相似三角形的性质_练习题有答案
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18.6 相似三角形的性质同步课堂检测学120 分考试时间：120 考试总分：分钟考号：__________ 班级：姓名：学校：
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为，继续往前走到达处时，的高度，那么路灯测得影子的长为，他的身高是
D.
A.
B.
C.
的面积等于，则的面2.如图，在中，若，，若）积等于（
D.
C. A. B.
）的值为（，那么如图，3. 中，，如果，
D. A.
B. C.
，则， 4.如图，在中，，是边上的高，
D. A.
B. C.
）的长为（，则，上的高，斜边是如图，5.
D.
A. B. C.
，则这两个三角形的周长比为（6.两个相似三角形的面积之比为）
D.
A.
B.
C.
，一个三角形的三边分别为7. ，另一个与它相似的三角形中有一条边长为，，则这个
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）三角形的周长不可能是（
D.
C.
B. A.
的两条线段三等分，如8.一个，则这两条果的面积被平
行于它的一边
）线段中较长的一条是（
D.
B. C.
A.
如9.平于图，交于点中，，为分点，交，．下列结论；，的中点，交①的延长线于点，，其中结论正确的个数有）（③②；；④
D.个C.个A.个B.个
，则的上的点，、如图，分别是边、，若10.
）值为（
D.
B. C. A.
分）3二、填空题（共10小题，每小题分，共30
相似三角形的判定方法11. ）和．型（图））则型（图若（
射影定理：若斜边上的高（双直角图形）图为则，且．，，，则图中线段的长12.如图，，，已知，．，
，且若13. ，的周长为，则的
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2
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________ ．周长为
．，若，则如图，已知14. ，，交于点
，则，，在15. 中，、分别在、上，，
．
，过点的直线截，使截得的三角形与中，在16. 是上的动点异于、，（为自然数）．相似，我们不妨称这种直线为过点的的相似线，简记为
，，当时，、(1)如图①，
都是过点），的，的相似线（其中此外还有条．时，如图②，，，当截得
面积的．的三角形面积为
在底边上，且，点为腰中点，点中，17.如图，在，的长为．，则
．已知：如图，在18. ，，求中，，，垂足是
．
19，那么这两个三角形面积的比 .．是如果两个相似三角形的相似比是
20的面积 .，，且为若，，的面积为则________ ．三、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）
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，，，21.如图，已知，分别是的，上的一点，
的长．，求
平分，求证：延长线于的中垂线，交，是中，22.已知在．
23.如图所示，在中，点是上一点，连接，且，
与的相似比．．求
，连接，试判断与、，垂足分别为，中，如图，在24. 是否相似，并说明理由？
，延25.如图，在于点长边上的点，为，点中，交．于点
4
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证明：；
，；并说明理由．若
答案
1.C
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2.D
3.C
4.C
5.D
6.C
7.C
8.D
9.C
10.D
11.
12.
13.
14.
15. 16. ．或
17.
18.
19.
20.
，、∵、分别是边上的点，的21.解：，∴，∵∴，．∴
22.证明：连接，的中垂线，∵是，∴，∴且，，∴，且，∴，
∴，
∴，∴．
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6
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23.解：∵，∴，
，，∵
∴，，则的相似比为：与．故24.解：相似．理由如下：
∵在中，，分别是，边上的高，
，∴
，∵
，∴
∴，即，
∵是公共角，．∴
25.．
线段线段26.
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相似三角形试题及答案
相似三角形试题及答案
一、选择题
1. 已知两个三角形相似，下列说法正确的是（）
A. 对应角相等
B. 对应边成比例
C. 对应角相等且对应边成比例
D. 面积相等
答案：C
2. 若两个三角形的相似比为2:3，则下列说法正确的是（）
A. 周长比为2:3
B. 周长比为3:2
C. 面积比为4:9
D. 面积比为9:16
答案：C
二、填空题
1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则BC:EF=______。
答案：2:3
2. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为1:2，则三角形ABC
的面积是三角形DEF面积的______。
答案：1/4
三、解答题
1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，求BC和EF 的长度。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例。
因此，BC:EF=AB:DE=6:9=2:3。
设BC=2x，则EF=3x。
由于AB:DE=2:3，所以2x/3x=6/9，解得x=3cm。
因此，BC=6cm，
EF=9cm。
2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且三角形ABC的面积为24平方厘米，三角形DEF的面积为36平方厘米，求相似比。
答案：设相似比为k，则三角形ABC与三角形DEF的面积比为k^2。
因此，k^2=24/36=2/3，解得k=√(2/3)。
所以相似比为√(2/3)。
相似三角形测试题及答案
相似三角形测试题及答案一、选择题1. 在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。
以下哪个选项不是相似三角形的性质？A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 面积比等于相似比的平方D. 周长比等于相似比答案：D2. 如果两个三角形的相似比为2:3，那么它们的面积比是多少？A. 2:3B. 4:9C. 3:2D. 9:4答案：B二、填空题3. 三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为3:4，若三角形ABC的面积为9平方厘米，则三角形DEF的面积为_________平方厘米。
答案：164. 在相似三角形中，如果一个三角形的周长是另一个三角形的周长的2倍，那么它们的面积比是_________。
答案：4:1三、解答题5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，BC=6cm，求DE的长度。
答案：DE=9cm6. 一个三角形的底边长是另一个三角形底边长的3倍，高是另一个三角形高的2倍，求这两个三角形的面积比。
答案：面积比为6:1四、证明题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A=∠D，∠B=∠E，证明：∠C=∠F。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的对应角相等的性质，可以得出∠C=∠F。
8. 证明：如果两个三角形的对应边成比例，且至少有一组对应角相等，那么这两个三角形是相似的。
答案：设两个三角形为△ABC和△DEF，且AB/DE=BC/EF=AC/DF，∠A=∠D。
根据相似三角形的判定定理，若两个三角形的两组对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。
因此，△ABC∽△DEF。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何形状的比较和计算中起着重要的作用。
通过相似三角形的练习题，我们可以加深对这一概念的理解，并提高解决几何问题的能力。
