人教版数学高二A版选修4-5单元整合第四讲数学归纳法证明不等式

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专题一正确使用数学归纳法

同学们在刚开始学习数学归纳法时，常常会遇到两个困难，一是数学归纳法的思想实质不容易理解，二是归纳步骤的证明有时感到难以入手．本专题将对两种常见的错误进行讨论、整理，以帮助学生进一步理解数学归纳法的原理，弄清它的实质，从而明确如何正确地使用数学归纳法．

(1)缺少数学归纳法的第二步．

有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立，那么由P(k)成立导出P(k＋1)成立是必然的，因此第二步归纳步骤是流于形式，证与不证似乎一样，显然这是不正确的．产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用，如果没有递推性，那么一个命题可能对于开头的许多自然数都成立，但是一般的并不成立，我们举几个例子来看看．

n+的数，n＝0,1,2,3,4时，它的值分十七世纪法国卓越的数学家费尔玛考查了形如221

别为3,5,17,257,65 537.这5个数都是质数．因此费尔玛就猜想：对于任意的自然数n，式子22n＋1的值都是质数．但是在十八世纪另一位卓越的数学家欧拉指出n＝5时，

5

2

+＝4 294 967 297＝641×6 700 417.

21

是个合数，费尔玛的猜想错了．

这就充分说明我们不能把不完全归纳法当成证明，用数学归纳法证明时第二步不可缺少．

(2)缺少数学归纳法的第一步．

也有人觉得既然第二步归纳步骤中有递推作用，而且k又可以任意取值，这样就够了，有没有第一步P(1)无关紧要．这种认识也是错误的，它忽视了第一步的奠基作用，因为如果没有P(1)成立，归纳假设P(k)成立就没有了依据，因此递推性也就成了无源之水，无本之木，下面我们看一个这样的例子．

【例】如果不要奠基步骤，我们就可以证明(n＋1)2＋(n＋2)2一定是偶数(n∈N＋)．

剖析：假设n＝k时命题成立，即(k＋1)2＋(k＋2)2是偶数．当n＝k＋1时，

[(k ＋1)＋1]2＋[(k ＋1)＋2]2＝(k ＋2)2＋(k ＋1)2＋4(k ＋1)＋4＝(k ＋1)2＋(k ＋2)2＋4(k ＋2)． 由假设(k ＋1)2＋(k ＋2)2是偶数，又4(k ＋2)也是偶数，所以上式是偶数，这就是说n ＝k ＋1时命题也成立．

由此，对于任意的正整数n ，(n ＋1)2＋(n ＋2)2一定是偶数．

这个结论显然是错误的，原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤，实际上，n ＝1时，(1＋1)2＋(1＋2)2＝4＋9＝13不是偶数，这说明使用数学归纳法时缺第一步不可．

应用用数学归纳法证明，对于n ∈N ＋，11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝n

n ＋1.

证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝1

2，

所以等式成立．

(2)假设n ＝k 时等式成立，即

11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k (k ＋1)＝k

k ＋1， 当n ＝k ＋1时，

11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k (k ＋1)＋1

(k ＋1)(k ＋2) ＝

k k ＋1＋1

(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋1k ＋2

. 由(1)(2)可知，对于任意的n ∈N ＋，所证等式都成立． 专题二 数学归纳法证题的几种技巧

在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P (k )”是问题的条件，而命题P (k ＋1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．

1．分析综合法

用数学归纳法假设证明关于正整数n 的不等式，从“P (k )”到“P (k ＋1)”，常常可用分析综合法．

应用1求证：对任意正整数n ，有13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2成立． 提示：这是一个等式证明问题，它涉及全体正整数，用数学归纳法证明．用数学归纳法证明恒等式，关键是第二步要用上假设，证明n ＝k ＋1时，原等式成立．

证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，所以原等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即13＋23＋…＋k 3＝(1＋2＋…＋k )2. 当n ＝k ＋1时，13＋23＋…＋k 3＋(k ＋1)3 ＝(1＋2＋…＋k )2＋(k ＋1)3

＝⎣⎡⎦⎤k (k ＋1)22＋(k ＋1)3＝⎝⎛⎭⎫k ＋122[k 2

＋4(k ＋1)] ＝⎣⎡

⎦⎤(k ＋1)(k ＋2)22

＝[1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)]2

，

即当n ＝k ＋1时，原等式也成立．

综合(1)(2)可知，对任何n ∈N ＋，原等式都成立． 应用2设a ，b 为正数，n ∈N ＋，求证：a n ＋b n 2≥

⎝⎛⎭⎫a ＋b 2n

.

提示：这是一个不等式证明问题，它涉及全体正整数n ，用数学归纳法证明． 证明：(1)当n ＝1时，a ＋b 2≥a ＋b

2，显然成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，不等式成立，

即a k ＋b k 2≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 2k .则n ＝k ＋1时，要证明不等式成立，即证明a k ＋

1＋b k ＋

12≥

⎝⎛⎭⎫a ＋b 2k ＋1

. 在a k ＋b k 2≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 2k 的两边同时乘以a ＋b 2，得

(a ＋b )(a k ＋b k )4≥

⎝⎛⎭⎫a ＋b 2k ＋1

.

要证明a k ＋

1＋b k ＋

12≥

⎝⎛⎭⎫a ＋b 2k ＋1

，只需证明 a k ＋

1＋b k ＋12≥(a ＋b )(a k ＋b k )4. 因为a k ＋

1＋b k ＋

12≥(a ＋b )(a k ＋b k )4

⇔2(a k ＋1＋b k ＋1)≥(a ＋b )(a k ＋b k )

⇔2(a k ＋1＋b k ＋1)－(a k ＋1＋ab k ＋ba k ＋b k ＋1)≥0 ⇔a k ＋1－ab k －ba k ＋b k ＋1≥0 ⇔(a －b )(a k －b k )≥0.

又a －b 与(a k －b k )同正负(或同时为0)，所以最后一个不等式显然成立，这就证明了当n ＝k ＋1时，不等式成立．

综合(1)(2)可知，对任何n ∈N ＋，不等式a n ＋b n 2≥

⎝⎛⎭⎫a ＋b 2n

成立． 2．放缩法

涉及关于正整数n 的不等式，从“k ”过渡到“k ＋1”，有时也考虑用放缩法． 应用3求证：1＋12＋13＋…＋12

n －1＞n

2(n ∈N ＋)．

提示：利用数学归纳法证明不等式关键是利用放缩、凑假设、凑结论．但要注意从n ＝k 变化到n ＝k ＋1时增加了多少项，减少了多少项，一般用f (k ＋1)－f (k )研究增加或减少的