河北省衡水市冀州中学2017-2018学年高三复习班上学期期中考试数学(理)试题B卷 Word版含答案
【真题】2018年河北省衡水市安平中学高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2017-2018学年河北省衡水市安平中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B 等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）若复数，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．3．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．24．（5分）已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B．C．D．5．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．67．（5分）已知点O是边长为1的等边△ABC的外心，则（+）•（+）等于（）A．B．C．D．8．（5分）在等比数列{a n}中，a5=，4a4+a6=2，若a m，a n满足=4a1，则+的最小值是（）A．B．2 C．D．9．（5分）如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6+B．8+C．4+D．4+10．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．2111．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，若该棱锥的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于（）A．5πB．20πC．8πD．16π12．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为．14．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了．15．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是．16．（5分）已知平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线AB1，且平面α⊥平面C1BD，平面α∩平面ADD1A1=AS，则∠A1AS的正切值为．三、解答题（本大题共6小题，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，PA=3，AD=2，AB=4，∠ABC=60°．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）E是侧棱PB上一点，记=λ（0＜λ＜1），是否存在实数λ，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d≠0，S7=35，且a2，a5，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若T n为数列{}的前n项和，且存在n∈N*，使得T n﹣λa n≥0成立，+1求实数λ的取值范围．20．（12分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=．（1）求sin∠C的值；（2）若△ABD的面积为7，求AB的长．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在[1，a]上的最大值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣bx，在（1）的条件下，若函数g（x）恰有3个零点，求b的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+b（a，b∈R）有两个不同的零点x1，x2．（1）求f（x）的最值；（2）证明：．2017-2018学年河北省衡水市安平中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B 等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：C．2．（5分）若复数，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【解答】解：∵=，∴z的虚部为．故选：D．3．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．2【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z=0+2×1=2．最大值故选：D．4．（5分）已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数=1+，∴f（x）+f（﹣x）=2，∵，∴f（﹣a）=，故选：C．5．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．7．（5分）已知点O是边长为1的等边△ABC的外心，则（+）•（+）等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，取AB，AC的中点分别为D，E．则，．OD===OE，∠DOE=120°．∴（+）•（+）==×cos120°=﹣．故选：D．8．（5分）在等比数列{a n}中，a5=，4a4+a6=2，若a m，a n满足=4a1，则+的最小值是（）A．B．2 C．D．【解答】解：设首项是a1，公比是q，则由a5=，4a4+a6=2，得a1q4=①，4a1q3+a1q5=2②，由①②解得：q=2，而a m，a n满足=4a1，则q m+n﹣2=16=24，故m+n=6，+=1，故+=（+）（+）=+++≥+2=+=，当且仅当n=2m时“=”成立，故选：A．9．（5分）如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6+B．8+C．4+D．4+【解答】解：由三视图可知几何体为两个半圆锥与一个长方体的组合体．半圆锥的底面半径r=1，高为2，长方体的棱长为1，2，2，∴几何体的体积V=×2+1×2×2=+4．故选：C．10．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4t+），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（4t+）≤17﹣4=13，当且仅当4t=即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，若该棱锥的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于（）A．5πB．20πC．8πD．16π【解答】解：由题意，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，余弦定理可得：cos∠BAC=解得：BC=可得S ABC=AB•ACsin60°=．△ABC外接圆的半径r，则2r=∴r=1∵PA⊥平面ABC，棱锥的体积为，那么：PA=h==4．可得：球的半径R==．那么球的表面积S=4πR2=20π．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．【解答】解：根据题意，函数f（x）=的图象如图：令g（x）=|+a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．14．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了96里．【解答】解：设他第一天走a1里，由题意{a n}是公比为的等比数列，由等比数列前n项和公式得：=378，解得a1=192，∴．故答案为：96里．15．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是（0，] ．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）∴，∴0＜a≤故答案为：（0，]．16．（5分）已知平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线AB1，且平面α⊥平面C1BD，平面α∩平面ADD1A1=AS，则∠A1AS的正切值为．【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD⊥AC1，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，∴BD⊥平面AA1C，又A1C⊂平面AA1C，∴A1C⊥BD，同理，A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD，以A1A为侧棱补作一个正方体AEFG﹣A1PQR，使得侧面AQRA1与平面ADD1A1共面，连结AQ，则AQ∥A1C，连结B1Q，交A1R于点S，则侧面AQS即为平面α，AS即为平面α与平面ADD1A1的交线，∵AQ∥A1C，∴AQ⊥平面C1BD，又AQ⊂α，∴平面α⊥平面C1BD，∴∠A1AS的正切值tan∠A1AS=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．【解答】解：（1）由已知．利用正弦定理得：，整理得：，即：，由于：sinB≠0，0＜A＜π，则：cosA=，解得：A=．（2），=，=，=，由于：A=，解得：，所以：，求得：，则：，解得：，即：．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，PA=3，AD=2，AB=4，∠ABC=60°．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）E是侧棱PB上一点，记=λ（0＜λ＜1），是否存在实数λ，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，在三角形ABC中，由AB=4，BC=2，∠ABC=60°，得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=16+4﹣8=12．∴AC2+BC2=12+4=16=AB2，即AB⊥BC．又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；（2）解：以A为原点，分别以AD，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵PA=3，AD=2，AC=，∴A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，3），B（﹣2，，0）．设E（x，y，z），由=λ，得．∴（x，y，z﹣3）=λ（﹣2，，﹣3）=（﹣2λ，λ，﹣3λ），∴x=﹣2λ，y=，z=3﹣3λ．则E（﹣2λ，，3﹣3λ）．，=（﹣2λ，，3﹣3λ），．设平面ADE的一个法向量为，由，取z1=1，得；设平面ADP的一个法向量为，由|cos＜＞|=||=||=，得5λ2﹣18λ+9=0，解得λ=3（舍）或λ=．∴存在实数，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60°．