二次函数图像与性质(4)
二次函数的图像和性质课件

03
二次函数的图像与性质的 应用
判断单调性
总结词
通过图像和导数判断二次函数的单调性
详细描述
利用二次函数的导数,可以判断函数的单调区间。导数大于0 时,函数递增;导数小于0时,函数递减。结合函数图像,可 以更直观地判断单调性。
求最值
总结词
利用二次函数的极值点求最值
VS
详细描述
二次函数存在极值点,极值点处的函数值 可能是最大值或最小值。通过求导并令导 数为0,可以找到极值点,从而求得最值 。
二次函数的图像和性质课件
contents
目录
• 二次函数的概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图像与性质的应用 • 实际应用案例 • 总结与回顾
01
二次函数的概念
二次函数的定义
定义
一般地,形如$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次 函数。
解释
二次函数是包含未知数的二次多
总结二次函数的对称 轴、开口方向、顶点 坐标等性质。
易错点与难点回顾
01
回顾二次函数图像的绘制方法和 易错点,如混淆顶点坐标和对称 轴坐标等。
02
回顾二次函数的性质和易错点, 如错误地认为二次函数总是单调 的等。
学生自我测评与作业布置
设计相关题目,让学生自主检测掌握 情况。
布置相关作业,要求学生完成并提交 。
详细描述
在投资组合理论中,投资者需要根据不同资产的风险和收益特性来构建投资组合。二次函 数可以用来描述风险和收益之间的非线性关系,帮助投资者更好地理解投资组合的风险和 收益特性。
扩展知识点
投资组合理论、风险和收益的关系。
物理运动中的二次函数
二次函数图像与性质总结含答案

二次函数的图像及性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式:2y ax =的性质:2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质:左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质:二、二次函数图象的平移1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移〞. 概括成八个字“左加右减,上加下减〞. 方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左〔右〕平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕三、二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比拟从解析式上看,()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、及y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、及x 轴的交点()10x ,,()20x ,〔假设及x 轴没有交点,那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,及x 轴的交点,及y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-.2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a-.六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =++〔a ,b ,c 为常数,0a ≠〕;2. 顶点式:2()y a x h k =-+〔a ,h ,k 为常数,0a ≠〕;3. 两根式:12()()y a x x x x =--〔0a ≠,1x ,2x 是抛物线及x 轴两交点的横坐标〕. 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线及x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象及各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧.⑵ 在0a <的前提下,结论刚好及上述相反,即 当0b >时,02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.ab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ,在y 轴的右侧那么0<ab ,概括的说就是“左同右异〞总结:3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线及y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线及y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线及y 轴的交点为坐标原点,即抛物线及y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线及y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线及y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线及y 轴交点的位置. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式确实定:根据条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值,一般选用顶点式;3. 抛物线及x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 抛物线上纵坐标一样的两点,常选用顶点式.八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---;2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++;3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称〔即:抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-;()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+.5. 关于点()m n ,对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原那么,选择适宜的形式,习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.二次函数图像参考:十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数图像与性质

课堂互动讲练
例3 解题示范本题满分12分 已知二次函数fx=ax2+bxa;b为常
数;且a≠0满足条件:f-x+5=fx-3; 且方程fx=x有等根.
1求fx的解析式; 2是否存在实数m;nm<n;使fx的 定义域和值域分别为m;n和3m;3n?如 果存在;求出m;n的值;如果不存在;说 明理由.
课堂互动讲练
t2-2t-7,t<1,
பைடு நூலகம்
从而 g(t)=-8,1≤t≤2, t2-4t-4,t>2.
2gt的图象如图所示. gt的最小值为-8.
课堂互动讲练
规律小结 二次函数区间最值主 要有三种类型:轴定区间定;轴定区间 动和轴动区间定.
一般来说;讨论二次函数在闭区间 上的最值;主要是看区间是落在二次函 数的哪一个单调区间上;从而应用单调 性求最值.
第4课时 二次函数
基础知识梳理
1.二次函数的解析式有三种常用表 达形式
1一般式:fx= ax2+bx+ca≠;0 2顶点式:fx=ax-h2+ka≠0;h;k是顶 点; 3标根式或因式分解式:fx=ax-x1x -x2a≠0;其中x1;x2分别是fx=0的两实 根.
基础知识梳理
2.二次函数的图象及其性质
规律方法总结
1.二次函数fx=ax2+bx+ca>0 在区间m;n上的最值.
