 112x 1x 1∴=k NP 12x 2∴:y −=(x −)l NP y 212x 2x 2==2k x P +x 1x 22∴=2k x Q ∴Q (2k,0)∴Q l ′=d Q 2+1∣∣k 2∣∣+1k 2−−−−−√∴=|MN|⋅=×4(1+)×S △MNQ 12d Q 12k 22+1∣∣k 2∣∣+1k 2−−−−−√=2(2+1)k 2+1k 2−−−−−√∵k ∈R ∴≥0k 2=0k 2S △MNQ 2=2()S △MNQ min (1)α=π2l x =−3α≠π2{x =t cos α−3，y =t sin α，t cos α=x +3tan α==t sin αt cos αy x +3l y =tan α(x +3)M ρ=−2cos θ⇒=−2ρcos θρ2⇒+=−2x ⇒(x +1+=1x 2y 2)2y 2N ρ=6cos θ⇒=6ρcos θ3–√ρ23–√⇒+=6x ⇒(x −3+=27x 2y 23–√3–√)2y 2(2)≠π显然，故由题意得，且，又，解得，故的取值范围为.【考点】直线的参数方程圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】直接消去参数即可得到直线方程，再利用极坐标转化，得到圆的方程；直接利用直线与圆的位置关系判断即可.【解答】解：由题意得，当时，此时直线的方程为，当时，，，此时直线的方程为，对于圆，，对于圆，.如图，显然，故由题意得，且，又，解得，α≠π20<<1|2tan α|α+1tan 2−−−−−−−−√0<<3(3+3)tan α∣∣3–√∣∣α+1tan 2−−−−−−−−√3–√α∈[0,π)0<α<π6α(0,)π6(1)(2)(1)α=π2l x =−3α≠π2{x =t cos α−3，y =t sin α，t cos α=x +3tan α==t sin αt cos αy x +3l y =tan α(x +3)M ρ=−2cos θ⇒=−2ρcos θρ2⇒+=−2x ⇒(x +1+=1x 2y 2)2y 2N ρ=6cos θ⇒=6ρcos θ3–√ρ23–√⇒+=6x ⇒(x −3+=27x 2y 23–√3–√)2y 2(2)α≠π20<<1|2tan α|α+1tan 2−−−−−−−−√0<<3(3+3)tan α∣∣3–√∣∣α+1tan 2−−−−−−−−√3–√α∈[0,π)0<α<π60,)π故的取值范围为.21.【答案】解：轴，且点的坐标为，可知：，，解得：，，椭圆的方程为 .由题可设，设,∵在椭圆上，∴,解得，即，∵，由得：，，解得，，∴，∵在椭圆上，∴，即，∴，∵，∴，解得，α(0,)π6(1)∵P ⊥x F 2P (2,3)−==4a 2b 2c 2+=14a 29b 2=16a 2=12b 2C +=1x 216y 212(2)P(c,),>0y 0y 0Q(,)x 1y 1P +=1c 2a 2y 20b 2=y 0b 2a P(c,)b 2a(−c,0)F 1=λPQ −→−Q F 1−→−−c =λ(+c)x 1x 1−=λy 1b 2ay 1=−c x 1λ+1λ−1=−y 1b 2(λ−1)aQ(−c,−)λ+1λ−1b 2(λ−1)aQ +(−λ+1λ−1)2c 2a 2[−b 2(λ−1)a ]2b 2=(+=1λ+1λ−1)2e 2b 2(λ−1)2a 2(λ+1+(1−)=(λ−1)2e 2e 2)2==1−e 2λ−2λ+24λ+24≤λ≤5≤≤13e 237≤e ≤3–√321−−√7,]–√−−√故椭圆的离心率的取值范围是.【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】（1）由，为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点，利用椭圆的定义可得的周长为．由点的坐标为 ，可得，解出即可得出．（2）利用向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系即可得出．【解答】解：轴，且点的坐标为，可知：，，解得：，，椭圆的方程为 .由题可设，设,∵在椭圆上，∴,解得，即，∵，由得：，，解得，，∴，∵在椭圆上，∴，C [,]3–√321−−√7F 1F 2C P Q △PQF 24a P (1,)32+=11a 294b 2(1)∵P ⊥x F 2P (2,3)−==4a 2b 2c 2+=14a 29b 2=16a 2=12b 2C +=1x 216y 212(2)P(c,),>0y 0y 0Q(,)x 1y 1P +=1c 2a 2y 20b 2=y 0b 2a P(c,)b 2a(−c,0)F 1=λPQ −→−Q F 1−→−−c =λ(+c)x 1x 1−=λy 1b 2ay 1=−c x 1λ+1λ−1=−y 1b 2(λ−1)aQ(−c,−)λ+1λ−1b 2(λ−1)aQ +(−λ+1λ−1)2c 2a 2[−b 2(λ−1)a ]2b 2=(+=1λ+1λ−1)2e 2b 2(λ−1)2a 2(λ+1+(1−)=(λ−1)222)2即，∴，∵，∴，解得，故椭圆的离心率的取值范围是.22.【答案】（1）∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率＝＝，由此可得直线的方程为：＝，化简得＝；（2）设点关于直线的对称点为，∵与直线相互垂直，且的中点在直线上，∴，解得，可得的坐标为．【考点】直线的点斜式方程与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】（I ）算出直线的斜率＝＝，利用直线方程的点斜式列式，化简即得直线的方程；设所求对称点的坐标为，根据轴对称的性质建立关于、的方程组，解出、之值，可得所求对称点的坐标．【解答】（1）∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率＝＝，由此可得直线的方程为：＝，化简得＝；（2）设点关于直线的对称点为，∵与直线相互垂直，且的中点在直线上，∴，(λ+1+(1−)=(λ−1)2e 2e 2)2==1−e 2λ−2λ+24λ+24≤λ≤5≤≤13e 237≤e ≤3–√321−−√7C [,]3–√321−−√7l 135∘l k tan 135∘−1l l y −1−(x −1)x +y −20A(3,4)l A (a,b)′AA ′l AA ′(,)a +32b +42l×(−1)=−1,b −4a −3+−2=0a +32b +42{ a =−2b =−1A ′(−2,−1)l k tan 135∘−1l (II)A ′(a,b)a b a b A ′l 135∘l k tan 135∘−1l l y −1−(x −1)x +y −20A(3,4)l A (a,b)′AA ′l AA ′(,)a +32b +42l×(−1)=−1,b −4a −3+−2=0a +32b +42a=−2 b=−1A′(−2,−1)解得，可得的坐标为．{。
2022-2023学年上海市青浦高级中学高二上学期12月质量检测数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市青浦高级中学高二上学期12月质量检测数学试题一、填空题1．直线3250x y -+=的一个法向量为___________.【答案】()3,2-(答案不唯一)【分析】根据方程直接写出即可.【详解】直线0Ax By C ++=的一个法向量为(),A B所以直线3250x y -+=的一个法向量为()3,2-.故答案为：()3,2-.(答案不唯一)2．抛物线24y x =的焦点坐标是______．【答案】(1,0)【详解】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12p p =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0.3．点()9,7,1-关于xOy 平面对称点是___________.【答案】()9,7,1--【分析】根据关于什么对称什么不变来得答案.【详解】点()9,7,1-关于xOy 平面对称点是()9,7,1--故答案为：()9,7,1--4．若事件A 发生的概率为t ，则它的对立事件发生的概率为___________.【答案】1t -##1t -+【分析】直接根据互为对立事件的概率和为1得答案.【详解】若事件A 发生的概率为t ，则它的对立事件发生的概率为1t -故答案为：1t -5．空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点,,E F G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG AB ⋅的值为___________.【答案】14##0.25 【分析】由题意，四面体是正四面体，每个三角形都是等边三角形，利用向量的数量积的定义解答．【详解】11111cos60224FG AB AC AB ︒⋅=⋅=⨯⨯⨯= 故答案为：14.6．已知点P 和点Q 的坐标分别为()1,1-和()1,2，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则m 的取值范围是_____【答案】11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，点,P Q 在直线l 两侧或在直线l 上，即(12)(13)0m m -+⋅+≤，求解即可.【详解】若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则点,P Q 在直线l 两侧或在直线l 上，则有(12)(13)0m m -+⋅+≤，解得：1132x -≤≤， 所以m 的取值范围是11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故答案为：11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 7．已知方程221410x y k k+=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为___________. 【答案】{4k k <或}10k >【分析】根据双曲线的22,x y 项的系数异号列不等式求解.