十四届五一建模B题(宜居城市评价问题)

x1 ：职工平均工资； x2 ：每百人公共图书馆藏书； x3 ：污水处理厂集中处理率； x4 ：人口密度； x5 ：自然增长率； x6 ：卫生机构人均床位数； x7 ：中小学校数量。
3.熵值法确定各个指标的权重
[2]
评价体系中各指标权重的确定一般包括主观赋权法和客观赋权法两种。 主观 赋权法主观随意性大，可靠性不足。因此，本文选择了主观性相对较小，能充分 利用数据特征的熵值法确定各个指标的权重。 利用信息熵计算出各指标权重的客 观赋权法，信息熵越小，则表明指标的变异程度越大、重要程度越大。计算步骤 如下： Step 1:计算标准化后的指标 xij’的比重 Pij ，即：
五、模型的建立与求解
5.1 问题一的模型建立与求解 5.1.1 问题一模型的建立 1.宜居城市指标的选取 城市的宜居性是指城市在经济、社会、文化、环境方面协调发展，人居环境 良好，能够满足居民物质和精神生活要求，适宜人类生活、工作和居住的性质， 那么，在建立宜居城市评价体系的过程中，通过查阅资料，各方面考虑，选取科 技文化方便为科学投入、每百人公共图书馆藏书、教育支出三个指标，生态环境 方面分为工业废水排放量、 工业二氧化硫排放量、 污水处理厂集中处理率三个指 标，经济发展方面分为人均 GDP、职工平均工资、地方财政收入三个指标，最后 人口发展方面有人口密度、自然增长率，公共设施方面有卫生机构人均床位数、 中小学校数量，一共分为 5 个方面共 13 个指标。
x j 与 xk 的样本相关系数作为它们的相似性度量，即
rjk
(x
i 1
n
ij
x j )( xik x k )
1
2 n 2 2 ( x x j ) ( xik x k ) ij i 1
Step2:计算相关系数导出的距离，按类平均法聚类，可以得出聚类树形图。
2.求解结果是：淮北、济宁、连云港、枣庄、徐州、宿迁、宿州、商丘。排 名结果如图
6
5.2.2 问题二结果的分析及验证 在确定指标权重时，我们采用客观性较强的熵值法确定。因此，我们采用主 成分分析法
关键词：R 型聚类、熵值法、主成分分析法、控制变量法、C++、matlab
一、问题重述
1.1 背景分析 近年来，为了提升城市居民生活质量、完善城市功能和提高城市运行效率， 我国将建设宜居城市作为我国城市发展的重要目标。在我国，宜居城市的排名 每年都是热门话题，不同机构对宜居城市的排名结果也不尽相同，这是因为宜 居城市评价指标体系不同，宜居城市排名结果也会发生变化。我们急需加强系 统、深入的研究，建立更科学的评价方法系统，更好地落实建立宜居城市的政 策。因此对宜居城市评价体系的研究具有重要意义。 1.2 问题重述 1. 通过查阅资料， 筛选评价宜居城市的主要指标，并阐述这些指标的合理 性。根据所筛选的主要指标，建立评价宜居城市的数学模型。 2. 利用你构建的评价宜居城市的数学模型，对淮海经济区内的 8 个城市 （宿迁、连云港、宿州、商丘、济宁、枣庄、徐州、淮北）进行合理性研究， 给出宜居城市排名。 3. 以问题 2 为例，定量分析你所建立的模型中，哪些评价指标的变化会 对宜居城市排名产生显著的影响。 4. 一些不确定性的因素（如突发自然灾害、房价大幅波动、宏观政策的重 大调整等）会对宜居城市的某些指标产生重大影响。建立基于某些不确定性因 素的评价宜居城市的数学模型，并重新讨论问题。
w jk = g jk , j 1, 2,3; k 1, 2,3,
jk
(3)
g
i 1
n
(4)
Step 如下：
5: 由式子(1)- (4)可以建立城市宜居性情况的多指标综合评价模型
yi = w jk X ij , i 1,2,3; k 1,2,3,
j 1 n
(5)
种 5.1.2 问题一模型的求解 在建立宜居城市评价体系的过程中，通过查阅资料，各方面考虑，可以分为 科技文化、 生态环境、 经济发展、 人口发展、 公共设施等五个方面， 如人均 GDP、 人口密度等 13 个指标，指标数据统计结果见附录 1。由于指标有很大相似性， 我们用 R 型聚类分析后可以从 13 个指标中选取 7 个分析指标。
4
Pij
xij’
x
i 1
n
(1)
ij’
Step
2:计算第 j 项指标的熵值 e jk ，即：
1 n e jk = Pij lnPij ln n i j
(2)
Step
3:计算第 j 项指标差异性系数 g jk ，即：
g jk =1 e jk
Step 4:计算指标 xij’的权属 w jk ，计算公式为：
由于在分析问题的过程中为避免遗漏某些重要因素， 所以在一开始选取指标 时尽量考虑了所有的相关因素，导致指标之间的相关度很高。所以我们通过 R 型聚类分析， 按照指标的相似关系把他们聚合为若干类，确定其中影响系统的主 要因素。 在对变量进行聚类分析时， 首先要确定变量的相似性度量，常用的变量相似 性度量有相关系数和夹角余弦两种，我们这里采用相关系数。 Step1:记变量 x j 的取值 ( x1 j , x2 j ,, xnj )T Rn ( j 1,2,, m) ， 则可以用两变量