当-2ba<m 时,函数在区间[m, n]上单调递增,最小值为 f(m),最大 值为 f(n);
规律方法总结
当 m≤-2ba≤n 时,最小值为 f(-2ba)= 4ac4-a b2,最大值为 f(m)或 f(n)(m,n 与-2ba 较远的一个为最大).
课堂互动讲练
考点三 二次函数的综合问题
二次函数常和二次方程、二次 不等式结合在一起.
二次函数 的图象和性质 (PPT)

·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
8 6 4 2
y 2x2 y 1 x2 2
-4 -2
24
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2···-8 2
-4.5 -2 -0.5 0
-0.5 -2 -4.5 -8
···
x
·· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
··
···
y 2 x 2 · -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
-4 -2 -2 -4
-6
-8
y x2
24
y 1 x2 2
y 2x2
y=ax2
二次函数y=ax2的性质
y
2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
检测:
(1)抛物线y=3x2的图像在x轴的 上 方(顶点除外), 开口向 上 ,图象有 最低点 ,对称是 Y轴 . 顶点坐标是 (0,0),
在对称轴 右 侧, y随着x的增大而增大;在
对轴 左 侧, y随着x的增大而减小, 当x= 0 时
函数y有最 小 ,最 小 值是 0 .
检测:
(2)抛物线 y 2 x2 的图像在x轴的 下 方(顶点除
3
外), 开口向 下 ,图象有 最高点 ,对称 是 Y轴 ,顶点坐标是 (0,0). 在对称轴的左侧, y随着x的增大而 增大 ;在对称 轴的右侧, y随着x的增大而 减小 , 当x=0时, 函数y有最 大 值, 最 大 值是 0 , 当x ≠ 0时, y<0.
5.二次函数的图像和性质课件

-1
当x=0时,y取最____值____。
02
知识精讲
平移口诀1
函数y=x2+1的图像可以由函数y=x2的图像向上平移一个单位长度得到;
函数y=x2-1的图像可以由函数y=x2的图像向下平移一个单位长度得到;
函数y=-x2+1的图像可以由函数y=-x2的图像向上平移一个单位长度得到;
函数y=-x2-1的图像可以由函数y=-x2的图像向下平移一个单位长度得到。
的图像和性质
01
情境引入
Q1:用描点法画出y=(x+3)2的图像,并与y=x2作对照
x
…
y=(x+3)2 …
x
y=x2
-6 -5
9 4
…
…
-4
1
-3
9
-3
0
-2
4
-2
1
-1
1
-1
4
0
0
0
9
1
1
…
…
2
4
当自变量偏移3个单位长
将点(1,1)向左平移3个
度时,两个函数的值相同
单位长度得(-2,1)……
3
【平移口诀1】上加下减
02
知识精讲
练一练1:根据平移口诀1,完成下列填空:
下
4
向_____平移_____个单位得到
上
8
向_____平移_____个单位得到
下
3
向_____平移_____个单位得到
上
6
向_____平移_____个单位得到
02
知识精讲
练一练2:根据练一练1平移后的图像,完成下列填空:
5
y=-2x2+3
二次函数的图像和性质

二次函数的图像和性质二次函数是数学中的一个重要概念,它在中学数学中占据着重要的地位。
本文将从二次函数的图像和性质两个方面进行论述,旨在帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的图像二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数,a不等于0。
我们先来讨论二次函数的图像。
1. 开口方向二次函数的图像可以是开口向上的,也可以是开口向下的。
当a大于0时,二次函数的图像开口向上;当a小于0时,二次函数的图像开口向下。
例如,考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1和g(x) = -x^2 + 2x + 1,它们的图像分别如下所示:(插入图片:开口向上和开口向下的二次函数图像)2. 对称轴和顶点二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称的。
这条直线称为二次函数的对称轴,它的方程可以通过求解二次函数的x坐标的平方项系数的相反数除以2倍的平方项系数得到。
对称轴上的点称为二次函数的顶点,它的横坐标和纵坐标可以通过代入对称轴的方程求解得到。
例如,考虑函数f(x) = -2x^2 + 4x - 1,它的对称轴方程为x = -b/2a = -4/(2*(-2))= 1。
代入对称轴方程可以求得顶点的坐标为(1, -3)。
3. 判别式和根的性质二次函数的判别式可以通过求解一元二次方程的判别式得到,它的表达式为Δ = b^2 - 4ac。
判别式的正负决定了二次函数的根的性质。
当判别式大于0时,二次函数有两个不相等的实根;当判别式等于0时,二次函数有两个相等的实根;当判别式小于0时,二次函数没有实根,但有两个共轭复根。
例如,考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1,它的判别式为Δ = (-2)^2 - 4*1*1 = 0。
由于判别式等于0,该二次函数有两个相等的实根x = 1。
二、二次函数的性质除了图像外,二次函数还有一些重要的性质,我们将在下面进行讨论。
1. 单调性和极值点二次函数的单调性是由二次函数的开口方向决定的。
二次函数的图像和性质——y=ax^2的图像 (共14张PPT)
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例1 已知二次函数 y = m -1 xm2 + m 的图像开口向下.