【详解】方程221410x y k k+=--表示双曲线，则()()4100k k --<， 解得4k <或10k >故答案为：{4k k <或}10k >8．已知△ABC 的顶点()()3,06,0A B -、，若顶点C 在抛物线2yx 上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程为_______.【答案】()231,1y x x =-≠ 【解析】设ABC 的重心()G x y ,，(,),0C x y x '''≠，由重心的性质可得333x x y y ''=-⎧⎨=⎩，代入抛物线方程化简即可得解.【详解】设ABC 的重心()G x y ,，(,),0C x y x '''≠， 则有363333x x x y y -''++⎧==⎪⎨='⎪⎪⎪⎩，即333x x y y ''=-⎧⎨=⎩，所以1x ≠， 因为点C 在曲线2y x 上， 所以有()2333y x =-，即()231,1y x x =-≠，故答案为：()231,1y x x =-≠.9．若随机事件,A B 互斥，,A B 发生的概率均不等于0，且分别为()32P A a =-，()56P B a =-，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】6453a <≤ 【分析】由随机事件,A B 互斥，根据互斥事件概率的性质列不等式组求解.【详解】因为随机事件,A B 互斥，,A B 发生的概率均不等于0，且分别为()32P A a =-，()56P B a =- 则0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+≤⎩，即03210561331a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-≤⎩， 解得6453a <≤ 故答案为：6453a <≤ 10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c，且c ，若椭圆E 经过,A B 两点，且AB 是圆222:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为_________.【答案】240x y -+=【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆方程做差，根据直线的斜率公式及AB 的中点M ，求出直线斜率，即可得到直线方程.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y , 代入椭圆方程可得：2211221x y a b +=①，2222221x y a b +=②， ②-①得：2212122121()()y y b x x x x a y y -+=--+， 由3=c b 可得22223a b c b -==，即2214b a =， 又AB 的中点M (2,1)-，所以2212122121()11(2)()42AB y y b x x k x x a y y -+==-=-⨯-=-+ 所以直线AB 的方程为11(2)2y x -=+， 即240x y -+=.故答案为：240x y -+=【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，代入曲线方程后做差，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.11．设,x y 满足22220x y x y +--=，则+1+25+2y x +的取值范围为_______. 【答案】[0,1]【解析】由题意，得到22(||1)(||1)2x y -+-=，根据对称性，作出方程对应的图像，根据+1+25+2y x +表示点(,)x y 与点()52,12M ----连线的斜率，结合图像，即可得出结果.【详解】由22220x y x y +--=可得 22(||1)(||1)2x y -+-=，根据对称性，作出此方程对应的图象，表示点(,)x y与点(51M --连线的斜率， 由图像可得，直线4y x =+与圆22(1)(1)2x y ++-=显然相切，且4y x =+过点(51M --，1≤；直线1y =-22(1)(1)2x y +++=相切，且1y =-(51M --，所以0≥，[0,1]. 故答案为：[0,1].【点睛】思路点睛：非线性目标函数的常见类型及解题思路：1.斜率型：()0by ay b a a z ac d cx d c x c ++==⋅≠++表示的是可行域内的点(),x y 与点,d b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线所在直线的斜率的a c倍； 2.距离型：（1）()()22z x a y b =-+-表示的是可行域内的点(),x y 与(),a b 之间距离的平方； （2）z Ax By C =++=(),x y 到直线0Ax By C ++=的.12．空间中到正方体1111ABCD A B C D -棱11A D ，AB ，1CC 距离相等的点有___________个.【答案】无数【分析】由于点1,D B 显然满足要求，猜想线段1DB 上任一点都满足要求，然后证明结论．【详解】在正方体1111ABCD A B C D -上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接1DB ，并在1DB 上任取一点P ，因为1(1,1,1)DB =所以设(),,P a a a ，其中01a ≤≤，作PE ⊥平面11A ADD ，垂足为E ，再作11EF A D ⊥，垂足为F ，则1111,,,A D PE A D EF PE EF E ⊥⊥=,PE EF ⊂面EFP ，11A D ∴⊥面EFP ，又FP ⊂面EFP ，11A D FP ∴⊥，则PF 是点P 到直线11A D 的距离， 所以22(1)PF a a =+-，同理点P 到直线AB 、1CC 的距离也是22(1)a a +-，所以1DB 上任一点与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱11A D ，AB ，1CC 所在直线的距离都相等，所以与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱11A D ，AB ，1CC 所在直线的距离相等的点有无数个．故答案为：无数二、单选题13．已知空间任意一点О和不共线的三点A ，B ，C ，若(),,OD mOA nOB pOC m n p R =++∈，则“A ，B ，C ，D 四点共面”是“32m =，12n =，1p =-”的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据空间向量的共面定量，结合充要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，空间中四点A ，B ，C ，D ，若(),,OD mOA nOB pOC m n p R =++∈若A ，B ，C ，D 四点共面，根据空间向量的共面定量，只需1m n p ++=，又由32m =，12n =，1p =-，可得1m n p ++=， 所以“32m =，12n =，1p =-”时，A ，B ，C ，D 四点共面，即必要性成立， 反之不一定成立，即充分性不成立，所以“A ，B ，C ，D 四点共面”是“32m =，12n =，1p =-”的必要不充分条件. 故选：A.14．直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m +=恒有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)(5,)⋃+∞D ．[1,)+∞【答案】C 【解析】由于直线:10l y kx --=恒过点(0,1)，所以要使直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点，只要点(0,1)椭圆上或椭圆内即可，从而可求得m 的取值范围【详解】解：直线:10l y kx --=恒过点(0,1)，因为直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m +=恒有公共点， 所以点(0,1)椭圆上或椭圆内即可， 所以050115m m m⎧⎪>⎪≠⎨⎪⎪+≤⎩，解得m 1≥且5m ≠，所以m 的取值范围是[1,5)(5,)⋃+∞，故选：C15．已知点,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++，向量b OA OB OC =+-，则与,a b 不能构成空间基底的向量是( )A ．OAB ．OBC ．OCD ．OA 或OB【答案】C 【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出． 【详解】111()()()222OC a b OA OB OC OA OB OC =-=++-+-， ∴OC 与a 、b 不能构成空间基底；故选：C ．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点M 在侧面11BCC B 上运动（包括边界），且12MB MB =，则1D M 与平面11ADD A 所成角的正切值的取值范围为（ ）A ．3,13⎡⎤⎣⎦B ．3,11313⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎣⎦【答案】B 【分析】找到点M 在平面11ADD A 的投影为点N ，在平面平面11ADD A 上，建立平面直角坐标系，求出点N 的轨迹方程，进而数形结合求出13,13D N ∈⎡⎤⎣⎦，从而求出答案.