工程数学复习资料一(选择题)复习课程
工程数学(线、概、统)(高本)复习思考题
工程数学（线、概、统）（高本）复习思考题一一、单选题（共40题，每题1.5分）1.如果=M，则=( )1A. 8MB. 2MC. MD. 6M2.已知可逆方阵则A=( )2A. B. C. D.3. 如果n阶方阵A的行列式|A|=0则下列正确的是( )2A. A=OB. r(A)>0C. r(A)<nD. r(A)=04.设，则取值为( )2A. λ=0或λ=-1/3B. λ=3C. λ≠0且λ≠-3D. λ≠05.在下列矩阵中可逆的是( )2A. B. C. D.6. 若齐次线性方程组有非零解,则常数λ=( )3A. 1B. 4C. 2D. 17.n阶方阵A可对角化的充分条件是( )2A. A有n个不同的特征值B. A的不同特征值的个数小于nC. A有n个不同的特征向量D. A有n个线性相关的特征向量8.设二次型的标准形为，则二次型的正惯性指标为( )3A. 2B. -1C. 1D. 39.设A是4阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=( )3A. 16B. -4C. -32D. 3210.行列式中元素k的余子式和代数余子式值分别为( )2A. 20，-20B. 20，20C. -20，20D. -20，-2011.已知矩阵A4×4的四个特征值为4，2，3，1，则=( )3A. 2B. 3C. 4D. 2412.n阶方阵A可对角化的充分必要条件是( )2A. A有n个不同的特征值B. A为实对称矩阵C. A有n个不同的特征向量D. A有n个线性无关的特征向量13.行列式中元素y的余子式和代数余子式值分别为( )3A. 2，-2B. –2，2C. 2，2D. -2，-214.矩阵的秩为( )3A. 1B. 3C. 2D. 415.n阶实方阵A的n个行向量构成一组标准正交向量组，则A是( )3A. 对称矩阵B. 正交矩阵C. 反对称矩阵D. |A|=n16.n阶矩阵A是可逆矩阵的充要条件是( )2A. A的秩小于nB. A的特征值至少有一个等于零C. A的特征值都等于零D. A的特征值都不等于零17.设二次型的标准形为，则二次型的秩为( )4A. 2B. -1C. 1D. 318．如果总体服从正态分布，总体的期望和方差未知，在对总体的期望进行检验时要采用的检验方法是( )检验。
中南大学最全高等工程数学考试复习题集含答案PDF
4分
（2）上述线性规划模型的对偶形式如下：
max
f 0.28 y1 0.15 y2 0.1 y3 0.55 y4 0.35 y5 y6 0.25y1 -0.1 y2 0.1 y3 0.25 y4 0.25 y5 0.7y6 340 0.4y1 0.3y4 0.3y5 0.7y6 260 0.15y2 0.05y3 0.2y4 0.2y5 0.4y6 180 0.2 y1 0.2y2 0.4y4 0.4y5 0.8y6 230 0.08y1 0.05y2 0.15y3 0.17y4 0.17y5 0.45y6 190 y1 0, y2 0, y4 0, y5 0, y3 R1 , y6 R1
于是有
0.25 1.375 x( x 1) x( x 1)( x 3) 3 42
f (4) N 3 (4) 0.5 4
0.25 1.375 43 4 3 1 3 42 2.75 18.25 2 1 7 7
相应的误差估计式为：
R3 ( x) f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x]( x x0 )( x x1 )( x x2 )( x x3 ) R3 ( x) f [0,1,3, 7, x]x( x 1)( x 3)( x 7) f [0,1,3, 7, 4] 4 3 1 (3) 0.000065 (36) 0.00234
【P278】
max s.t.
