整数规划---匈牙利法
第七讲 整数规划
湖州师范学院商学院
(5 8)
2012年12月22日
22
第七讲
2、相互排斥的约束条件
整数规划
四、0-1型整数规划
整数规划
先不考虑整数约束条件，求得相应的线性规划的最 优解为： x1=3/4，x2=7/4，max z=5/2
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第七讲
三、割平面法
例题
cj→ CB XB B－1b
1 2
整数规划
3 2
2
5
4
3
x
1
x
x
x
4
1 1
x x
3/4 7/4
1 0
0 1
-1/4 3/4
例如在指派问题中，将n项任务指派n个人去完成，不同 的指派方案共有n!种，当n=10时，可能的指派方案数超过300 万；当n=20，超过2×1018。显然，穷举法是不可取的。
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第七讲
二、分枝定界解法
整数规划
分枝定界法核心思想
考虑最大化整数线性规划问题A，与它相应的线性 规划记为问题B。我们从解问题B开始，若其最优解不 符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优 目标函数值z*的上界，记作 z ；而A的任意可行解的目 标函数值将是z*的一个下界 z 。分支定界法就是将B的 可行域分成子区域(称为分支)的方法，逐步减小 z 和增 大 z ，最终求到z*。
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第4章 整数规划
第4章 整数规划判断:用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界；指派问题数学模型的形式同运输问题十分相似，故也可以用表上作用法求解；效率矩阵的任一行（或列）减去（或加上）任一常数，指派问题最优解不会受到影响； 匈牙利法只能用于平衡分配问题；对于极大化问题，匈牙利法不能直接求解。
整数规划问题解的目标函数值优于其相应的线性规划问题的解的目标函数。
用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。
用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界值，在进行比较剪枝。
分配问题的每个元素都加上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
分配问题的每个元素都乘上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
分配问题域运输问题的数学模型结构形式十分相似，故也可以用表上作业法求解。
隐枚举法也可以用来求解分配问题简答试述分枝定界法求解问题的主要思想。
试述隐枚举法的步骤。
试讲述割平面方法的基本原理. 试例举三种应该剪枝的情况。
计算题分枝定界法用分枝定界法求解下列整数规划问题12max Z x x =+1212129511414123,x x x x x x +≤-+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 32Z x x =+121212231429,x x x x x x +≤+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 2010Z x x =+1232312312324434323,,x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 79Z x x =+121212136735,x x x x x x x +≤+≤≥－0，且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题123max 33Z x x x =++123231231231324432323,,,x x x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0，且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题：1212121212232478188..3219,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题1212121212250..6221,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312121225231050..7228,0,MaxZ x x x x x s t x x x x x =-+-+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312341234345272222..0,1,2,3,4,5,j MaxZ x x x x x x x x x x x s t x j x x =-+-⎧-+-+=⎪⎪⎪-++=⎨⎪≥=⎪⎪⎩为整数用分枝定界法求解下列整数规划模型12max 23z x x =+121257354936x x x x +≤+≤12,0x x ≥且为整数有如下整数规划问题12max z x x =+12129511414123x x x x +≤-+≤12,0x x ≥且为整数试用分枝定界法求其最优解。
02-整数规划数学模型及其解法-4h
− x1 − x 2 − x 3 < − 3 + My i − 3 x − 2 x − x < − 5 + My i 1 2 3 x 1 < 10 + My i 则有 (M 为任意大的正数） x 2 < 4 + My i x 3 < 11 + My i y1 + y 2 + L + y 5 ≥ 2