下面，我将给大家提供一些相似三角形的练习题，并附上详细的解答。
1. 题目：已知两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且AB/DE = BC/EF = AC/DF。
证明三角形ABC与三角形DEF相似。
解答：根据已知条件，我们可以得到三个比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
根据相似三角形的定义，我们知道如果三个角分别相等，并且对应的边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。
首先，由于∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，所以三个角分别相等。
其次，根据比例关系AB/DE = BC/EF = AC/DF，我们可以得到AB/DE = BC/EF，即AB/BC = DE/EF。
同理，AB/AC = DE/DF。
综上所述，根据相似三角形的定义，我们可以得出结论：三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 题目：已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，DE=9cm，求EF的长度。
解答：根据相似三角形的性质，我们知道相似三角形的对应边的比例相等。
即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
已知AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，DE=9cm，代入比例关系得：6/9 = 8/EF = 10/DF。
解方程可得EF = 8/6 × 9 = 12cm。
所以，EF的长度为12cm。
通过以上两个练习题，我们可以看到相似三角形的概念在解决几何问题时起到了重要的作用。
相似三角形的性质和定理可以帮助我们推导出一些几何关系，从而简化问题的求解过程。
在实际应用中，相似三角形的概念也经常被用于测量高度、距离等问题。
例如，通过测量一棵树的阴影和一个人的阴影的长度，可以利用相似三角形的原理计算出树的高度。
人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试(含答案)
人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）一、选择题（每小题6分，共48分）1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（ ） A ．15 B ．10 C.6215 D ．15322．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（ ）A ．1：2B ．1：)12(-C ．1：)13(-D ．)13(-：33．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD 为（ ） A ．85B ．6425 C ．3925 D ．8925 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是（ ）A.29，16 B. 9，4 C. 29，8 D. 49，165．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ； （3）ABAC AD CD =；（4）AB 2=BD ·BC 。
其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图1—5—3，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且31AC AD =，AE=BE ，则有（ ）A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 31QC =，则AB 等于（ ） A. 415B. 436C. 217D. 58．如图1—5—5，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FDAD等于（ ）A ．3：1B ．3：1C ．3：2 D. 7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（ ） A ．等腰三角形 B. 任意三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（ ） A ．相似，但不全等 B ．全等C ．一定相似D ．无法判断是否相似11．如图1—6—1，正方形ABCD 中，E 是AB 上的任一点，作EF ⊥BD 于F ，则BEEF为（ ）A ．22B ．21C ．36D ．2图1—6—112．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若2AB =，则此三角形移动的距离AA'是（ ）A ．12-B ．22C ．1D ．21 图1—6—213．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．34C ．4D ．6 图1—6—314．如图1—6—4，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（ ）A.265cm B ．64cm C ．65cmD ．325cm16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45AC AB =，则EACE=（ ） A ．2516 B ．54C ．45D ．162517．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。
相似三角形性质完整的题型+答案
相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。
4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。
二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。
变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。
A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。
(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。
变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。
(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。
(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。
例题:如图，已知DE//BC ，AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 4:15 。
变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。
A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2答案：D 。
例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求: (1)S △AOD :S △BOC 的值；(2)S △AOB :S △AOD 的值. 答案:(1)9:25 (2)5:3。
相似三角形专题练习(培优)附答案
相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
专题2.14相似三角形的性质与判定大题专练
