【最新】湖南省衡阳市高三第三次联考(三模)数学(理)试题(含答案)

理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则12i z i =-在复平面内的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.若01cos(75)3α+=，则0cos(302)α-的值为（ ） A ．429 B ．429- C ．79 D ．79- 3.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数大约为（ ）A ．1193B ．1359C ．2718D ．3413附：若X ～2(,)N μσ，()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.4.有下列三个结论：①命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”；②“1a =”是“直线10x ay -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件； ③命题“角α的终边在第一象限，则α为锐角”的逆否命题为真命题；其中正确结论的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5.某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示，由表可得回归直线^^^y b x a =+中的4b =-，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（ ）16 17 18 19 y 50 34 41 31 A ．23个 B ．25个 C ．27个 D ．29个6.将()sin 2f x x =的图象右移(0)2πϕϕ<<个单位后得到()g x 的图象，若对于满足12|()()|2f x g x -=的12,x x 有12||x x -的最小值为3π，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 7.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的3N =，则输出的i 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A ．143B ．4C ．103D ．39.双曲线:M 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为12,F F ，抛物线2:2(0)N y px p =>的焦点为2F ，点P 为双曲线M 与抛物线N 的一个交点，若线段1PF 的中点在y 轴上，则该双曲线的离心率为（ ）A 31B 21C 31+D 21+ 10.将4名大学生分配到,,A B C 三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案共有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种11.设,M N 为抛物线2:2(0)C y px p =>上任意两点，点E 的坐标为(,0)(0)λλ-≥，若EM EN •u u u u r u u u r 的最小值为0，则λ等于（ ）A ．2pB ．pC ．2p D ．0 12.已知()||x f x x e =•，又2()()()()g x f x tf x t R =+∈，若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围为（ ）A ．21(,)e e +-∞-B ．21(,)e e ++∞C ．21(,2)e e +--D ．21(2,)e e+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，||||AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，2,1AB AC ==，,E F 为BC 边的两个三等分点，则AE AF •=u u u r u u u r .14.已知(2,1),(0,0)A O ，点(,)M x y 满足12222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则Z OA AM =•u u u r u u u u r 的最大值为 .15.已知,,,P A B C 为球O 球面上四点，其中ABC ∆为正三角形，三棱锥P ABC -的体积为4，且30APO BPO CPO ∠=∠=∠=o ，则球O 的表面积为 . 16.若函数2()ln()f x x x a =++与21()(0)2x g x x e x =+-<的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分） 设函数21()(0)3f x x x=+>，数列{}n a 满足1111,()n n a a f a -==，其中*n N ∈，且2n ≥. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对*n N ∈，设12233411111n n n S a a a a a a a a +=++++L ，若34n t S n≥恒成立，求实数t 的取值范围.18. （本小题满分12分）某校为了解一个英语教改班的情况，举行了一次测试，将该班60位学生的英语成绩进行统计，得频率分布直方图如图，其中成绩分组区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求出该班英语成绩的众数和平均数；（2）从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在[50,60)的记1绩点分，在[60,80)的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，SD ⊥面ABCD ，点,E F 分别为,AB SC 的中点.（1）求证：//EF 平面SAD ；（2）设2SD DA =，求二面角A EF D --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点F 重合，且点F 到直线10x y -+=2，1C 与2C 的公共弦长为26.