弹性力学(2)讲义版

弹性力学第二章(ding)07-xin

zx=0 zy=0-----γzx=0, γzy=0 x y γxy 通常不为零，且只是x y的函数。物体处于平面应变状态。
O

x
y
思考题？？？

空间问题转化为平面问题的条件？试述两类平面问题z面上的应力情况？平面应力问题z面上的三个应力z zx zy是否精确为零？平面应变问题z面上的两个应力 zx zy是否精确为零？平面应变问题的位移和应变？
Chapter 2 Theory of Plane Problems 第二章：平面问题的理论

2.1 Plane stress and plane strain 平面应力问题与平面应变问题 2.2 Differential equations of equilibrium 平衡微分方程 2.3 Stress at a point. Principal stresses 一点的应力，主应力 2.4 Geometrical equations. Rigid-body displacements 几何方程，刚体位移 2.5 Physical equations. 物理方程

w=0------z=0
zx=0 zy=0---γzx=0, γzy=0 (x y γxy) ≠0 functions of x and y only The body is said to be in a plane strain condition.

w=0-------z=0

z向运动受限制，故：w=0 u v 通常不为零，且只是x y的函数。平面位移问题
O x
y
7. Stresses for plane strain problem 平面应变问题的应力

弹性力学讲义(徐芝纶版)-知识归纳整理

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弹性力学第二章平面问题的基本理论

体位移。
如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物体发生了变形。这种变形一方面表现在微线段长度的变化；另一方面表现在微线段间夹角的变化。因此，物体变形程度用形变分量（ε，γ）来描述。
0
A
B
0'
A'
B'
二、几何方程
几何方程——描述任一点的微分线段上形变分量与位移分量之间的关系。
P点的形变分量与位移分量的关系？
cos(900 1 ) cos1
m1 l1
由(a)式得：
tan1
1 x xy
设 σ2与 x 轴的夹角为α2
（b）
ta n 2
s i n 2 cos2
cos(900 2 ) cos2
m2 l2
由(a)式得：ta n 2
xy 2
y
tan1
1 x xy
ta n 2
xy 2 y
由式： σ1 +σ2 = σy +σx
作用的等厚度薄板，若板边上只受x、y方向的面力或约束且不
沿厚度变化时，其状态接近平面应力状态还是应变状态？
解：由于板面上处处受法向约束，故
z 0, z 0
不受切向面力作用，则
zx 0, zy 0,
故该薄板不属于平面应力状态。
ox y
0z y
zx 0, zy 0,
可见，其应变分量只有εx ，εy ，γxy 存在，且仅为x、y的函数，所以其状态接近平面应变状态。
n l 1 l 2 ( 2 1 )
l 2 l 4 ( 2 1 )
1 4
(1 2
l2
)2
(
2
1
)
n
1 4

弹性力学-02-2

产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：说明： 1.方程表示了各向同性材料的应力与应变的关系，称为广义 Hooke定义。也称为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
二. 体积应变与体积弹性模量
令：则：令：
sm称为平均应力;
q 称为体积应变
三. 物理方程的其他表示形式
应力分量：
可表示为：
缩写为：同理，应变分量可表示为：
向量
表示为
三阶线性方程组
可表示为缩写为
2.爱因斯坦求和约定
在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为哑指标（简称哑标）例
求和指标
j求和指标
i非大于1的指标，求和约定无效。例：
2. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚体位移受到约束，则位移解也是唯一的。无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。
3.圣维南原理:
提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可忽略不计。提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计。
例题：（习题2-11）
已知位移分量由几何方程得

弹性力学第二章应力状态理论(2015)

内力：由于外力作用，在构件内各部分之间引起的 “附加”的相互作用力。内力的特点： 1. 随外力的变化而变化，是“附加内力”。 2. 内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。内力的求法：截面法。
F5
F1 F2
m

F4

F5 F3
F4
m
F1 F2

F3
2-2 应力和一点的应力状态
1.定义：物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力。为了求出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分，其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力系。单位面积上的分布力即为应力。 2.性质：在物体内的某一点，不同截面上的应力是不同的。
y
体力： Fx，Fy，Fz 均匀分布应力分量：位置坐标的函数
应力状态理论
z C
由
xy b
a
y
yx yz P zy
x xz
zx z
B
o x
A
dy ( yz yz dy )dxdz y 2 zy dz ( zy zy dz )dxdy 0 y 2 同理： zx xz , xy yx
x
zy
z面和x面上的应力分量的表示如图 2-9所示。
y
图2-9
z
z
正负规定:
zy yz
yx
zx
正面:截面的外法线方向和坐标轴正向一致,反 y 之为负面。
y
x
图2-10
正面上的应力沿坐标正向或负面上的应力沿坐标负向为正。
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
注意：
弹性力学
材料力学图2-11

弹性力学2

弹性力学简明教程第一章绪论1.弹性力学：又称为弹性理论，是固体力学的一个分支，其中研究弹性体由于受到外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

2. 作用于物体的外力可以分为两种：一种是分布在物体表面的作用力，例如一个物体对另一物体作用的压力，象水压力等，称做面力；另一种是分布在物体体积内的力，象重力、磁力或运动物体的惯性力等，称为体力。