Z 300 x1 400 x2 2 x1 x2 40 x1 1.5 x2 30 x 0, x 0 2 1
解： (1) 化为标准形式： 2 x1 x2 +x3 =40 s.t. x1 +1.5 x2 x4 30 x , x , x ，x 0 1 2 3 4
工程数学复习题及答案
试卷代号：1008中央广播电视大学2005～2006学年度第一学期“开放本科”期末考试水利水电、土木工程专业工程数学(本）试题2006年1月一、单项选择题（每小题3分，共21分）1。
设均为3阶可逆矩阵，且k〉0,则下式（）成立．A。
B。
C. D。
2。
下列命题正确的是（）．A．个维向量组成的向量组一定线性相关;B．向量组是线性相关的充分必要条件是以为系数的齐次线性方程组有解C．向量组，，0的秩至多是D．设是矩阵，且,则的行向量线性相关3．设，则A的特征值为（）.A．1,1 B．5，5 C．1，5 D．—4，64．掷两颗均匀的股子，事件“点数之和为3”的概率是（）。
A．B．C．D．5．若事件与互斥，则下列等式中正确的是( ）。
A． B．C． D．6．设是来自正态总体的样本，其中已知，未知，则下列（）不是统计量．A．B．C．；D．7。
对正态总体的假设检验问题中，检验解决的问题是( ）．A。
已知方差，检验均值 B.未知方差，检验均值C。
已知均值，检验方差 D。
未知均值，检验方差二、填空题（每小题3分,共15分)1．已知矩阵A，B，C=满足AC = CB，则A与B分别是__________________矩阵。
2．线性方程组一般解的自由未知量的个数为__________________。
3．设A,B为两个事件，若P (AB)=P（A）P（B)，。
则称A与B__________________。
4.设随机变量，则E(X)= __________________。
5．矿砂的5个样本中,经测得其铜含量为(百分数),设铜含量服从未知，检验，则区统计量__________________.三、计算题(每小题10分，共60分）1．设矩阵,求(1）；（2）2.设齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换，得求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解．3．用配方法将二次型化为标准型,并求出所作的满秩变换。
4．假设是两个随机事件，已知，求⑴;⑵5。
工程数学复习题
工程数学复习题一、写出下面问题的数学模型规划，不需求解（1） 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物资1100吨，分别供给A 地1700吨、B 地1100吨、C 地200吨、D 地100吨。
已知每吨运费如表1所示，运费与运量成正比，建立运费最省的供给方案。
解：设甲、乙运往1112131421222324需要去求21x 11+25x 12+7x 13+15x 14+51x 21+51x 22+37x 23+15x 24的最小值。
显然x 11, x 12, x 13, x 14, x 21, x 22, x 23, x 24不能任意取值，我们还有“甲地调出物资2000吨”、“供给A 地1700吨”等条件限制。
总结需求及条件限制，得到下面的完整数学模型：111213142122232411121314212223241121122213231424min 212571551513715..2000,1100,1700,1100,200,100,0,1,2,1,2,3,4ij f x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =+++⎧++++⎪⎪+++=⎪⎪+++=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+=⎪⎪+=⎪≥==⎪⎩（2） 某工厂用3种原料P 1，P 2，P 3生产3种产品Q 1，Q 2，Q 3。
已知的条件如下表所示，制定出总利润最大的生产计划。
解：设三种产品的生产量分别为x 1, x 2, x 3时可以得到最大利润3x 1+5x 2+4x 3，则由题意，我们可以得到完整的模型为1231223123max 354..231500,24800,3252000,0,1,2,3j z x x x s t x x x x x x x x j =++⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪++≤⎪≥=⎪⎩（3） 给出货郎游问题、背包问题 的线性规划模型。
货朗问题 从v 0出发，恰好经过v 1，v 2，…，v n 各一次回到v 0，从v i 到v j 路程为d ij ，（d ii ＝M 充分大），怎么走最近？,000min s.t.=1,0,,=1,0,,1,101,,0,,1,,nij iji j n ij i n ij j i j ij ij i z d x x j n x i nu u nx n i j n x or i j nu i n===⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪-+≤-≤≠≤⎪⎪==⎪⎪=⎩∑∑∑为实数，背包问题 n 个物品，体积分别为v 1，v 2，…，v n ，价值分别为p 1，p 2，…，p n ，一个容积为V 的包，取哪些物品放入包内，使包内物品总价值最高。
2017年电大《工程数学》期末考试复习资料及答案
1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是(A )AB A B = 2．向量组的 秩是（B ）．B. 33．n 元线性方程组AX b =有解的充分必要条件是（A ）．A. )()(b A r A r =4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）．D. 9/255．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（C ）是μ无偏估计． C.321535151x x x ++ 6．若A 是对称矩阵，则等式（B ）成立． B.A A ='7．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（ D ）．D. 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦8．若（A ）成立，则n 元线性方程组AX O =有唯一解．A. r A n ()=9. 若条件（C ）成立，则随机事件A ，B 互为对立事件． C.∅=AB 且A B U +=10．对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（C）不是统计量． C. ∑=-312)(31i i X μ11. 设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，当C 为（B ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．B.42⨯12. 向量组[][][][]αααα1234000*********====,,,,,,,,,,, 的极大线性无关组是（ A ）．A ．ααα234,,13. 若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ，则当λ＝（D ）时线性方程组有无穷多解． D ．1/214. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C ）. C.1/12 15. 在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（B ）．B. 未知方差，检验均值⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,00116. 若A B ,都是n 阶矩阵，则等式（BAB BA = 17. 向量组[][][][]3,2,1,3,0,0,0,2,1,0,0,14321====αααα的秩是（C ）．C. 318. 设线性方程组b AX =有惟一解，则相应的齐次方程组O AX =（A ）．A. 只有0解 19. 设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（D ）．D. )()()(AB P A P B A P -=-1．设B A ,为三阶可逆矩阵，且0>k ，则下式(B )成立．B A AB '=2．下列命题正确的是（C3．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1551A ，那么A 的特征值是(D ) D ．-4，64．矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r ． D ．A 中线性无关的列有且最多达r 列 5．下列命题中不正确的是（ D ）．D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量 6. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ B ）． B ．1/17．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是．