2023-2024学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.14相似三角形的性质与判定大题专练（期末培优30题）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022秋•茌平区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠CDE＝90°＝∠B．又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA．（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，∴BC=4．∵E是BC中点，∴CE=12BC＝2．∵△CDE∽△CBA，∴DEBA=CECA，即DE3=25，∴DE=2×35=65．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出DE的长．2．（2022秋•大连期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝∠BAC，CD＝1，BD＝3，求AC 的长．【答案】AC＝2．【分析】由题意可得BC＝BD+CD＝4，根据∠ADC＝∠BAC，公共角∠C＝∠C，即可证明△ADC∽△BAC，根据相似三角形的性质即可得到结果．【解答】解：∵CD＝1，BD＝3，∴BC＝BD+CD＝4，∵∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC，∴CDAC=ACBC，即AC2＝CD•BC＝4，∴AC＝2（负值舍去）．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定方法是解题关键．3．（2022秋•黄埔区期末）如图，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的长．【答案】EC＝4．【分析】根据AB⊥BC，EC⊥BC可得∠C＝∠B＝90°，由对顶角相等得∠CDE＝∠BDA，则△DCE∽△DBA，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠C＝∠B＝90°，∵∠CDE＝∠BDA，∴△DCE∽△DBA，∴DCBD=ECAB，∵AB＝12，BD＝15，DC＝5，∴515=EC12，∴EC＝4．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知两个三角形相似，对应边的比相等是解题关键．4．（2022秋•济南期末）如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，∠1＝∠B，AD＝4，AC＝6，求：AB的长．【答案】见试题解答内容【分析】由条件可证明△ACD∽△ABC，于是可得AC2＝AD•AB，再代入已知数据即可求出AB的长．【解答】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A∴△ACD∽△ABC∴ADAC=ACAB∴AC2＝AD•AB而AD＝4，AC＝6∴AB＝9故AB的长为9．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例由已知线段求未知线段是基本思路．5．（2021秋•蓝田县期末）如图，在△ABC与△ADE中，ABAD=ACAE，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC∽△ADE．【答案】见试题解答内容【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．【解答】解：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵ABAD=ACAE，∴△ABC∽△ADE．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．6．（2022秋•启东市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC ＝∠ADB．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC＝∠ADB可得出∠ADE＝∠C，结合∠DAE＝∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD＝AB即可得出AB的长．【解答】（1）证明：∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠ADB＝∠DAE+∠C，∠DEC＝∠ADB，∴∠ADE＝∠C．又∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴ADAC=AEAD，即AD13=1AD，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．7．（2021秋•连平县校级期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，且∠ADE＝∠B，其中AE＝1.5，AC＝2，BC＝2，求DE的长．【答案】见试题解答内容【分析】先判断△ADE∽△ABC，然后利用相似比可计算出DE的长．【解答】解：∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC=DEBC，即1.52=DE2，∴DE＝1.5．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．8．（2021秋•临湘市期末）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．（1）求证：△ADE∽△EFC；（2）若AD＝4，DE＝6，AEEC=2，求EF和FC的值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，由EF∥AB可得出△EFC∽△ABC，再利用相似于同一三角形的两三角形相似可证出△ADE∽△EFC；（2）由△ADE∽△EFC，利用相似三角形的性质可求出EF和FC的值．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC；∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC．（2）解：∵△ADE∽△EFC，∴EFAD=ECAE=FCDE，即EF4=12=FC6，∴EF＝2，FC＝3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）牢记“相似于同一三角形的两三角形相似”；（2）利用相似三角形的性质，求出EF和FC的值．9．（2022秋•北碚区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFD＝∠C．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝AF＝DE的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）DE的长为12．【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，从而得∠ADE＝∠DEC，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答；（2）根据（1）的结论利用相似三角形的性质即可求出DE＝12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝8，∵△ADF∽△DEC，∴ADDE=AFDC，∴DE＝12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2022秋•长安区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8．在BC的延长线上取一点B，使CE=1 3BC，连接AE，AE与CD交于点F．（1）求证：△ADF∽△ECF；（2）求DF的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由平行四边形的性质可得出AD∥BE，从而得出∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，即证明△ADF∽△ECF；（2）由平行四边形的性质可得出AD＝BC，AB＝CD＝8，即得出ADCE=3，再根据相似三角形的性质可得出ADCE=DFCF，即DFCF=3，最后结合CD＝DF+CF，即可求出DF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，即AD∥BE，∴∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，∴△ADF∽△ECF；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD＝8，∴CE=13AD，即ADCE=3．