中考数学压轴题专题：动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编

专题01：动点问题

25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，

D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB

运动，到点B停止．点P在AD上以的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s 的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作

PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).

（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．

（2）当点N落在AB边上时，求t的值．

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm2），求S与t的函数关系式．

（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．

【答案】解：（1）t－2。

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况：

①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。

②如图（2）b ，此时点P 位于线段EB 上．

∵DE=1 2 AC=4，∴点P 在DE 段的运动时间为4s ，

∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t ，PC=PE+CE=t-4。

∵PN ∥AC ，∴△BNP ∽△BAC 。∴PN ：AC = PB ：BC=2，

∴PN=2PB=16-2t 。

由PN=PC ，得16-2t=t-4，解得t=203

。 综上所述，当点N 落在AB 边上时，t=4或t=

203。 （3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情

况：

①当2＜t ＜4时，如图（3）a 所示。

DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t ，AQ=AC-CQ=2+t ，

AM=AQ-MQ=t 。

∵MN ∥BC ，∴△AFM ∽△ABC 。∴FM ：BC = AM ：AC=1：2，即

FM ：AM=BC ：AC=1：2。

∴FM=12AM=12

t ．

∴AMF AQPD 11S S S DP AQ PQ AM FM 22∆=-=+⋅-⋅梯形（） 21111 [t 22t ]2t t t 2t 2224

=-++⨯-⋅=-+（）（） 。 ②当203＜t ＜8时，如图（3）b 所示。 PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4

，AM=AC-CM=12-t ，

PB=BE-PE=8-t ， ∴FM=12AM=6-12

t ，PG=2PB=16-2t ， ∴AMF AQPD 1

1S S S PG AC PC AM FM 22∆=-=+⋅-⋅梯形（）

21115

[162t 8]t 412t 6t t 22t 8422

24

=-+⨯---⋅-=-+-（）（）（）（）。 综上所述，S 与t 的关系式为：221t 2t(2t 4)4S 520t 22t 84(t 8)43<<<<⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩。 （4）在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值

范围是：t=

143

或t=5或 6≤t≤8。

【考点】动点问题上，相似形综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，梯形和三角形的面积。

【分析】（1）∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm ，BC=4cm ，∴由勾股定理得

AB=cm 。

∵D 为边AB 的中点，∴

AD=cm 。

又∵点P 在AD

cm/s 的速度运动，∴点P 在AD 上运动的时间为2s 。

∴当点P 在线段DE 上运动时，在线段DP 上的运动的时间为t －2s 。

又∵点P 在DE 上以1cm/s 的速度运动，∴线段DP 的长为t －2 cm 。

（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如图（2）所示，利用运动

线段之间的数量关系求出时间t 的值。

（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示，分别用时间t 表示各相关运动线段的长度，然后利用AMF AQPD S S S ∆=-梯形求出面积S 的表达式。 （4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H 、

点P的运动过程：

依题意，点H与点P的运动分为两个阶段，如下图所示：

①当4＜t＜6时，此时点P在线段DE上运动，如图（4）a所示。

此阶段点P运动时间为2s，因此点H运动距离为×2=5cm，而MN=2，

则此阶段中，点H将有两次机会落在线段CD上：

第一次：此时点H由M→H运动时间为（t－4）s，运动距离MH=（t－4），

∴NH=2－MH=12－。

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（12－），解得t=14

。

3

=（t－）s，运动第二次：此时点H由N→H运动时间为t－4－2

2.5

距离NH=（t－）=－12，

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（－12），解得t=5。

②当6≤t≤8时，此时点P在线段EB上运动，如图（4）b所示。

MC，即MN与CD的交点始终为由图可知，在此阶段，始终有MH=1

2

线段MN的中点，即点H。

综上所述，在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的或t=5或6≤t≤8。

取值范围是：t=14

3

26. （2012黑龙江哈尔滨10分）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=－x+m经过点C，交x轴于点D．