基于数学形态学的图像边缘检测

第27卷　第5期 武汉理工大学学报・信息与管理工程版 Vol .27No .52005年10月 JOURNAL OFWUT (I N FORMATI O N &MANAGE MENT ENGI N EER I N G ) Oct .2005文章编号:1007-144X (2005)05-0025-03

收稿日期:2005-05-15.

作者简介:雷艳敏(1980-),女,河南濮阳人,武汉理工大学信息工程学院硕士研究生.基金项目:湖北省自然科学基金资助项目(2002AB041).

基于数学形态学的图像边缘检测

雷艳敏,黄秋元

(武汉理工大学信息工程学院,湖北武汉430070)

摘　要:图像边缘检测通常是以类似于素描图的图像表达出物体的要素和特征,其任务是使图像边缘准确定位和抑制噪声。分析了两种基于数学形态学的边缘检测技术,即基于多尺度形态梯度的边缘检测和基于形态学多级平均的图像边缘检测,并对其进行了理论分析和比较,得出了相应结论。关键词:边缘检测;图像处理;数学形态学中图法分类号:T N911.73 文献标识码:A

1　引　言

边缘是图像中灰度变化剧烈的地方,在数字图像处理和分析中具有重要的作用,但是到目前为止,还没有关于边缘精确且被广泛承认的数字

定义[1]

。现有的边缘检测方法是以一定的图像为处理对象,没有一个统一适用的方法。传统的边缘检测方法是基于空间运算的,借助空域微分算子进行,通过将其模板与图像卷积完成,根据模板的大小和元素值的不同有不同的算子。这些空域边缘检测算子对噪声都比较敏感并且常常会在检测边缘的同时加强噪声。

数学形态学的图像处理是应用具有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的对应形状,以达到对图像分析和识别的目的。数学形态学对信号的处理具有直观上的简单性和数学上的严谨性,在描述信号形态特征上具有独特的优势。因而,将数学形态学用于边缘检测,既能有效地滤除噪声,又可保留图像中的原有细节信息,是边缘检测技术的一个重大突破。

2　边缘检测

图像边缘表达图像的基本形状,表示了信号

的突变,包含图像的主要特征信息。因此,图像边缘信息的提取对于图像处理非常重要。图像边缘检测的任务就是确定和提取边缘信息,使边缘精确定位和噪声被抑制。

一般说来,对检测出的边缘有以下几个要求:①边缘的定位精度要高,不发生边缘漂移;②对不

同尺度的边缘都有良好的响应并尽量减少漏检;③对噪声不敏感,不致因噪声造成虚假检测;④检测灵敏度受边缘方向影响小。

3　基于数学形态学的边缘检测

形态学图像处理是以几何学为基础的,它着重研究图像的集合结构。数学形态学边缘检测的基本思想是对图像用一定的结构元素进行操作后,与原图像相减。在边缘检测的过程中,还要考虑边缘的连通性。

数学形态学是在集合论的基础上发展起来的。数学形态学基于集合的观点非常重要,这也决定了它的运算必须由集合运算(并、交、补)来定义,所有的图像都必须以合理的方式转换为集合。数学形态学用具有一定结构和特征的结构元素(实际上也是一个集合)去量度图像中的形态,进而解决问题。从集合论的角度来看,数学形态学包含了从一个集合转换到另外一个集合的运算方法。这种转换的目的是要找到原始集合的特定集合结构,而转换后的集合包含了这种特定结构的信息。当然,这种转换是靠具有一定特征的结构元素去实现的,因此得到的结果与结构元素的特性有关。

3.1　形态学两种基本变换

数学形态学定义了两种基本的变换,即腐蚀(Er osi on )与膨胀(D ilati on ),形态学的其他运算都

是由这两种基本运算复合而成的。腐蚀和膨胀变换的定义:

武汉理工大学学报・信息与管理工程版 2005年10月

设一幅灰度图像F=f(m,n),(m,n)∈R

2

,其中(m,n)为图像上像素的坐标;f(m,n)为(m,n)处的灰度值。B(i,j)为结构元素集合,B(i,j)为B的关于原点的对称集合,B(i,j)为B平移向量(i,j)后的集合,灰度图像的腐蚀和膨胀的定义如下:

(1)F被B腐蚀。

E=F B={(i,j)|B(i,j)ΑF}(1)其几何意义为满足结构元素B平移向量(i,j)后成为F的子集的所有向量(i,j)的集合。

(2)F被B膨胀。

E=F B={(i,j)|F I B(i,j)≠<}(2)其几何意义为满足结构元素B平移向量(i,j)后与F不相交的所有向量(i,j)的集合。

为了便于对数字图像进行计算机处理,灰度图像中的腐蚀和膨胀运算常采用如下的另一种定义:设f(m,n)为图像F在(m,n)处的灰度值,B 为结构元素,B(i,j)为它在(i,j)处的值,则

(1)当且仅当下式成立时F被B腐蚀。

F e B(m,n)=m in

B(i,j)

[f(m+i,n+j)-B(i,j)+1]

(3)

(2)当且仅当下式成立时F被B膨胀。

F B(m,n)=m ax

B(i,j)

[f(m-i,n-j)-B(i,j)+1]

(4) 腐蚀和膨胀是2种基本形态运算,由此又可以定义开、闭、闭-开和开-闭等复合形态运算。

①灰度形态开:

F o B=(F B) B(5)

②灰度形态闭:

F・B=(F B)o B(6) 其中开、闭运算中的膨胀和腐蚀采用相同结构元素。

腐蚀是一种收缩变换,变换使整幅图像的灰度值降低;膨胀是一种扩张变换,变换使整幅图像的灰度值提高,两者都对灰度变化较大的边缘较敏感。腐蚀表示对图像内部做滤波处理,膨胀表示对图像外部做滤波处理。开和闭具有去除图像中“尖峰”和“凹谷”的作用,所以在利用形态运算提取图像边缘的同时,能够去除图像中的噪声,尤其是对脉冲噪声去除效果更佳[2]。

3.2　基于多尺度形态梯度的边缘检测

设灰度膨胀边缘检测算子:C

1

=(F B)-F;灰度腐蚀边缘检测算子:C2=F-(F e B);灰度形态梯度边缘检测算子:G(F)=(F B)-(F e B)=C1+C2。这里C1、C2、C3分别代表灰度膨胀、灰度腐蚀、灰度形态梯度。以上算子称作单尺

度形态学算子。

虽然许多梯度算子和边缘检测算法都建立在阶跃边缘模型之上,但在自然图像中每一边缘都在不同程度上被模糊。这里将模糊边缘用斜坡边缘来建模,并将边缘两边像素灰度之差称作边缘高度。

单尺度形态梯度算子G(F)=(F B)-(F B)的性能取决于结构元素B的大小,如果B足够大,则梯度算子的输出等于边缘高度。但是大的结构元素可能造成边缘间的相互影响,从而导致梯度极大值和边缘的不一致;若结构元素过小,则梯度算子虽然具有高空间分辨率,但对斜坡边缘会产生一个很小的输出结果。为了综合两者的优点,有关文献采用多尺度形态梯度算法。

设g

i

,0≤i≤n为一组多尺度形态梯度算子, g i的大小为(2i+1)×(2i+1)p ixel,则多尺度梯度定义如下:

MG(F)=

1

n

×∑

n

i=1

[((F +g i)-(F g i)) g i-1]

(7)

假设处理(k×k)p ixel图像,设g

i

取n=1,2, 3,设g0={(0,0)},g1={(0,-1),(0,0),(0, 1)},g2={(-1,0),(0,-1),(0,0),(1,0),(0, 1)},g3={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(-1,1),(1,0),(-1,1),(0,

1),(1,1)}。令G i[((F g i)-(F g i))

g i-1],i=1,2,3,取形态梯度检测算子GF=m in {G1,G2,G3}。在保持原形态梯度算子的优点,利用大小不同的结构元素提取图像边缘的特征,将各种不同尺寸下的边缘图像结合起来的算法步骤如下:

(1)用不同尺度大小的结构元素分别检测出原始图像的边缘信息;

(2)用多尺度合成算法得到新的边缘点。

采用多尺度结构元素定义:ng=g g g…, n次膨胀。n为尺度参数,是一个正整数,那么在

尺度n下,结构元素分别为ng

1

,ng2,ng3,g n i= [((F ng i)-(F ng i)) ng i-1],则GF N=m in {G n1,G n2,G n3}。步骤(2)中,将步骤(1)得到的各个尺度下的图像进行合成F=6

l

n=k

w G F n,从而使计算简化。

3.3　基于形态学多级平均的图像边缘检测

图像针对某一结构元素分为A、B2路进行处

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