(完整)高等数学期末考试试卷
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中国民航大学 高等数学(1)期末试卷
一. 选择题 (每题3分,共15分)
1.设函数x x f x x f 222)]([,)(==ϕ,则函数ϕ()x =[ B] (A)log 2x ;(B)2x
;(C)log 22
x ; (D)x 2
.
2.若)()(x
g x f -=',则
=)(cos 2x f dx
d
[ C] (A)x x g sin )(2;(B)x x g 2sin )(;(C)x x g 2sin )(cos 2;(D))(cos 2x g .
3.设)(x f 为可导函数,则: [ C] (A)C x f dx x f +=⎰)()(; (B))()(x f dx x f ='⎰; (C)())()(x f dx x f ='⎰; (D)())()(x f dx x f ='⎰+C.
4.⎰2
1
ln xdx 与⎰2
1
2)(ln dx x 的大小关系是: [ A]
(A)⎰⎰>21
221
)(ln ln dx x xdx ;(B)⎰⎰<2
1
221
)(ln ln dx x xdx ;
(C)⎰⎰=2
1
221
)(ln ln dx x xdx ; (D) 无法判定.
5.设有直线1
8
2511:
1+=
--=-z y x L 与⎩⎨
⎧=+=-3
26
:2z y y x L ,则1L 与2L 的夹角为:[ D]
(A)6
π
; (B)
4
π
; (C)
2
π
; (D)
3
π
.
二. 填空题 (每题3分,共15分)
1.)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0
x f x x →存在的
条件.
2.设⎩
⎨⎧≥+<=.0 ,,
0 ,)(x x a x e x f x 若使 )(x f 在 0=x 处连续,则
=a .
3.设)(x f 在0x 处可导,且8)
()(lim
000
=--+→h
h x f h x f h ,则
=')(0x f .
4.=+⎰→2
20
)1ln(lim
x dt t x
x .
5.方程64416222=-+z y x 表示的曲面名称为.
三.计算下列各题(每题5分,共20分)
1.1cos 1
)1(lim 3
120--+→x x x .
2.设⎪⎩⎪⎨⎧==t
t
e
y te x ,求dx dy 及22dx y d . 3.求曲线1=-+xy e y x 在)0,0(处的切线方程.
4.求函数x xe x f =)(的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式.
四.求下列积分(每题5分,共20分)
1.⎰
+)
ln 81(x x dx
.
2.⎰
-dx x
x
1arcsin .
3.
⎰
-π
20
2cos 1dx x .
4.
⎰
+∞
+0
1x
e dx
.
五.(6分)设
)(x f 在区间]1,1[-上二次可导,且0)1(=-f ,
又)()]1([sin )(x f x x g +=π,证明:在区间)1,1(-内至少存在一点c ,使得0)(=''c g .
六.(10分)已知函数x
x y 1
2
+
=,试画出函数的图形.
七.(7分)平面π通过1L :2
1
12-=-=z y x ,且平行于2L :
1
101-==-z
y x ,求平面π的方程.
八.(7分)某工厂生产的某种产品,固定成本为400万元,
多生产一个单位产品,成本增加10万元,设产品产销平衡且产品的需求函数为p x 501000-=,这里x 为产品
的产量,
p 为价格。试建立这一问题的数学模型,并分析该厂生产
多少单位产品时,所获利润最大?最大利润是多少?