∵△ADF∽△ECF，∴ADCE=DFCF，即DFCF=3．∵CD＝DF+CF，∴DF=34CD=6．【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性质是解题关键．11．（2022秋•内江期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝∠B．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝5，BC＝6，BD＝2，求点E到BC的距离．【答案】（1）见解析过程；（2）3225．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由外角的性质可得∠BAD ＝∠CDE ，可得结论；（2）由相似三角形的性质可求解．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝∠ADE +∠CDE ，∴∠BAD ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△DCE ；（2）如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，过点E 作EM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝3，∴AH ==4，∵BD ＝2，BC ＝6，∴DC ＝4，S △ABD =12×BD •AH ＝4，∵△ABD ∽△DCE ，∴S △ABD S △CDE =（AB CD ）2=2516，∴S △CDE =6425，∴12×4×EM =6425，∴EM =3225，∴点E 到BC 的距离为3225．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．12．（2023春•太仓市期末）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD ＝AB ，∠DEC ＝∠B ．（1）求证：△AED ∽△ADC ；（2）若AE ＝1，EC ＝3，求AB 的长．【答案】（1）证明见解答．（2）AB ＝2．【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC ＝∠ADB 可得出∠ADE ＝∠C ，结合∠DAE ＝∠CAD 即可证出△AED ∽△ADC ；（2）利用相似三角形的性质可求出AD 的长，再结合AD ＝AB 即可得出AB 的长．【解答】（1）证明：∵AD ＝AB ，∴∠ADB ＝∠B ，∵∠DEC ＝∠B ，∴∠DEC ＝∠ADB ，又∵∠DEC +∠AED ＝180°，∠ADB +∠ADC ＝180°，∴∠AED ＝∠ADC ，又∵∠EAD ＝∠DAC ，∴△AED ∽△ADC ．（2）解：由（1）可知，△AED ∽△ADC ，∴AE AD =AD AC ，∵AE ＝1，CE ＝3，∴AC ＝4，将AE 、AC 的值代入上式，得：AD 2＝AE ×AC ＝4，故AD ＝2，又∵AB ＝AD ，∴AB ＝2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED ∽△ADC ；（2）利用相似三角形的性质，求出AD 的长．13．（2022秋•路北区期末）如图，AB ＝4，CD ＝6，F 在BD 上，BC 、AD 相交于点E ，且AB ∥CD ∥EF ．（1）若AE ＝3，求ED 的长．（2）求EF 的长．【答案】（1）92；（2）125．【分析】（1）证明△AEB ∽△DEC ，得到AE DE =AB CD ，把已知数据代入计算即可；（2）根据△BEF ∽△BCD ，得到EF CD =BF BD ，同理得到EF AB =DF BD，两个比例式相加再代入计算，得到答案．【解答】解：（1）∵AB ∥CD ，∴△AEB ∽△DEC ，∴AE DE =AB CD ，∵AB ＝4，CD ＝6，AE ＝3，∴3DE =46，解得：DE =92；（2）∵CD ∥EF ，∴△BEF∽△BCD，∴EFCD=BFBD，同理：EFAB=DFBD，∴EFCD+EFAB=BFBD+DFBD=1，∴EF6+EF4=1，解得：EF=12 5．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．（2022秋•增城区校级期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE ＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知ADAC=AEAB，从而列出方程解出x的值．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：△ADE∽△ACB，∴ADAC=AEAB，∵点E是AC的中点，设AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝8，AB＝10，∴82x=x10，解得：x＝∴AE＝【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．15．（2022秋•藁城区期末）如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD＝60°．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若PC＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）2 3．【分析】（1）由△ABC为等边三角形，易得∠B＝∠C＝60°，又∠APD＝60°，由外角性质可得∠DPC ＝∠PAB，利用相似三角形的判定定理（AA）可得△ABP∽△PCD；（2）利用相似三角形的性质可得ABPC=BPCD，易得CD，可得AD，再利用AP2＝AD•AC，可得AP，从而可得答案．【解答】（1）证明：①在等边三角形△ACB中，∠B＝∠C＝60°，∵∠APD＝60°，∠APC＝∠PAB+∠B，∴∠DPC＝∠PAB，∴△ABP∽△PCD；（2）解：∵△ABP∽△PCD，AB＝AC＝3，∴ABPC=BPCD，∴CD=BP⋅PCAB=2×13=23．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，由条件证得△ABP∽△PCD，△ADP∽△APC是解答此题的关键．16．（2023春•钢城区期末）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）如果BE＝3，BD＝4，DC＝9，求AB的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）先利用等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，再由∠BDE＝∠CAD可证得△BDE∽△CAD；（2）由相似三角形的性质可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD；（2）解：∵△BDE∽△CAD，∴BECD=BDAC，∴39=4AC，∴AC＝12，∴AB＝12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．17．（2022秋•丛台区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D，E分别在近BC，AC 上，且∠ADE＝∠B．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时，求AE的长．【答案】（1）见解答；（2）AE=125 16．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．（2）利用相似三角形的判定和性质，列出比例式，求解即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE．（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴∠BAD＝∠CDE，∵DE∥AB，∴∠B＝∠CDE＝∠C，∴△ABD∽△CBA，∴ABBC=BDAB，即2032=BD20，解得：BD＝12.5，∴CD＝BC﹣BD＝32﹣12.5＝19.5，∵DE∥AB，∴BDBC=AEAC，即12.532=AEAC，解得：AE=125 16．