19．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d≠0，S7=35，且a2，a5，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；≥0成立，（2）若T n为数列{}的前n项和，且存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：，d≠0，化为，解得，∴a n=2+（n﹣1）=n+1．（2）==．∴T n=++…+=．≥0，即﹣λ（n+2）≥0．化为：λ≤．不等式T n﹣λa n+1∵=≤=．当且仅当n=2时取等号．≥0成立，∵存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1∴实数λ的取值范围是．20．（12分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=．（1）求sin∠C的值；（2）若△ABD的面积为7，求AB的长．【解答】解：（1）因为，…（2分）又因为，所以：=，…（6分）（2）在△ADC中，由正弦定理得，故，…（8分），…（10分）在△ADB中，由余弦定理得：，所以，AB=．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在[1，a]上的最大值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣bx，在（1）的条件下，若函数g（x）恰有3个零点，求b的取值范围．【解答】解：（1）依题意，f′（﹣）=0，即+a﹣3=0，∴a=4．∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x．令f′（x）=3x2﹣8x﹣3=0，得x1=﹣，x2=3．则当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=﹣6．（2）函数g（x）有3个零点⇔方程f（x）﹣bx=0有3个不相等的实根．即方程x3﹣4x2﹣3x=bx有3个不等实根．∵x=0是其中一个根，∴只需满足方程x2﹣4x﹣3﹣b=0有两个非零不等实根．∴，∴b＞﹣7且b≠﹣3，故实数b的取值范围是b＞﹣7且b≠﹣3．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+b（a，b∈R）有两个不同的零点x1，x2．（1）求f（x）的最值；（2）证明：．【解答】解：（1），∵f（x）有两个不同的零点，∴f（x）在（0，+∞）内必不单调，故a＞0，此时，∴f（x）在上单增，上单减，∴，无最小值．（2）证明：由题知，两式相减得，即，故要证，即证，即证，不妨设x1＜x2，令，则只需证，设，则，设，则，∴h（t）在（0，1）上单减，∴h（t）＞h（1）=0，∴g（t）在（0，1）上单增，∴g（t）＞g（1）=0，即，在t∈（0，1）时恒成立，原不等式得证．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u=为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
河北省衡水市冀州中学届高三数学上学期期中试题B卷文(复习班)【含答案】
河北冀州中学2015—2016学年度上学期期中考试高三年级高三文科数学试题考试时间150分钟 试题分数120分第I 卷一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且x 2＋y 2=4}，集合B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x －2}， 则A ∩ B 的元素个数为（ ） A. 3B. 2C. 1D. 02.已知,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不一定能成立的是( )Ａ．c b a a < Ｂ．0b a c -> Ｃ．22b ac c> Ｄ．0a c ac -< 3．命题p ：若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．p ⌝为假命题 C ．“p 或q ”是假命题 D ．q ⌝为假命题4.设数列{a n }的前n 项和为S n ,点（n,n S n）（n ∈N *）均在函数y ＝12x ＋12的图象上,则a 2015＝（ ）A ．2014B ．2015C ．1012D ．1013 5. 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( ) A ．－233 B ．±233C ．±1D ．－16．等比数列}{n a 的前321,2,4,a a a S n n 且项和为成等差数列，若1a =1，则4S 为（ ） A.7 B.8 C. 15 D. 167. 如图， AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，则=⋅OP AP （ ）A. 81-B. 1-C.41-D.21-8．已知,αβ是两个不同的平面，则“平面//α平面β”成立的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线l ，,//l l αβ⊂ B. 存在一条直线l ，,l l αβ⊥⊥ C. 存在一个平面γ，,γαγβ⊥⊥ D ．存在一个平面γ，//,γαγβ⊥ 9.数列{}n a 满足11112,1n n n a a a a ++-==+，其前n 项积为n T ，则2014T =（ ）A. 6-B. 6C.16 D. 16- AOCBP10. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r =（ ） A.1 B.2 C.4 D.811. 已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a14a =则14m n+的最小值为（ ） A ．53 B ．256 C ． 32D ．不存在12.已知不等式组0,x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P ,作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ,当APB ∠最大时, PA PB ⋅的值为（ ）A.2B.52 C. 32D.3 第Ⅱ卷二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上). 13. 如果不等式1x a -<成立的充分非必要条件是1322x <<，则实数a 的取值范围是 .14.数列{a n }的通项公式a n ＝n sinn π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 015＝__________.15.已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值等于__________．16.已知||2||0a b =≠，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则向量,a b 的夹角范围是______________三、解答题（本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ≥b ，sin A ＋3cos A ＝2sin B ． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求a ＋bc的最大值．18．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 中，31=a ，前n 项和为n S )(*N n ∈，当2≥n 时，=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n T 是数列{}n b 的前n111,n n a a +的等比中项，求n T .19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥DC ，DC=2AB ，AP=AD ， PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，E 为PD 的中点．求证： （Ⅰ）AE ∥平面PBC ； （Ⅱ）PD ⊥平面ACE ．20．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )()f x x x x m m R =-+∈，将()y f x =的图像向左平移4π个单位后得到()y g x =的图像，且()y g x =在区间[0,]4π（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若3()14g B =，且2a c +=，求ABC ∆的周长l 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥ ， 12AB AA =，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点．（Ⅰ）若DE ∥平面11A MC ，求CEEB； （Ⅱ）平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．22. （本小题满分12分）将函数111()sinsin (2)sin (3)442f x x x x ππ=⋅+⋅+在区间(0,)+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{}*()n a n N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的表达式．期中考试高三年级高三文科数学试题答案A 卷 CDBAC DBCDB AB B 卷 BDCBD CABAB CC13. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 14. 1007； 15.－1 16. (,]3ππ17.解：（Ⅰ）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋ π 3)＝2sin B ，则sin (A ＋ π3)＝sin B ． (2)分因为0＜A ，B ＜π，又a ≥b 进而A ≥B ， 所以A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π3．……………………………4分（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得a ＋bc ＝sin A ＋sin B sin C ＝23[sin A ＋sin (A ＋ π 3)]＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π 6)．…8分 323ππ<≤A ，当A ＝ π3时，a ＋b c 取最大值2．……………………………10分18.解析：（Ⅰ）n s s -=d ∴===数列公差(1)n =-=，23n s n =即………………3分 163(2)n n n a s s n n -∴=-=-≥………………………………………4分1n =当时，上式也成立*63()n a n n N ∴=-∈……………5分（Ⅱ）111,n n nb a a +是的等比中项，111(63)(63)n n n b a a n n +∴==-+111()66363n n =--+ …………………8分 1111111()()...()6399156363n T n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦……………10分 111()6363n =-+9(21)n n =+ …………………12分19.解答： 证明：（Ⅰ）取PC 中点F ，连接EF ，BF ， ∵E 为PD 中点，∴EF ∥DC 且EF=．∵AB ∥DC 且，∴EF ∥AB 且EF=AB ．∴四边形ABFE 为平行四边形．∴AE ∥BF ．∵AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ，∴AE ∥平面PBC ．……………………6分 （Ⅱ）∵PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，PB ∩BD=B ，∴AC ⊥平面PBD ． ∵PD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥PD ． ∵AP=AD ，E 为PD 的中点，∴PD ⊥AE ．∵AE ∩AC=A ，∴PD ⊥平面ACE ．……………………12分20. 解：（Ⅰ）由题舍得()sin2cos 21f x x x m =--+)14x m π=--+())]144g x x m ππ∴=+--+=)14x m π+-+因为当[0,]4x π∈时，32[,]444x πππ+∈，所以由已知得242x ππ+=，即8x π=时，max ()1g x m =-=所以1m =。