A ．P A B P A P B ()()()+=+8. 若事件A ，B 满足1)()(>+B P A P ，则A 与B 一定（A ）． A ．不互斥9．设A ,B 是两个相互独立的事件，已知则=+)(B A P （B ）B ．2/310．设n x x x ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（B ）是统计量． B ．∑=ni i x n 11 1. 若0351021011=---x ，则=x （A）．A.32. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（B ）．B 23. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（C ）． C. B A B A '+'='+)(4. 若A B ,满足（B ），则A 与B 是相互独立． B. )()()(B P A P AB P =5. 若随机变量X的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（D ）成立． D.22)]([)()(X E X E X D -=1．设BA ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( )．)BAAB 11=-,31)(,21)(==B P A P2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是()，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ． B ．0321=-+a a a 3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( ) ． B ．0，6 4. 设A ，B 是两事件，其中A ，B 互不相容，则下列等式中（ ）是不正确的． C. )()()(B P A P AB P = 5．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ ）．D ．)(9)(4Y D X D +6．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且B C A '有意义，则C 是(B ．n s ⨯ )矩阵． 7．若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解，而21ηη、是方程组AX = O 的解，则（ ）是AX =B 的解． A ．213231X X +8．设矩阵，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=()C ．1，1,0 列事件运算关系正确的是（ ）．A ．A B BA B +=9. 下10．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ N2.,3） ）．D ．11．设321,,x x x 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（）是μ的无偏估计． C ．32153511x x ++12．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ ）．B ．t 分布 a a a b b b c c c 1231231232=，则a a a ab a b a bc c c 123112233123232323---=（D ）．D. －6⒈设⒉若，则a =（A ）． A. 1/2⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥中元素c 23=C. 10⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B )AB BA --=11 ⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D =-kA k A n ()⒍下列结论正确的是（ A ）．A. 若A 是正交矩阵，则A -1也是正交矩阵⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为（）．C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（B ）．B.A ≠0⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（D ）．D. ()B C A ---'111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A 10100200001000=aa⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 A. ()A B A AB B +=++2222 ⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．C. [,,]--'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．B. 有唯一解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（A ）．A. 3⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．B.ααα123,,⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）．D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）．可能无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（）成立．Ｄ．x 是A+B 的属于λ的特征向量10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ｃ．B PAP =-1 ⒈A B ,为两个事件，则（ B ）成立． B. ()A B B A +-⊂⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件． C. AB =∅且AB U =⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D ）． D. 307032⨯⨯..4. 对于事件A B ,，命题（C ）是正确的． C. 如果A B ,对立，则A B ,对立⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）． D. )1()1()1(223p p p p p -+-+- 6.设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（A ）． A. 6,0.87.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a ba b ,()<，E X ()=（A）．A.xf x x ()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）． B.9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a P （D ）．D. f x x ab()d ⎰10.设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2，当（C ）时，有E Y D Y (),()==01． C. Y X =-μσ⒈设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则（A ）是统计量． A. x 1⒉设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则统计量（D ）不是μ的无偏估计D.x x x 123--二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-=-18 ．2．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ= ，则称λ为A 的特征值． 3设随机变量12~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a = 0.3．4．设X 为随机变量，已知3)(=X D ，此时D X ()32-= 27 ． 5．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ˆ()E θθ=． 6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-=8．7．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量．8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P0.3 ．9．如果随机变量X 的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20．