（1）求椭圆1C 的方程及点F 的坐标；（2）过点F 的直线l 与1C 交于,A B 两点，与2C 交于,C D 两点，求11||||AB CD +的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数32()()f x x x x R =-+∈，()g x 满足'()(,0)a g x a R x x =∈>，且()g e a =，其中e 为自然对数的底数.（1）已知1()()x h x e f x -=•，求()h x 在(1,(1))h 处的切线方程；（2）设函数(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩，O 为坐标原点，若对于()y F x =在1x ≤-时的图象上的任一点P ，在曲线()y F x =()x R ∈上，总存在一点Q ，使得0OP OQ •<u u u r u u u r ，且PQ uuu r 的中点在y 轴上，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点作圆O 的两条切线,EA EB ，其中,A B 为切点，BC 为圆O 的一条直径，连CA 并延长交BE 的延长线于D 点.（1）证明：BE ED =；（2）若3AD AC =，求:AE AC 的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，(33,)2A π，(3,)3B π，圆C 的方程为2cos ρθ=. （1）求在平面直角坐标系xoy 中圆C 的标准方程；（2）已知P 为圆C 上的动点，求ABP ∆面积的最大值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|||21|f x x x =--，记()1f x >-的解集为M .（1）求M ；（2）已知a M ∈，比较21a a -+与1a 的大小. 答案与解析 1.B 525)21(i i i Z +-=+= 2.C 31)15sin()75cos(=-︒=+︒αα 979121)15(sin 21)230cos(2=⨯-=-︒-=-︒∴αα 3.B 1,1=-=σμΘ 1359.026826.09544.0=-=∴s 1359.0=∴μ 4.B 只有①对 5.D 由39,5.17==y x 代入方程可知a=109，∴当20=x 时，29109204=+⨯-=y6.B 由图可知，6323434πφπφπππφπ=⇒=-⇒=-+7.C →=→=→=→=→=→=→=→=8416352103n i n i n i n n 8172645=→=→=→=→=→=→=i n i n i n i8.B 如图，所求几何体的体积为42=正方体V 9.B 如图，由题意可知：∴=,2pc 抛物线方程为12.4PF cx y Θ=的中点在y 轴上，c x p =∴，带入抛物线方程可得c y p 2±=，又点P 在双曲线上，12)21(22314222222+=⇒+=+=⇒=-∴e e b c a c10.C ①：甲单独一人，则12222312=⋅⋅A C C ，②：甲与另一人一起，则：12221213=⋅⋅A C C11.C 由图可知，0)(min =⋅EN EM Θ ∴图中此时的︒=∠90MEN故此时EM 与抛物线相切，且1=EM k12.A 012=++tx x 一根在)1,0(e 中间，一根在),1(+∞e ，0)1(<∴ey 即：01112<+⋅+e t e ，1112--<⋅∴e e t ，e e e e t 112+-=--<∴13.91014.1 52-+=⋅=y x AM OA Z ，如图，15222max =-+⨯=Z15.π16 令BC=a ，则a AH 33=，又AHP Δ中，︒=∠30APH Θ，a a PH =⋅=∴333，4391232321313==⨯⨯⨯=∴-a a a a V ABC P 3=⇒a 从而，3PH 3==，AH ，令球O 的半径为R ，则在O ΔAH 中可知：2)3()3(222=⇒=-+R R R ，πR πS 1642==∴球表面积16.),(e -∞ 令)0)(,(000<x y x P 为)(x g 图象上满足条件的对称点，则),-('00y x P 在)(x f 的图象上，210200-+=∴x e x y ，)ln(0200a x x y +-+=，∴方程)0,()ln(21-∞+-=-在a x e x 上有解，)21,21(21)0,(-∈--∞∈x e x 时，Θ，且函数)ln()(a x x +-=ϕ为定义域上的减函数，又当+∞→+--∞→)ln(,a x x 时，e a a <<<∴,21ln ,21)0(即只需ϕ 17.解：(1)由11()n n a f a -=可得，123n n a a --=，n *∈N ，2n ≥. 所以{}n a 是等差数列，因为11a =，所以2211(1)33n n a n +=+-⋅=，n *∈N . …4分 (2)因为213n n a +=，所以1233n n a ++=， 所以119911()(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++. 122334*********()232323n n n n S a a a a a a a a n n +=++++=-=++L . …8分 34n t S n ≥恒成立等价于33234n t n n ≥+，即2423n t n ≤+恒成立．…9分令24()(0)23x g x x x =>+，则28(3)()0(23)x x g x x +'=>+，18.解：（1）由频率分布直方图可知：众数为85；24610855657585953030303030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1(5526547568510958)30=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 81=∴该班学生英语成绩的平均数为81.