高中数学《几何概型》学案2 新人教B版必修3史同茂

几何概型

学习目标：

1. 了解几何概型的概念及基本特点；

2. 掌握几何概型中概率的计算公式；

3. 会进行简单的几何概率计算．

课内探究：

试验１．取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断． 问题：剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？.

分析：从每一位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳上的任意一

点．记事件A =＂剪得两段的长都不小于1m ＂．

把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时， 事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的 ，

于是事件A 发生的概率． ()P A =

试验２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ．运动员在70m 外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的． 问题：射中黄心的概率为多少？

分析：射中靶面上每一点都是一个基本事件,点可以是靶面直径为122cm 的圆内的任一点．

在这两个问题中，虽然类似于古典概型的＂等可能性＂,但是基本事件有无限多个， 显然不能用古典概型的方法求解．那么, 怎么求解?

记事件B

=＂射中黄心＂为，由于中靶心随机地落在面积为22

11224cm π⨯⨯的大圆

内，而当中靶点落在面积为22

1

12.24cm π⨯⨯的黄心内时，事件B 发生，

于是事件B 发生的概率()P B =

=

．

重点难点：

1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何

区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发 生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段， 平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．

2.几何概型的基本特点：

（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； （２）每个基本事件出现的可能性相等．

3.几何概型的概率公式：在区域D 中随机地取一点, 记事件A =＂该点落在其内部一个

区域d 内＂，则事件A 发生的概率

()d P A D =

的测度的测度

= A 构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

．

说明：（１）D 的测度不为0；

（２）其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段,平面图形,立体图形时， 相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积． （３） 区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．

典例分析：

例1在区间[1，3]上任意取一数，则这个数不小于1.5的概率是多少？

跟踪训练1. 两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离

都大于2 m 的概率是________.

例2. 如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是

________.

跟踪训练2.

如下图，在一个边长为a 、b （a ＞b ＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为31

a

与

2

1

a ，高为

b ，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________. a

a a b

1123

例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，

假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？

跟踪训练3.

在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，

则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？

当堂检测

1. 如下图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线落在∠xOT 内的概率是

________.

2. 如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为2

1

的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为

_________.

3. 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，

求此人等车时间不多于10分钟的概率．

4. 在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率.

5. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率.

6、如图，在三角形ABC 中，M 是BC 的中点.向三角形ABC 内随机投一粒米，则米粒落在三角形ABM 内的概率是多少？

7. 如图，在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm 、4cm 、6cm.某人站在3m 外向此板投镖，设镖击中线上或没有击中都不算，可重投.问：

(Ⅰ)投中大圆的概率是多少？ (Ⅱ)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ (Ⅲ)投中大圆之外的概率是多少？

C A

B