10．不含未知参数的样本函数称为 统计量 ． 11. 设B A ,均为3阶矩阵，且3==B A ，则=--12AB -8 ．12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=070040111A ，_________________)(=A r ．213. 设A B C ,,是三个事件，那么A 发生，但C B ,至少有一个不发生的事件表示为 )(C B A +.14. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E15．15. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体N (,)μσ的一个样本，∑==ni i x n x 11，则=)(x D 16. 设B A ,是3阶矩阵，其中2,3==B A ，则='-12B A 12．17. 当λ=1 时，方程组⎩⎨⎧-=--=+112121x x x x λ有无穷多解．．18. 若5.0)(,6.0)(,9.0)(===+B P A P B A P ，则=)(AB P 0.2．19. 若连续型随机变量X 的密度函数的是⎩⎨⎧≤≤=其它,010,2)(x x x f ，则=)(X E 2/3．20. 若参数θ的估计量 θ满足E ( )θθ=，则称 θ为θ的无偏估计nσ． 1．行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为= -56．2．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,满足CB AC =，则A 与B 分别是n n s s ⨯⨯, 阶矩阵．3．设B A ,均为二阶可逆矩阵，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111O BA O⎥⎦⎤⎢⎣⎡O A B O ．4．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+++=+++326423343143214321x x x x x x x x x x x 一般解的自由未知量的个数为 2．5．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量．6． 设A ，B 为两个事件，若P （AB ）= P （A ）P （B ），则称A 与B 相互独立 ． 7．设随机变量X 的概率分布为则a = 0.3 ．8．设随机变量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3.03.04.0210~X，则E X ()=0.9． 9．设X 为随机变量，已知2)(=X D ，那么=-)72(X D 8．10．矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为1x ，2x ，3x ，4x ，5x （百分数），设铜含量服从N （μ，2σ），2σ未知，在01.0=α下，检验0μμ=，则取统计量 x t =1. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A B B A )(1'-． 2. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则_____=k .1-3. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P 6.0 ．4. 已知随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E 4.2．5. 设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~101101∑=i i x )104,(μN ． 1．设412211211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 2,2,1,1--2．设向量β可由向量组n ααα,,,21 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是n ααα,,,21 ． 线性无关3．若事件A ，B 满足B A ⊃，则 P （A - B ）= )()(B P A P - 4．．设随机变量的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k =π45．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x nx 11，则~x )1,0(nN7．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A =2 8．若向量组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k ．2≠9．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量．10．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()=0 ． 11．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D 1/3．12．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的无偏估计． ⒈210140001---=7 ．⒉---11111111x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．⒊若A 为34⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，切乘积AC B ''有意义，则C 为 5×4 矩阵．⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051． ⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,，则()A B +''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360⒍设A B ,均为3阶矩阵，且A B ==-3，则-=2AB 72 ． ⒎设A B ,均为3阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312()A B －3 ．⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵，则a= 0 ．⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥的秩为 2 ．⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则A O OA 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A ．⒈当λ=1时，齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ． ⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩３ ．⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的．⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα． ⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 ．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个． ⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为22110X k X k X ++．9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程0=-A I λ的根． 10．若矩阵Ａ满足A A'=-1，则称Ａ为正交矩阵．⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2/5． 2.已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,互不相容时，P A B ()+= 0.8 ，P AB ()= 0.3 ．3.A B ,为两个事件，且B A ⊂，则P A B ()+=()A P ．4. 已知P AB P AB P A p ()(),()==，则P B ()=P -1．5. 若事件A B ,相互独立，且P A p P B q (),()==，则P A B ()+=pq q p -+．6. 已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,相互独立时，P A B ()+= 0.65 ，P A B ()= 0.3 ．7.设随机变量X U ~(,)01，则X 的分布函数F x ()=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤111000x x xx ． 