【河北省衡水市冀州中学】2017届高三上学期12月月考(第四次)数学(理科)试卷
河北省衡水市冀州中学2017届高三上学期12月月考（第四次）数学8．已知变量x ，y 满足条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点()3,0处取得最大值，则a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．已知函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则要得到其导函数()y f x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ） A ．向右平移π2个单位 B ．向左平移π2个单位 C ．向右平移2π3个单位 D ．左平移2π3个单位 10.已知函数()()21ln 11f x x x=+-+，当()()21f x f x >-）时，x 的取值范围是（ ） A ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 11．1F ，2F 是双曲线()222210,b 0x y a a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A ，B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率（ ）A ．4B ．7C ．233D ．312．定义在R 上的函数()f x 满足：()()'1f x f x >-，()06f =，()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()e e 5x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),01,-∞+∞UD ．()3,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线()222210,b 0x y a a b-=>>的一条渐近线经过点()3,6，则该渐近线与圆()22216x y -+=相交所得的弦长为___________．14．过点()1,1A 作曲线()20y x x =≥的切线，设该切线与曲线及x 轴所围图形的面积为S 则S =___________．15．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生填报专业志愿的方法有__________种．16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()2a c BA BC cCB CA -=u u u r u u u r u u u r u u u r g g 则角B 的大小为___________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．(本小题满分12分) 已知函数()()πsin 0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）把函数()y f x =的图象向右平移π4个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()()()122h x ax g x g x =+-在(),-∞+∞单调递增，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知两数列()n a ，()n b 满足()*13n n n b a n =+⊂N ，11310b a =，其中()n a 是公差大于零的等差数列，且2a ，7a ，21b -成等比数列．（Ⅰ）求数列()n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列()n b 的前n 项和n S ．19．(本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∕∕，π2BAD ∠=，1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -．(Ⅰ)证明：1CD AOC ⊥平面；。
【河北省衡水市冀州中学】2017届高三上学期11月月考(第三次)数学(理科)试卷
河北省衡水市冀州中学2017届高三上学期11月月考（第三次）数学A ．1142a b +r rB ．1124a b +r rC ．2133a b +r rD ．1233a b +r r6．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）A ．32πB ．24πC ．16πD ．8π7．已知函数()2ln 1f x x x =-+与()2g x x =有n 个交点，则它们的横坐标之和为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．88．过点()3,2作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．2230x y +-=B ．230x y +-=C ．230x y +-=D ．2230x y ++=9．南北朝时，在466-484年，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给。
”则每一等人比下一等人多得金（ ）斤A ．578 B ．778 C ．326 D ．117810．,αβ是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题①如果,,m n m n αβ⊥⊥∥，那么αβ⊥ ②如果,m n αα⊥∥，那么m n ⊥③如果,m αβα⊂∥，那么m β∥④如果,m n αβ∥∥，那么与所成的角和与所成的角相等其中正确的命题为（ ） A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②④11．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．2312．若过点(),p a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数a 的 取值范围是 ( ) A ．(),e -∞B ．()e,+∞C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上. 13．已知等比数列{}n a 为递增数列，2a =-，且()21310n n n a a a +++=，则公比q ＝_______m αn β正视图侧视图 俯视图14．已知实数x ，y 满足0401x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最小值是______15．已知曲线2;4c x y =--，直线:6x =若对于点(),0A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r ，则m 的取值范围为________16．定义在R 上奇函数()f x 的周期为2，当01x <<时，()4xf x =，则()512f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17．（本小题12分） 设数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -++++=L ，*n ∈N 。
河北省衡水中学2017—2018学年度第一学期高三第三次调研试题----数学 推荐
衡水中学17—18学年度第一学期第三次调研考试高三年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共2页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、含有三个实数的集合可表示为｛a,1,｝,也可表示为｛a+b,0,a2｝,则的值为（）A . 0B . 1C . -1 D. ±12、已知集合，，则为（）3、定义;称为个正数的“均倒数”。
若数列的前项的“均倒数”为，则数列的通项公式为（）4、已知数列{}中， =，+（n，则数列{}的通项公式为A. B.C. D.5、已知函数在区间[0，1]上是减函数，则实数的取值范围是 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.6、数列的前n项的和，则当时，下列不等式中成立的是 ( )A. B.C. D.7、满足条件的所有集合的个数是（）A．5 B.4 C.3 D.28、对于任意，函数的值恒大于0，则的范围是（）9、已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的图像如图所示，给出下列四个命题①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根，其中正确的命题个数为A.1B.2C.3D.410、设函数，函数的图像与的图像关于直线对称，函数的图像由的图像向左移个单位得到，则为（）A. B. C. D.11、已知为等差数列，为等比数列，且，则的范围是（）12、定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2衡水中学2009-2010学年度第一学期第三次调研考试高三数学试卷卷Ⅱ（非选择题共90分）注意事项：1．答卷Ⅱ前考生务必将自己的姓名、班级、考号填在试卷密封线内规定的地方。
【河北省衡水市冀州中学】2017届高三上学期11月月考(第三次)数学(理科)试卷
16．定义在R上奇函数 的周期为2，当 时， ，则 ________
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
17．（本小题12分）
设数列 满足 ， 。
（1）求数列 的通项公式.