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确记忆三角形相似的条件和性质．18．（2022秋•杭州期末）如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段BD ，AC 上，连结AD ，EF 交于点G ，∠CEF ＝2∠CAD ．（1）求证：△ABC ∽△EFC ．（2）若BE ＝2DE ，AF CF =32，求FG GE 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）FG GE =95．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，∠CAB ＝2∠CAD ，根据题意不难证明△ABC ∽△EFC ；（2）过点F 作FH ∥BC ，交AD 于点H ，）根据等腰三角形的性质可得BD ＝CD ，则DE =13CD ，易证明△AHF ∽△ADC ，则HF CD =AF AC =35，易证明△HFG ∽△DEG ，则FG GE =HF DE ，将DE =13CD ，HF CD =35代入即可求解．【解答】（1）证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵点D 是BC 的中点，∴∠CAB ＝2∠CAD ，∵∠CEF ＝2∠CAD ，∴∠CEF ＝∠CAB ，在△ABC 和△EFC 中，∠ACB =∠ECF ∠CAB =CEF ，∴△ABC ∽△EFC ；（2）过点F 作FH ∥BC ，交AD 于点H ，∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，∵BE ＝2DE ，∴DE BD =DE CD =13，即DE =13CD ，∵HF ∥BC ，∴△AHF ∽△ADC ，∴HF CD =AF AC，∵AF CF =32，∴AF AC =35，∴HF CD =AF AC =35，∵HF ∥BC ，∴△HFG ∽△DEG ，∴FG GE =HF DE，由上述知，DE =13CD ，HF CD =35，∴FG GE =HF DE =HF 13CD =3×35=95．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，根据相似三角形的对应边成比例答题时解题关键．19．（2022秋•金山区校级期末）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，BE 与AD 、AC 分别相交于点F 、G ，AF 2＝FG •FE ．（1）求证：△CAD ∽△CBG ；（2）联结DG ，求证：DG •AE ＝AB •AG ．【答案】（1）（2）证明见解析．【分析】（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；（2）由相似三角形的性质可得CACB=CDCG，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得DGAB=CGCB，由平行线分线段成比例可得AECB=AGCG，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．∴AFFG=EFAF，∵∠AFG＝∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠FAG，∵∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴CACB=CDCG，∵∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴DGAB=CGCB，∵AE∥BC，∴AEBC=AGGC，∴AGAE=GCBC，∴DG AB =AG AE，∴DG •AE ＝AB •AG ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（2022秋•永丰县期末）如图所示，点B ，C ，D 在同一条直线上，且BC ＝CD ，点A 和点E 在BD 的同侧，且∠ACE ＝∠B ＝∠D ．（1）证明：△ABC ∽△CDE ；（2）若BC ＝2，AB ＝3，求DE 的长度．【答案】（1）见解析；（2）43．【分析】（1）根据三角形内角和定理与平角的定义得出∠A ＝∠ECD ，即可推出结论；（2）根据相似三角形的性质得出比例式求解即可．【解答】（1）证明：∵∠A ＝180°﹣∠B ﹣∠ACB ，∠ECD ＝180°﹣∠ACE ﹣∠ACB ，∠ACE ＝∠B ，∴∠A ＝∠ECD ，∵∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△CDE ；（2）解：∵△ABC ∽CDE ，∴AB CD =BC DE，∵BC ＝CD ，BC ＝2，∴CD ＝2，∵AB ＝3，∴32=2DE，∴DE =43．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21．（2021秋•杨浦区期末）已知，如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ，点E 在边BC 上，AE ∥CD ，DE ∥AB ，过点C 作CF ∥AD ，交线段AE 于点F ，联结BF ．（1）求证：△ABF ≌△EAD ；（2）如果射线BF 经过点D ，求证：BE 2＝EC •BC ．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【分析】（1）先证AB ＝AE ，DE ＝DC ，再证四边形ADCF 是平行四边形，得出AF ＝CD ，进而得出AF ＝DE ，再由平行线性质得∠AED ＝∠BAF ，进而证得结论；（2）通过证明△BEF ∽△BCD ，△DEF ∽△BAF ，可得BE BC =EF CD =EF AF =EC BE，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AE ∥CD ，∴∠AEB ＝∠BCD ，∵∠ABC ＝∠BCD ，∴∠ABC ＝∠AEB ，∴AB ＝AE ，∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠ABC ，∠AED ＝∠BAF ，∵∠ABC ＝∠BCD ，∴∠DEC ＝∠BCD ，∴DE ＝DC ，∵CF ∥AD ，AE ∥CD ，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF＝CD，∴AF＝DE，在△ABF和△EAD中，AB=EA∠BAF=∠AEDAF=ED，∴△ABF≌△EAD（SAS）；（2）如图，连接FD，∵射线BF经过点D，∴点B，点F，点D三点共线，∵AE∥DC，∴△BEF∽△BCD，∴BEBC=EFCD，ECBE=DFBF，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴EFAF=DFBF，∴ECBE=EFAF，∵CD＝AF，∴BEBC=EFCD=EFAF=ECBE，∴BE2＝EC•BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键．22．（2022秋•扶沟县校级期末）如图，已知锐角△ABC中，边BC为12，高AD长为8．矩形EFGIH的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E ，F 分别在AB ，AC 边上，EF 交AD 于点K ．（1）求的EF AK的值；（2）设EH ＝x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值．【答案】（1）32；（2）S 有最大值，最大值为24．【分析】（1）由EF ∥BC ，推出△AEF ∽△ABC ，推出EF BC =AK AD，由此即解决问题．（2）用类似（1）的方法求出EF ，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC =AK AD ，∴EF AK =BC AD =128=32；（2）∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC =AK AD ，∴EF 12=8x 8，∴EF =32（8﹣x ），∴S ＝x •32（8﹣x ）=―32x 2+12x =―32（x ﹣4）2+24．∵―32＜0，∴S 有最大值，最大值为24．