【详解】设点M 在平面11ADD A 的投影为点N ，则3MN =，所求线面角为θ，则113tan MN D N D N θ==，因为12MB MB =，所以12NA NA =，在平面11ADD A 上，以A 为坐标原点，AD 为x 轴，1AA 为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()10,3A ，设(),N x y ，()22223x y x y +-=+化简得：()2214x y ++=，()0,0x y ≥≥，故点N 的轨迹为以()0,1H -为圆心，半径为2的且位于第一象限的圆弧ST ，如图所示，连接1HD ，与圆弧ST 相交于点N '，此时11D N D N '=取得最小值，由勾股定理得：19165HD =+=，所以1523D N '=-=，当点N 与S 重合时，11D N D S =取得最大值，由勾股定理得：19413D S +则113D N∈⎡⎣，1313tanMND Nθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦．故选：B．【点睛】立体几何中轨迹问题，建立合适的坐标系，求出轨迹方程是解决问题的重要方法，将几何问题代数化，数形结合解决问题.三、解答题17．从甲､乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作(1)设5名同学为：甲､乙､a b c､､，写出这一事件的样本空间；(2)求甲､乙都入选的概率．【答案】(1)答案见解析(2)3 10【分析】（1）直接5个里面选3个即可写出样本空间；（2）根据古典概型的概率公式可得答案.【详解】（1）5名同学为：甲､乙､a b c､､，从中随机选3名参加社区服务工作这一事件的样本空间为：{甲乙a，甲乙b，甲乙c，甲a b，甲a c，甲b c，乙a b，乙a c，乙b c，a b c}；（2）甲、乙都入选的基本事件有3个：甲乙a ，甲乙b ，甲乙c ， 故甲､乙都入选的概率为310. 18．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点.（1）化简：11122AO AB AD --； （2）设E 是棱1DD 上的点，且123DE DD =，若1EO xAB yAD zAA =++，试求实数x ，y ，z 的值. 【答案】（1）1A A ；（2）12x =、12y =-、23z =-. 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解；（2）用基底1,,AB AD AA 表示出EO 后可得,,x y z 的值．【详解】（1）11111()2AO AB AD AO AO OA OA A A -+=-=-+= （2）112()23EO AO AE AB AD AD AA =-=+-- 1112223AB AD AA =--， ∴12x =、12y =-、23z =-. 19．在长方体ABCD －1111D C B A 中，11AD AA ==，3AB =，点E 是棱AB 上的点，2AE EB =.(1)求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；(2)求点C 到平面1D DE 的距离．【答案】(1)π3(2)355 【分析】（1）先作出异面直线1AD 与EC 所成角，再去求其大小即可 （2）依据三棱锥等体积法去求点C 到平面1D DE 的距离．【详解】（1）在平面ABCD 内作//AE CE '交CD 于E '，连接1D E '，则1D AE '∠为异面直线1AD 与EC 所成角或其补角.因为3,2AB AE EB ==，所以1EB ，所以1DE '=，因为11AD DD ==，所以12,AE D E ''==而12AD =，所以△1AD E '为正三角形，1π3D AE '∠=，从而异面直线1AD 与EC 所成角的大小为π3. （2）设点C 到平面1DED 的距离为h ，1111515222DED S D D DE =⋅=⨯⨯=，133122DEC S =⨯⨯=， 由11C DED D DEC V V --=得151313232h ⨯=⨯⨯，所以355h =． 20．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸.（1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；（2）求经过F ，且与直线FO 夹角为4π的直线被椭圆截得的弦长. 【答案】（1）22143x y +=；（2）247. 【分析】（1）建立直角坐标系后，由椭圆的定义即可得解；（2）联立方程组，由韦达定理结合弦长公式即可得解.【详解】（1）如图，以FO 所在的直线为x 轴，FO 的中点M 为原点建立平面直角坐标系，设(),P x y 为椭圆上一点，由题意可知+==4PF PO AO 且=2FO ，所以P 点轨迹以F ，O 为左右焦点，长轴长24a =的椭圆，因为22,24c a ==，所以1,2c a ==，2223b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22143x y +=； （2）如图，不妨令过()1,0F -的直线交椭圆于C ，D 且倾斜角45︒，所以直线:1CD y x =+，设()()1122,,,C x y D x y ，联立2234121x y y x ⎧+=⎨=+⎩，消元得27880x x +-=，0∆>， 所以121288,77x x x x +=-=-，所以()221212882411424777CD x x x x ⎛⎫=+⋅+-=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭. 21．在梯形ABCD 中，AB CD ，π3BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）.将ACD 沿AC 折起到ACD '△位置，使得平面D AC '⊥平面BAC （如图2）.(1)求证：BC 平面POD '；(2)求二面角A BC D '--的大小；(3)线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '6若存在，求出PQ PD '的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)6π (3)存在，13PQ PD '=【分析】（1）由线面平行的判定定理证明，（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，（3）设出PQ PD '得Q 点坐标，由空间向量列式求解， 【详解】（1）在梯形ABCD 中，AB CD ，π3BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点， 可得ADP △为等边三角形，四边形DPBC 为菱形，故//BC OP ，而OP ⊂平面POD '，BC ⊄平面POD '，∴BC 平面POD '，（2）由（1）得2BC =，3ABC π∠=，4AB =，故AC BC ⊥，AC DP ⊥，而平面D AC '⊥平面BAC ，平面D AC '平面BAC AC =，D O '⊂平面D AC '，D O AC '⊥， ∴D O '⊥平面BAC ，,,OA OP OD '∴两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则(0,0,1)D '，(3,0,0)C -，(3,2,0)B -， (3,0,1)D C '=--，(0,2,0)CB =， 设平面BCD '的一个法向量为(,,)n x y z =， 则3020x z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩取1x =得(1,0,3)n =-， 平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =， 故||3cos 2||||m n m n θ⋅==⋅，二面角A BC D '--的大小为6π，（3）设PQ t PD ='，则PQ tPD '=，(0,1,0)P ,(0,1,1)PD '=-, 的(0,1,)Q t t -，(3,1,)CQ t t =-， 设平面BCD '的一个法向量为(1,0,3)n =-CQ 与平面BCD '22|33|63(1)13t t t -=+-+⨯+ 化简得23720t t -+=，解得13t =（2t =舍去） 故存在13PQ PD '=，使得CQ 与平面BCD '6。
2022-2023学年全国高中高二上数学人教A版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：75 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合A ={x |x 2−x −2<0}，集合B ={x |x ∈Z}为整数集，则A ∩B =( )A.{−2,−1,0,1}B.{−1,0,1,2}C.{0,1}D.{−1,0}2. 设a =20.1，b =ln 52，c =log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.b >c >a3. 已知集合 A ={−1,0,1}，B ={x ||x |<1}，则 A ∪B =（ ）A.{−1,1}B.{−1,0,1}C.{x |−1≤x ≤1}D.{x |x ≤1}4. 若曲线y =2x 2的一条切线l 与直线x +4y −8=0垂直，则切线l 的方程为（ ）A.x +4y +3=0B.x +4y −9=0C.4x −y +3=0D.4x −y −2=0A ={x|−x −2<0}x 2B ={x|x ∈Z}A ∩B ={−2,−1,0,1}{−1,0,1,2}{0,1}{−1,0}a =，=ln ，c =20.152log 3910a b c a >b >ca >c >bb >a >cb >c >a A ={−1,0,1}，B ={x||x|<1}A ∪B ={−1,1}{−1,0,1}{x|−1≤x ≤1}{x|x ≤1}y =2x 2l x +4y −8=0lx +4y +3=0x +4y −9=04x −y +3=04x −y −2=0{y≥x，x+3y≤4，x≥−2，则z=|3x+y|的最大值是( )5. 已知实数x，y满足A.2B.4C.6D.86. 如图在 ΔABC 中，点D是 ΔABC 内（不包含边界）任意一点，则 →AD 有可能是（）A.23→AB+12→ACB.13→AB+23→ACC.12→AB+12→ACD.13→AB+12→AC7. 函数 y=(x3−x)ln|x|的图象是（）A.B.C.D.8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地．”