（2）设 ，求数列 的前 项和
A． B． C． D．
10． 是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题
①如果 ，那么 ②如果 ，那么
③如果 ，那么 ④如果 ，那么 与 所成的角和 与 所成的角相等
其中正确的命题为（）
A．②③④B．①②④C．①③④D．①②④
11．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）
3．已知 ，命题 则（）
A．p是假命题，
B．p是假命题，
C．p是真命题，
D．p是真命题，
4．要得到一个奇函数，只需将函数 的图象（）
A．向左平移 个单位B．向右平移 个单位
C．向右平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 个单位D．向左平移 个单位
5．在平行四边形 中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若 ,则 （）
A． B． C． D．
6．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）
A． B． C． D．
7．已知函数 与 有n个交点，则它们的横坐标之和为（）
A．0B．2C．4D．8
8．过点 作圆 的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为（）
A． B． C． D．
9．南北朝时，在466-484年，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给。”则每一等人比下一等人多得金（）斤
2018-2019学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合，集合，则A. B. C. D. 1，【答案】D【解析】解：集合1，2，3，，集合，则1，．故选：D．化简集合A，根据交集的定义写出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2. 已知i为虚数单位，实数x，y满足，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：，，．则．故选：D．利用复数代数形式的乘法运算化简，求出x，y的值，再由复数求模公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3. 如图，已知，，，，则A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，，故选：B．根据向量的三角形法和加减的几何意义即可求出．本题考查了向量的三角形法和向量的数乘运算，属于基础题4. 设，，，，则A. B. C. D.【答案】D 【解析】解：，，，．在R上为增函数，，故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 已知命题p：若且，则；命题q：，使，则下列命题中为真命题的是A. B. ￢ C. ￢ D. ￢￢【答案】A【解析】解：若且，则且，得，即，从而，命题p为真．直线与函数的图象在内有唯一交点，则方程有正数解，即方程有正数解，命题q为真，为真命题．故选：A．利用基本不等式的性质判断p为真命题，由直线与函数的图象在内有唯一交点，可得命题q为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查基本不等式的应用，考查函数零点的判定方法，是中档题．6. 设是公差不为0的等差数列，满足，则的前10项和A. B. C. 0 D. 5【答案】C【解析】解：，化简可得：，即，．，，，，故选：C．，化简可得：，可得，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是A. 2B. 4C.D.【答案】C【解析】解：由三视图可得原几何体如图，底面ABC，平面底面ABC，而，平面PAC，．该几何体的高，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．，，，该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．故选：C．根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．本题考查了由三视图还原原图形，考查了学生的空间想象能力和思维能力．8. 过双曲线C：的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点为坐标原点，则双曲线C的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点为坐标原点，半径，则圆的标准方程为，，，即，则，即，即，即，则，，则双曲线C的方程为，故选：D．根据圆的性质，求出圆心坐标，即求出A的坐标，代入圆的方程进行求解即可．本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径是解决本题的关键．9. 已知过点作曲线C：的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，则切线方程为，切线过点代入得，可得，即方程有两个解，则有可得或．即a的取值范围是．故选：A．设切点为，求得的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入A的坐标，整理为m的二次方程，由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想，以及运算能力，属于中档题．10. 已知，其中，，，，将的图象向左平移个单位得，则的单调递减区间是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，其中，，，，，，．又，的图象的对称轴为，，，，将的图象向左平移个单位得的图象，令，求得，则的单调递减区间是，故选：A．利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得的解析式，利用函数的图象变换规律求得的解析式，利用余弦函数的单调性求得则的单调递减区间．本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．11. 焦点为F的抛物线C：的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为A. 或B.C. 或D.【答案】A【解析】解：过M做MP与准线垂足，垂足为P，则丨丨丨丨，则当取得最大值，则必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，设切线方程为，则，，，，则，则直线方程或，故选：A．由题意可知则当取得最大值，则必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，设直线l的方程，代入抛物线方程，由，考虑求得MA的方程．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题．12. 已知半径为3cm的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于A. 2cmB. 4cmC.D. 24cm【答案】B【解析】解：如图，设四棱锥的底面边长为2a，高为，则底面正方形外接圆的半径为，侧棱长，由射影定理可得：，则四棱锥的体积，则，可得当时，V有最大值，此时，，则底面边长等于4cm．故选：B．由题意画出图形，设四棱锥的底面边长为2a，高为，可得，写出棱锥体积，把a用h表示，再由导数求解得答案．本题考查球内接多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了导数在求最值问题中的应用，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则．其中真命题的序号是______请将所有正确命题的序号都填上【答案】【解析】解：若，，则，，a与c异面都有可能；若，，由公理4得；若，，则，，a与b异面都有可能；若，，则，由课本例题可知．故答案为：．可利用长方体来观察；由空间平行线的传递性可得；垂直同一平面的两直线互相平行．本题考查空间线线和线面的位置关系，考查空间想象力，注意课本例题，有的可当结论用，属于基础题和易错题．14. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为______参考数据：，【答案】24【解析】解：模拟执行程序，可得，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．15. 已知实数x，y满足，若的最大值为5，则正数m的值为______．【答案】2【解析】解：由题意作出实数x，y满足的平面区域，将化为，z相当于直线的纵截距，故结合图象可得，，解得，，；故；故答案为：2．由题意作出其平面区域，将化为，z相当于直线的纵截距，从而解方程可求出m，即可．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．16. 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为根据以上性质，函数的最小值为______．【答案】【解析】解：由两点间的距离公式得为点到点，，的距离之和，即求点到点，，的距离之和的最小值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，如右图，在等腰三角形AMB中，，可得，，容易求得最小值为．故答案为：．由两点距离公式可得表示点到点，，的距离之和，由新定义可得的最小值点即为费马点，由解三角形可得所求最小值．本题考查两点的距离公式的运用，考查新定义的理解和运用，以及运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70分）17. 已知数列为等差数列，首项，公差若，，，，，成等比数列，且，，．求数列的通项公式；设，求和．【答案】解：数列为等差数列，首项，公差．，，，，，成等比数列，且，，．，，，解得或舍，分，分分，分【解析】由已知得，从而，，由此能求出．由，，能求出．本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．18. 如图，在中，BC边上的中线AD长为3，且，．求的值；求及外接圆的面积．【答案】解：在中，，，，由正弦定理，得；，，，，，分为BC中点，，在中，由余弦定理得：，．设外接圆的半径为R，，，外接圆的面积【解析】由正弦定理即可解得的值；先求得，，利用两角和的余弦函数公式可求，由题意可求，利用余弦定理即可求得AC的值，再根据正弦定理求出外接圆的半径，面积即可求出．此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，已知，，于E．