（1） （2）
25
4．用以表达含固定费用的函数
如用xj代表产品j的生产数量，其生产费用函数通 常可表示为： ( x j > 0) K j + c j x j C j (x j ) = ( x j = 0) 0 式中kj是同产量无关的生产准备费用。 问题的目标是使所有产品的总生产费用为最小。 n 即：
7
引例2-3
各点的设备投资及年获利预测表
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
投 资 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180 额 利 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61 润 投资总额不能超过720万元。 问应选择哪几个点，可使年利润为最大？
10
整数规划的图解
有人认为，对整数规划问题的求解可以 先不考虑对变量的整数约束，作为一般 线性规划问题来求解，当解为非整数时 可用四舍五人或凑整方法寻找最优解。 当然在变量取值很大时，用上述方法得 到的解与最优解差别不大。但当变量取 值较小时，得到的解就可能与实际整数 最优解差别很大。再者当问题规模较大 时，用凑整办法来算工作量很大。
j =1
n
K j + c j x j ( x j > 0) C j (x j ) = ( x j = 0) 0
第四章 整数规划
√
√
27
17
结论： 结论： 最优解为x 最优解为 1=1、x2=1、x3=0，即对Ⅰ和Ⅱ两个 、 、 ，即对Ⅰ 项目投资，利润最大为27万元 万元。 项目投资，利润最大为 万元。
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例2：用完全枚举法求解 型整数规划 ：用完全枚举法求解0-1型整数规划
max f = 3x1 − 2 x2 + 5 x3 x1 + 2 x2 − x3 ≤ 2 x + 4x + x ≤ 4 2 3 1 x1 + x2 ≤ 3 4x + x ≤ 6 1 3 x1 , x2 , x3 = 0或1
① ② ③ ④
16
点
过滤条件 f≥16 × √ × √ f≥26 × √ √ f≥27 √
约束条件 ① ② ③ ④
f值 值
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
√ √
√ √
√ √
√ √
16 26
√ √ ×
× √
35
min
第二步： 第二步：检验
行检验 列检验
0 * 8 11 0 * 2 3 0 11
Matlab学习系列26.整数规划
26. 整数规划全部变量限制为整数的规划问题，称为纯整数规划；部分变量限制为整数的规划问题，称为混合整数规划；变量只取0或1的规划问题，称为0-1整数规划。
整数规划问题，建议使用Lingo 软件求解。
常用的整数规划问题解法有：（1）分枝定界法：可求纯或混合整数线性规划； （2）割平面法：可求纯或混合整数线性规划；（3）隐枚举法：用于求解0-1整数规划，有过滤法和分枝法； （4）匈牙利法：解决指派问题（0-1规划特殊情形）； （5）蒙特卡罗法：求解各种类型规划。
一、分枝定界法分支定界法的基本思想是：设有最大化的整数规划问题A ，先解与之相应的线性规划问题B ，若B 的最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优目标函数必是A 的最优目标函数z*的上界，记作z2, 而A 的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界z1, 分支定界法就是将B 的可行域分成子区域（称为分支）的方法，逐步减小z2和增大z1, 最终求到z*。
例1 分枝定界法原理示例：1212120max 58s. t. 65945 () 0, Z (1,2)i i z x x x x x x P x x i =++≤+≤≥∈=用Lingo软件求解：代码：max 5x1+8x2stx1+x2<=65x1+9x2<=45endgin 2运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 40.00000Objective bound: 40.00000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 0.000000 -5.000000X2 5.000000 -8.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 40.00000 1.0000002 1.000000 0.0000003 0.000000 0.000000二、0-1整数规划变量x i只能取值0,1，该约束条件可表示为：0≤x i≤1, x i∈N 或x i (1-x i)=0 1. 隐枚举法例2求解下列0-1规划问题：1231231231223 max 325s. t. 2 2 () 4 4 () 3 () 4 6 z x x x x x x a x x x b x x c x x =-++-≤++≤+≤+≤123 () ,,0 1d x x x =或求解思路：（1）先试探性地求一个可行解，易看出(x1, x2, x3)=(1, 0, 0)满足约束条件，故是一个可行解，相应的目标函数值为z=3.（2）由于是求极大值，故目标值z<3的解，不必检验是否满足约束条件即可删除，于是可增加一个约束条件（称为过滤条件）：1233253x x x -+≥ (e)（3）用全部枚举法，3个变量共23=8种可能的组合，用过滤条件（并计算目标函数值，不断改进过滤条件）筛选每个可能的组合，最终得到问题的最优解。