则此人第五天走的路程为( )A.6里B.12里C.24里D.48里9. 设f(x)是定义在R 上的函数，f ′(x)是函数f(x)的导函数，且xf ′(x)<(x −1)f(x)对任意x ∈R 恒成立，f(1)=2e （e 为自然对数的底数），则不等式f(2x)e 2x >1x 的解集是（ ）A.(1,+∞)B.(−1,0)∪(0,1)C.(−12,0)∪(0,12)D.(0,12)10. 已知f(x)是定义在(−2b,b +1)上的偶函数，且在(−2b,0]上为增函数，则f(x −1)≤f(2x)的解集为( )A.[−1,23]B.(−1,13]C.[−1,13]D.[13,1]11. 偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，且在x ∈[0,1]时，f(x)=1−x ，则方程f(x)=log 6x 在x ∈[0,3]上解的个数是（ ）A.1B.2C.4D.512. 已知点A，B，C是函数y=√2sin(ωx+π3)(ω>0)的图象和函数y=√2sin(ωx−π6)(ω>0)图象的连续三个交点，若△ABC是锐角三角形，则ω的取值范围是( )A.(π2,+∞)B.(π4,+∞)C.(0,π2)D.(0,π4)卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分）数列{a n}是等差数列，S n是它的前n项和，已知S3=15，S9=153，则S6=________．三、解答题（本题共计 2 小题，每题 5 分，共计10分）14. 已知函数f(x)=sin2x−4acosx，x∈[0,π2]（1）当a=1时，求函数的最小值；（2）若f(x)的最小值为−32时，求a的值．15. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−n.(1)证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=1a n+1+1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n.参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为集合A={x|x2−x−2<0}，得集合A={x|−1<x<2},又集合B为整数集，则A∩B={0,1}.故选C.2.【答案】A【考点】对数值大小的比较不等式比较两数大小【解析】根据指数函数和对数函数的单调性判断出abc的范围即可得到答案．【解答】0.1>20=1解：∵a=20=ln1<b=ln52<lne=1c=log3910<log31=0∴a>b>c故选A．3.【答案】。
2022-2023学年人教A版高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1. 已知集合，集合，则 A.B.C. D.2. 角的终边经过点，那么 A.B.C.D.3. 若方程＝的两根满足一根大于，一根小于，则的取值范围是（ ）A.，）B.（，C.（，D.，）A ={x |−3<x <1}B ={x |−2x <0}x 2A ∪B =(){x|0<x <2}{x|0<x <1}{x|−3<x <0}{x|−3<x <2}θP(−3,4)sin θ+2cos θ=()15−15−2525−2mx +4x 2021m (−∞+∞)3)(1=1=−214. 若函数的图象平移变换后为函数的图象，则平移方法可以是 （ ）A.先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度B.先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度C.先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度D.先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度5. 已知点在幂函数的图象上，则的表达式为( )A.B.C.D.6. 已知函数若，则（ ）A.B.C.D.7. 已知 ，则 的值为( )A.B.C.D.8. 已知每枝笔售元，则总售价元与售出数量枝的函数图象是( )A.一条直线y =12x 2y =−212(x +1)212211221(,)2–√22–√4y =f(x)f(x)f(x)=x3f(x)=x 3f(x)=x −2f(x)=(12)x{，x ≤0,2x a −x,x >0,log 2f (f (−1))=−1a =−2−12cos(−α)=π623cos(+2α)5π35919−19−592y xB.一条射线C.一条线段D.呈射线排列的无限个点9. 已知函数满足，且，当时，，求( )A.B.C.D.10. 化简等于 A.B.C.D.11. 已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为 A.B.C.D.12. 已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是 A.B.C.D.卷II （非选择题）f(x)f(1+x)+f(1−x)=0f(−x)=f(x)1≤x ≤2f(x)=−12x f(2017)=−1121+tan 15∘1−tan 15∘()33–√23–√1f(x)1y >>1x 2x 1[f()−f()](−)<0x 2x 1x 2x 1a =f(−)12b =f(2)c =f(3)a b c ()c >a >bc >b >aa >c >bb >a >cl :y =x +m y =1−x 2−−−−−√m ()(−2,2)(−1,1)[1,)2–√(−,)2–√2–√二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则的值为________.14. 已知函数，则________.15. 定义在上的奇函数满足，当时，，则________．16. 函数的单调递增区间是________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 17. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤求函数的定义域；若，求函数的解析式．18. 化简：；. 19. 若函数在区间内有最值，则的取值范围为________. 20. 设()，曲线在点（）处的切线垂直于轴．求的值； 求函数的极值．21. 已知定义域为的函数是奇函数．求的值；判断在上的单调性（不用证明）；若对于任意，不等式恒成立，求的范围．f (x)=ln x +2x (1,f(1))ax +by −1=0a b f(x)= 3x +1(x ≥0)(x <0)1+2x 2f[f(−1)]=R f (x)f (x +2)=f (−x)x ∈[−1,0]f (x)=+2x x 2f (2021)=f (x)=2x −ln x (1)f (x)=−−3x +4x 2−−−−−−−−−−−√lgx(2)f (2x −1)=+4x −1x 2f (x)(1)−sin(+α)+sin(−α)180∘1+cos(−α)+cos(−α)180∘(2)⋅sin(π−α)⋅cos(2π+α)cos(α−)π2sin(+α)5π2f(x)=sin(ωx +)(0<ω<1)π6(π，2π)ωf(x)=a ln x −x +4a ∈R y =f(x)1,f(1)y (1)a (2)f(x)R f(x)=a −2x +12x (1)a (2)f(x)(−∞,+∞)(3)t ∈R f(−2t)+f(2−k)<0t 2t 2k f(x)=−x 222. 已知函数．求曲线在处的切线方程；求证：当时，．f(x)=−e x x 2(1)f(x)x =1(2)x >0≥ln x +1+(2−e)x −1e x x参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】求出集合，根据交集定义进行求解．【解答】解：，则.故选.2.【答案】C【考点】三角函数【解析】根据任意角的三角函数的定义求得 和 的值，从而求得的值．【解答】解：∵角的终边经过点，∴，，，∴，，∴.故选.3.B B ={x |−2x <0}={x |0<x <2}x 2A ∪B ={x |−3<x <2}D sin θ=y r cos θ=x r sin θ+2cos θθP(−3,4)x =−3y =4r =|OP|=5sin θ==y r 45cos θ==−x r 35sin θ+2cos θ=−25C【答案】B【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】函数的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设幂函数为，把点代入函数解析式求得的值，可得函数的解析式．【解答】解：设幂函数的表达式为，根据幂函数的图象过点，y =x ααy =x α(,)2–√22–√4(–√–√可得，解得，故幂函数的表达式是.故选．6.【答案】A【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】由题意得， ，∴∴．，故选．【解答】解：由题意得， ，∴．∴.故选．7.【答案】C【考点】二倍角的余弦公式诱导公式【解析】此题暂无解析【解答】解：已知,=(2–√42–√2)αα=3f(x)=x 3B f (−1)==2−112f (f (−1))=f ()=a −=a +1=−112log 212a =−2A f (−1)==2−112f (f (−1))=f ()=a −=a +1=−112log 212a =−2A cos(−α)=π623cos(+2a)=cos(−2a)5π3π3=2(−a)−1cos 2π6−1.故选.8.【答案】D【考点】函数的图象【解析】根据题意，列出函数解析式即可画出函数图象．【解答】解：根据题意得，，为正比例函数，由于铅笔为非负整数枝，故函数为呈射线排列的无限个点.故选．9.【答案】C【考点】函数的周期性函数的求值【解析】由已知得＝＝，从而得到＝，再由当时，＝，能求出的值．【解答】解：∵，且，∴.令，得，∴，∴以为周期的周期函数.∵当时，，∴．故选．10.