求证：；若平面平面ABCD，且，求二面角的余弦值．【答案】证明：连接PE，，，AE是公共边，≌ ，，，，又平面PCE，平面PCE，，平面PCE，又平面PCE，；解：由平面PEC，平面平面ABCD，，EA，EC两两垂直，以E为原点，EA，EC，EP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．，，，，，，则0，，0，，，，，．设平面PCD的法向量为，则，即，令，则，又平面PAD的一个法向量为，设二面角所成的平面角为，则，由图可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为．【解析】连接PE，证明 ≌ ，可得，由，得，由线面垂直的判定可得平面PCE，从而得到；由平面PEC，平面平面ABCD，可得EP，EA，EC两两垂直，以E为原点，EA，EC，EP 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查空间中线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题．20. 已知椭圆C：的左、右焦点分别是E、F，离心率，过点F的直线交椭圆C于A、B两点，的周长为16．求椭圆C的方程；已知O为原点，圆D：与椭圆C交于M、N两点，点P为椭圆C上一动点，若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，求证：为定值．【答案】解：由题意和椭圆的定义得，则，由，解得，则，所以椭圆C的方程为；证明：由条件可知，M，N两点关于x轴对称，设，，则，由题可知，，，所以，．又直线PM的方程为，令得点G的横坐标，同理可得H点的横坐标，所以，即为定值．【解析】利用椭圆的定义可求出a的值，再利用离心率求出c，从而得出b的值，从而求出椭圆方程；先设M、P两点的坐标，再表示处N点的坐标，根据椭圆方程用M、P的纵坐标表示处它们的横坐标，之后利用直线PM和PN的方程求出G和H的横坐标，最后即可求得为定值．本题考查了椭圆的定义和性质，证明题关键在于正确设出点的坐标，利用椭圆方程和直线方程正确表示出点的坐标，属于中档题．21. 已知函数．Ⅰ若函数有零点，求实数a的取值范围；Ⅱ证明：当时，．【答案】解：Ⅰ法1：函数的定义域为．由，得分因为，则时，；时，0'/>．所以函数在上单调递减，在上单调递增分当时，分当，即时，又，则函数有零点分所以实数a的取值范围为分法2：函数的定义域为．由，得分令，则．当时，0'/>；当时，．所以函数在上单调递增，在上单调递减分故时，函数取得最大值分因而函数有零点，则分所以实数a的取值范围为分Ⅱ要证明当时，，即证明当，时，，即分令，则．当时，；当时，0'/>．所以函数在上单调递减，在上单调递增．当时，分于是，当时，分令，则．当时，0'/>；当时，．所以函数在上单调递增，在上单调递减．当时，分于是，当时，分显然，不等式、中的等号不能同时成立分故当时，分【解析】Ⅰ法一：求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出，令，根据函数的单调性求出a的范围即可；Ⅱ问题转化为，令，令，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、考查不等式的证明，是一道综合题．22. 在平面直角坐标系中，曲线：，曲线的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求曲线，的极坐标方程；Ⅱ在极坐标系中，射线与曲线，分别交于A，B两点异于极点，定点，求的面积．【答案】解：Ⅰ曲线：，曲线的极坐标方程为：，---------分曲线的参数方程为为参数．曲线的普通方程为：，---------分，曲线的极坐标方程为---------------分Ⅱ由Ⅰ得：点A的极坐标为，---------分点B的极坐标为，----------分，------------------分点到射线的距离为，--------------------------分的面积为：---------分【解析】Ⅰ由曲线的普通方程能求出曲线的极坐标方程；由曲线的参数方程能求出曲线的普通方程，由此能求出曲线的极坐标方程．Ⅱ点A的极坐标为，点B的极坐标为，从而，点到射线的距离为，由此能求出的面积．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23. 已知函数，．当时，若的最小值为3，求实数a的值；当时，若不等式的解集包含，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4．当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数a的取值范围是．【解析】当时，化简的表达式，利用绝对值的几何意义，求解最小值然后求解a即可．当时，即，通过x的范围，转化去掉绝对值符号，推出a 的范围．本题考查函数的最值的求法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．。
河北省衡水中学2017-2018学年高三上学期期中考试数学文试卷 Word版含解析
2017-2018学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．1﹣2i B．1+2i C．i﹣1 D．1﹣i2．已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．83．已知平面直角坐标系内的两个向量=（1，2），=（m，3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ（λ，μ为实数），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）4．将函数f（x）=sinx﹣cosx的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．5．已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则的值为（）A．2 B．4 C．8 D．166．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．27﹣B．18﹣ C．27﹣3πD．18﹣3π7．如图，偶函数f（x）的图象如字母M，奇函数g（x）的图象如字母N，若方程f（g（x））=0，g（f（x））=0的实根个数分别为m、n，则m+n=（）A．12 B．18 C．16 D．148．函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．9．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．5πB．C．20πD．4π10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．3024 B．1007 C．2015 D．201611．已知函数f（x）=x3﹣3x2+x的极大值为m，极小值为n，则m+n=（）A．0 B．2 C．﹣4 D．﹣212．某实验室至少需要某种化学药品10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元．但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少（）A．56 B．42 C．44 D．54二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．与直线x+y﹣1=0垂直的直线的倾斜角为．14．若函数f（x）=x++1为奇函数，则a=．15．已知p：|x﹣1|≤2，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，（a＞0），若¬p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC=DC=AB=AD=，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．（1）求△ABC的面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．18．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n•a n=（）n，记T2n为{a n}的前2n项的和，b n=a2n+a2n+1，n∈N*．﹣1（Ⅰ）判断数列{b n}是否为等比数列，并求出b n；（Ⅱ）求T2n．19．（12分）如图所示，在多面体EF﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，O为BC的中点，EF∥AO，EA=EC=EF=．（1）若平面ABC∩平面BEF=l，证明：EF∥l；（2）求证：AC⊥BE；（3）若BE=，EO=，求点B到平面AFO的距离．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，BC=2，点P在底面上的射影在AC上，E，F分别是AB，BC的中点．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PAC；（Ⅱ）在PC边上是否存在点M，使得FM∥平面PDE？若存在，求出的值；不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）=﹣ax．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．请在答题卡上将所做的题号后面的方框涂黑.[选修4－4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知点P（1，﹣2），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（2016秋•衡水期中）复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．1﹣2i B．1+2i C．i﹣1 D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：原式=﹣i=﹣（i﹣1）﹣i=1﹣2i，∴复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为1+2i．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（2016•惠州模拟）已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】集合的表示法．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数．【解答】解：由题意可知，集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，则B的子集个数为：23=8个，故选：D．