8.若X B ~(,.)2003，则E X ()= 6 ．9.若X N ~(,)μσ2，则P X ()-≤=μσ3)3(2Φ．10.E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y 的 协方差 ． 1．统计量就是不含未知参数的样本函数 ．2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和最大似然估 两种方法．3．比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性 ． 4．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（σ2已知）的样本值，按给定的显著性水平α检验H H 0010:;:μμμμ=≠，需选取统计量nx U /0σμ-=．5．假设检验中的显著性水平α为事件u x >-||0μ（u 为临界值）发生的概率．三、（每小题16分，共64分） A1．设矩阵A B =---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥112235324215011,，且有AX B ='，求X ．解：利用初等行变换得112100235010324001112100011210012301---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥112100011210001511112100011210001511即A-=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1201721511 由矩阵乘法和转置运算得X A B ='=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-12017215112011511111362 2.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，求B A 1-． 解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341A 由矩阵乘法得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-52012515105158500500021461351341B A3.已知B AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=108532,1085753321B A ，求X．解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1055200132100013211001085010753001321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1211002550103640211121100013210001321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→121100255010146001即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1212551461A由矩阵乘法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-12823151381085321212551461B A X 4.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=031052,843722310B A ，I 是3阶单位矩阵，且有B X A I =-)(，求X ．1. 解：由矩阵减法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-943732311843722310100010001A I利用初等行变换得113100237010349001113100011210010301⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥113100011210001111110233010301001111 →---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100132010301001111即()I A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-1132301111由矩阵乘法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-6515924031052111103231)(1B A I X 5．设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=21101211,1341102041121021B A ，求（1）A ；（2）B A I )(-． （1）13171020411*******41102041121021----=----=A =2513171200011317120121-=--=--（2）因为 )(A I-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------0341112041221020所以 B A I)(-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------⋅0341112041221020=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--21101211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----09355245．6．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=653312,112411210B A ，解矩阵方程B AX '=．解：因为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-120730001210010411100112010411001210 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→123100247010235001123100001210011201，得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-1232472351A 所以='=-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----123247235⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13729161813635132． 7设矩阵⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎡---=423532211A1）1111021121110211423532211=---=---=---=A（2）利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103210012110001211100423010532001211 →-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥112100011210001511112100011210001511 即A-=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥12017215118 .,3221,5231X B ，XA B A 求且=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Ｘ．．，B A B ，AX ．BA X，A AI 求且己知例于是得出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--18305210738525312341112353221123513251001132510011021130110015321)(119．设矩阵⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210211321,100110132B A 解：（1）因为210110132-=--=A12111210211110210211321-=-===B所以 2==B A AB ．（2）因为[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100010110001132I A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→10010011001012/32/1001100100110010101032所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1011012/32/11A ．