【答案】C=−19C y =2x D f(1+x)−f(1−x)−f(x −1)f(x +4)f(x)1≤x ≤2f(x)−12x f(2017)f(1+x)+f(1−x)=0f(−x)=f(x)f(1+x)=−f(1−x)=−f(x −1)x −1=t f(t +2)=−f(t)f(x +4)=−f(x +2)=f(x)f(x)41≤x ≤2f(x)=−12x f(2017)=f(4×504+1)=f(1)=−1=211C【考点】两角和与差的正切公式【解析】先把代入原式，根据正切的两角和公式化简整理即可求得答案．【解答】解：.故选.11.【答案】D【考点】函数恒成立问题函数单调性的性质【解析】根据函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，可得函数关于对称；由当时，（ ）恒成立，可得函数在上为单调减函数，利用单调性即可判定出、、的大小．【解答】解：∵函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，∴函数关于对称,∴，∵当时，恒成立，∴ ，即 ，∴函数在上为单调减函数,∵,∴，即.故选．12.【答案】C【考点】tan =145∘=1+tan 15∘1−tan 15∘tan +tan 45∘15∘1−tan tan 45∘15∘=tan(+)=tan =45∘15∘60∘3–√C f(x)1y f(x)x =1>>1x 2x 1[f()−f()]x 2x 1−x 2x 1<0f(x)(1,+∞)a b c f(x)1y f(x)x =1a =f(−)=f()1252>>1x 2x 1[f()−f()]x 2x 1(−)x 2x 1<0f()−f()<0x 2x 1f()<f()x 2x 1f(x)(1,+∞)1<2<<352f(2)>f()>f(3)52b >a >c D函数的零点与方程根的关系【解析】画出图象，当直线经过点，时，求出的值；当直线与曲线相切时，求出．即可．【解答】解：画出图象，当直线经过点，时，，此时直线与曲线有两个公共点；当直线与曲线相切时，．因此当时，直线与曲线有两个公共点．故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，所以切线的斜率．又直线的斜率为，所以，解得．故答案为：．14.【答案】l A C m l m l A C m =1l y =1−x 2−−−−−√l m =2–√1≤m <2–√l :y =x +m y =1−x 2−−−−−√C −3f (x)=ln x +2x (x)=+2f ′1x k =(1)=3f ′ax +by −1=0−a b −=3a b =−3a b−32【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，则，∴.故答案为：. 15.【答案】【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】无【解答】解：因为是奇函数，所以，所以，所以的周期为.所以，故是以为周期的周期函数，则．故答案为：．16.【答案】【考点】x =−1<0f(−1)==1(−1+2)213f[f(−1)]=f()=3×+1=2131321f (x)f (x +2)=f (−x)=−f (x)f (x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f (x)f (x)4f (x +4)=f (x)f (x)4f (2021)=f (4×505+1)=f (1)=−f (−1)=−[−2]=1(−1)21[,+∞)12利用导数研究函数的单调性【解析】求导，令，解不等式即可.【解答】解：函数的定义域为，∴ ，令，解得，∴函数的单调递增区间为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】得，即________的定义域为（．）．（2）4，则………则故【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】略略18.【答案】(x)=2−≥0f ′1x f (x)=2x −ln x (0,+∞)(x)=2−f ′1x(x)=2−≥0f ′1xx ≥12f (x)=2x −ln x [,+∞)12[,+∞)12{(−−3x +4≥0x 2{lgx ≠0x >0x ∈(0,1)f (x)0.1≥2x −1=t x =t +12f (t)=+4×−1=+t +t +()t +122t +1214t 2525254f (x)=+x +14x 25254−sin(+α)+sin(−α)180∘解：..【考点】运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式化简，即可得出结论；利用诱导公式化简可得结论．【解答】解：..19.【答案】∪【考点】函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由于函数取最值时，，即，(1)−sin(+α)+sin(−α)180∘1+cos(−α)+cos(−α)180∘==0−(−sin α)−sin α1+cos α−cos α(2)⋅sin(π−α)⋅cos(2π+α)cos(α−)π2sin(+α)5π2=⋅sin α⋅cos αsin αcos α=αsin 2(1)(2)(1)−sin(+α)+sin(−α)180∘1+cos(−α)+cos(−α)180∘==0−(−sin α)−sin α1+cos α−cos α(2)⋅sin(π−α)⋅cos(2π+α)cos(α−)π2sin(+α)5π2=⋅sin α⋅cos αsin αcos α=αsin 2(，)1613(，1)23f(x)=sin(ωx +)π6ωx +=kπ+,k ∈Zπ6π2x =(kπ+)1ωπ3(π，2π)又因为在区间内有最值，所以时，有解，所以，即得，由得，当时，，当时，又，所以的范围为∪故答案为：∪. 20.【答案】解：∵，∴.由于曲线在点（）处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，∴.由知，，.令，解得，故在上为增函数；令，解得，故在上为减函数；故在处取得极大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值【解析】求导函数，利用曲线在点（）处的切线垂直于轴，可得，从而可求的值；由知，，，确定函数的单调性，即可求得函数的极值．【解答】(π，2π)(kπ+)∈(π,2π)1ωπ3k 1<(k +)<21ω13 ω<k +，13+<ω，k 216+<ω<k +k 21613+<k +k 21613k >−13k =0<ω<1613k =10<ω<1，<ω<123ω(，)1613(，1)23(，)1613(，1)23(1)f(x)=a ln x −x +4f'(x)=−1a x y =f(x)1,f(1)y 0f'(1)=a −1=0a =1(2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f'(x)>00<x <1f(x)(0,1)f'(x)<0x >1f(x)(1,+∞)f(x)x =1f(1)=3(1)y =f(x)1,f(1)y f'(1)=0a (2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f(x)(1)f(x)=a ln x −x +4解：∵，∴.由于曲线在点（）处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，∴.由知，，.令，解得，故在上为增函数；令，解得，故在上为减函数；故在处取得极大值．21.【答案】解：因为为上的奇函数，所以，即，∴ .，在上单调递减.，又在上单调递减，∴，即恒成立，∴，∴．【考点】奇函数函数单调性的判断与证明函数恒成立问题【解析】（1）为上的奇函数，由即可求得的值；（2）分离出常数，即可判断在上的单调性（直接写出答案，不用证明）；（3）利用奇函数在上单调递减的性质，可将恒成立转化为恒成立，利用，即可求的取值范围．【解答】解：因为为上的奇函数，所以，即，∴ .，在上单调递减.(1)f(x)=a ln x −x +4f'(x)=−1a x y =f(x)1,f(1)y 0f'(1)=a −1=0a =1(2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f'(x)>00<x <1f(x)(0,1)f'(x)<0x >1f(x)(1,+∞)f(x)x =1f(1)=3(1)f(x)R f(0)=0=0a −12a =1(2)f(x)==−1+1−2x +12x 2+12x (−∞,+∞)(3)f(−2t)+f(2−k)<0⇔f(−2t)<−f(2−k)t 2t 2t 2t 2=f(−2+k)t 2f(x)=1−2x+12x (−∞,+∞)−2t >−2+k t 2t 23−2t −k >0t 2Δ=4+12k <0k <−13f(x)R f(0)=0a −1f(x)(−∞,+∞)f(x)R f(−2t)+f(2−k)<0t 2t 23−2t −k >0t 2△=4+12k <0k (1)f(x)R f(0)=0=0a −12a =1(2)f(x)==−1+1−2x +12x 2+12x (−∞,+∞)(3)f(−2t)+f(2−k)<0⇔f(−2t)<−f(2−k)2222，又在上单调递减，∴，即恒成立，∴，∴．22.【答案】解：，由题设得，，∴在处的切线方程为.证明：，，∴在上单调递减，在上单调递增，，在上单调递增，，，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当，时，的图象恒在切线的上方．下证：当时，.设，，则，，在上单调递减，在上单调递增.又，，，∴，存在，使得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，∴，当且仅当时取等号，故，．又，即，当时等号成立．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究不等式恒成立问题【解析】Ⅰ求出导数，可得可得切点坐标及切线的斜率，代入点斜式，可得曲线在处的切线方程；Ⅱ 猜测：当，时，的图象恒在切线的上方，只证：当时，，又，即，即可．