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．23．（2022秋•信都区校级期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，点P 从B 运动到C ，且∠APD ＝∠C ．（1）求证：AB •CD ＝CP •BP ；（2）若AB ＝6，BC ＝10，求P 到什么位置时，PD ∥AB ．【答案】（1）见解析；（2）BP =185．【分析】（1）先根据得出∠B ＝∠APD ，证明∠DPC ＝∠BAP ，得出△ABP ∽△PCD ，根据相似三角形性质得出AB CP =BP CD，即可证明结论；（2）根据平行线的性质得出∠BAP ＝∠APD ＝∠C ，证明△BAP ∽△BCA ，得出AB BC =BP AB ，根据AB ＝6，BC ＝10，求出BP =185，即可得出当BP =185时，PD ∥AB ．【解答】（1）证明：∵∠B ＝∠C ，∠APD ＝∠C ，∴∠B ＝∠APD ，∵∠APC ＝∠APD +∠DPC ，∠APC ＝∠B +∠BAP ，∴∠DPC ＝∠BAP ，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB CP =BP CD，∴AB ⋅CD ＝CP ⋅BP ．（2）解：如图，PD ∥AB ，∴∠BAP＝∠APD＝∠C，又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴ABBC=BPAB，∵AB＝6，BC＝10，∴610=BP6，∴BP=18 5，即当BP=185时，PD∥AB．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，证明△ABP∽△PCD．24．（2022秋•叙州区期末）已知：如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE，如果点D 在BC上，且∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点．求证：（1）△ABC∽△ADE；（2）DA•OE＝OA•CE．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由相似三角形的判定定理可得结论；（2）由相似三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE，通过证明△COD∽△EOA，可得OCOE=ODOA，通过证明△AOD∽△EOC，可得DACE=OAOE，即可得结论．【解答】证明：（1）∵BA＝BC，DA＝DE，∴BABC=DADE=1，∵∠EDC＝∠BAD，∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∴∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，∵∠COD＝∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴OCOE=ODOA又∵∠AOD＝∠EOC，∴△AOD∽△EOC，∴DACE=OAOE，即DA•OE＝OA•CE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．25．（2023春•文山州期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC 于点E，且∠ADC＝60°．（1）求证：△ABE是等边三角形；（2）若ABBC=m(0＜m＜1)，连接OE，设S四边形OECDS△AOD=k，试求k与m满足的关系．【答案】（1）答案见解答过程；（2）m+k＝2．【分析】（1）先由平行四边形的性质得∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，进而得∠DAB＝120°，再根据角平分线的定义得∠BAE＝60°，据此可得出结论；（2）由（1）可知△ABE是等边三角形，则AB＝BE，由AB/BC＝m得AB＝BE＝mBC，过点O作OM⊥AD于M，MO的延长线∠BC于N，先证OM＝ON，然后设OM＝ON＝a，BC＝AD＝b，则AB＝BE＝mBC＝mb，分别求出S△BOE =12•mab，S△OBC=12•ab，S△OCD＝S△OBC=12•ab，则S△BCD＝ab，S△AOD=12•ab，进而得S四边形OECD =12ab（2﹣m），最后再根据已知条件即可得出k与m满足的关系．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，且∠ADC＝60°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∵AE平分∠DAB，∴∠BAE=12∠DAB=12×120°＝60°，∴△ABE是等边三角形；（2）解：由（1）可知：△ABE是等边三角形，∴AB＝BE，∵ABBC=m，∴AB＝BE＝mBC，过点O作OM⊥AD于M，MO的延长线∠BC于N，如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠MAO＝∠NCO，ON⊥BC，在△AOM和△CNO中，∠MAO=∠NCO∠AMO=∠CNO=90°OA=OC，∴△AOM≌△CNO（AAS），∴OM＝ON，设OM＝ON＝a，BC＝AD＝b，则AB＝BE＝mBC＝mb，∴S△BOE =12BE•ON=12mab，S△OBC=12BC•ON=12ab，S△AOD=12AD•OM=12ab，∵OB＝OD，∴△OBC和△OCD等底同高，∴S△OCD ＝S△OBC=12ab，∴S△BCD ＝S△OCD+S△OBC＝ab，∴S四边形OECD ＝S△BCD﹣S△BOE＝ab―12mab=12ab（2﹣m），∴S四边形OECDS△AOD=12ab(2m)12ab=k，∴2﹣m＝k，∴m+k＝2．即：k与m满足的关系是：m+k＝2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形的面积等，熟练掌握平行四边形的性质和等边三角形的判定方法，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解答此题的关键．26．（2022秋•怀化期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，根据相似三角形的性质可知ADAC=AEAB，从而列出方程解出x的值．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）解：由（1）可知：△ADE ∽△ACB ，∴AD AC =AE AB，设BD ＝x ，则AD ＝2x ，AB ＝3x ，∵AE ＝4，AC ＝9，∴2x 9=43x ，解得：x =，∴BD 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．27．（2022秋•兴化市期末）如图，已知∠BAC ＝∠EAF ，∠ABE ＝∠ACF ，若B ，E ，F 三点共线，线段EF 与AC 交于点O ．（1）求证：△ABE ∽△ACF ；（2）若AB ＝3，CF ＝4，△AOB 的面积为9，求△COF 的面积．【答案】（1）见解答；（2）△COF 的面积是16．【分析】（1）由△ABC ∽△AEF ，可得∠BAC ＝∠EAF ，AB ：AE ＝AC ：AF ，可得∠BAE ＝∠CAF ，所以AB ：AC ＝AE ：AF ，由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似可得结论；（2）由∠ABE ＝∠ACF ，易证△AOB ∽△FOC ，所以S △BOA ：S △COF ＝（AB CF ）2=916，由此可得结论．【解答】（1）证明：∵∠ABE ＝∠ACF ，∴A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠AFB ＝∠BCA ，∵∠ABC ＝∠EAF ，∴△ABC ∽△AEF ，∴∠BAC ＝∠EAF ，AB ：AE ＝AC ：AF ，∴∠BAC ﹣∠EAC ＝∠EAF ﹣∠EAC ，即∠BAE ＝∠CAF ，∴AB：AC＝AE：AF，∴△ABE∽△ACF；（2）解：∵∠ABE＝∠ACF，∵∠AOB＝∠COF，∴△AOB∽△FOC，∴S△AOB ：S△FOC＝（ABCF）2=916，∵S△AOB＝9，∴S△FOC＝16．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．28．