3.内力：物体本身不同部分之间相互作用的力。

4.弹性力学的基本假定：1假定物体处处连续；2假定物体是完全弹性的；3假定物体是均匀的；4假定物体是各向同性的；5假定位移和形变很小。

（满足前四个为理想弹性体）第二章平面问题的基本理论一、弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为。

二、弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为。

三、平面应力问题：（1）等厚度的薄板；（2）体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；（3）面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；（4）约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。

四、平面应变问题：（1）很长的常截面柱体；（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。

五、挡土墙和很长的管道、隧洞问题，是很接近于平面应变问题。

六、平衡微分方程：七、边界条件－－表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。

（分为位移边界条件、应力边界条件、混合边界条件）八、圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将著的改变，但远处所受的影响可以不计。

九、静力等效─指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同；十、圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。

弹性力学-02-1

xy
z

2 2
xy
w z

连续性方程

连续性方程是单连体小变形连续的必要和充分条件。
如应变分量满足连续性方程，可保证位移分量存在。
z2 y2 yz
x

yz
x

zx
y

xy
z

2 2
yz
u x

y

yz
x

zx
y

xy
z

2
2 zx

v y

z

yz
x

zx
y
如已知物体中每一点的位移,则受载物体的位置和形状均可确定.即位移与应变之间存在一定的关系.
描述位移与应变之间关系的方程称为几何方程
一.几何方程
C
C’
P
B
B’
P’
A A’
PA=dx PB=dy PC=dz
研究在oxy平面内投影的变形，
O
一点的变形线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；
考察P点邻域内线段的变形：
（2）当位移分量u、v 、 w已知，则6个应变分量可完全确定；反之，已知6个应变分量，不能确定位移分量。（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）
（3）几何方程是纯几何变形分析结果，不涉及产生运动的原因和材料的物理性能，对一切连续介质力学问题都适用。
二.连续性方程
应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示；已知位移分量,可通过求偏导数得到6个应变分量；

弹性力学ppt课件

应变定义
物体在外力作用下产生的形变，表示物体尺寸和形状的变化。
应力与应变关系
应力与应变之间存在一一对应关系，通过本构方程来描述。
广义胡克定律及应用
1 2
广义胡克定律又称作弹性本构关系，表示应力与应变之间的线性关系。
广义胡克定律的应用用于计算弹性体在复杂应力状态下的应力和应变，是弹性力学中的重要基础。
弹性力学ppt课件
contents
目录
• 弹性力学概述 • 弹性力学基本原理 • 线性弹性力学问题求解方法 • 非线性弹性力学问题简介 • 弹性力学实验方法与技术应用 • 弹性力学在相关领域拓展应用
01 弹性力学概述
弹性力学定义与研究对象
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，从而在变形与外力之间建立一定关系的科学。
有限元法在弹性力学中应用
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，每个单元用简单的函数近似表示，通过变分原理得到有限元方程。
有限元法求解过程
包括网格划分、单元分析、整体分析、边界条件处理和求解有限元方程等步骤。
有限元法的优缺点
有限元法可以求解复杂几何形状、非均质材料和非线性问题，但存在网格划分和计算精度等问题。
布。
弹性模量和泊松比测定实验
拉伸法
通过对标准试件进行拉伸实验，测量试件的应力和应变，从而计算得到弹性模量和泊松比。
压缩法
通过对标准试件进行压缩实验，测量试件的应力和应变，进而计算弹性模量和泊松比，适用于脆性材料的测量。
弯曲法
通过对梁式试件进行三点或四点弯曲实验，测量试件的挠度和应力，从而推算出弹性模量，特别适用于细长构件的测量。

弹性力学ppt课件(2024)

建立一维拉伸或压缩问题的数学模型
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载条件下的力学行为。对于非金属材料、高温或动载条件下的情况，需考虑其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
7
02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基本方程
选择适当的坐标系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确定位移边界条件、应力边界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值法、实验法）的结果进行比较，验证解析解的正确性和有效性。
2024/1/25
9
数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立

弹性力学PPT课件

(2) z 0
z

E
( x

y)
（2）平面应变问题的物理方程
由于平面应变问题中 z yz zx 0
x

1 E
x
( x
z)
由式（2-13）第三式，得 z ( x y )
x

1 2
E
(
x

1

y)
y
zx
2
z t 0 2
沿 z 轴方向不变。可认为整个薄板的
zy z t 0 各点都有：
z 0
zx 0 zy 0
y
a
y
2
由剪应力互等定理，有
zx
xz

0
zy
yz

0 y
结论：平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x (x, y) y y (x, y) xy yx xy (x, y)
§2-2 平衡微分方程
基本思路：过弹性体内任意一点P截取一微小的正平行六面体
（微分体）把应力（内力）和体力（外力）作用在该微
分体上
考虑其平衡，列出力的平衡条件
得到平
衡微分方程
2.2 平衡微分方程
x 平面问题的平衡微分方程： O
注：这xyxx里xxy 用y了x小yyyxy变形YX假定00、（连2续-2）性假定yyx和均匀xyy性x xdP假yBy定Dy。YyXyCxAyy xxdyyxxxxydxdx
0
2u
热传导方程（热力学、扩散问题）：
x
2

2u y 2