线性规划和匈牙利法
最大化指派问题匈牙利算法
最大化指派问题匈牙利算法匈牙利算法，也称为Kuhn-Munkres算法，是用于解决最大化指派问题（Maximum Bipartite Matching Problem）的经典算法。
最大化指派问题是在一个二分图中，找到一个匹配（即边的集合），使得匹配的边权重之和最大。
下面我将从多个角度全面地介绍匈牙利算法。
1. 算法原理：匈牙利算法基于增广路径的思想，通过不断寻找增广路径来逐步扩展匹配集合，直到无法找到增广路径为止。
算法的基本步骤如下：初始化，将所有顶点的标记值设为0，将匹配集合初始化为空。
寻找增广路径，从未匹配的顶点开始，依次尝试匹配与其相邻的未匹配顶点。
如果找到增广路径，则更新匹配集合；如果无法找到增广路径，则进行下一步。
修改标记值，如果无法找到增广路径，则通过修改标记值的方式，使得下次寻找增广路径时能够扩大匹配集合。
重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法优势：匈牙利算法具有以下优势：时间复杂度较低，匈牙利算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是顶点的数量。
相比于其他解决最大化指派问题的算法，如线性规划算法，匈牙利算法具有更低的时间复杂度。
可以处理大规模问题，由于时间复杂度较低，匈牙利算法可以处理大规模的最大化指派问题，而不会因为问题规模的增加而导致计算时间大幅增加。
3. 算法应用：匈牙利算法在实际中有广泛的应用，例如：任务分配，在人力资源管理中，可以使用匈牙利算法将任务分配给员工，使得任务与员工之间的匹配最优。
项目分配，在项目管理中，可以使用匈牙利算法将项目分配给团队成员，以最大程度地提高团队成员与项目之间的匹配度。
资源调度，在物流调度中，可以使用匈牙利算法将货物分配给合适的运输车辆，使得货物与运输车辆之间的匹配最优。
4. 算法扩展：匈牙利算法也可以扩展到解决带权的最大化指派问题，即在二分图的边上赋予权重。
在这种情况下，匈牙利算法会寻找一个最优的匹配，使得匹配边的权重之和最大。
匈牙利法
6.9.2线性规划的求解方法——匈牙利法例：某建筑公司有五个工程队，现准备去五个工地作业，由于工程队的设备、人力各不相同，五个工地的条件也各不相同，因此每个工程队在不同的工地工作所需的作业时间也不相同，设每个工程队在每个工地工作的计划时间见表 6.9.1，安排哪个工程队去哪个工地进行作业，才能使企业作业的总时间最少。
各工程队在各工地的计划工作时间匈牙利法：步骤1，在系数矩阵C ij的每行和每列中减去最小元素，使矩阵的每行和每列至少有一个零元素。
步骤2，按零元素最少的行优先进行指派。
由于零元素所对应的分配关系所消耗的时间最少，故在零元素最少的行优先选择零元素并将其用○圈起，零元素一旦选定，则说明该工程队不能再在其他工地工作、也不能再安排其他工程队，故应划掉与该零元素同行和同列的其他零元素，按此法一直到进行不下去为止。
步骤3，如果选中的零元素个数与矩阵维数相同，则选中的零元素所对应的分配关系即是最优方案；如果选取中的零元素个数小于矩阵维数，则说明有的工程队未分配工作、有的工地未安排工程队。
因此需要进行调整，调整方法的思路为：找出与未分配工作工队有冲突的工队，通过对有冲突工队工作时间的比较，找出“次快”的工作时间，使其变为零元素，再进行分配。
其方法如下：①在无○号的行标√号。
②在有√号行上的零元素所在的列标√号。
③再在标√号的列中有○号的零元素所对应的行标√。
④重复直至进行不下去为止。
⑤对无√号的行和有√号的列画直线，在直线未复盖的元素中选择最小元素。
⑥从有√号的行中减去该元素，在有√号的列上加上该元素，则得到一个新矩阵。