（2023春•普陀区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝BC•BE．（1）求证：△BDE∽△BCA；（2）如果AE＝AC，求证：AC2＝AD•AB．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据两边成比例夹角相等判定两三角形相似即可；（2）只要证明△ADC∽△ACB，即可解决问题；【解答】（1）证明：∵BA•BD＝BC•BE．∴BDBC=BEBA，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA．（2）证明：∵BA•BD＝BC•BE．∴BDBE=BCBA，∵∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCD，∴∠BAE＝∠BCD，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∠ACE＝∠ACD+∠BCD，∴∠B＝∠ACD，∵∠BAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC=ACAB，∴AC2＝AD•AB．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．29．（2022秋•细河区期末）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．（1）求证：△ADE∽△DBE；（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，即可求得∠A＝∠EDB，又由公共角∠E＝∠E，可证得△ADE∽△DBE；（2）根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，∵∠EDB＝∠C，∴∠A＝∠EDB，又∠E＝∠E，∴△ADE ∽△DBE ；（2）平行四边形ABCD 中，DC ＝AB ，由（1）得△ADE ∽△DBE ，∴DE AE =BE DE，∵DC ＝7cm ，BE ＝9cm ，∴AB ＝7cm ，AE ＝16cm ，∴DE ＝12cm ．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图．30．（2022秋•如皋市期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝12，M 为AC 上一点，AM ＝4，D 为AB 边上一点（不与A ，B 重合），作∠MDN ＝45°，使DN 交△ABC 的边于点N ．（1）如图1，点N 在BC 上时，①求证：△AMD ∽△DBN ；②若BD AD =15，求BN 的长；（2）若AD BD =13，请直接写出CN 的长．【答案】（1）①证明见解答；②BN 的长为10；（2）CN 的长为3或212．【分析】（1）①由∠C ＝90°，AC ＝BC ，得∠A ＝∠B ＝45°，再证明∠AMD ＝∠BDE ＝135°﹣∠ADM ，即可由“两角分别相等的两个三角形相似”证明△AMD ∽△DBN ；②由∠C ＝90°，AC ＝BC ＝12，根据勾股定理得AB =则AD =56AB ＝BD ＝BN ＝10；（2）当点N 在线段CM 上，作DF ∥AC 交BC 于点F ，由AD BD =13，求得AD =14AB ＝BD ＝设DN 与射线BC 交于点E ，由△AMD ∽△BDE ，可求得BE =272，可知点E 在BC 的延长线上，此时，DE 与AC 交于点N ，EC ＝BE ﹣BC =32，由CF BF =AD BD =13，求得BF =34BC ＝9，则EF ＝BE ﹣BF =92，而FD ＝BF ＝9，即可由△ECN ∽△EFD ，求得CN ＝3；当点N 在线段AM 上，作ML ∥BC 交AB 于点L ，可证明△LDM ∽△AND ，得LD AN =LM AD ，求得AN =32，则CN ＝12―32=212．【解答】（1）①证明：如图1，∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B ＝45°，∴∠AMD ＝180°﹣∠A ﹣∠ADM ＝135°﹣∠ADM ，∵∠MDN ＝45°，∴∠BDN ＝180°﹣∠MDN ﹣∠ADM ＝135°﹣∠ADM ，∴∠AMD ＝∠BDN ，∴△AMD ∽△DBN ．②解：如图1，∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝12，AM ＝4，∴AB =∵BD AD =15，∴AD =56AB =56×=BD ＝―∵△AMD ∽△DBN ，∴AM BD =AD BN ，∴BN =AD⋅BD AM =10，∴BN 的长为10.（2）解：如图2，点N 在线段CM 上，作DF ∥AC 交BC 于点F ，∵ADBD =13，∴AD =14AB =14×=BD ＝―设DN 与射线BC 交于点E ，∵∠A ＝∠B ，∠AMD ＝∠BDE ＝135°﹣∠ADM ，∴△AMD ∽△BDE ，∴AMBD=ADBE，∴BE=AD⋅BDAM=272，∴点E在BC的延长线上，此时，DE与AC交于点N，EC＝BE﹣BC=272―12=32，∵CFBF=ADBD=13，∴BF=34BC=34×12＝9，∴EF＝BE﹣BF=272―9=92，∵∠BDF＝∠A＝∠B，∴FD＝BF＝9，∵CN∥DF，∴△ECN∽△EFD，∴CNFD=ECEF，∴CN=EC⋅FDEF=32×992=3；如图3，点N在线段AM上，作ML∥BC交AB于点L，∵ALAB=AMAC=412=13，∴AL=13AB=13×∴LD＝AL﹣AD＝―∵∠DLM＝∠B＝∠A＝45°，∠MDN＝45°，∴∠LDM＝∠AND＝135°﹣∠ADN，LM＝AM＝4，∴△LDM∽△AND，∴LDAN=LMAD，∴AN=LD⋅ADLM==32，∴CN＝12―32=212，综上所述，CN的长是3或21 2．【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，证明∠AMD＝∠BDE＝135°﹣∠ADM，进而证明△AMD∽△BDN是解题的关键．。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案一、选择题1. 若两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
这种说法正确吗？A. 正确B. 错误2. 三角形ABC和三角形DEF相似，AB=6cm，DE=3cm，那么AC的长度是多少？A. 4cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm3. 在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=40°，那么∠C是多少度？A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°二、填空题4. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，BC=8cm，求DE的长度。
5. 在三角形ABC中，若∠A=30°，∠B=70°，求∠C的度数。
三、解答题6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AC=4cm，DF=6cm，AB=5cm，求EF的长度。
7. 在三角形ABC中，已知AB=6cm，AC=4cm，BC=8cm，判断三角形ABC 是否为直角三角形，并说明理由。
四、证明题8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A=∠D，∠B=∠E，证明∠C=∠F。
9. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE=2/3，AC/DF=2/3，证明BC/EF=2/3。
五、应用题10. 在平面直角坐标系中，点A(-3,4)，B(1,-2)，C(5,6)，点D(-1,1)，E(3,-6)，F(7,3)，判断三角形ABC与三角形DEF是否相似，并求出相似比。
答案：1. A2. B3. C4. 6cm5. 80°6. 7.5cm7. 是直角三角形，因为AB²+AC²=BC²。
8. 由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等，所以∠C=∠F。
9. 根据相似三角形的性质，对应边的比值相等，所以BC/EF=AB/DE=2/3。
