人教A版数学必修二 《圆的标准方程》教案
人教版数学必修二4.1.1圆的标准方程
圆的基本要素:圆心 ,半径
半径为r,圆心为A的圆:
(a,b)
(x,y)
即:
两边平方
复习: 在平面直角坐标系中,如何确定一条直线?
1.直线上任意的两个不同点
2.直线上一点和倾斜角
3.直线上一点和斜率
标准方程:
圆心为A(a,b),半径为r 的圆
思考：1：方程 与圆是什么关系？2：当圆心为原点时，方程情势是什么？3：由圆的标准方程，能否直接求出其圆 心坐标和半径？4：确定圆的标准方程需要什么条件？
练习:圆 关于直线 对称的圆的方程是( ) B.C.D.
B
1.圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
当圆心在原点时，a=b=0，圆的标准方程为：
数学必修2---4.1.1圆 的 标 准 方 程
虽然我的知识在你们看起来很高，但我认为人的学习就像一个圆，学的东西越多，则圆的周长越长，周长越长则接触外面世界的机会就越多。 ——爱因斯坦
教学目标：知识与技能： 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。过程与方法： 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生视察问题、发现问题和解决问题的能力。情感态度与价值观： 通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。教学重点：圆的标准方程及其求法教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
4.注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题.
2.点和圆的位置关系:
点: 圆:
圆外：圆上：圆内：
3.求圆的标准方程的方法：
圆的标准方程 教案
圆的标准方程一、教材分析本节课是人教版A 必修二第四章圆与方程的第一节圆的标准方程，是将圆、方程、坐标系三者有机结合起来的第一课，在初中这三者都已经学过，但是如何在坐标系中表示圆的方程，对学生可能有一定难度。
本节课主要是让学生理解在坐标系中构造圆的方程的原理，通过圆的标准方程能得到什么信息、它的作用。
作为基础课，它为后面进一步学习圆的一般方程、圆与直线的关系等打好基础。
二、教学目标1知识与技能：（1）了解在坐标系中构造圆的方程的原理；（2）正确理解圆的标准方程的定义；（3）熟练运用圆的标准方程，得到方程中所含的信息；2、过程与方法：（1）在复习引入的过程中，将旧知运用到新知上，使两个知识点连接起来，体会方程思想；（2）通过对圆的标准方程的探究，感知方程与几何之间的转化，体会数形结合思想．3、情感态度与价值观：（1）通过自己动脑和观察来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系，体会数学美；三、重难点⑴重点：圆的标准方程的推导、通过标准方程判断圆心半径；⑵难点：圆的标准方程推导；四、教学过程一、〖创设情境〗在前面几节课中，我们学过了如何在平面直角坐标系中表达直线方程、两点之间的距离公式，这节课我们来学一学如何在平面直角坐标系中确定一个圆。
【设计意图】带领同学们复习一下两点之间的距离公式，有助于同学在后面能更容易理解圆的标准方程推导过程。
二、〖新知探究〗（一）圆的基本要素思考1：现在坐标系中确定出一个圆，首先我们需要知道什么信息：（1）圆心；（2）半径；在黑板上画出坐标系，并在其中画圆思考2：在图中圆心与半径是已知的，请同学们回忆一下初中时我们对圆的定义，并尝试着用集合的语言表示在圆上的所有点初中时定义：平面上与固定点的距离为定长的所有点所围成的图形集合表示：{}r B AB =思考3：将r AB =单独拿出来，A 的坐标为(),a b ，B 的坐标为(),x y ，请同学们上式等式左边改写成坐标形式的式子。
人教版高中数学教案圆的标准方程
人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标：1. 理解圆的标准方程的概念和意义。
2. 学会如何将圆的参数方程转化为标准方程。
3. 能够应用圆的标准方程解决实际问题。
教学重点：1. 圆的标准方程的概念和意义。
2. 将圆的参数方程转化为标准方程的方法。
教学难点：1. 理解圆的标准方程的推导过程。
2. 应用圆的标准方程解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 圆的参数方程与标准方程的相关资料。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的参数方程的概念和意义。
2. 提问：如何将圆的参数方程转化为标准方程？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解圆的标准方程的概念和意义。
2. 推导圆的标准方程的公式。
3. 举例说明如何将圆的参数方程转化为标准方程。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固圆的标准方程的知识。
2. 解答学生提出的问题，给予个别辅导。
