华中师范大学数学模型期末考试答案

华中师范大学 20 12–2013学年第二学期

期末考试标准答案（A 卷）

课程名称 数学模型 课程编号 83710109 任课教师 阴小波

一、建模题

1、()(10)(100) 5.2Q t gt rt t =-+-，其中0.2,3g r ==，求t 使()Q t 最大，得 10100 5.23020 5.242 1.2

r g t gr ----===。即4天后出售，可使利润最大。-------5分 敏感性分析：设0.2g =不变，1025.263250.4r t r r -=

=-，t 对r 的（相对）敏感度 25.512

6363/Δ/Δ),(2===≈=t r r t r dr dt r r t t r t S ，生猪每天增加的体重r 变大1%，出售时间推迟5.25%。 ------------------8分 同理可讨论设r 不变，t 对g 的（相对）敏感度。 ------------------10分

2、先写出邻接矩阵

0011100101000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ------------------5分 求出最大特征值 1.3953和对应的归一化特征向量（0.2833,0.3213, 0.2303 ,0.1650）； ------------------8分 于是可根据特征向量给出排名2,1,3,4。 ------------------10分

二、计算题

1、先将A 的各列归一化1133/74/93/81

143/74/94/81/31/411/71/91/8A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，------------5分 然后各行求和1.2481.3730.569⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，而 4.3284.8971.328A ω⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，所以最大特征值为

1 4.328 4.897 1.328 3.12283 1.248 1.3730.569⎛⎫++= ⎪⎝⎭

。 ------------9分

3.122830.061431CI -=

=-，从而0.06140.10590.10.58

CI CR RI ==≈>，所以不能通过一致性检验。 ------------13分

2、状态转移概率矩阵为 0.850.050.100.050.900.050.100.100.80P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

------------5分 因为0P >，所以这是正则链， ------------9分 记123(,,)w w w w =为稳态概率，则有wP w =，解得(0.32,0.42,0.26)w =。----13分

三、算法题

1、)(),(max 5

1,i i i i i i i y x y q x p y x z i i +=∑= ------------5分 1231231x x x y y y c +++++≤

24242x x y y c +++≤

35353x x y y c +++≤ ------------10分 0i i x a ≤≤

0i i y b ≤≤ ------------15分 2、

（1）应该买，每天最多购买10桶； ------------5分

（2）1.5元； ------------10分

（3）不需要改变生产计划。 ------------15分 3、

（1）数据的90.54%可由模型确定，F 远超过F 检验的临界值，而p 远小于α=0.05。所以模型基本可用； ------------5分

（2）不显著，因为置信区间包含零点； ------------10分

（3）9293.8ˆˆˆˆˆ22

322110=+++=x x x y ββββ百万支。 ------------15分 四、论述题

自由发挥。