因式分解法解一元二次方程典型例题
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例 用因式分解法解下列方程: (1)y 2+7y +6=0; (2)t (2t -1)=3(2t -1); (3)(2x -1)(x -1)=1. 解:(1)方程可变形为(y +1)(y +6)=0 y +1=0或y +6=0 ∴y 1=-1,y 2=-6
(2)方程可变形为t (2t -1)-3(2t -1)=0 (2t -1)(t -3)=0,2t -1=0或t -3=0 ∴t 1=2
1,t 2=3.
(3)方程可变形为2x 2-3x =0 x (2x -3)=0,x =0或2x -3=0 ∴x 1=0,x 2=2
3
说明:(1)在用因式分解法解一元二次方程时,一般地要把方程整理为一般式,如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积,而右边为零时,则可令每一个一次因式为零,得到两个一元一次方程,解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了.
(2)应用因式分解法解形如(x -a )(x -b )=c 的方程,其左边是两个一次因式之积,但右边不是零,所以应转化为形如(x -e )(x -f )=0的形式,这时才有x 1=e ,x 2=f ,否则会产生错误,如(3)可能产生如下的错解:
原方程变形为:2x -1=1或x -1=1.∴x 1=1,x 2=2.
(3)在方程(2)中,为什么方程两边不能同除以(2t -1),请同学们思考
典型例题二
例 用因式分解法解下列方程
6223362+=+x x x
解:把方程左边因式分解为:
0)23)(32(=-+x x
∴032=+x 或023=-x ∴ 3
2,2321=-
=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程,若左边可分解为一次因式积的形式,
均可用因式分解法求出方程的解。
例 用因式分解法解下列方程。
1522+=y y
解: 移项得:01522=--y y 把方程左边因式分解 得:0)3)(52(=-+y y ∴052=+y 或03=-y
∴.3,2
5
21=-=y y
说明: 在用因式分解法解一元二次方程时,一定要注意,把方程整理为一般式,如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积,而右边为零时,则可令每一个一次因式都为零,得到两个一元一次方程,解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题四
例 用因式分解法解下列方程
(1)021362=+-x x ;
(2)0)23(9)12(322=--+x x ;
分析:一元二次方程化为一般形式后,在一般情况下,左边是一个二次三项式,右边是零.二次三项式,通常用因式分解的方法,可以分解成两个一次因式的积,从而可求出方程的根.但有些问题,可直接用因式分解法求解,例如(2)符合平方差公式的结构特征.
解:(1)原方程可变形为
,0)2)(16(=--x x
016=-x 或02=-x ,
∴2,6
1
21==x x .
(2)原方程可化为
0)633()332(22=--+x x ,
即 0)633332)(633332(=+-+-++x x x x , ∴0)363)(6335(=-+-+x x , ∴06335=-+x 或0363=-+x ,
∴321,5
1
3221+=-=
x x . 说明:因式分解将二次方程化为一次方程求解,起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想,是数学中的“化归思想”.事实上,将多元方程组化为一元方程,也是此法.
典型例题五
例 用因式分解法解方程:
(1)03652=--x x ; (2)0)32(3)32(22=---x x ; (3)0223)222(2=+---x x ; (4)066)2332(2=++-x y .
分析:用因式分解法解一元二次方程时,应将方程化为0=⋅B A 的形式,然后通过0=A 或0=B ,求出21,x x .
解:(1)0)4)(9(=+-x x ,
09=-x 或04=+x .
.4,921-==∴x x
(2)0)364)(32(=---x x , 即 0)94)(32(=--x x . ∴032=-x 或094=-x ,
∴.49
,2321==x x
(3)[]
0)223()1(=--+x x , 即 01=+x 或0)223(=--x . ∴223,121-=-=x x . (4)0)23)(32(=--y y , 即 032=-y 或023=-y , ∴23,3221==y y .
说明:有些系数或常数是无理数的一元二次方程,只要熟悉无理数的分解方法,也可将之和因式分解法求解.
典型例题六
例 用适当方法解下列方程:
(1)0522=-x ; (2))2
1
()1(2252---=+x x x x ;
(3)14)1(2)3(222+=-+-x x x ; (4)010342=+-x x (5)04732=+-x x (用配方法) 解:(1)移项,得
522=x ,
方程两边都除以2,得
2
5
2=
x , 解这个方程,得
2
5±
=x , 102
1
±
=x , 即
10211=
x ,.102
1
2-=x (2)展开,整理,得
.042=+x x
方程可变形为
0)14(=+x x
0=x
或014=+x ,
∴ .4
1
,021-==x x
(3)展开,整理,得
0151642=+-x x ,
方程可变形为
0)52)(32(=--x x
032=-x 或052=-x