【点评】本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个．3．（2015•嘉定区二模）已知平面直角坐标系内的两个向量=（1，2），=（m，3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ（λ，μ为实数），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）【考点】平面向量坐标表示的应用．【专题】常规题型．【分析】平面向量基本定理：若平面内两个向量、不共线，则平面内的任一向量都可以用向量、来线性表示，即存在唯一的实数对λ、μ，使=λ+μ成立．根据此理论，结合已知条件，只需向量、不共线即可，因此不难求出实数m的取值范围．【解答】解：根据题意，向量、是不共线的向量∵=（1，2），=（m，3m﹣2）由向量、不共线⇔解之得m≠2所以实数m的取值范围是{m|m∈R且m≠2}．故选D【点评】本题考查了平面向量坐标表示的应用，着重考查了平面向量基本定理、向量共线的充要条件等知识点，属于基础题．4．（2014•齐齐哈尔一模）将函数f（x）=sinx﹣cosx的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y轴对称得到2sin（x+m﹣）=2sin（﹣x+m﹣），再由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得m的值，从而得到最小值．【解答】解：y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）然后向左平移m（m＞0）个单位后得到y=2sin（x+m﹣）的图象为偶函数，关于y轴对称∴2sin（x+m﹣）=2sin（﹣x+m）∴sinxcos（m）+cosxsin（m）=﹣sinxcos（m）+cosxsin（m）∴sinxcos（m）=0∴cos（m）=0∴m=2kπ+，m=．∴m的最小值为．故选A．【点评】本题主要考查三角函数的平移和两角和与差的正弦公式．注意平移时要根据左加右减上加下减的原则进行平移．5．（2016•湖南校级模拟）已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等比数列的通项得a1q2=2，a1q3a1q5=16，求出q2，即可得出结论．．【解答】解：设等比数列{a n}的公比是q，由a3=2，a4a6=16得，a1q2=2，a1q3a1q5=16，则a1=1，q2=2，∴==4，故选：B．【点评】本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题．6．（2016•武汉校级模拟）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．27﹣B．18﹣ C．27﹣3πD．18﹣3π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为直四棱柱且中间挖去半个圆柱，根据三视图的数据求四棱柱和圆柱的高、以及底面上的几何元素对应的数据，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2，圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1，∴几何体的体积V==，故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．7．（2016秋•衡水期中）如图，偶函数f（x）的图象如字母M，奇函数g（x）的图象如字母N，若方程f（g（x））=0，g（f（x））=0的实根个数分别为m、n，则m+n=（）A．12 B．18 C．16 D．14【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】若方程f（g（x））=0，则g（x）=﹣，或g（x）=0，或g（x）=，进而可得m值；不妨仅g（x）的三个零点分别为﹣a，0，a（0＜a＜1），若g（f（x））=0，则f（x）=﹣a，或f（x）=0，或f（x）=a，进而得到n值【解答】解：若方程f（g（x））=0，则g（x）=﹣，或g（x）=0，或g（x）=，此时方程有9个解；不妨仅g（x）的三个零点分别为﹣a，0，a（0＜a＜1）若g（f（x））=0，则f（x）=﹣a，或f（x）=0，或f（x）=a，此时方程有9个解；即m=n=9，∴m+n=18，故选：B．【点评】本题考查的知识点是数形结合思想，方程的根与函数零点之间的关系，难度中档．8．（2016•潍坊校级二模）函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A 在直线mx﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．【考点】基本不等式；指数函数的图象变换．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式．【分析】由指数函数可得A坐标，可得m+n=1，整体代入可得=（）（m+n）=3+ +，由基本不等式可得．【解答】解：当x﹣1=0即x=1时，a x﹣1﹣2恒等于﹣1，故函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，﹣1），由点A在直线mx﹣ny﹣1=0上可得m+n=1，由m＞0，n＞0可得=（）（m+n）=3++≥3+2=3+2当且仅当=即m=﹣1且n=2﹣时取等号，故选：D．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及指数函数的性质，属基础题．9．（2015•佳木斯一模）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．5πB．C．20πD．4π【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离；球．【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；∵Rt△PBA中，AB=，PA=∴PB=，可得外接球半径R=PB=∴外接球的表面积S=4πR2=5π故选A．【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．10．（2016秋•衡水期中）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．3024 B．1007 C．2015 D．2016【考点】程序框图．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+（2016+1）=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是模拟程序运行的过程，得出程序运行后输出的算式的特征，是基础题目．11．（2016•唐山一模）已知函数f（x）=x3﹣3x2+x的极大值为m，极小值为n，则m+n=（）A．0 B．2 C．﹣4 D．﹣2【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．【解答】解：由题意可得：f′（x）=3x2﹣6x+1，令f′（x）=0，即3x2﹣6x+1=0，解得：x1=，x2=，∴f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴x1=是极大值点，x2=是极小值点，∴m+n=f（x1）+f（x2）=（﹣2+）（﹣2﹣）=﹣2，故选：D．【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用．12．（2016秋•衡水期中）某实验室至少需要某种化学药品10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元．但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少（）A．56 B．42 C．44 D．54【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式．【分析】设价格为12元的x袋，价格为10元y袋，花费为Z百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使花费最少，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．【解答】解：设价格为12元的x袋，价格为10元y袋，花费为Z百万元，则约束条件为：，目标函数为z=12x+10y，作出可行域，使目标函数为z=12x+10y取最小值的点（x，y）是A（2，2），此时z=44，答：应价格为12元的2袋，价格为10元2袋，花费最少为44元．故选：C．【点评】本题考查线性规划的应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（2016秋•衡水期中）与直线x+y﹣1=0垂直的直线的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【专题】直线与圆．【分析】利用垂直关系求出斜率，利用斜率求出倾斜角．【解答】解：∵直线x+y﹣1=0的斜率为k1=﹣，∴与直线x+y﹣1=0垂直的直线的斜率为k2=﹣=，又∵k2=tanα=，且α∈[0，π），∴它的倾斜角为α=；故答案为：．【点评】本题考查了直线的垂直以及由斜率求倾斜角的问题，是基础题．14．（2016•河南一模）若函数f（x）=x++1为奇函数，则a=﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质得到f（﹣x）=﹣f（x），从而得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：若函数为奇函数，则f（﹣x）=﹣x﹣+2a+1+1=﹣f（x）=﹣x﹣﹣（2a+1）﹣1，∴2（2a+1）+2=0，则a=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键，本题是一道基础题．15．（2016•衡水校级一模）已知p：|x﹣1|≤2，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，（a＞0），若¬p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是0，2] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】利用已知条件求出p，q，然后通过¬p是q的充分不必要条件，列出不等式组，求出a的范围即可．