【解答】(3)f(−2t)+f(2−k)<0⇔f(−2t)<−f(2−k)t 2t 2t 2t 2=f(−2+k)t 2f(x)=1−2x+12x (−∞,+∞)−2t >−2+k t 2t 23−2t −k >0t 2Δ=4+12k <0k <−13(1)f (x)=−2x ′e x f (1)=e −2′f(1)=e −1f(x)x =1y =(e −2)x +1(2)f (x)=−2x ′e x f (x)=−2′′e x f (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)∴f (x)≥f (ln 2)=2−2ln 2>0′′∴f(x)[0,1]∴f(x =f(1)=e −1)max x ∈[0,1]∴f(x)(1,e −1)y =f(x)x =1y =(e −2)x +1x >0x ≠1f(x)y =(e −2)x +1x >0f(x)≥(e −2)x +1g(x)=f(x)−(e −2)x −1x >0g (x)=−2x −(e −2)′e x g (x)=−2′′e x ∴g (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)g (0)=3−e >0′g (1)=0′0<ln 2<1g (ln 2)<0′∴∈(0,ln 2)x 0g ()=0′x 0∴x ∈(0,)∪(1,+∞)x 0g (x)>0′x ∈(,1)x 0g (x)<0′g(x)(0,)x 0(,1)x 0(1,+∞)g(0)=g(1)=0g(x)=−−(e −2)x −1≥0e x x 2x =1≥x +(2−e)x −1e x x x >0x ≥ln x +1≥ln x +1+(2−e)x −1e x xx =1()f(x)x =1()x >0x ≠1f(x)y =(e −2)x +1x >0f(x)≥(e −2)x +1x ≥ln x +1≥ln x +1+(2−e)x −1e x x (1)f (x)=−2x′x解：，由题设得，，∴在处的切线方程为.证明：，，∴在上单调递减，在上单调递增，，在上单调递增，，，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当，时，的图象恒在切线的上方．下证：当时，.设，，则，，在上单调递减，在上单调递增.又，，，∴，存在，使得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，∴，当且仅当时取等号，故，．又，即，当时等号成立．(1)f (x)=−2x ′e x f (1)=e −2′f(1)=e −1f(x)x =1y =(e −2)x +1(2)f (x)=−2x ′e x f (x)=−2′′e x f (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)∴f (x)≥f (ln 2)=2−2ln 2>0′′∴f(x)[0,1]∴f(x =f(1)=e −1)max x ∈[0,1]∴f(x)(1,e −1)y =f(x)x =1y =(e −2)x +1x >0x ≠1f(x)y =(e −2)x +1x >0f(x)≥(e −2)x +1g(x)=f(x)−(e −2)x −1x >0g (x)=−2x −(e −2)′e x g (x)=−2′′e x ∴g (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)g (0)=3−e >0′g (1)=0′0<ln 2<1g (ln 2)<0′∴∈(0,ln 2)x 0g ()=0′x 0∴x ∈(0,)∪(1,+∞)x 0g (x)>0′x ∈(,1)x 0g (x)<0′g(x)(0,)x 0(,1)x 0(1,+∞)g(0)=g(1)=0g(x)=−−(e −2)x −1≥0e x x 2x =1≥x +(2−e)x −1e x x x >0x ≥ln x +1≥ln x +1+(2−e)x −1e x x x =1。
2022-2023学年人教A版高二上数学月考试卷(含解析)
参考答案与试题解析
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）
1.
【答案】
A
【考点】 空间向量的加减法 【解析】 利用空间向量加减法运算法则求解． 【解答】
解：正方体ABCD − A1B1C1D1 中， −−−→ −−→ −−→ DD1 − AB + BC
−−→
于是|DC | = 70 ，
故甲、乙两人相距70 m．
故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
以D 为原点，DA 为x轴，DC 为y轴，DD1 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直 线D1B与B1M 所成角的余弦值．
【解答】
在正方体ABCD − A1B1C1D1 中，M 是BC 的中点，
卷II（非选择题）
三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）
13. 如图，正方体ABCD − A1B1C1D1 中，点E ，F 是BC 上的两个三等分点，点G，H 是A1D1 上的两 个三等分点，点M ，N ，P 分别为AB ， C1D1 和CD 的中点，点Q是A1 M 上的一个动点，下面结论中 正确的是________. ①FH 与AC1 异面且垂直； ②FG 与AC1 相交且垂直；③D1 Q // 平面EFN ； ④B1 ，H ，F ，P 四点共
正确的是（ ）
A.AC1 ⊥ EG B.GC // ED C.B1F ⊥平面BGC1
D.EF 和BB1 所成角为
10.
已知→a ，→b 是平面上夹角为
π
的两个单位向量，→c 在该平面上，且(→a
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2022-2023学年上海市建平中学高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．命题“空间中任意3点确定一个平面”是___________命题.（填“真”，“假”） 【答案】假【分析】当三点共线时，可以知命题不成立，即可得正确答案. 【详解】因为过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面， 当三点共线时可以确定无数个平面， 故答案为：假.2．边长2和4的矩形直观图面积为______.【答案】【分析】. 【详解】由题知，直观图面积为24⨯=3．若圆锥的侧面积为2π，母线长为2，则此圆锥的体积为______.【分析】由侧面积公式解得1r =，进而求出圆锥的高，即可由体积公式求得体积【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的母线长2l =，其侧面积为2rl ππ=，所以1r =，所以h 2211133V r h ππ==⨯.4．正四棱柱的底面积为4，高为3，则它的侧面积为______. 【答案】24【分析】先求出底面四边形的边长，再利用柱体的侧面积公式进行求解. 【详解】因为正四棱柱的底面是正方形，且面积为4， 所以底面的边长为2，又因为棱柱的高为3， 所以侧面积为42324⨯⨯=. 故答案为：24.5．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的大小为______.【答案】15arccos5【分析】首先连接11A C 交于点O ，连接BO ，然后证明1OC ⊥面11BB D D ，根据线面角的定义得到1C BO ∠为1BC 与平面11BB D D 所成角，在1Rt BOC 中求解1C BO ∠的余弦值即可求出1BC 与平面11BB D D 所成角. 【详解】连接11A C 交于点O ，连接BO ，由2AB BC ==，得1111D C B A 为正方形，即111OC B D ⊥， 由长方体的性质得1BB ⊥面11111,A B C D OC ⊂面1111D C B A ， 所以11OC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=，所以1OC ⊥面11BB D D ， 则1C BO ∠为1BC 与平面11BB D D 所成角， 在1Rt BOC 中，112,5,3OC BC OB ===， 所以11315cos 55OB OBC BC ∠===， 即1BC 与平面11BB D D 所成角为15arccos 5. 故答案为：15arccos56．如图，边长为2的两个等边三角形,ABC DBC ，若点A 到平面BCD 的距离为1，则二面角A BC D --的大小为______.【答案】3【分析】先判断得二面角A BC D --的平面角为AEF ∠，再利用线面垂直的判定定理证得AF ⊥平面BCD ，从而得到1AF =，进而求得sin AEF ∠，由此得解.【详解】取BC 中点E ，连接,AE EF ，过A 作AF DE ⊥于F ， 因为,ABC DBC △△是正三角形，所以,AE BC DE BC ⊥⊥， 所以二面角A BC D --的平面角为AEF ∠， 又AEDE E =，,AE DE ⊂面AEF ，所以BC ⊥面AEF ，又AF ⊂面AEF ，所以BC AF ⊥， 因为AF DE ⊥，,,DEBC E DE BC =⊂平面BCD ，所以AF ⊥平面BCD ，则点A 到平面BCD 的距离为AF ，即1AF =， 又在边长为2的ABC 中，22132AE AB BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以13sin 33AF AEF AE ∠===，AEF ∠是锐角， 则二面角A BC D --的大小为3arcsin 3. 故答案为：3arcsin3.7．如图，在正四面体A BCD -中，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是_____【答案】23【分析】连接BM 取其中点P ，连接,PN PA ，则NAP ∠即为所求角或其补角，再利用余弦定理解三角形即可.