四、应用拓展（10分钟）1. 给出实际问题，让学生应用圆的标准方程解决。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为圆的标准方程问题。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结圆的标准方程的概念和意义。
2. 强调圆的标准方程在实际问题中的应用价值。
教学反思：本节课通过讲解和练习，使学生掌握了圆的标准方程的概念和意义，能够将圆的参数方程转化为标准方程。
在应用拓展环节，学生能够将实际问题转化为圆的标准方程问题，并能够解决。
但在教学过程中，发现部分学生对圆的标准方程的推导过程理解不够深入，需要在今后的教学中加强引导和解释。
六、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固圆的标准方程的知识。
2. 解答学生提出的问题，给予个别辅导。
七、应用拓展（15分钟）1. 给出实际问题，让学生应用圆的标准方程解决。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为圆的标准方程问题。
八、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结圆的标准方程的概念和意义。
2. 强调圆的标准方程在实际问题中的应用价值。
高中数学《圆的标准方程》教案
圆的标准方程
教学目标
1.掌握圆的标准方程及其特点，会由圆心位置和半径写出圆的标准方程，并学会坐标法研究几何。
2. 在探究过程中，发展数形结合的思想，提升联系旧知识、提出问题、解决问题。
教学重点
由已知条件求出圆的标准方程；圆的标准方程的求法及其简单应用。
教学难点
圆的标准方程的求法及其简单应用。
教学过程
（一）导入新课
1.同学们还记得如何确定一条直线吗？
生1：两点确定一条直线。
生2：知道一点和斜率可以确定一条直线。
2.解析几何解决问题的基本方法：直线这一平面图形可以由一个代数中的二元一次方程来表示。
（二）探究新知
（三）巩固提升
多媒体呈现例题1。
（学生板演）设错：左侧这位同学的答案中应该是半径的平方数，她只写了半径。
（四）课堂小结
知识：圆的标准方程方法：数形结合。
（五）作业设计
必做题：完成PPT展示的变式题。
选做题：将本节课的内容整理在数学笔记本上。
人教A版高中数学必修二圆的标准方程学案(10)
《直线与圆的方程》复习指导（一）一、热点透视本部分在高考中考查的重点有两类：一是对基本概念的考查；二是求不同条件下的直线方程．对于基本概念考查的重点：一是与直线方程特征值（主要指斜率等）有关的问题，直线的平行与垂直的条件，与距离有关的问题，中心对称与轴对称问题；二是直线与其他知识的综合应用，由于一次函数的图象是直线，因此有关函数、不等式等问题也往往借助直线方程来解决．二、重点内容剖析1．直线的倾斜角和斜率是平面直角坐标系中表示直线位置的重要的特征值，它在判定两直线的位置关系等问题中起着重要的作用．过两点11()x y ，，22()x y ，的直线的斜率公式211221()y y k x x x x -=≠-是一个很重要的公式，该公式适合于两点的横坐标不相等的情况，当两点的横坐标相等时，直线的斜率不存在（此时直线的倾斜角为90°）．注意：所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．直线的倾斜角是分两种情况定义的：一种是与x 轴相交的直线，另一种是与x 轴平行或重合的直线．由其定义可知倾斜角的取值范围是［0°，180°）．斜率是一个数值，当直线倾斜角为0°时，斜率k =0；当倾斜角为锐角时，斜率k ＞0；当倾斜角为钝角时，斜率k ＜0；当倾斜角为90°时，斜率k 不存在．因此斜率的取值范围是R ．例１ sin (0)y x a b a =+≠．（1）sin a 是否为斜率？（2）a 是否为倾斜角？（3）倾斜角的范围？参考答案：（1）是；（2）不是；（3）304π⎡⎤⎡⎫ππ⎪⎢⎥⎢4⎣⎦⎣⎭，，． 警示误区：求倾斜角范围时易漏掉“０”，因已知中a ≠0，故认为sin a 也不能为“０”，这是错误的，因a k k =π(∈)Z 时，sin a 均为“0”．例2 已知两条直线1:l y x =，2:0l ax y -=，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，内变动时，a 的取值范围是（ ）． Ａ．(01)， Ｂ．333⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， Ｃ．31(13)3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，， Ｄ．(13)，， 答案：（Ｃ）．解析：本题考查直线的夹角、斜率等概念．∵直线1l 的倾斜角为π4， ∴当过原点的直线2l 与1l 的夹角在0,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，内变动时，可得直线2l 的倾斜角的范围是ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪6443⎝⎭⎝⎭，，． ∴直线2l 的斜率a 的取值范围是31(13)3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，故应选（Ｃ）． 