方法中①～④的主要目的是找出有冲突的工队，标有√标记的行，是有冲突的工队；⑤、⑥是找出有冲突的工队中第二快（次块）的工时，并使其为零。
步骤4在此新矩阵的基础上重复第二步～第四步即可得出最优解。
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
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一线性规划图解法1.线性规划的标准形式：(1)目标函数最大；约束条件等式；决策变量非负（x≥0）；资源限量非负（b≥0）。
(2)图解法两个变量系数C1、C2，斜率k=-(C1/C2)(3)图解法K≥0时，绝对值越大越靠近Y轴；K≤0时，绝对值越大越靠近Y轴。
(4)阴影区：无论斜率为正或负，小于的部分阴影区都在线的下方。
二单纯形法1.大M法（1）加入人工变量-Mx i…，M无穷大。
（2）最后将人工变量x i替换出去，且σ≤0.2.两阶段法（1）第一阶段：目标函数为max z′=−x i…，得到最终表。
（2）第二阶段：目标函数替换为原目标函数，在最终表里继续计算σ，直到都小于等于0。
3.单纯表特殊情况的解判断（1）最优解中人工变量大于0，线性规划无解。
（2）某次迭代过程，表中有一个σ＞0，且该列系数向量都小于等于0，线性规划无界。
（因为比较比值大小时都是负的）。
（3）某个非基变量σ=0，无穷解。
（4）退化问题：相同的比值，选择下标大者离基。
σk相同，任选一个入基。
4.初等行变换✓某一行（列），乘以一个非零倍数。
✓某一行（列），乘以一个非零倍数，加到另一行（列）。
✓某两行（列），互换。
三单纯形法灵敏度分析1.对偶问题原问题：max z=cx对偶问题：min f=b T yAx≤b A T y≥c TX≥0 y≥0（1）原问题统一为以上标准型，再进行下一步。
（2）原问题第i个约束条件等号，对偶问题i个决策变量无约束。
（3）原问题第i个决策变量无约束，对偶问题第i个约束条件等号。
（4）原问题的对偶价格为对偶问题的最优解。
（参考习题册第7、19题）（5）对偶价格：常数项增加1单位，目标函数值改进的数量。
（6）影子价格：常数项增加1单位，目标函数值增加的数量。
2.灵敏度分析（1）目标函数变量系数C k:将C k直接代入最终表，判断σ是否小于0。
（2）约束方程常数项b：利用如下公式计算新的最终表中b值。
判断b是否非负。
第五章 匈牙利法与最佳指派问题
7 2 2
4
3
8 3 5 3
11 8
4
4 1 4
情况一出现，即得到了最优解，其相应的解矩阵为：
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
xij
1
0
0
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
由此得知最优指派方案为甲完成任务B，乙完成任务
C，丙完成任务A，丁完成任务D，戊完成任务E，最少时
间为
min z 7 6 7 6 6 32
而总的最少时间为32天．
当然，由于方法中的第二步4中的情况二的出现，造成 指派问题的最优解常常是不唯一的，但不同最优解的 最优值总是相同的．
第三节 非标准指派问题
前一节的匈牙利法只适用于目标函数为极小、价值 系数矩阵为方阵且价值系数矩阵中元素均为非负的情况。 当指派问题不满足上述三个条件时，就应先化成标准的 指派问题，然后再用匈牙利法求解．
解：
ABC DEF
甲 16 10 12 15 0 0 8 2
甲 16 10 12 15 0 0
8
2
乙 11 12 10 18 0 0 3 2 3
乙
11
12
10
18
0
0
3
2
3
丙 8 17 13 16 0 0 7 3 1
丙
8
17 13 16
0
0
7
3
1
8 10 10 15