运筹学--第四章 整数规划与分配问题
一、整数线性规划问题的提出
引例：生产组织计划问题与选址问题 例4-1（生产组织计划问题）某工厂在一个计划期 内拟生产甲、乙两种大型设备。除了A、B两种部件 需要外部供应且供应受到严格限制之外，该厂有充 分的能力来加工制造这两种设备所需的其余零件， 并且所需原材料和能源也可满足供应。每种设备所 用部件数量和部件的供应限额以及设备的利润由表 3-1-1给出。问该厂在本计划期内如何安排甲、乙 设备的生产数量，才能获取最大利润？
例4-3某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物
品。他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重 量、体积和价值如表4-3-1所示。问两种物品各装 多少件，所装物品的总价值最大？
表4-3-1 物品 甲 乙 重量 （公斤/每件） 1.2 0.8 体积 （m3/每件） 0.002 0.0025 价值 (元/每件) 4 3
应寻找仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出 分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问
最优的整数解的方法。分支定界解法就是其中之一。
题。
–20世纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是 解整数线性规划的重要方法之一。
–由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在
它已是解整数规划的重要方法。
了。 但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解； 或虽是可行解，但不一定是最优解。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。
例4-4 说明整数规划问题的求解不能直接在单纯形
法最优解的基础上四舍五入 求下述整数规划问题的最优解（P105）
max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值 1 2
整数规划解法-匈牙利 算法部分66页文档
谢谢！
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整数规划解法Leabharlann 匈牙利 算法部分1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
运筹学基础-整数规划(2)
【例 2 】求解 0-1 规划最优解
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 -5x2+3x3 ≤4 (1) 4x1 + x2+3x3 ≥3 (2) x2+x3 ≥1 (3) x1 , x2 , x3 =0或 1
解： 先将问题化为如下的标准问题
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 － 5x2+3x3 ≤4 (1) － 4x1 － x2 － 3x3 ≤－3 (2) (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
0 13 aij－列min 6 (0) 0 (0) 5 0 0 1 (0) 7 0 6 9 3 2 0 (0) 0 2 15 10 4 9 14 7 8 13 14 16 11 4 15 13 9
（a）从行开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在列 （b）再从列开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在行
∑ ∑
指派问题的解法－－匈牙利法 指派问题的解法－－匈牙利法 －－
从时间表（效率表）出发构建效率矩阵 效率矩阵。 效率矩阵
时间表
任务 人员 甲 乙 丙 丁 E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
2 15 10 4 9 14 7 8
13 14 16 11
分配表
任务 人员 甲 乙 丙 丁
合计
E x11 x21 x31 x41 1
i
J x12 x22 x32 x42 1
G x13 x23 x33 x43 1
ij x ij
R x14 x24 x34 x44 1
合计
1 1 1 1
指派问题匈牙利算法最大值
指派问题匈牙利算法最大值
匈牙利算法(匈牙利算法,也被称为“插入-删除算法”或“排序算法”)是一种整数排序算法,在指派问题中可以将一个整数数组按照一定规则排序,使得所有指派中最大的元素出现的位置都不相同。
以下是匈牙利算法在解决指派问题的最大值问题的步骤:
1. 将数组分为两个部分,左半部分尽可能地小,右半部分尽可能地大。
2. 从右半部分开始,将一个元素与它的指派对象的最大值进行
比较。
如果两个元素之间的指派关系不符合要求,就将它们交换位置。
3. 接下来,从左边半部分开始,将一个元素与它的指派对象的最大值进行比较。
如果两个元素之间的指派关系不符合要求,就将它们交换位置。
4. 重复步骤2和步骤3,直到左半部分的最大值与右半部分的最大值相等。
5. 在最右半部分找到最大的元素,将它与左半部分的最大值交换。
6. 重复步骤1到步骤5,直到数组中的所有元素都被排序。