2．求直线方程时要注意以下两点：①若设直线方程为点斜式或斜截式，一定要考虑斜率不存在的情况；②在涉及到直线的截距时，一定要考虑截距为0的情况．直线方程的几种形式在解题中要依据题意合理的选用，如点斜式与斜截式均不能表示垂直于x 轴的直线；两点式与截距式均不能表示与x 、y 轴垂直的直线；一般式可表示所有直线．3．两直线的位置关系是考查的重点，在平面直角坐标系中两条直线的位置关系有三种：相交、平行与重合．相应地由两条直线的方程组成的二元一次方程组的解也有三种情况：有唯一解、无解和有无数多个解，同学们要深刻理解这种形与数的对应关系．通过对直线方程组成的二元一次方程组的解的研究，可以得到这两条直线的位置关系．在复习时特别注意不同形式下的两直线平行与垂直的充要条件．设111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则1212l l k k ⇔=∥且12b b ≠；12121l l k k ⇔=-⊥．4．平面内一点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B ++=+．在应用此公式时，必须把直线方程化为一般式，公式中的分子必须加绝对值符号．当直线与坐标轴垂直时，如果直线方程为x =a ，则0d x a =-；如果直线方程为y =a ，则0d y a =-． 在应用两条平行直线10Ax By C ++=和2120()Ax By C C C ++=≠之间的距离公式1222C C d A B -=+时，需要注意两直线方程中x 、y 的系数要对应相等．5．几种简单的直线系与直线0A x B y C ++=平行的直线有无数条，它们的方程可表示为0()Ax By D D C ++=≠，这就是与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程．与直线0Ax By C ++=垂直的直线也有无数条，它们的方程可表示为0Bx Ay D -+=，这就是与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程．过两条相交直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()0(0)A x B y C A x B y C λλ+++++=≠．以上三种直线系比较常用，同学们在解题时可根据题意设出所求的直线方程，再用待定系数法求出待定系数即可．三、学习指导1．在解答直线问题时，需要注意以下几点：①在确定直线的斜率、倾斜角时，既要注意斜率存在的条件，又要注意倾斜角的范围；②在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意“无斜率”的情况，以防丢解．2．直线的斜截式方程和截距式方程中的“截距”不是“距离”，截距可以取一切的实数，而距离是一个非负数，如果题目出现截距相等，则应分零截距相等、非零截距相等两种情况；若出现截距的绝对值相等，则应分为零截距相等、截距同号相等、截距异号相等三种情况．所以出现截距时要考虑全面，防止丢解．3．在由两直线的位置关系确定有关的字母的值时，或讨论直线中各系数间的关系、直线所在直角坐标系中的象限等问题时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值验证等基本的数学思想方法．4．两条直线的位置关系是解析几何的基础，同时本部分内容所涉及到的数形结合、对称、化归等方法也是解析几何的重要思想方法，因此对于本部分内容要切实学好、学透、学活．5．平面解析几何的核心是坐标法，它需要运用运动变化的观点，运用代数的方法研究几何问题，因此解析几何问题无论从知识上还是研究方法上都要注意与函数、方程、不等式、三角及平面几何等内容相联系．解析几何方法是通过坐标系，将几何问题转化成代数问题；反过来，将某些代数问题放在适当的坐标系中也具有某种几何意义，这就是解析几何的两个方面．。
《圆的标准方程》数学教案
《圆的标准方程》数学教案
一、教学目标
1、知识与技能
在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程;会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。
2、过程与方法
培养学生用坐标法研究几何问题的能力;使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;增强学生用数学的意识。
3、情感态度与价值观
使学生认识到数学从实际中来的，培养学生主动探究的意识，激发兴趣。
二、教学重难点
重点：掌握圆的标准方程的求法及其应用。
难点：选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
三、教学过程
1、新课导入
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢?如果能，这个方程又有什么特征呢?