(1)求m的值和函数表达式.
解:(1)由题意知:m-1<0且m²+m=2,则m=-2.
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例2 已知二次函数y=ax²(a≠0)的图像经过点(2,3). 求:(1)a的值和写出解析式.
列表时自变量要 均匀和对称!
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例2 画出y=-x2图像.
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=-x² ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ...
5.2 二次函数的图像和性质(1)
请在直角坐标系中画出函数
y=
1 2
x2
和
y=2 x2
、
初中数学 九年级(下册)
5.2 二次函数的图像和性质(1)
5.2 二次函数的图像和性质(1)
画函数图像步骤:列表 描点 连线 研究函数性质方法:数形结合 二次函数的图像是怎样的? 试着画一画吧!
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例1 画出函数y=x2的图像.
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
(2)确定图像的开口方向.
解:(1)将(2,3)代入y=ax²(a≠0),得a=0.75; (2)抛物线y=0.75x²,开口向上.
5.2 二次函数的图像和性质(1)
本节课我们学习了什么?
抛物 y轴 线
向上 向下
(0,0) 最低点
(0,0) 最高点
5.2 二次函数的图像和性质(2)
分别说出下列函数图像的开口方向、顶 点坐标、对称轴:
二次函数的图像与性质
二次函数的图象与性质知识要点概述1、二次函数的定义:如果y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0),那么y叫x的二次函数.2、二次函数的图象:二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.3、二次函数的解析式有下列三种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0);)(x-x2) (a≠0),这里x1,x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标.(3)交点式:y=a(x-x1确定二次函数的解析式一般要三个独立条件,灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键.4、抛物线y=ax2+bx+c中系数a、b、c的几何意义抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是,顶点坐标是,其中a的符号决定抛物线的开口方向.a>0,抛物线开口向上,a<0,抛物线开口向下;a,b同号时,对称轴在y轴的左边;a,b异号时,对称轴在y轴的右边;c确定抛物线与y轴的交点(0,c)在x轴上方还是下方.5、抛物线顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)的特点(1)a>0,开口向上;a<0,开口向下;(2)x=h为抛物线对称轴;(3)顶点坐标为(h,k).依顶点式,可以很快地求出二次函数的最值.当a>0时,函数在x=h处取最小值y=k;当a<0时,函数在x=h处取最大值y=k.6、抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的联系与区别抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同.前者是后者通过“平移”而得到.要想弄清抛物线的平移情况,首先将解析式化为顶点式.7、抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为A、B,且方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则有A(x1,0),B(x2,0).典型剖析例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示.下列结论:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a.其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1解:选A.令x=1及由图象知a+b+c<0,①正确;令x=-1及由图象a-b+c>0,②正确;由对称轴知,④正确;由④知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方,即c>0,故③正确.所以选A.例2、二次函数y=x2+(a-b)x+b的图象如图所示.那么化简的结果是____________.解:原式=-1.∵图象与y轴交点在x轴上方,∴b>0.又∵图象的对称轴在y轴右边且二次项系数为1,一次项系数为a-b,例3、已知抛物线y=x2-(2m+4)x+m2-10与x轴交于A、B两点,C是抛物线的顶点.(1)用配方法求顶点C的坐标(用含m的代数式表示);(2)若AB的长为,求抛物线的解析式.解:(1)∵y=x2-(2m+4)x+m2-10=[x-(m+2)] 2-4m-14,∴顶点C的坐标为(m+2,-4m-14).(2)∵A、B是抛物线y=x2-(2m+4)x+m2-10与x轴的交点且|AB|=,化简整理得:16m=-48,∴m=-3.当m=-3时,抛物线y=x2+2x-1与x轴有交点且AB=,符合题意.故所求抛物线的解析式为y=x2+2x-1.例4、如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点,且A点在x轴的正半轴上,B点在x轴的负半轴上,OA的长是a,OB的长是b.(1)求m的取值范围;(2)若a︰b=3︰1,求m的值,并写出此时抛物线的解析式.解:(1)设A、B两点的坐标分别为(x1,0),(x2,0).∵A、B分处原点两侧,∴xx2<0,1即-(m+1)<0,得m>-1.又∵△=[2(m-1)]2-4×(-1)(m+1)=4m2-4m+8=4(m-)2+7>0,∴m>-1为m的取值范围.(2)∵a︰b=3︰1.设a=3k,b=k(k>0),=3k,x2=-k.则x1例5、已知某二次函数,当x=1时有最大值-6,且其图象经过点(2,-8).求此二次函数的解析式.解:∵二次函数当x=1时有最大值-6,∴抛物线的顶点为(1,-6),故设所求的二次函数解析式为y=a(x-1)2-6.