10．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ．解：因为B X A I =-)(，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I A I⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→110100121010120001110100011110010101即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--11121120)(1A I所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X 11．设向量组)1,421(1'--=，，α，)4,1684(2'--=，，α，)2,513(3'--=，，α，)1,132(4'-=，，α，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组． 解：因为（1α 2α 3α 4α）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------12411516431822341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→11770075002341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00200011002341 所以，r (4321,,,αααα) = 3． 它的一个极大线性无关组是 431,,ααα（或432,,ααα）．1⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎦⎥121012103211114321002,,，求AC BC +．解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC 13写出4阶行列式：0352634020)1(1441=--=+a 45350631021)1(2442=---=+a14求矩阵1011011110110010121012113201⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩．解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-000000001110001110110110110101110000111000111011011011011221110011100011101101101101102311210121010011011110110143424131212r r r r r r r r r r ∴ 3)(=A R15．用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-2612100090392700188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+3311000411004615010124420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-31000101001001020001310004110046150101244200134241441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x xA2．求线性方程组 的全部解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0462003210010101113122842123412127211131⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000002200010101113106600022000101011131方程组的一般解为x x x x x x14243415=+==-⎧⎨⎪⎩⎪ （其中x 4为自由未知量） 令x 4=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .方程组相应的齐方程的一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x （其中x 4为自由未知量）令x 4=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为 10kX X X +=（其中k 为任意常数）2.当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++-=--+1479637222432143214321λx x x x x x x x x x x x有解，在有解的情况下求方程组的全部解． 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---19102220105111021211114796371221211λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1000010511108490110000105111021211λλ 由此可知当1≠λ时，方程组无解。
工程数学综合练习(一)
工程数学综合练习（一）一、单项选择题1. 设2321321321=c c c b b b a a a ，则=---321332211321333c c c b a b a b a a a a （ ）． A . 2- B . 2 C . 6 D . 6-2. 设A 是n s ⨯矩阵，B 是m s ⨯矩阵，则下列运算中有意义的是（ ）．A . AB B . BAC . 'A BD . AB '3. 已知⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21101210,20101B a A ，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1311AB ，则=a （ ）． A . 1 B . 1- C . 0 D . 24.B A ,都是n 阶矩阵（)1>n ，则下列命题正确的是 ( ) ．A ．BA AB = B ．若0=AB ，则0=A 或0=BC ．2222)(B AB A B A +-=-D ．B A AB =5. 若A 是对称矩阵，则等式（ ）成立．A . A A -='1B . A A =-C . A A ='D . '=-A A6. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5321A ，则=*A （ ）． A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1235 B . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----1235 C . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1235 D . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1325 7. 若⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321432143214321A ，则秩=)(A （ ）． A . 0 B . 1C . 2D . 48. 向量组10001200123012341111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,,的秩是（ ）． A . 4 B . 3 C . 1 D . 29. 向量组]532[,]211[,]422[,]321[4321'='='='=αααα的一个极大无关组可取为（ ）．A . 1αB . 21,ααC . 321,,αααD . 4321,,,αααα10. 向量组[][][]1,2,1,5,3,2,2,0,1321==-=ααα，则=-+32132ααα（ ）．A . []2,3,1-B . []2,3,1--C . []2,3,1-D . []2,3,111. 线性方程组⎩⎨⎧=+=+013221x x x x 解的情况是（ ）． A . 无解 B . 只有零解C . 有唯一非零解D . 有无穷多解12. 若线性方程组AX =0只有零解，则线性方程组AX b =（ ）．A . 有唯一解B . 有无穷多解C . 可能无解D . 无解13. 若n 元线性方程组AX =0有非零解，则（ ）成立．A . r A n ()<B . r A n ()=C . A =0D . A 不是行满秩矩阵14. 下列事件运算关系正确的是（ ）．A . BA AB B += B . BA A B A +=C . B B -=1D . A B BA B +=15. 对于随机事件A B ,，下列运算公式（ ）成立．A . )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ B . )()()(B P A P AB P =C . )()()(A B P B P AB P =D . )()()(B P A P B A P +=+16. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ ）．A .103 B . 203 C . 256 D . 259 17. 若随机事件A ,B 满足AB =∅，则结论（ ）成立．A . A 与B 是对立事件 B . A 与B 互不相容C . A 与B 相互独立D . A 与B 互不相容18. 若A B ,满足（ ），则A 与B 是相互独立．A . P AB P A P B ()()()+=+ B . )()()(B P A P B A P -=-C . )()()(B P A P AB P =D . )()()(B P A P B A P = 19. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．A . 41414121B . 161814121C . 1631614121D . 81834121- 20. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ，则=<)2(X P （ ）．A ．0.1B ．0.4C ．0.3D ．0.221. 随机变量)21,3(~B X ，则=≤)2(X P （ ）． A . 0 B . 81 C . 21 D . 87 22. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（ ）．A . 2,2-==b aB . 1,2-=-=b aC . 1,21-==b aD . 2,21==b a 23. 若)4,2(~N X ，Y =（ ），则Y N ~(,)01．A . 24+XB .42-X C . 22-X D . 22+X 24. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知）的样本，则（ ）是统计量．A . 1xB . μ+xC .221σx D . 1x μ 25. 设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计．A . 321x x x ++B .321525252x x x ++ C . 321515151x x x ++ D . 321535151x x x ++参考答案：1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A 9．B 10．B11．D 12．C 13．A 14．A 15．A 16．D 17．B 18．C 19．C20．B 21．D 22．C 23．C 24．A 25．D。
工程数学试题及答案
工程数学试题及答案《工程数学试题及答案》1. 数列与级数问题：找出以下等差数列的通项公式，并计算前n项和。
1) 3, 6, 9, 12, ...2) 1, 5, 9, 13, ...答案：1) 通项公式为a_n = 3 + 3(n-1)，前n项和为S_n = n(6 + 3(n-1))/2。
2) 通项公式为a_n = 1 + 4(n-1)，前n项和为S_n = n(2 + 4(n-1))/2。
2. 三角函数问题：求解以下方程在给定区间内的所有解。
1) sin(x) = 0.5，其中0 ≤ x ≤ 2π。
2) cos(2x) = 0，其中0 ≤ x ≤ π。
答案：1) 解为x = π/6, 5π/6。
根据周期性，可加2πn得到无穷解。
2) 解为x = π/4, 3π/4。
根据周期性，可加πn得到无穷解。
3. 极限与连续性问题：计算以下极限。
1) lim(x→0) (3x^2 + 2x) / x。
2) lim(x→∞) (e^x + 2x) / e^x。
答案：1) 极限等于2。
2) 极限等于2。
4. 微分与积分问题：求以下函数的导数和不定积分。
1) f(x) = 3x^2 + 4x + 1。
2) g(x) = sin(x) + cos(x)。
答案：1) f'(x) = 6x + 4，∫f(x)dx = x^3 + 2x^2 + x + C。
2) g'(x) = cos(x) - sin(x)，∫g(x)dx = -cos(x) - sin(x) + C。
5. 偏导数与多重积分问题：计算以下偏导数和二重积分。
1) 求f(x, y) = x^3 + 2xy - y^2的偏导数∂f/∂x和∂f/∂y。
2) 计算∬(x^2 + y^2)dA，其中积分范围为R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}。
答案：1) ∂f/∂x = 3x^2 + 2y，∂f/∂y = 2x - 2y。
(NEW)同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录
第1章 行列式
1.1 复习笔记
1.2 课后习题详解
1.3 考研真题详解
第2章 矩阵及其运算
2.1 复习笔记
2.2 课后习题详解
2.3 考研真题详解
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
3.1 复习笔记
3.2 课后习题详解
3.3 考研真题详解
第4章 向量组的线性相关性4.1 复习笔记
4.2 课后习题详解
4.3 考研真题详解
第5章 相似矩阵及二次型5.1 复习笔记
5.2 课后习题详解
5.3 考研真题详解
第6章 线性空间与线性变换6.1 复习笔记
6.2 课后习题详解
6.3 考研真题详解
第1章 行列式
1.1 复习笔记
一、二阶与三阶行列式
1二阶行列式
定义 将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：
则表达式就是数表的二阶行列式，并记作
2三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
记
该式称为数表所确定的三阶行列式．
二、全排列和对换
1全排列。
2022年自考27391工程数学(线性代数-复变函数)复习资料
2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料线性代数部分本课程考试采纳教材：《工程数学——线性代数》〔附大纲〕，申亚男、卢刚主编，外语教学与讨论出版社，2022年版。
考试的重点内容第一章行列式1.行列式的定义了解行列式的定义，掌控行列式的余子式与代数余子式，牢记上〔下〕三角行列式的计算公式，掌控用行列式定义计算含0特别多或结构非常的行列式。
2.行列式的性质理解行列式的性质，会用行列式性质化简行列式。
3.行列式按一行〔或一列〕开展娴熟掌控行列式按一行〔或一列〕开展的方法计算行列式。
第二章矩阵1.矩阵的概念理解矩阵的概念，掌控非常的方阵：上〔下〕三角形矩阵、对角矩阵和单位矩阵、对称矩阵和反对称矩阵。
2.矩阵的运算娴熟掌控矩阵的线性运算〔加法及数乘〕、乘法、方阵的方幂、转置等运算。
3.可逆矩阵4.矩阵的初等变换与初等矩阵娴熟掌控矩阵的初等变换，理解初等矩阵和初等变换的关系，会用初等行变换法求可逆矩阵的逆矩阵。
5.矩阵的秩知道矩阵的秩的定义，会用初等行变换求矩阵的秩。
第三章向量空间1.维向量空间2.向量间的线性关系会判断向量组的线性相关或线性无关，将给定的向量由向量组线性表出。
3.向量组的极大线性无关组掌控用矩阵的初等行变换求向量组的极大线性无关组。
4.向量组的秩与矩阵的秩掌控用矩阵的初等行变换求向量组的秩或矩阵的秩。
第四章线性方程组1.齐次线性方程组会判断齐次线性方程组是否有非零解，娴熟掌控用初等行变换求齐次线性方程组的基础解系及其通解。
2.非齐次线性方程组会判断非齐次线性方程组解的状况〔无解、有唯一解、有无穷解〕，娴熟掌控用初等行变换求非齐次线性方程组的通解。
第五章矩阵的相像对角化1.特征值与特征向量理解特征值与特征向量的定义，掌控求特征值与特征向量的方法。
2.相像矩阵与矩阵对角化理解矩阵相像的概念，掌控将矩阵化为相像对角矩阵的方法。
同济版 工程数学-线性代数(第五版)期末复习知识要点(成都大学田晓滨老师作品)
a1 n a2 n K a n1
an1
√ 逆矩阵的求法:
ο
an1
ο
成都大学田晓滨老师作品
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同济版 工程数学- 线性代数(第五版)期末复习知识要点
① A −1 =
A∗ A
初等行变换 ② ( AM E ) ⎯⎯⎯⎯ ( E M A− 1 ) → −1
⎡a b ⎤ 1 ③⎢ ⎥ = ad − bc ⎣c d ⎦ ⎡ a1 ⎢ ④⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ A1 ⎢ ⑤⎢ ⎢ ⎢ ⎣
① 若 A与 B 都是方阵（不必同阶）,则
A ∗ A ο A ο = = =A B ο B ∗ B ο B
∗ A = ( −1)mn A B B ο
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ∗ ③关于副对角线：
a1 n a2 n −1
N =
ο a2 n −1
N
a1 n
= ( −1)
n (n −1) 2
T
,
则：ri = Aβi , i = 1, 2,L , s ,即 A(β1 , β2 ,⋅⋅⋅ , β s ) = ( Aβ1 , Aβ2 ,L , Aβ s )
