实变函数练习题
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一、填空题
1. 若()=[,)1,2,...n A n n +∞=,则lim n n A →∞=__________.
2. 设集合B A ⊂,则c
c B A .(),,⊂⊃=填符号 3. 若222{(,)1},E x y x y =∈+<¡则E 的边界集E ∂为_____________.
4. 离散集的Lebesgue 测度为___________.
5. 设C 为[0,1]上的Cantor 集,,,()0,[0,1],
x x C f x x C ∈⎧=⎨∈-⎩计算[0,1]()f x dx =⎰___. 二、单项选择题
1.下列说法正确的是 __________.
A .自然数集与无理数集对等;
B .任何无穷集都有一个可数子集;
C .与实数集对等的集合为可数集;
D .无理数集与有理数集对等.
2.下列关于[0,1]上狄利克雷函数D(x)的说法错误的是 __________.
A .D(x)是黎曼可积的;
B .D(x)的Lebesgue 积分为0;
C .D(x)是一个可测函数;
D .D(x)=0a.e.[0,1].
3.下列说法错误的是 __________.
A .若A
B ⊂,则m A m B **≤;
B .若()1,2,3,...i S i =均为Lebesgue 可测集,则1i i S ∞
= 为Lebesgue 可测集;
C .设n E ⊂ ,若E 为Lebesgue 可测集,则E 的余集C E 也是Lebesgue 可测集;
D .设n
E ⊂ ,如果0m E *=,则E 为Lebesgue 可数集.
4. 若(){}n f x 在E 上依测度收敛于()f x ,则下面说法正确的是( )。
.A 对任意0>δ,存在可测集δδδ<-⊂)(,E E m E E 满足,使得)(x f n 在δE 上一致收敛到()f x ;
.B )(x f n 在E 上逐点收敛到()f x ;
.C 存在)(x f n 的子序列)(x f k n 几乎处处收敛到()f x ;
.D 以上说法都不对.
5. 下述命题中不成立的是__________________.
A. Lebesgue 可积函数几乎处处有限;
B. 若()f x 是E 上的有界函数,则()f x 在E 上Lebesgue 可积;
C. 两个可积的可测函数几乎处处相等,则它们的Lebesgue 积分相等;
D. 设()f x 是E 上的Lebesgue 可测函数,则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函 数当且仅当正部f +和负部f -都是E 上的Lebesgue 可积函数.
三、判断题,对的打“√”,错误的打“×”
1.可数个可数集的并还是可数集. ( )
2. 任意一簇闭集之交仍为闭集. ( )
3.f 是E 上的Lebesgue 可测函数,则f 是E 上的Lebesgue 可测函数.
4.零测集上的可测函数Lebesgue 积分为0. ( )
5.有界变差函数满足牛顿—莱布尼兹公式. ( )
四、叙述题
请写出叶戈罗夫定理,并举例说明条件mE <∞不能改为.mE =∞
五、证明题
对两个集合A 和B ,证明下列结论是等价的:
()()()123.A B A B B A B A ⊆== ;;
六、证明题
如果一个复数是一个非零整系数多项式的根,则称之为一个代数数.证明所有代数数构成的集合是可数集
七、证明题
利用Lebesgue 积分的绝对连续性证明:
设()f x 是有界可测集E 上的可积函数,1k k E E ∞
== ,其中()1,2,k E k = 为可测集
且两两不相交,则()()1.k E k E f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰
八、计算题 计算()2222[,)lim 00.1n x a n n xe dx a x -∞→∞=>+⎰,