由题意将点(2,-8)的坐标代入上式得:a(2-1)2-6=-8,∴a=-2,∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2-6,即y=-2x2+4x-8.例6、二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示.已知它的顶点M在第二象限,且经过点A(1,0)和点B(0,1).(1)请判断实数a的取值范围,并说明理由;(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C.当△AMC的面积为△ABC面积的倍时,求a的值.解:(1)由图象可知:a<0,图象过点(0,1),∴c=1.图象过点(1,0),∴a+b+c=0,∴b=-(a+c)=-(a+1).由题意知,当x=-1时,应有y>0,∴a-b+c>0,∴a+(a+1)+1>0,∴a>-1,∴实数a的取值范围是-1<a<0.(2)此时函数为y=ax2-(a+1)x+1,与x轴两交点A、C之间的距离为例7、根据下列条件,求抛物线的解析式.(1)经过点(0,-1),(1,),(-2,-5);(2)经过点(-3,2),顶点是(-2,3);(3)与x轴两交点(-1,0)和(2,0)且过点(3,-6).分析:求解析式应用待定系数法,根据不同的条件,选用不同形式求二次函数的解析式,可使解题简捷.但应注意,最后的函数式均应化为一般形式y=ax2+bx+c.解:(1)设y=ax2+bx+c,把(0,-1),(1,),(-2,-5)代入得方程组∴解析式为y=+x-1.(2)设y=a(x+2)2+3,把(-3,2)代入得2=a(-3+2)2+3,解得a=-1.解析式为y=-x2-4x-1.(3)设y=a(x+1)(x-2),把(3,-6)代入得-6=a(3+1)(3-2),解得.∴解析式为y=(x+1)(x-2),即.。
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义:一般地,形如y=ax^2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式:y=a(x-h)2+k,其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线,a为抛物线的开口方向和大小,h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向:由a的符号决定,a>0时,开口向上;a<0时,开口向下。
2.对称性:二次函数图像关于y轴对称,即若点(x,y)在图像上,则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点:二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点,顶点式y=a(x-h)^2+k中,(h,k)为顶点坐标。
4.轴:二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根,与y轴的交点为c/a。
5.增减性:当a>0时,二次函数图像在顶点左侧单调递减,在顶点右侧单调递增;当a<0时,二次函数图像在顶点左侧单调递增,在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点:根据顶点式y=a(x-h)^2+k,直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴:对称轴为x=h。
3.求开口大小:开口大小由a的绝对值决定,绝对值越大,开口越大。
4.求与坐标轴的交点:与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根,与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性:根据a的符号,判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题:利用二次函数图像解决实际问题,如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题:利用二次函数图像研究几何图形的性质,如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题:利用二次函数图像研究物理现象,如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换:对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换,如向左平移h个单位,得到y=a(x+h)2+k;向右平移h个单位,得到y=a(x-h)^2+k。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定,a>0时开口 向上,a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得, 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时,函数在顶点处取得最小值 当a<0时,函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定,a>0时向上开口,a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定,a的绝对值越大,开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a,当a>0时,对称轴为x=-b/2a;当a<0时,对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点,顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用, 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用, 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用, 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用,例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用,例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用,例如计算最优化问题,如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用,例如模拟实验数据,预测实验结果