匈牙利算法的时间复杂度为O(nlogn),其中n为数组的长度。
在实际应用中,该算法通常用于小规模数据的排序,对于大规模数据的
排序则需要使用更高效的算法。
转载整数规划求解方法
转载整数规划求解方法整数规划整数规划的数学模型及解的特点解纯整数规划的割平面法分支定界法0-1型整数规划指派问题与匈牙利法整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP(integerprogramming):在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP。
松弛问题(slackproblem):不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integerlinearprogramming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pureintegerlinearprogramming):指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixedintegerlinerprogramming):指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0-1型整数线性规划(zero-oneintegerlinerprogramming):指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
二、整数规划的解的特点相对于松弛问题而言，二者之间既有联系，又有本质的区别(1)整数规划问题的可行域是其松弛问题的一个子集(2)整数规划问题的可行解一定是其松弛问题的可行解(3)一般情况下，松弛问题的最优解不会刚好满足变量的整数约束条件，因而不是整数规划的可行解，更不是最优解(4)对松弛问题的最优解中非整数变量简单的取整，所得到的解不一定是整数规划问题的最优解，甚至也不一定是整数规划问题的可行解(5)求解还是要先求松弛问题的最优解，然后用分支定界法或割平面法。
解纯整数规划的割平面法基本思路:通过增加新的约束来切割可原问题伴随规划的可行域，使它在不断缩小的过程中，将原问题的整数最优解逐渐暴露且趋于可行域极点的位置，这样就有可能用单纯形法求出。
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Step4:增加(转移)零元素 a．求出未被直线覆盖的元素中的最小值k(本例中 k=2)． b．对打√行减去k，对打√列加上k go to step2
2 (0) 8 11 (0) 5 2 3 (0) 0 13 4
√
5 √ 4 0 √ 5
0 (0) 6 13 (0) 5 4 3 (0) 0 11 2
i =1 j =1 n n
∑x
i =1 n j =1
n
ij
=1 =1
∑x
ij
xij = 0或 ，i = 1 ~ n, j = 1 ~ n 1
显然，这是一个典型的0-1规划问题。也可以看成是一 个产量和销量为1的运输问题。可以用相应方法求解。 但有解分配问题更有效的方法—匈牙利法
匈牙利法
由最大匹配问题的讨论可知，可行解可用一个0-1矩阵 给出。如前例
2 2 4 4 0 0 4 3 6 5 0 4 2 1 0 2 5 0 3 6 3 2 3 1 7 -1 -2
指派问题与匈牙利法
2）试指派（找独立0元素） ）试指派（找独立 元素 元素）
2 2 4 4 0
0 4 2 4 5 0 3 0 1 0 1 3 0 3 5 1 2 3 0 5
所以，给出求最大匹配的匈牙利算法
x1 x2 设A = x3 x4 x5
1 0 0 0 0
y1
y2
1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1
y3
y4
y5
求最大匹配。
有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别 记为E、J、G、R，现有A、B、C、D四人，他们将中文翻 译成不同语种，所需时间如表3-1.问应分配何人去完成何工 作，使所需总时间最少（一人做一件事）。
指派问题与匈牙利法
一、最大基数匹配问题 人员工作分配问题：某公司有n名工作人员 x1, x2 ,..., xn 他们去做n件工作 y1, y2 ,..., yn ,每人会做其中的一项或几 项，问能否每人都分到一项会做的工作？ （显然未必，如x1,x2,x3每人只会做两项工作，但都是 x y1,y2，则这三人有一人没会做的工作） 如果不能，那么最多几人有会做的工作可做且如何 安排？ 这就是人员分配问题。我们可用图或矩阵给出它的模 型及求解方法。
−0 −0 −4
2 0 13 7 0 11 6 0 6 9 → 0 5 3 2 4 0 1 0 0 2
−2
称各行各列所减的数之和为缩减量S，S = 2 + 4 + 9 + 7 + 4 + 2 = 28
Step２：试寻最优解(用前述的寻找最大匹配的算 法，Cij>0对应０，Cij＝０对应1)
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
如果| M |< n, 则此时解题过程未完成，go to step3 如： 2 10 9 7 − 2 15 4 14 8 − 4 （Cij） = −11 → 13 14 16 11 4 15 13 9 − 4 S1 = 2 + 4 +11+ 4 = 26 0 11 2 0 5 2 (0) 8 0 10 4 11 (0) 5 → 2 3 5 0 3 (0) 0 13 4 11 9 5 8 7