（2）依题意，成绩在[50,60)的学生数为230(10)2300⨯⨯=， 成绩在[60,80)的学生数为4630(1010)10300300⨯⨯+⨯=， ∴成绩低于80分的学生总人数为12， ∴ξ可取的值为2,3,4，222121(2)66C P C ξ===， 1121021220(3)66C C P C ξ===， 21021245(4)66C P C ξ===， ∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望1204511()2346666663E ξ=⨯+⨯+⨯=. 19.（解法一）（1）证明：如图1，取SD 的中点G ，连接,GF GA ， 因为,G F 分别是,SD SC 的中点，所以//GF DC ，且12GF DC =. 又底面ABCD 为正方形，且E 是AB 的中点，所以//AE DC ，且12AE DC =. 于是//AE GF ，且AE GF =，所以AEFG 是平行四边形，所以//EF AG . 又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ，故//EF 平面SAD . （2）如图2，取,AG EF 的中点分别为,M N ，连接,,DM MN DN .因22SD DA DG ==，得DA DG =，又M 是AG 的中点，所以DM AG ⊥.又因为SD ⊥平面ABCD ，所以SD AB ⊥，由底面ABCD 为正方形，可得AB AD ⊥， 而SD AD D =I ，所以AB ⊥平面SAD ，又,M N 分别为,AG EF 的中点， 则//MN AB ，所以MN ⊥平面SAD ，又AG ⊂平面SAD ，则MN AG ⊥. 由于DM MN M =I ，所以AG ⊥平面MND . 又由（1）知，//EF AG ，故EF ⊥平面MND . 因此MND ∠是二面角A EF D --的平面角.设2DA =，由22SD DA DG ==，得2,DG DM ==112MN AB ==，又MN ⊥平面SAD ，DM ⊂平面SAD ，得MN DM ⊥，所以DN =从而cos 3MN MND DN ∠==，故所求二面角A EF D --的余弦值为3. （解法二）以D 为原点，射线,,DA DC DS 分别为,,x y z 的正半轴建立空间直角坐标系， （1）设2,2AB a SD b ==，则(2,,0),(0,0,2),(0,2,0)E a a S b C a ，所以(0,,)F a b ，(2,0,),(0,2,0)EF a b DC a =-=u u u r u u u r ，于是(0,2,0)(2,0,)0EF DC a a b •=•-=u u u r u u u r.则EF DC ⊥u u u r u u u r ，又DC u u u r是平面SAD 的一个法向量，所以//EF 平面SAD .（2）设2DC =，有24SD DC ==，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,4)D A B C S ，(2,1,0),(0,1,2)E F ，则(2,1,0)DE =u u u r ，(0,1,2)DF =u u u r ，(0,1,0)AE =u u u r ，(2,0,2)EF =-u u u r，设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =r ，则n DEn DF⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u u u rr u u u r ，所以2020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取(1,2,1)n =-r . 同理可得面AEF 的一个法向量为(1,0,1)m =u r ，所以3cos ||||||26n m n m θ•===•⨯r u rr u r 故所求二面角A EF D --320. （1）∵22:2C y px =的焦点F 的坐标为(,0)2p . 由点F 到直线10x y -+=2|1|222p +=. ∵0p >，解得2p =， 又(1,0)F 为椭圆的一个焦点，∴221a b -=①∵1C 与2C的公共弦长为，1C 与2C 都关于x 轴对称，而2C 的方程为24y x =，从而1C 与2C的公共点的坐标为3(,2， ∴229614a b+=② 联立①②解得229,8a b ==，∴1C 的方程为22198x y +=，点F 的坐标为(1,0). （2）当l 过点F 且垂直于x 轴时，l 的方程为1x =，代入22198x y +=，求得83y =±， ∴16||3AB =，把1x =代入22:4C y x =求得2y =±. ∴||4CD =，此时，11317||||16416AB CD +=+=， 当l 与x 轴不垂直时，要使l 与2C 有两个交点，可设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 此时设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y把直线l 的方程与椭圆1C 的方程联立得22(1)198y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简得2222(89)189720k x k x k +-+-=，可得21221889k x x k +=+，212297289k x x k-=+，213664(1)0k ∆=⨯+>，∴||AB =2248(1)89k k +==+ 把直线l 的方程与抛物线2C 的方程联立得24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 化简得2222(24)0k x k x k -++=，可得234224k x x k ++=，2216(1)0k ∆=+>， ∴223422244(1)||22k k CD x x k k ++=++=+=， ∴22221189||||48(1)4(1)k k AB CD k k ++=+++ 222222891221871348(1)48(1)1648(1)k k k k k k +++===-+++ ∵20k >，∴211k +>， ∴2131304848(1)k -<-<+， ∴1117(,)||||616AB CD +∈， 综上可得11||||AB CD +的取值范围是17(,]616. 21、解：（1）Q 321()()xh x x x e -=-+，321()(42)xh x x x x e-'=-+，(1)0h ∴=，(1)1h '=-。