√ 用对角矩阵 Λ 左乘一个矩阵,相当于用 Λ 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵 Λ 右乘一个矩阵,相当于用 Λ 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
13
记作： {α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n } = { β1 , β2 , ⋅⋅⋅, βn } %
记作： A = B %
矩阵 A 与 B 等价 ⇔ r ( A ) = r (B ) ≠> A , B 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵 A 与 B 作为向量组等价 ⇔ r (α1 ,α 2 , ⋅⋅⋅,α n ) = r (β1 , β 2 , ⋅⋅⋅, β n ) = r (α1 ,α 2 , ⋅⋅⋅α n , β1 , β2 , ⋅⋅⋅, βn ) ⇒ 矩阵 A 与 B 等价.
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工程数学复习资料一(选择题) 精品文档
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2015下工程数学复习资料一（选择题等做完大题目再来做） 1方程组331232121axxaxxaxx 相容的充分必要条件是（ B ），其中 )3,2,1(,0iai
A 0321aaa B 0321aaa C0321aaa D 0321aaa 2设A、B 是两个事件，则下列等式中 （ C ） 是不正确的。 A P（AB）=P（A）P（B），其中A,B 相互独立 B P（AB）=P（B）P（A|B），其中P（B）≠ 0 C P（AB）=P（A）P（B），其中A,B 互不相容 D P（AB）=P（A）P（B|A），其中P（A）≠ 0
3设321,,xxx 是来自正态总体N（μ，σ2）的样本，μ未知，则下列 （ D ）不是统计量。
A 3131iix B 31iix C 32132xxx D )(3131iix 4设 A、B 都是n 阶方阵，则下列命题正确的是（A ）。 A |AB|=|A| |B| B 2222)(BABABA C AB=BA D 若AB=0，则A=0或B=0
5已知2维 向量组α1，α2， α3，α4
，
则 r（α1，α2， α3，α4 ） 至多是 （B ）
A 1 B 2 C 3 D 4 6设AX=0 是n元线性方程组，其中A是n 阶矩阵，若条件（ D ）成立，则该方程组没有非零解。 A、r（A ）< n B、A 的行向量线性相关 C、|A| =0 D、A是行满秩矩阵 7袋中有3个红球2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（B） A 6 / 25 B 3 / 10 C 3/ 20 D 9 / 25 8设 A、B 为n 阶矩阵（n>1），则下列等式成立的是（ D ）。 A AB=BA B （AB）′=A′B′ C（AB）′=AB D （A+B）′=A′+B′
9 向量组
0001
，0021，0321，0321，0111的秩是（B ） A 2 B 3 C 4 D 5
10线性方程组013221xxxx 解的情况是（ D ）。 A只有零解 B有唯一非零解 C无解 D有无穷多解 11下列事件运算关系正确的是（ A ）。
A BAABB B ABBAB C BAABA D BB1 12设321,,xxx 是来自正态总体N（μ，σ2）的样本，其中μ，σ2 是未知参数，则（B ）是统计量。 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 A 2x B 3321xxx C 1x D 1x 13设 A、B 都是n 阶矩阵（n>1）， 则下列命题正确的是（ C ）。 A 2222)(BABABA B AB=0且A≠0，则B=0 C BABA)( D 若AB=AC且A≠0，则B=C 14若线性方程组AX=0 只有零解，则线性方程组AX=b（ D ）。 A 有唯一解 B 无解 C 有无穷多解 D 解的情况不能确定 15袋中有3个红球2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D） A 6 / 25 B 3 / 10 C 3/ 20 D 9 / 25
16设)(xf和)(xF分别是随机变量X的分布密度函数和分布函数，则对任意ba有)(bXaP =（B ）。 A)()(bFaF Bbadxxf)( C badxxF)( D)()(afbf 17下列命题中正确的是（ C ） A n个n维向量组成的向量组一定线性相关 B 向量组α1，α2， …，αs 是线性相关的充分必要条件是以α1，α2， …，αs为系数的齐次线性方程组
k1α1+ k2 α2+ …+ ks αs=0有解
C向量组α1，α2， …，αs ，0 的秩至多是 s
D设A是m×n矩阵且 m < n，则A 的行向量线性相关
18设线性方程组AX=B 的两个解为X1，X2（X1≠X2），则下列向量中（ D ）一定是AX=B的解。 A X1+X2 B X1－X2 C X1－2X2 D 2 X2－X1 19 设X～N（50，102），则随机变量 （ B ） ～ N（0，1）
A 10050X B 1050X C50100X D 5010X 20对正态总体N （μ，σ2）的假设检验问题中，U检验法解决的问题是（ A）。
A 已知方差，检验均值 B 未知方差，检验均值 C 已知均值，检验方差 D未知均值，检验方差
21若0351021011x, 则x（ A ） Ａ３ Ｂ２ Ｃ－３ Ｄ－２
22设 A、B 为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ C ）。 A AB=BA B （AB）′=A′B′ C（A+B）′=A′+B′ D （AB）′=AB 23若事件A，B 满足（ B ），则A与B相互独立。 A P（B）=P（A）P（B|A） B P（AB）= P（A）P（B） C P（A－B）=P（A）－P（B） D P（A）=P（B）P（A|B） 24若随机变量X的期望和方差分别为E（X） 和D（X），则等式（ D ）成立。
A、 D（X）=E[X－E（X）] B、 D（X）= E（X2）+ [E（X）]2 C、 D（X）=E（X2） D、 D（X）= E（X2）－[E（X）]2 25设 A为3×4矩阵，B为5×2矩阵，当C 为（ B ）矩阵时，乘积AC′B′有意义。 A 4×2 B 2×4 C 3×2 D 4×5 26向量组α1=[0，0，0]，α2=[1，0，0]， α3 =[1，2，0]，α4 =[1，2，3]的极大线性无关组是（A ） A α2， α3，α4 B α2， α4 C α3，α4 D α2， α3 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 27若线性方程组的增广矩阵为
41221A，则当λ=（ D ）时线性方程组有无穷多解。
A 1 B 4 C 2 D 1 / 2 28 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（ C） A 1 / 36 B 1 / 18 C 1/ 12 D 1 / 11 29 在对单正态总体N （μ，σ2）的假设检验问题中，T检验法解决的问题是（ B ）。
A 已知方差，检验均值 B 未知方差，检验均值 C 已知均值，检验方差 D未知均值，检验方差
30设 A是对称矩阵，则条件（B ）成立。 A IAA1 B A′=A C 1AA DAA1
31 17453 （ D ） 。 A 3547 B 3547 C 3457 D 3457 32若（ A ）成立，则n元线性方程组AX=0有唯一解。 A、秩（A）=n B、A≠ 0 C、秩（A）< n D、A 的行向量组线性无关 33若条件（ C ）成立， 则随机事件A、B 互为对立事件。 A AB=Ø 或A+B=U B P（AB）=0或P（A+B）=1 C AB=Ø 且A+B=U D P（AB）=0且P（A+B）=1
34对来自正态总体X～N （μ，σ2）（μ未知）的一组样本321,,XXX，记3131iiXX
则下列各式中（ C ）不是统计量。 A X B 31iiX C 312)(31iiX D 312)(31iiXX 35设 A、B 都是n 阶方阵，则下列命题正确的是（A ）。 A |AB|=|A| |B| B 2222)(BABABA C AB=BA D 若AB=O，则A=O或B=O
36 向量组001，011，
320
，732的秩是（B ） A 1 B 3 C 2 D 4
37 n元线性方程组AX=b有解的充分必要条件是 （ A ） 。 A、r（A ）=r（A b） B、A不是行满秩矩阵 C、 r（A ）< n D、r（A ）=n
39 设321,,xxx 是来自正态总体N（μ，σ2）的样本，则（C ）是μ的无偏估计
A 321515151xxx B 321xxx C 321535151xxx D 321525252xxx
40方程组331232121axxaxxaxx 相容的充分必要条件是（B ），其中 )3,2,1(,0iai A 0321aaa B 0321aaa C0321aaa D 0321aaa 41下列命题中不正确的是（D）。 A、A 与 A′有相同的特征多项式 B、若是A的特征值，则0)(XAI的非零解向量必是A对应于的特征向量 C、若0是A的一个特征值，则 AX=0 必有非零解