【详解】如图，连接BM 取其中点P ，连接,PN PA ，∵N 是BC 中点，∴//PN CM ，∴异面直线AN ，CM 所成的角就是NAP ∠（或其补角）， 设正四面体的棱长为1，则32AN CM ==，1324NP CM ==，在ABP ∆中1324BP BM ==， 222223372cos 1()21cos304416AP BA BP BA BP ABM =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=， 在APN ∆中，22222337()()22416cos 2333224AN NP APANP AN NP+-+-∠===⋅⨯⨯.异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值为23. 故答案为：23.【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，属中档题题.8．圆柱形容器内部盛有高度为2cm 的水，若放入一个球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没球（如图所示），则球的半径是________cm .【答案】3【分析】根据水的体积与球的体积之和为一个高为2R 的圆柱的体积即可求解. 【详解】设球的半径为R ，根据题意，水的体积与球的体积之和等于高为2R 的圆柱的体积， 所以2234223R R R R πππ⋅=⋅+，解得3R =. 故答案为：39．三棱柱111ABC A B C 的各条棱长均为112,60A AB A AC BAC ∠∠∠===，则该三棱柱的侧面积为______.【答案】4##4+【分析】根据题意知1A A 在平面ABC 内的射影是BAC ∠的角平分线.如图过点1A 作1A H ⊥平面ABC ，垂足为H ，延长AH 交BC 于D ，则AD BC ⊥，利用线面垂直的判定定理和性质可证四边形11BCC B 为矩形，结合矩形和平行四边形的面积公式计算即可. 【详解】由题意知，在三棱柱111ABC A B C 中，1160A AB A AC BAC ︒∠=∠=∠=，所以1A A 在平面ABC 内的射影是BAC ∠的角平分线.如图，过点1A 作1A H ⊥平面ABC ，垂足为H ，延长AH 交BC 于D ， 则AD 是BAC ∠的角平分线，所以AD BC ⊥， 又BC ⊂平面ABC ，所以1A H ⊥BC ， 由11,ADA H H AD A H =⊂、平面1A AH ，得BC ⊥平面1A AH ，又1AA ⊂平面1A AH ，所以1BC AA ⊥，因为11//AA BB ，所以1BC BB ⊥，故四边形11BCC B 为矩形，所以11224BCC B S =⨯=矩形，又111122sin 60ABB A ACC A S S ︒==⨯=平行四边形平行四边形所以三棱柱的侧面积为4.故答案为：4.10．我国古代数学名著《九章算术》中，定义了三个特别重要而基本的多面体，它们是：（1）“堑堵”：两个底面为直角三角形的直棱柱；（2）“阳马”：底面为长方形，且有一棱与底面垂直的棱锥；（3）“鳖臑（biēnào ）”：每个面都为直角三角形的四面体.魏晋时期的大数学家刘徽进一步研究发现：任何一个“堑堵”都可以分割成一个“阳马”和一个“鳖臑”且“阳马”和“鳖臑”的体积比为定值.则此定值为______. 【答案】2:1【分析】画出图形，在图形中分别表示出“阳马”和“鳖臑”的体积即可求解. 【详解】如图所示，图为底面为直角三角形的直三棱柱“崭堵”，90ABC ∠=， 若以111A B C △作为“鳖臑”的底面，则可选点A 或点C 作为顶点， 我们选取点C 为例，连接11,B C A C ，则四面体111C A B C -满足条件， 且棱锥11C AA B B -也满足“阳马”的条件，BC ⊥面11AA B B 且四边形11AA B B 为长方形，设1,,,AB c BC a AC b BB h ====，则“堑堵”的体积为1122ac h ach ⋅=，“鳖臑”的体积为111236ac h ach ⋅⨯=，所以“阳马”的体积为111263ach ach ach -=，所以“阳马”和“鳖臑”的体积比为2：1.故答案为:2:1.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是______. 【答案】抛物线【分析】点P 到直线11C D 的距离即1PC ，根据抛物线的定义判断轨迹图形. 【详解】由题意得直线11C D ⊥平面11BB C C ，则111C D PC ⊥， 即1PC 就是点P 到直线11C D 的距离，所以点P 到直线BC 的距离等于它到点1C 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线. 故答案为：抛物线.12．一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为θ.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则cos θ的值为______.【答案】363- 【分析】根据题意可知，该几何体的侧面是全等的正三角形，只需利用三垂线定理做出二面角的平面角再结合勾股定理即可求出余弦值的大小.【详解】一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正三角形组成， 并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为θ过点A 作底面的垂线，垂足为B O O '，、分別为上下底面正方形的中心， 连接AO BO BO '、，交CD 于F ，连接AF ，如图所示，由题意得,AF CD OF CD ⊥⊥，所以AFO ∠即为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，且为钝角； 所以AFO θ∠=，所以sin sin AFB θ∠=，由三角形都为正三角形得,AO BO AF '==，设正方形边长为2a ，则,BO FO a ==，所以,BF a AF =-=，所以cos BF AF θ=-==二、单选题13．三个平面不可能将空间分成（ ）个部分 A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】分三个平面互相平行，三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，三个平面交于一条直线，三个平面两两相交且三条交线平行，三个平面两两相交且三条交线交于一点，六种情况讨论即可.【详解】若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分； 若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分； 若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分 故n 的取值为4，6，7，8，所以n 不可能是5. 故选：A.14．已知直线m 、n ，平面α、β，满足n αβ=且αβ⊥，则“m β⊥”是“m n ⊥”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分条C ．充要D ．既非充分又非必要【答案】A【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定. 【详解】因为n αβ=，所以n β⊂，又因为m β⊥，所以m n ⊥， 即“m β⊥”是“m n ⊥”的充分条件；如图，在长方体中，设面ABCD 为面α、面BCEF 为面β， 则m n ⊥，且m 与面β不垂直， 即“m β⊥”不是“m n ⊥”的必要条件； 所以“m β⊥”是“m n ⊥”的充分不必要条件. 故选：A.15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ） A ．三角形 B ．长方形C ．对角线不相等的菱形D ．六边形【答案】A【分析】根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可．【详解】过正方体中心的平面截正方体所得的截面，至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形． 故选：A ．16．如图为正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，动点M 从B 1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B 1的运动过程中，点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，运动的路程x 与l ＝MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l ＝f （x ），则此函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】可知点M 沿着1ACB 运动，设点P 为B 1C 的中点，分析当M 从B 1到P 时，在平面A 1B 1CD 内，作点A 1关于B 1B 的对称点A ′，由MA 1+MD ＝MA ′+MD ，MC 1221PC PM =+，分析排除即得解 【详解】由于点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，且从B 1点出发，因此点M 沿着1ACB 运动.设点P 为B 1C 的中点，当M 从B 1到P 时，如图所示在平面A 1B 1CD 内，作点A 1关于B 1B 的对称点A ′， 则MA 1+MD ＝MA ′+MD ，由图象可知，当M 从B 1到P 时，MA 1+MD 是减小的，MC 1是由大变小的， 所以当M 从B 1到P 时，l ＝MA 1+MC 1+MD 是逐渐减小的，故排除B ，D ；因为PC 1是定值，MC 1221PC PM =+，函数是减函数，类似双曲线形式，所以C 正确； 故选：C三、解答题17．己知正四棱锥P ABCD -中，1,2AB PA ==.(1)求侧棱与底面所成角；(2)求正四棱锥P ABCD -的侧面积.【答案】(1)14arcsin 4 (2)15【分析】（1）先由正四棱锥的定义得到侧棱与底面所成角为PAO ∠，再求得PO 的长度，从而得到sin PAO ∠，由此得解；（2）结合（1）中结论，求出斜高PE ，从而即可求得正四棱锥P ABCD -的侧面积.