2、新授环节
3、巩固练习
P120练习
4、小结和作业
小结：圆的标准方程;点与圆的位置关系的判断方法;根据已知条件求圆的标准方程的方法。
作业：完成备选作业。
四、板书设计
五、教学反思。
(完整版)圆的一般方程教案(正式)
4.2.1圆的一般方程一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=、圆心(a ，b)、半径r把圆的标准方程展开，并整理:22222220x y ax by a b r +--++-= 取D=-2a E=-2b F=222a b r +-220x y Dx Ey F ++++=这个方程就是圆的方程.反过来给出一个形如220x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把220x y Dx Ey F ++++=配方得： 222224()()224D E D E Fx y +-+++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
问题：这个方程是不是表示圆？⑴当2224D E F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2E)为圆心，以22142D E F +-为半径的圆. ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是所有的方程都可以 表示圆。
使得学生的认识不断加深，同时一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：2042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩即D=-8 E=6 F=O∴所求的方程为22860x y x y +-+=222142r D E F =+-=5、2D -=4、2E-=-3∴圆心坐标为(4,-3)或将220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程： 22(4)(3)25x y -++=【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。
高中数学《圆的标准方程》精品公开课教案教学设计
圆的标准方程教学设计一、教学背景教学背景分为四个方面，即：设计理念、教材分析、学生分析、重点难点。
（一）设计理念新教改明确指出：学生应在教师指导下主动地、富有个性地学习，要倡导信息技术在教学中的普遍应用。
当前流行的翻转课堂，以微课为主要载体，采用“先学后教、以学定教”的教学模式，通过信息技术手段，完美的诠释了新教改的思想与理念。
（二）教材分析本节内容是在初中所学知识以及高一直线方程的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程。
学好了圆的方程，能为后面拓展模块学习椭圆、抛物线、双曲线的方程奠定基础。
也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。
（三）学生分析授课对象为高一动漫班的学生，思维上，他们喜欢形象和生动；专业上，他们喜欢图形和画画；课堂上，他们喜欢新意和创意。
结合设计理念、教材分析和学生分析，本节课采用翻转课堂开展教学，也就是将知识的呈现转移到课外，而将知识的内化放到课内。
（四）重点难点翻转背景之下，本节课的教学重点为：前置学习情况的答疑解惑；圆的标准方程的基础应用。
教学难点为：求较复杂圆的标准方程；圆的高阶思维能力训练。
二、教法学法（一）教法设计翻转课堂下的“教”，主要采用引导和启发式教学，让学生主动去发现知识的内涵和外延，以凸显学生的主体地位。
（二）学法指导学法与教法绝不孤立，而是相互呼应。
翻转课堂下的“学”，课前学生通过微课自主探究发现，课堂开展小组合作学习，教师则注重解惑与答疑，强调引导和提高。
三、翻转过程（一）翻转设计说明新课改同时明确指出：教师是学生学习的服务者，帮助、引导、促进着学生进步。
教学的整个翻转过程就是不断为学生服务的过程。
服务过程由六个环节组成。
分别是设计微课脚本→创建微课视频→微课前置学习→课前分析诊断→组织课堂活动→后续辅导评估，可以说，服务无所不在，无论是课前，还是课中，还是课后。
下面是为学生提供五星级服务的整个翻转流程。
（二）翻转过程详述【课前服务】1．分析教学内容，设计微课脚本脚本设计是微课成功的第一步，脚本设计要做到简洁、精炼、易懂。
高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修2
某某省某某市第三中学高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。
教学过程：情境设置：问题：①圆的定义？学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。
问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？二、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M r =① 化简可得：222()()x a y b r -+-=②方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（１）2200()()x a y b -+-=2r ⇔点在圆上（２）2200()()x a y b -+-<2r ⇔点在圆内（３）2200()()x a y b -+->2r ⇔点在圆外三、知识应用与解题研究（一）练习１、指出下列方程表示的圆心坐标和半径：（１）222=+y x ； （２）5)1()3(22=-+-y x ； （３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。
２、写出下列圆的标准方程：（Ｐ１２０－１２１练习１、３、４）（１）圆心在Ｃ（－３，４），半径长为5；（２）圆心在Ｃ（８,－３），且经过点Ｍ（５，１）；（３）圆心在（－１，２），与y轴相切（４）以Ｐ１（４，９）、Ｐ２（６，３）为直径的圆；（５）已知△ＡＢＣ的顶点坐标分别是Ａ（４，０），Ｂ（０，３）,Ｃ(０，０),求△ＡＢＣ外接圆的方程。
数学：4.1.1《圆的标准方程》课件(1)(新人教A必修2)
Cy
A
O
x
B
作业： P90～91阶梯练习：A级.