1 0 x = (xij ) = 0 0 0 0 0 0 0 1 表示A → E, B → R, C → J , D → G 1 0 0 0 1 0
因此可以在效益矩阵上进行求解。
定理5.1 如果从效益矩阵(Cij)的第i行中每个元 素，减去a和第j列中每个元素加上b，得到一个 新的效益矩阵(C’ij),那么以(C’ij)为新的目标函数 与原目标函数的最优解相同．
指派问题与匈牙利法 ◎ 0 4 2 4 √ 选择直线外的最小元素 5 Ø 3 ◎ 0 0 为1；直线外元素减 ， ；直线外元素减1， 直线交点元素加1， 直线交点元素加 ，其 他保持不变。 他保持不变。 1 ◎ 1 3 0 √ Ø 3 5 1 0 Ø 2 3 0 5
√
指派问题与匈牙利法
−5 −0
−0 −0
5 4 0 5
Step3:作能覆盖所有０元素的最少数量的直线集合。 a．对没有(0)的行打√号． b．对已打√号的行中所有含０元素的列打√号． C．对打√号列上有(０)的行打√号． d．重复(b)(c)直到得不出新的打√号的行列为止． e．打√号的列画纵线，没打√号的行画横线，这就是 覆盖所有０元素的最少直线集合．
z' = ∑∑C'ij xij =∑∑Cij xij − a∑xij + b∑xij = ∑Cij xij − a + b = z − a + b
j =1 i =1 n n
利用这个性质，可使原效益矩阵变换为含有很多零 元素的新的矩阵(即每行减去该行的最小值，再每列 也类似)，其余C’ij ≥0. 如果C=(C’ij)有n个不同行，不同列的零元素，以下 简称为独立的零元素，则令矩阵x=( xij )中，对这n个独 立的零元素位置取１，其余取０，代入目标函数得z’＝ ０，它一定是最小（因为C’ij ≥0 ）
B 5 12 5 3 6
C 9 7 4 6 7
D 8 11 6 9 5
E 11 9 8 6 11
甲 乙 丙 丁 戊
指派问题与匈牙利法
解：1）变换系数矩阵，增加0元素。
7 9 8 7 4 5 12 5 3 6 9 7 4 6 7 8 11 6 9 5 11 −5 9 −7 9 −4 6 −3 11 −4
总费用为=7+9+4+3+5=28 总费用为=7+9+4+3+5=28
指派问题与匈牙利法 0 0 0 Ø Ø 3 ◎ 3 1 6 0 2 ◎ Ø 0 3 2 0 0 3 ◎ Ø 2 ◎ 2 3 Ø 0 0 ◎ 0 4 4 0 6 Ø
总费用为=8+9+4+3+4=28 总费用为=8+9+4+3+4=28
进一步考虑
指派问题用匈牙利法计算，模型需要满足的形式： （1）目标函数是求最小值 （2）效益矩阵必须是n阶方阵 （3）效益矩阵中每个元素Cij ≥0，且是常数
x1 (1) 1 0 0 0 x2 0 (1) 1 0 0 x3 0 1 0 0 (1) x4 0 0 (1) 0 0 x5 0 0 1 (1) 1
y1
y2
y3
y4
y5
但礼让原则未必都能得到最大 匹配，其次礼让原则当规模大 时无法使用，且无法用计算机 实现
如人员分配问题：
x1 x2 x3 x4 x5 y1 y2 y3 y4 y5
x1 x2 A = (aij ) = x3 x4 x5 1 0 0 0 0
y1
人员工作分配问题就是在一个二部图中， ((xi,yi) ∈ E,表示xi会做yi项工作)寻找最 大匹配。 该问题也可用矩阵表示：
0 13 7 (0) 9 6 (0) 6 (0) 5 3 2 0 1 (0) 0
这时得到了最大匹配M
0 0 = 如果| M |= n, 则已得到最优解（xij） 1 0 即A → R, B → J , C → E, D → G zmin = C14 + C22 + C31 + C43 = 28 = S
2 2 4 4 0 ◎
◎ 0
5 1
Ø 0
2
4 2 4 0 0 Ø 3 ◎ ◎ 1 3 0 3 5 1 3 Ø 5 0
独立0元素的个数 ＝ 独立 元素的个数l＝4<5，故画直线调整矩阵。 元素的个数 ，故画直线调整矩阵。
2 2 4 4 ◎ 0
1 2 4 3 ◎ 0
◎
0 3 1 3 √ ◎ √ 6 Ø 3 0 0 2 ◎ 1 3 √ 0 √ Ø 2 4 Ø 0 0 3 3 Ø 5 0
√ √
l =m=4 < n=5
选择直线外最小元素为1， 选择直线外最小元素为 ， 直线外元素减1， 直线外元素减 ，直线交 点元素加1， 点元素加 ，其他保持不 得到新的系数矩1:使效益矩阵的各行各列出现0元素 １、效益矩阵的每行各元素减去该行中的最小元素 ２、再从所得矩阵每列各元素减去该列中的最小元素 见前例
2 15 13 4 − 2 10 4 14 15 − 4 (Cij ) = −9 → 9 14 16 13 7 8 11 9 − 7 0 13 11 6 0 10 0 5 7 0 1 4
相关概念简介： 设G=(E,V)为一个图 1、如果 M ⊆ E, ∀ei , ej ∈ M , ei与ej无公共顶点，则称边子集M是G的一个匹配。 2、如果M一匹配，而不存在其他匹配M1,使得|M1|>|M| ,则称M是G的最大(基数)匹配，其中|M|表示匹配M的边 数 3、二部图：如果G=(E,V)的顶点可分成两个满足下述条 件的子集X,Y： （1） X UY = V , X IY = Φ （2） 对∀e ∈ E, 有与e关联的两个顶点分属X ,Y 称G为二部图
y2
1 0 0 0 0, 如果xi不会做yi 其中，a = , ij 1 1 0 0 1, 如果xi 会做yi 1 0 0 1 则原问题就是在该矩阵中寻找 0 1 0 0 1 最多的不同行不同列的 元素。 0 1 1 1
y3
y4
y5
如何寻找最大匹配，即寻找最多不同行不同列的1元素？ 简单考虑，从每行(每列)中，有最少的1的行(列)先取， 相同时任意取，称为礼让原则。 上例中是确实可行的（用（）表示）