【解答】解：p：|x﹣1|≤2，得﹣1≤x≤3，￢p：x＞3或x＜﹣1，记A={x|x＞3或x＜﹣1}，q ：x 2﹣2x +1﹣a 2≥0，[x ﹣（1﹣a ）]•[x ﹣（1+a ）]≥0， ∵a ＞0，∴1﹣a ＜1+a ． 解得x ≥1+a 或x ≤1﹣a ．记B={x |x ≥1+a 或x ≤1﹣a }． ∵￢p 是q 的充分不必要条件， ∴A ⊊B ，即，解得，解得0＜a ≤2． 故答案为：（0，2]【点评】本题考查命题的真假判断，充要条件的判定，考查基本知识的应用．求出命题的等价条件是解决本题的关键． 16．（2014•东城区一模）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，BC=DC=AB=AD=，BD=2，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP=CQ ，则三棱锥P ﹣QCO 体积的最大值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】利用等腰三角形的性质可得AO ⊥BD ，再利用面面垂直的性质可得AO ⊥平面BCD ，利用三角形的面积计算公式可得S △OCQ =，利用V 三棱锥P ﹣OCQ =，及其基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设AP=x ， ∵O 为BD 中点，AD=AB=，∴AO ⊥BD ，∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD=BD ， ∴AO ⊥平面BCD ．∴PO 是三棱锥P ﹣QCO 的高． AO==1．∴OP=1﹣x ，（0＜x ＜1）．在△BCO中，BC=，OB=1，∴OC==1，∠OCB=45°．===．∴S△OCQ==∴V三棱锥P﹣OCQ==．当且仅当x=时取等号．∴三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、面面垂直的性质、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2016•邯郸校级模拟）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB 上一点．（1）求△ABC的面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）由余弦定理得AB•BC≤=20（2+），由此能求出△ABC的面积的最大值．（2）设∠ACD=θ，由三角形面积得到sinθ=，cos，由余弦定理，得AD=4，由正弦定理，得，由此能求出BC的长．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点，∴由余弦定理得：AC2=20=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=≥（2﹣）AB•BC，∴AB•BC≤=20（2+），∴，∴△ABC的面积的最大值为．（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，∵CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，∴==4，∴sinθ=，cos，由余弦定理，得AD2=AC2+CD2﹣2AC•CD•cosθ=20+4﹣8×=16，∴AD=4，由正弦定理，得，∴，∴，此时，∴BC=．∴BC的长为4．【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用．=（）n，记T2n为{a n}的前18．（12分）（2014•青岛二模）已知数列{a n}中，a1=1，a n•a n+12n项的和，b n=a2n+a2n，n∈N*．﹣1（Ⅰ）判断数列{b n}是否为等比数列，并求出b n；（Ⅱ）求T2n．【考点】数列的求和；等比关系的确定；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）利用分组求和由等比数列的前n项和公式求和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，即…（2分）∵b n=a2n+a2n，∴﹣1所以{b n}是公比为的等比数列．…∵a1=1，，∴∴…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以a1，a3，a5，…是以a1=1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以为首项，以为公比的等比数列…（10分））+（a2+a4+…+a2n）=…（12∴T2n=（a1+a3+…+a2n﹣1分）【点评】本题考查利用定义证明数列是等比数列及等比数列前n项和公式，考查数列分组求和的方法以及运算能力，属中档题．19．（12分）（2016秋•衡水期中）如图所示，在多面体EF﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，O为BC的中点，EF∥AO，EA=EC=EF=．（1）若平面ABC∩平面BEF=l，证明：EF∥l；（2）求证：AC⊥BE；（3）若BE=，EO=，求点B到平面AFO的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用直线和平面平行的判定证得EF∥平面ABC，再利用直线和平面平行的性质定理，证得EF∥l．（2）利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面BEH，再利用直线和平面垂直的性质定理，证得AC⊥BE．（3）先求得F﹣BCA的体积，再根据等体积法求得点B到平面AFO的距离．【解答】解：（1）∵EF∥AO，EF⊄平面ABC，AO⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，又因为平面ABC∩平面BEF=l，所以EF∥l．（2）取AC的中点H，连接EH，BH，∵EA=EC，∴EH⊥AC，因为△ABC为等边三角形，所以BA=BC，BH⊥AC，因为BH∩EH=H，所以AC⊥平面BEH，∵BE⊂平面BEH，∴AC⊥BE．（3）∵在△EAC中，，所以，因为△ABC为等边三角形，所以，因为，所以EH2+HB2=BE2，所以EH⊥HB，因为AC∩HB=H，所以EH⊥平面ABC，又因为，所以，∵EF∥AO，∴，∵，四边形AOFE为平行四边形，，∴，设点B到平面AFO的距离为d，由，得，解得．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定和性质，直线和平面垂直的判定和性质，用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．20．（12分）（2016秋•衡水期中）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，BC=2，点P在底面上的射影在AC上，E，F分别是AB，BC的中点．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PAC；（Ⅱ）在PC边上是否存在点M，使得FM∥平面PDE？若存在，求出的值；不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由题意和向量法可证AC⊥DE，再由题意和线面垂直的性质可得DE⊥平面PAC；（Ⅱ）当点M在PC边上且满足=3时，FM∥平面PDE，作MN∥PD交CD与N，连接NF，可证平面MNF∥平面PDE，由面面平行的性质可得．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得||=2，||=2，且⊥，∴=+，=﹣=﹣，∴•=（+）•（﹣）=﹣•﹣=﹣•﹣=×8﹣0﹣4=0，∴⊥，即AC⊥DE，又点P在底面上的射影在AC上，∴平面PAC⊥平面ABCD，又AC为平面PAC与平面ABCD的交线，DE⊂平面ABCD，∴DE⊥平面PAC；（Ⅱ）当点M在PC边上且满足=3时，FM∥平面PDE，下面证明：作MN∥PD交CD与N，连接NF，在底面矩形中可证NF∥DE，由MN∥PD可得MN∥平面PDE，由NF∥DE可得NF∥平面PDE，再由MN和NF相交可得平面MNF∥平面PDE，又MF⊂平面MNF，∴FM∥平面PDE．【点评】本题考查直线和平面平行和垂直的判定，作辅助线是解决问题的关键，属中档题．21．（12分）（2015•潮南区模拟）设函数f（x）=﹣ax．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=﹣a+在（1，+∞）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；（2）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，令g（x）=（﹣）2﹣，故当=，即x=e2时，g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥∴a的最小值为．（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=﹣ae2+≤，∴﹣a≤﹣，∴a≥﹣．②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[，1]，∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=﹣ax0+，要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣，与﹣＜﹣a＜0矛盾，∴﹣＜﹣a＜0不合题意．综上，实数a的取值范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．请在答题卡上将所做的题号后面的方框涂黑.[选修4－4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016•衡水校级模拟）在直角坐标系xOy中，已知点P（1，﹣2），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）求|PA|+|PB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】方程思想；分析法；坐标系和参数方程．【分析】（1）由代入消元法，可得直线的普通方程；运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C 的普通方程；（2）求得直线l的标准参数方程，代入曲线C的普通方程，可得二次方程，运用韦达定理和参数的几何意义，即可得到所求和．