【详解】（1）连接AC ､BD ，设ACBD O =，连接PO ，因为棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以PO ⊥底面,ABCD O 为底面正方形ABCD 的中心，则侧棱与底面所成角为PAO ∠， 因为1,2AB PA ==，所以222AC AB BC =+=，2222214222PO PA AO ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以14sin 4PO PAO AP ∠==，即侧棱与底面所成角为14arcsin 4. .（2）过P 作PE BC ⊥于E ，连接OE ，因为PB PC =，PE BC ⊥，所以E 是BC 的中点，又O 是AC 的中点，所以1122OE AB ==， 又在Rt POE 中，14PO =2215PE PO OE =+=， 所以四棱锥P ABCD -的侧面积为1154421152PBC S S PE BC ==⨯⋅==18．如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点.已知5AB BC ==，3CD =.(1)求二面角A DC B --的大小；(2)将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.【答案】(1)5arctan 4； (2)15π.【分析】（1）由已知可推得，二向角A DC B --的平面角为ADB ∠，在Rt △ABD 中，求解即可得到结果；（2）ACD 绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可.【详解】（1）由题意得BD CD ⊥，所以224BD BC CD -=，AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥，又BD AB B ⋂=，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ,又AD ⊂平面ABD ,所以CD AD ⊥，即二向角A DC B --的平面角为ADB ∠，在Rt △ABD 中，4t n 5a AB ADB BD ∠==，所以5arctan 4ADB ∠=， 所以二面角A DC B --的大小为5arctan4. （2）由线段AC 绕AB 旋转一周所得几何体为以BC 为底面半径，以AB 为高的圆锥，体积22111125ππ55π333V BC AB =⋅⋅=⨯⨯=， 线段AD 绕AB 旋转一周所得的几何体为BD 为底面半径，以AB 为高的圆锥，体积2221180ππ45π333V BD AB =⋅⋅=⨯⨯=， 所以以ACD 绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为：1215πV V V =-=.19．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．(1)这种“浮球”的体积是多少3cm （结果精确到0.1)？(2)要在这样10000个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？【答案】(1)169.6（cm 3）(2)4800π（克）.【分析】（1）分别求出两个半球的体积1V ，和圆柱体的体积2V ，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出10000个的面积，即可求解.【详解】（1）因为该“浮球”的圆柱筒直径d =6cm,所以半球的直径也是6cm,可得半径r =3cm,所以两个半球的体积之和为3314433633V r πππ==⨯=（cm 3）. 圆柱的体积22·9218V r h πππ==⨯⨯=（cm 3）. 所以该“浮球”的体积是21613654169.8V V V πππ=+=≈=+（cm 3）.（2）根据题意,上下两个半球的表面积是2144936S r πππ==⨯⨯=（cm 2）.而“浮球”的圆柱筒侧面积为2223212S r h πππ=⋅=⨯⨯⨯=（cm 2）.1个“浮球”的表面积为12361248S S S πππ=+=+=（cm 2） 即为4810000S π=（m 2）. 所以要在这样10000个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶4810000100480010000ππ⨯⨯=（克）. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,1AD AB DC AB PA ⊥=∥，2,2AB PD BC ===(1)求证：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)试在棱PB 上确定一点E ，使截面AEC 把该几何体分成的两部分PDCEA 与EACB 的体积比为2:1；(3)在(2)的条件下，求二面角E AC P --的余弦值．【答案】(1)见解析；(2)E 为PB 的中点；(3)33. 【分析】(1)证明CD ⊥平面P AD 即可；(2)过E 作EF ⊥AB 于F ，则EF 为E －ABC 的高，分别求出P －ABCD 和E －ABC 的体积，再求出PDCEA 部分体积，由体积比即可得EF 与P A 的关系，即可知E 点的位置；(3)连接FC 、FD ，FD 与AC 交于点O ，连接OE ，二面角E AC P --的平面角与∠EOF 互余，故解三角形EOF 即可.【详解】(1)∵,AD AB DC AB ⊥∥，∴DC AD ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴DC PA ⊥．∵AD PA A ⋂=，∴DC ⊥平面PAD ．∵DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．(2)作EF AB ⊥于F 点，∵在ABP 中，PA AB ⊥，∴EF PA ∥，∴EF ⊥平面ABCD ．设221,1,12ABC EF h AD PD PA S AB AD ==-=⋅=△， 则1133E ABC ABC V S h h -=⋅=△． ()12111113322P ABCD ABCD V S PA -+⨯=⋅=⨯⨯=． 由:2:1PDCEA EACB V V =，得111:2:1233h h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得12h =，即12EF PA =，故E 为PB 的中点； (3)连接FC 、FD ，FD 与AC 交于点O ，连接OE ，由(2)可知EF ⊥平面ABCD ，∴EF AC ⊥．易知ADCF 为正方形，∴FO AC ⊥．∵FO EF F ⋂=，∴AC ⊥平面EFO ，故EO AC ⊥．∴EOF ∠是二面角E AC B --的平面角．由PA ⊥平面ABCD ，可知平面PAC ⊥平面ABCD ．∴二面角E AC B --与平面角E AC P --互余．设二面角E AC P --的平面角为θ，则cos sin EOF θ=∠，在Rt EOF △中，123,,222EF FO EO ===， 3cos sin 3EOF θ=∠=， ∴二面角E AC P --的余弦值为33． 21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；(1)求圆锥的母线与底面所成的角；(2)过底面中心1O 且平行于母线AB 的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p 的抛物线，求圆锥的底面半径；(3)过底面点C 作垂直且于母线AB 的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a 的椭圆，求椭圆的短轴长.【答案】(1)3π (2)2r p =(3)263a 【分析】（1）根据侧面展开图的特征列方程得出底面半径和母线的关系，从而得出母线与底面所成的角；（2）根据抛物线的一条弦为圆锥底面直径得出底面半径和p 的关系，从而可得圆锥的底面半径；（3）利用三角形相似和圆锥的特点得出椭圆的长轴，短轴和底面半径的关系，从而可得长短轴的关系，得出答案.【详解】（1）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥侧面展开图的半径为l ，弧长为2r π， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以r l 2π=π，所以2l r =所以圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的母线与底面所成的角为3π. （2）设抛物线的顶点M ，则M 为AC 的中点以点M 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系（DE 是圆锥底面的直径）设抛物线方程为22y px =，设(),D x r ，把y r =代入抛物线方程得22r x p =， 所以212r O M p =，于是母线212r l AB O M p===， 由（1）得2l r =，即22r r p=，所以2r p =. （3）设AB 的中点为N ，则N 和C 为椭圆的长轴顶点，取CN 的中点P ，则P 为椭圆的中心，连接AP 并延长，交BC 于Q ，过Q 作QR BC ⊥，交圆锥底面圆周于R ， 则23CN a r ==，即3r = 过N 作NS BC ∥交AQ 于S ，由NPS CPR ~得QC NS =，又12NS BQ =，所以Q 为BC 靠近C 的三等分点， 22277r r r QR AQ AP === 过点P 作PG QR ∥，交AR 于G因为平面ABC 与底面垂直，QR BC ⊥，QR 在底面中且平面ABC 与底面的交线为BC ，所以由面面垂直的性质可知，QR ⊥平面ABC ，所以PG ⊥平面ABC ，所以PG 为该椭圆的短半轴，即PG b =，因为APG AQR ~△△，所以,b AP QR AQ =所以22b r =，即63b a =， 所以椭圆的短轴长为2623b a =.【点睛】思路点睛：对于圆锥，我们利用不同的平面去截其表面可得不同的圆锥曲线，在计算圆锥曲线的基本量的时候，注意利用空间中的位置关系去构建基本量的关系.。