本例经过反复的行、列检验后得到如下矩阵：
5 2 2
2
3
10 5 7 5
9
8
4
6 3 6 2
情况三出现，亦即未得到完全分配方案，求解过程 按以下步骤继续进行。
【高项第四版教材第21章】项目管理科学基础(运筹学计算)
3 最小生成树 如：改造路线最小长度方案 熟练掌握
4 匈牙利法 如：每人只能做一项任务，如何进行任务的分配 熟练掌握
5
最短（长）路径如：计算网络图最短路径;路径上最少花费;复杂图里计 问题 算最长路径、关键路径
6 网络与最大流量 如：最大运力计算 掌握
7 不确定决型策决论策：如乐等观可主能义、、后悲悔观值主准义则、等折;灵中敏主度义分、析
0.5
（1-2）联立，得X=3/0.11，66题的选项,排除。 （1-3）联立，得X=1140/45.5，67题的选项,排除。 （2-3）联立,得X=15 , Y=30
答案:66-A，67-C
假设从甲采购X吨，乙采购Y吨；则
（ 1） （ 2）
（ 3）
而所花费总价格（含运费）为 Z＝2000x＋2900y（万元），画出可行域， 此时，当直线过B（15，30）时，总费用最少，故每季度应从A处采购15万 吨，从B处采购30万吨，总费用为11700万元。
将X=2 , Y=0代入（300X+200Y）得最低成本为600万，第二问选择C选项。
方法2：公司需要研发2个A，4个B。因为甲可支持1个A和两个B，所以2个甲可以满足要求。成本600元。
四个成本选项600下面还有个400，400的组成只有两个乙，但是两个乙不满足要求。所以选甲乙分别为
2，0，成本是600。
题型2【动态规划】投资收益最大的问题
【例5-11下】某公司现有400 万元用于投资甲、乙、丙三个项目，投资额以百元为单 位， 知甲、乙、丙三项投资的可能方案及相应获得的收益如下表所示:
项目-收益-投资额
1
甲
4
乙
3
丙
5
2
3
4
运筹学 工作指派问题
n
n
n
n
ij
) xij
n n
= M ∑∑ xij − ∑∑ cij xij = nM − ∑∑ cij xij
i =1 j =1
14
1 甲 乙 丙 丁 10 5 5 2 2 9 8 4 3 3 7 7 6 4 4 8 7 5 5
12
例1-15 求最大效率问题
上海港务局装卸队安排五个班组进行五条作 业线的配工，以往各班组完成某项作业的实 际效率的具体数据如下表所示。
项目 班组 甲 乙 丙 丁 戊 400 435 505 495 450 315 295 370 310 320 220 240 320 250 310 120 220 200 180 190 145 160 165 135 100 13 1 2 3 4 5
9
(4)画0元素的最少覆盖线：要用最少的覆盖线将矩 阵表格中的所有0元素都覆盖住。如果覆盖线的条 数少于矩阵的阶数，说明找不到最优解，要转下 步（继续变换矩阵，使0元素增加）。如果覆盖线 的条数等于矩阵的阶数，则说明可以从矩阵表格 的0元素中找出最优解。 画最少覆盖线的具体方法： ①对没有◎的行打√； ②对打√的行中，所有有0元素的列打√； ③对打√的列中，对有◎的行打√； ④重复②、③步直到得不出新的打√的行和列； ⑤对没有打√的行画横线，对打√的列画纵线，这 些横线和纵线就是能把全部0元素都覆盖的最少覆 盖线。
第一章 线性规划的基本 理论及其应用
1
第九节
工作指派问题
工作指派问题是这样一类问题： 有n个人和n件事，已知第i个人做第j件事的 费用为 cij (i, j = 1, 2, , n),要求确定人和事之间的 一一对应的指派方案，使完成这n件事的总 费用最少。
项目管理匈牙利法
项目管理匈牙利法匈牙利法是一种有效的项目管理方法，它在项目规划、实施和监控过程中提供了清晰的框架和指导。
本文将介绍匈牙利法的定义、基本原则，以及在项目管理中的应用。