1
xj xij Pij e jk
g jk
w jk
yi
四、问题分析
4.1 对于问题一的分析 对于问题一， 判定一个城市是否适宜居住，需要确定哪些因素能够影响城市 的宜居性，我们通过查阅资料，列举出评价城市是否宜居的各种指标，将数据归 一化处理后，再通过 R 型聚类将相似的指标筛选为一类。在建立模型的时候， 我们采用熵值法确定各个指标的权重，然后建立基于熵值法的综合评价模型。 4.2 对于问题二的分析 问题二要求我们利用问题一所构建的评价宜居城市的数学模型， 对淮海经济 区内的 8 个城市（宿迁、连云港、宿州、商丘、济宁、枣庄、徐州、淮北）进 行宜居城市排名。首先，我们按照模型中的指标查阅大量数据，找出八个城市的 对应值，标准化指标后，将数值带入问题一中的模型，得到宜居城市排名。 4.3 对于问题三的分析 对于问题三，需要定量分析我们建立的评价体系模型，找出哪些评价指标的 变化对宜居城市排名有显著影响。 我们依据控制变量法来对每个指标进行灵敏度 分析，对标准化后的指标分别进行同幅度的修改，若对宜居城市排名影响大，则 该指标为对城市宜居排名产生较大影响的指标。 4.4 对于问题四的分析 对于问题四，在考虑不确定因素的影响，我们利用电脑模拟产生不确定因素 的概率和等级， 添加新的指标对第二问模型进行改进。分析在不确定因素影响下 与城市宜居度指标之间的协调度，即城市发展的宜居度权重的变化，得到新的权 重分布，带入问题二的模型，得到新的排名。
本文针对宜居城市的评价问题， 筛选出评价城市宜居度的具有代表性的指标， 并且通过建立宜居城市评价体系模型，来判断城市的宜居程度。通过比较找出对 宜居度影响较大的指标，并且在考虑不确定因素的情况下，对城市重新进行宜居 度排名。 问题一中，确定影响城市的宜居性的主要指标，并建立数学模型判定一个城 市宜居性。对此，我们通过查阅资料，列举出评价城市是否宜居的共 13 个指标， 因为各指标之间存在较大的相关性， 我们首先进行 R 型聚类分析， 将 13 个指标分 为 7 类，得到主要的评价指标是：职工平均工资，每百人公共图书馆藏书，污水 处理厂集中处理率，人口密度，自然增长率，卫生机构人均床位数，中小学校数 量。然后将原始数据标准化，利用熵值法求指标对应权重，建立基于熵值法的综 合评价模型。 问题二中，要求我们利用问题一所构建的评价宜居城市的数学模型，对淮海 经济区内的 8 个城市（宿迁、连云港、宿州、商丘、济宁、枣庄、徐州、淮北） 进行宜居城市排名。首先，我们按照模型中的指标查阅大量数据，找出八个城市 的对应值， 标准化指标后， 将数值带入问题一中的模型， 就得到了宜居城市排名： ①淮北②济宁③连云港④枣庄⑤徐州⑥宿迁⑦宿州⑧商丘。 问题三中，需要找出哪些评价指标的变化会对宜居城市排名产生显著影响。 我们基于问题一中建立的模型，利用控制变量法，对数据的灵敏度分析，比较每 个指标在同等幅度的变化下对宜居城市排名的影响，最终得出人口密度这一指标 对宜居城市的排名有显著影响。 问题四， 在考虑不确定因素的影响， 我们利用电脑模拟产生不确定因素的概 率和等级， 添加新的指标对第二问模型进行改进。 分析在不确定因素影响下与城 市宜居度指标之间的协调度， 即城市发展的宜居度权重的变化， 得到新的权重分 布，带入问题二的模型，得到新的排名为：淮北、济宁、连云港、枣庄、徐州、 宿迁、宿州、商丘。
1.算法步骤： Step1：基于问题一中筛选出的指标，查找 8 个城市相对应的数据，再标准 化指标。 Step2：将标准化指标带入问题一的模型，求出每个城市的宜居度，宜居度 数值如下表所示 城市 徐州 连云港 宿州 宿迁 淮北 枣庄 济宁 商丘 宜居度 0.120083 0.15169 0.106857 0.083426 0.169087 0.13386 0.155134 0.079863
2
科 技 文 化 生 态 环 境 经 济 发 展 人 口 发 展 公 共 设 施
2.宜居城市主要指标的筛选
[1]
科学投入 每百人公共图书馆藏书 教育支出
工业废水排放量 工业二氧化硫排放量 污水处理厂集中处理率 人均 GDP 职工平均工资 地方财政收入
指 标
人口密度 自然增长率
卫生机构人均床位数 中小学校数量
3
Step3:结合聚类图，我们可以发现科学投入、教育支出、工业废水排放量、 工业二氧化硫产生量、人均 GDP、职工平均工资、地方财政收入 7 个指标之间有 较大的相关性，最先被聚到一起。如果将 13 个指标分为 7 类，其他 6 个指标各 自为一类。 Step4:这样就从 13 个指标中选定了 7 个分析指标：
5
利用数据特征的熵值法确定各个指标的权重， 可以建立城市宜居性情况的多指标 综合评价模型如下：