10. 三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为3/2。
相似三角形测试题及答案
相似三角形测试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 2:3，则BC:EF的比值为：A. 2:3B. 3:2C. 4:6D. 3:4答案：B2. 在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。
以下哪项不是相似三角形的性质？A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长比等于相似比D. 面积比等于相似比的平方答案：D二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为2:3，则三角形ABC的周长是三角形DEF周长的____。
答案：2/34. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm，DE = 9cm，则BC 与EF的比值为______。
答案：2:3三、解答题5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 8cm，DE = 12cm，求三角形ABC的周长，已知三角形DEF的周长为36cm。
答案：三角形ABC的周长 = (8/12) * 36cm = 24cm6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D = 50°，∠B =∠E = 60°，求∠C和∠F的度数。
答案：∠C = ∠F = 70°四、证明题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 4cm，DE = 6cm，BC = 5cm，EF = 7.5cm，证明AC = 6.25cm。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以AC/DF = AB/DE = 4/6 = 2/3。
已知EF = 7.5cm，所以AC = (2/3) * EF = (2/3) * 7.5cm = 5cm。
因此，AC = 6.25cm。
8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，求证：∠C = ∠F。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等。
已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，所以∠C = 180° - (∠A+ ∠B) = 180° - (∠D + ∠E) = ∠F。
专题4.1 相似三角形的性质与判定(基础)(解析版)
专题4.1 相似三角形的性质与判定目录比例的性质........................................................................................................................................1成比例线段........................................................................................................................................3平行线分线段成比例........................................................................................................................5平行线分线段成比例（推论）........................................................................................................8平行线分线段成比例（辅助线）..................................................................................................10相似多边形的相关内容..................................................................................................................13相似多边形的计算..........................................................................................................................14相似三角形的判定..........................................................................................................................16相似三角形判定（动点问题）......................................................................................................18相似三角形综合运用......................................................................................................................21相似比与面积和周长的关系..........................................................................................................24图形的位似......................................................................................................................................26图形的位似（坐标轴） (28)比例的性质【例1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是( )A ．3，6，4，7B ．5，6，7，8C ．2，4，6，8D ．10，15，8，12【解答】解：A 、3746´¹´Q ，\四条线段不成比例；B 、5867´¹´Q ，\四条线段不成比例；C 、8846´¹´Q ，\四条线段不成比例；D 、1581012´=´Q ，\四条线段成比例；故选：D ．【变式训练1】甲、乙两地相距60千米，在比例尺1:1000000的地图上，图上距离应是( )厘米．A ．6000000B ．600C ．60D ．6【解答】解：60千米6000000=厘米，1600000061000000´=（厘米）．答：图上距离应是6厘米．故选：D ．【变式训练2】下列各组中的四条线段成比例的是( )A ．2cm ，3cm ，4cm ，6cm B ．2cm ，3cm ，4cm ，5cm C ．1cm ，2cm ，3cm ，4cm D ．3cm ，4cm ，6cm ，9cm【解答】解：A 、2634´=´Q ，\四条线段成比例，故符合题意；B 、2543´¹´Q ，\四条线段不成比例，故不符合题意；C 、1423´¹´Q ，\四条线段不成比例，故不符合题意；D 、3946´¹´Q ，\四条线段不成比例，故不符合题意．故选：A ．【变式训练3】已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中3a =，0.6b =，2c =，则线段d 的长为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．4【解答】解：a Q 、b 、c 、d 四条线段是成比例的线段，\a cb d=，3a =Q ，0.6b =，2c =，\320.6d=解得：0.4d =．故选：A ．成比例线段ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒¹+++=== :)0(等比性质涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。