一、匈牙利法的定义匈牙利法（Hungarian notation）是由计算机科学家Charles Simonyi提出的一种命名规则，它的目的是为变量、常量和函数等命名提供规范。
匈牙利法的命名特点是在变量名前面加上前缀，该前缀表示该变量的数据类型或作用。
二、匈牙利法的基本原则1. 可读性：匈牙利法的前缀可以清晰地表达变量的类型或作用，提高代码的可读性和可维护性。
2. 一致性：匈牙利法要求在整个项目中保持一致的命名规则，避免混乱和不一致的命名方式。
3. 可扩展性：匈牙利法可以通过添加前缀来扩展变量的含义和作用，便于项目的发展和维护。
三、匈牙利法在项目管理中的应用1. 项目规划阶段：在项目规划阶段，匈牙利法可以用于命名项目中的不同组成部分，如项目名称、阶段名称、任务名称等。
通过使用一致的前缀命名规则，可以清晰地表达各个组成部分的作用和类型，方便项目团队的沟通和理解。
2. 项目实施阶段：在项目实施阶段，匈牙利法可以用于命名各个变量和参数，如成本变量、进度变量、风险变量等。
通过使用匈牙利法的命名规则，可以准确地描述变量的类型和作用，便于代码的编写和维护。
3. 项目监控阶段：在项目监控阶段，匈牙利法可以用于命名各个指标和报告，如成本指标、进度指标、风险报告等。
通过使用匈牙利法的命名规则，可以清晰地表达指标和报告的类型和用途，方便项目经理和其他相关人员进行监控和评估。
四、匈牙利法的优点和注意事项1. 优点：（1）提高代码的可读性和可维护性，减少开发和维护的难度；（2）促进团队成员之间的沟通和协作，减少误解和歧义；（3）减少错误和漏洞的发生，提高项目的质量和效率。
2. 注意事项：（1）匈牙利法要求在整个项目中保持一致的命名规则，需要进行规范和培训；（2）匈牙利法只是命名规则的一种方式，需要根据具体项目的需求和特点进行调整和变化；（3）匈牙利法不是万能的，需要结合其他项目管理方法和工具进行综合应用。
线性规划例题5分配问题及匈牙利算法
直角坐标系。 • （2）对每个约束（包括非负约束）条件，
先取其等式在坐标系中作出直线，通过
判断确定不等式所决定的半平面。各约束半 平面交出来的区域(存在或不存在），若存在， 其中的点表示的解称为此线性规划的可行解。 这些符合约束限制的点集合，称为可行集或 可行域。
同时，我们有一个追求目标，即获
取最大利润。于是可写出目标函数z
为相应的生产计划可以获得的总利
润：z=40x1+30x2 +50x3
【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品 的产量数学模型为：
mZ a 4 x x 1 0 3x 2 0 5x 3 0
3 x1 x 2 2 x3 200
问：如何分配，能使所需的 总时间最少？
人 工作 甲 乙 丙 丁
译英文 2 10 译日文 15 4 译德文 13 14 译俄文 4 15
97 14 8 16 11 13 9
1.1 数学模型 Mathematical Model
线性规划（Linear Programming,缩写为LP）是运筹学的重 要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟， 借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。
怎样辨别一个模型是线性规划模型？其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函 数，通常是求最大值或 最小值； 2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量 的线 性不等式或等式。
书本还例举了诸如合理用料问题;配料问题;投资问题;均衡配 套生产问题等.