高中数学学业水平考试总复习 必修2 第四章 圆与方程
第一课时 圆的方程
学习目标
理解圆的标准方程和一般方程.
【问题1】求圆的方程
例1 已知圆C经过两点A（1，1）和 B（2，－2），且圆心C在直线l：2x－y＋4＝0上， 求圆C的方程.
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25
Al
C B
【问题2】与圆方程有关的求值问题 例2 已知动直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4和圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，求当
例4 设点A、B为圆x2＋y2＝12上两动点，C(4，0)为定点，已知AC⊥BC，则线段AB的 中点P的轨迹方程
y
x2 y2 4x 2 0
P
O
Cx
B
例5 如图，设AB为圆O：x2＋y2＝1的一条直径，以AB为一条直角边，点A为直角顶点 作等腰直角三角形，当AB变动时，求点C的轨迹.
x2＋y2＝5
m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短，并求出最短的弦长.
P
45
C
例3 设直线l：x＋y＋m－2＝0与圆C：
相交于A、B两点，P(2，1)为定
x + y - 4x 点，2 若PA⊥PB2，求m的值. + 2m y + 2m 2 - 2m + 1 = 0
P
m＝1
B
A
C
【问题3】与圆有关的轨迹问题
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名师精编 优秀教案 湖南省怀化市溆浦县第三中学人教版数学必修二411 圆的标准方程 教案 1课时 教学分析 在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.
课题 4.1.1 圆的标准方程 教学目标 （一）知识与技能 使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力. （二）过程与方法 会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力. （三）情感态度与价值观 把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美. 名师精编 优秀教案
教学过程 一、导入新课 同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程. 二、讲授新课 自主学习 ①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离? ②具有什么性质的点的轨迹称为圆？ ③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
图1
④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么? ⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程? ⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？ 学生展示
讨论结果：①根据两点之间的距离公式,得 |AB|=, 名师精编 优秀教案 |CD|=. ②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆). ③圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小. ④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了. ⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列
出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件=r.①将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2. 化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.② 若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程②,反之若点M的坐标满足方程②,这就说明点M与圆心C的距离为r,即点M在圆心为C的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程. ⑥这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2.
合作探究 探究1 ①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么? ②确定圆的方程的方法和步骤是什么? ③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?
学生展示：①圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件. ②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为： 名师精编 优秀教案 1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2； 2°根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组； 3°解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程. ③点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法： 当点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 当点M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为: 1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,点在圆外; 2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上; 3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,点在圆内.
探究2 例1 写出下列各圆的标准方程： (1)圆心在原点,半径是3；
⑵圆心在点C(3,4),半径是; (3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)； (4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.
学生展示 这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定. (4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以
r=.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=.
老师点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.
例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上. 学生解答:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是 (x-2)2+(y+3)2=25, 名师精编 优秀教案 把点M1(5,-7),M2(-,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25, 则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上. 老师点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.
教师精讲 例3 △ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程. 教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法. 解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上, 它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是
解此方程组得所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 解法二:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=(x-6). ① 同理线段AC的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5).
②解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r==5,所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 点评:△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心,它是△ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.
名师精编 优秀教案 巩固提高 1、一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程. 2、课本本节练习1、2. 3、求圆心在直线y=2x上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程. 活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法.
三、课堂小结 ①圆的标准方程. ②点与圆的位置关系的判断方法. ③根据已知条件求圆的标准方程的方法. ④利用圆的平面几何的知识构建方程. ⑤直径端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
四、布置作业 1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容. 2.预习有关圆的切线方程的求法. 3.课本习题4.1 A组第2、3题.