【解答】解：（1）直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程为x﹣y﹣3=0；曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即为ρ2sin2θ=2ρcosθ，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（2）直线l的标准参数方程为（m为参数），代入曲线C：y2=2x，可得m2﹣6m+4=0，即有m1+m2=6，m1m2=4，则|PA|+|PB|=|m1|+|m2|=m1+m2=6．【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、参数方程和普通方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意运用联立方程和韦达定理，以及参数的几何意义，考查运算能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•南昌校级二模）已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；绝对值不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0可得不等式||x|﹣4|＜2，解此不等式可得解集；（Ⅱ）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，只要求|x﹣4|+|x|的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0并化简得||x|﹣4|＜2，∴﹣2＜|x|﹣4＜2，∴2＜|x|＜6，故不等式的解集为（﹣6，﹣2）∪（2，6）；（Ⅱ）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，∵|x﹣4|+|x|≥|（x﹣4）﹣x|=4，∴m的取值范围为m＜4．【点评】本题只要考查函数的性质，同时考查不等式的解法，函数与不等式结合时，要注意转化数学思想的运用．。
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试卷类型：B卷 河北冀州中学 2017-2018学年度上学期期中考试 高三年级高三理科数学试题 考试时间150分钟 试题分数120分 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1.集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( ) A．（0，3） B．（0，1） C．（0，1）∪（1，3） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞） 2.已知,,abc满足cba且0ac，则下列选项中不一定能成立的是( )
Ａ．cbaa Ｂ．0bac Ｃ．0acac Ｄ． 22bacc 3．设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，nSn）（n∈N*）均在函数y＝12x＋12的图象上，则a2014＝（ ）A．2014 B．2013 C．1012 D．1011 4．p：若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角；q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都
是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( ) A．“p或q”是假 B．“p或q”是真 C．p为假 D．q为假 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
6．若10,0.cos.22433cos.423则cos2
（ ）
A．33 B．33 C．69 D．539 7.已知正项等比数列na满足：7652aaa，若存在两项,mnaa使得14mnaaa则14mn的最小值为（ ）A．53 B．32 C．256 D．不存在
8.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正 视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ） A．1 B. 4 C. 2 D.8
9.在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OAOB，且OA与OB在直线l上的射影长度
相等，直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率为 ( )
A． 25 B．52 C．43 D．34 10.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，下列结论： ①最小正周期为π；②将f(x)的图像向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数；
③f(0)＝1； ④1214()()1113ff； ⑤5()()3fxfx. 其中正确的是( ) A．①②③ B. ①④⑤ C．②③④ D.②③⑤
11．已知7980nnan，（nN），则在数列｛na｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ） A．150,aa B．18,aa C．89,aa D．950,aa
12.已知不等式组220,22,22xyxy表示平面区域,过区域中的任意一个点P,作圆221xy
的两条切线且切点分别为,AB,当APB最大时, PAPB的值为（ ）
A．2 B.32 C.52 D.3
第Ⅱ卷 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上).
13．在边长为3的等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且满足 2,ADDB12AEEC，则 BECD_________.
14. 如果不等式1xa成立的充分非必要条件是1322x，则实数a的取值范围是 . 15．数列{an}的通项公式an＝nsinnπ2＋1，前n项和为Sn，则2015S__________. 16．圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为 ．
三、解答题（本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）. 17．(本题10分)已知a＞0，设p：不等式x2＋2ax＋a＜0的解集为∅，q：不等式x＋|x－2a|＞1的解集为R，如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围．
18. (本题12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sinA＋3cosA＝2sinB． （1）求角C的大小；
（2）求a＋bc的最大值．
19. (本题12分)将函数111()sinsin(2)sin(3)442fxxxx在区间(0,)
内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列*()nanN． （1）求数列na的通项公式；
（2）设2nnnba,数列nb的前n项和为nT，求nT的表达式． 20. (本题12分) 已知函数()2cos(sincos)()fxxxxmmR，将()yfx的图像
向左平移4个单位后得到()ygx的图像，且()ygx在区间[0,]4内的最大值为2． （1）求实数m的值； （2）在ABC中，内角A、B、C的对边分别是abc、、，若3()14gB，且2ac，求ABC的周长l的取值范围．
21.（本小题12分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB． （1）求证：AB⊥DE； （2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值； （3）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．
22. (本题12分)若数列nA满足21nnAA，则称数列nA为“平方递推数列”．已知数列na中，12a，点1,nnaa在函数222fxxx的图象上，其中n为正整数． （1）证明数列21na是“平方递推数列”，且数列lg21na为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为nT，即12212121nnTaaa，求数列na的通项及nT关于n的表达式；
（3）记21lognnanbT＋＝，求数列nb的前n项和nS，并求使2014nS的n的最小值． 参考答案 一、选择题 A卷：BCABC DABCC DB B卷：CDAAD BCCAB CB
13.72 14. 13,22 15.1007 16. 17.“x2＋2ax＋a＜0的解集为∅”等价于“x2＋2ax＋a≥0的解集为R”，所以当p成立，Δ＝4a2－4a≤0，解得0≤a≤1. 又a＞0，∴0＜a≤1 ………………3分 “不等式x＋|x－2a|＞1的解集为R”等价于： 函数y＝x＋|x－2a|在R上的最小值为1.
∵x＋|x－2a|＝ 2x－2a，x≥2a，2a，x＜2a， ∴函数y＝x＋|x－2a|在R上的最小值为2a， 于是由2a＞1，得a＞12. ……………7分
如果p正确q不正确，则0＜a≤12；如果p不正确q正确，则a＞1. ∴a的取值范围是0，12∪(1，＋∞)．………………10分 18. 解：（1）sinA＋3cosA＝2sinB即2sin(A＋ 3)＝2sinB，则sin(A＋ 3)＝sinB． …3分 因为0＜A，B＜，又a≥b进而A≥B， 所以A＋ 3＝－B，故A＋B＝23，C＝ 3． ……………………6分 （2）由正弦定理及（1）得 a＋bc＝sinA＋sinBsinC＝23[sinA＋sin(A＋ 3)]＝3sinA＋cosA＝2sin(A＋ 6)．…10分
当A＝ 3时，a＋bc取最大值2． ……………………12分
19. 解:(1)111sinsin2sin3442fxxxx=111sincoscos442xxx
=111sincos222xx=1sin4x 根据正弦函数的性质，其极值点为2xkkZ 它在0,内的全部极值点构成以2为首项，为公差的等差数列， 则数列na的通项公式为12nan=21*2nnN ……………6分 (2)由(1)得出12212*nnnnbannN ……………8分 0121123252212nnTn
12121232232212nnnTnn
两式相减,得012112222222212nnnTn 1412121212nnn
=3223nn
2323nnTn
……………12分
20. 解：（1）由题舍得()sin2cos21fxxxm2sin(2)14xm ()2sin[2()]144gxxm2sin(2)14xm 因为当[0,]4x时，32[,]444x，所以由已知得242x，即8x时，max()21gxm2，所以1m。……………6分