• 线性规划的一般模型
max(min)Z c1x1 c2 x2 L cn xn
6
x 1 0 、 x 2 0
第2章 求解线性规划方法 (单纯形法+匈牙利法)
x3＝2－x1＋x4－x6 （13） 13） 14） x7＝1＋2x1―x2―2x4＋x5＋2x6 （14）
S＝4x1＋3x2＋8x3＋Mx6＋Mx7＝min(8)
第 二 次 判 定 S＝4x1＋3x2＋8(2－x1＋x4－x6 )＋Mx6＋ M(1＋2x1―x2―2x4＋x5＋2x6) (2M－ (3－M)x (8－2M)x ＝(2M－4)x1＋(3－M)x2＋(8－2M)x4＋ (3M－ 16） Mx5＋(3M－8)x6＋16 （16） 16）式可见x 的系数为负 由（16）式可见x2、x4的系数为负， 因此X(1)不是最优解。 因此X 不是最优解。
x3＝2－x1＋x4－x6 （13） 13） 14） x7＝5－x2－2x3＋x5＝1＋2x1―x2―2x4＋x5＋2x6 （14）
由（14）式得： 14）式得： 1/2＋ /2＋ /2＋ 18） x4＝1/2＋x1-x2/2＋x5/2＋x6-x7/2 （18） 由（13）、（18）式： 13）、（18） ）、（18 5/2- /2＋ /219） x3＝5/2-x2/2＋x5/2-x7/2 （19） 求解（18）、（19）式得： ）、（19 令x1＝x2＝x5＝x6＝x7＝0， 求解（18）、（19）式得： x3＝5/2 20） （20）是基础可行解 x4＝1/2 得到了新的顶点X 得到了新的顶点X(2)＝(0,0,5/2,1/2,0,0,0)T
(4－ (3－ 因为M为无限大值，所以(4 因为M为无限大值，所以(4－M)x1 、 (3－M)x2 、 (8－ 负值， 不是最优解。 (8－3M)x3是负值， S(X(0))不是最优解。
4. 换元 A、原则
将目标函数S 系数为负且最小的元换入（ 将目标函数S中系数为负且最小的元换入（本例为 的元换入 (8－ ），作为基本变量。 作为基本变量 (8－3M)x3），作为基本变量。 计算各约束条件式中比值： 计算各约束条件式中比值： 第 一 次 换 元
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二、生产任务分配的匈牙利法
在实际的生产管理工作中，常会遇到这样的问题，就是如何根据生产作业汁划将不同任务在不同的工人(或班组)之间分配，使完成任务总的消耗时间或费用最小。
解决这类问题的简便而有效的方法是匈牙利法，它是由匈牙利数学家D. Konig所提出。
例有4项任务A、B、C、D，分别由甲、乙、丙、丁4个人去完成，规定每人承担其中一项任务，不同的人完成同一任务所花时间(h)不同，见表3-3，求如何分配，使完成这4项任务的总时间最小。
匈牙利法求解此问题的步骤是：
1）按表3-3列出矩阵
2)将矩阵作行、列约简：首先进行行约简。
在矩阵的每一行中选取最小元素，
然后将该行的各元素都减去此数，得到如下新矩阵
行约简是比较一名工人担任不同任务时所花的时间，各行中减去最小值后的时间表示该工人担任其它任务时，所多花费的时间，每行中的“0”表示该工人承担这项任务最有利。
然后将经过行约筒后的矩阵中没有“0”的列再进行约简，即从该列中选出最小元素，并将其它元素减去此数，得到新矩阵
列约简是比较一项任务有不同工人承担所托时间，各列中减去最小值后的时间表示任务由其他工人担任时，所多花费的时间，每列中的“0”表示这项任务由该工人承担最有利。
3) 检验是否已得最优分配方案；作零的覆盖线，即对有“0”的行和列，划上一条覆盖线，能覆盖所有零元素的最少覆盖线数称为维数，当覆盖线的维数等于矩阵阶数时，可知已得最优分配方案，若维数小于阶数，再作调整。
本例可用三条覆盖线覆盖住所有零元素，维数是3，矩阵的阶数是4，维数不等于阶数，因此矩阵还必须调整。
4) 矩阵的调整。
在上述矩阵中．有三种元素，一种是无线覆盖元素，另一种是单线覆盖元素，还有一种是双线覆盖元素。
在无线覆荒元素中找出最小值，本例为“1”，将无线覆盖得元素都减去“1”，而双线覆盖的元素加上“1”，单线覆盖的元素不变。
这样得到新矩阵
5) 再检验——作覆盖线，方法与步骤3相同。
现在的最少覆盖线数为4，与矩阵阶数相等，可知已能进行最优分配。
6) 确定最优分配方案。
进行具体分配时，可以对只有一个零元素的列(行)先分配(记√号)，分配后，划去与该零元素同行(列)的其他零元素(记×号)这样依改做完各列(行)，得到分配结果。
如果矩阵能通过直接观察找到位于不同行不同列的零元素，那么就可以直接确定分配方案。
最优分配方案：甲——D，乙——B，丙——A，丁——C。
总消耗工时为：Z=7+5+4+5=21 (h)。
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