.一般曲面
空间曲面
空间曲面
曲面的一般方程
（1）旋转曲面方程 坐标面上曲线
绕轴旋转一周所得曲面方程为：。
类似可得平面上的曲线绕相应轴旋转所得曲面的方程。
（2）柱面方程 表示以面上的曲线
为准线、母线平行于轴的柱面方程。
（3）常见的二次曲面
椭球面：
椭圆抛物面：
锥面:
单叶双曲面:
双叶双曲面:
双曲抛物面（马鞍面）：
例 指出下列方程在空间代表什么曲面：
；；
；；；
(6)；(7)
解 ,即
代表球心在,半径为的球面.
,即.亦即或,
在空间表示两个相交于轴的平面,（因为方程缺项,也是一个母线平行于轴的柱面）.
（3）, 即.
在空间表示轴. 若在平面内考虑,则只代表坐标原点.
即或或是三个坐标面.
是母线平行于轴的柱面,其准线是平面上的
抛物线,故是抛物柱面.
（6）表示椭圆抛物面向上平移2个单位长度得到的曲面。
.
（7）表示椭球面向上平移2个单位长度得到的曲面。
例 指出下列方程所表示的曲面,若为旋转面,指出是何曲线绕何轴旋转而成的.
; ;
; ;
;
解表示旋转椭球面.
是曲线或曲线绕轴旋转而成的.
表示中心轴为轴的单叶双曲面,也可看作曲线
或绕轴旋转而成的,又称单叶旋转双曲面.
表示中心轴为轴的双叶双曲面,不是旋转曲面.
表示旋转抛物面,由曲线或绕轴旋转而成.
表示抛物双曲面(马鞍面),不是旋转曲面.。
高等数学上册第七章第五节 曲面及其方程
0z 3
在
yOz面上的投影
z
3y2 ,
xOy面上的圆 x 2 y 2 R2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为: x 2 y 2 R. 即
x2 y2 R2.
9
P11
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l形成的轨迹
方程 Fx, y 0, 在空间 z
Fx, y 0,
直角坐标系中表示：
o 母线平行于 z 轴的柱面,
其准线是 xOy 面上的曲线
y
C : Fx, y 0.
x
C
方程 Gx,z 0, 在空间
直角坐标系中表示：
方程中缺哪个字母，母线 平行于相应的轴。
母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。
1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z0 ,
半径为 R 的球面 S 的方程.
解：Mx, y, z S M0M R
M0 M x x0 2 y y0 2 z z0 2 ,
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念
2.球面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 作业:习题7-5
4.旋转曲面
作业纸P50
设 C : f y, z 0 yoz面
下次交P49-50
二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 .研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 .教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 .基本概念二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程2 2 2a 11xa 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1)所表示的曲面 .虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号F(x,y,z)F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 442 2 2(x, y,z) a 11x 2a 22y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz1(x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2(x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z2a 11 x 22a 22 y a 33 z2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 443(x, y,z) a 13x a 23 y a 33z 4(x,y,z) a 14 x a 24 y a 34 z即有恒等式成立 : F(x,y,z) xF 1 ( x, y,z) yF 2 (x, y, z) zF 3(x,y,z) F 4(x,y,z)(x,y,z) x 1(x,y,z) y 2(x, y,z) z 3(x,y,z)a 11 a 12 a 13 a 14 二次曲面 F(x,y,z) 的系数矩阵Aa 12a 22a 23a 24a 13 a 23 a 33 a 34a 14a 24 a 34 a 44a 11 a 12 a 13而由 (x, y,z) 的系数矩阵为Aa 12 a 22 a 23a 13a 23a 33二次曲面(1)的矩阵 A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是 F 1 (x, y,z) ，a 11 a 12 a 13a 11 a 12 a 11 a 13a 22 a 231 a 11 a 22 a 33 I 2I 3a 12 a 22 a 23a 12 a 22a 13 a 33a 23 a 33a 13 a 23 a 33a 11 a 12 a 14a 11 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24K 2a 12 a 22 a 24a 13 a 33 a 34 a 23 a 33 a 34a 14a 24a 44a 14a 34a 44a 24a 34a 44§6.1 二次曲面与直线的相关位置2 2 2 F(x, y,z) a 11x a 22 y a 33z 2a 12xy 2a 13xz2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44(1)x x 0 Xt与过点 (x 0, y 0, z 0 )的直线 y y 0 Yt (2)z z 0 Zt将(2)代入(1)得F 2(x,y,z)， F 3(x, y, z) ， F 4(x,y,z) 的系数。
3-曲面论
§3第一基本齐式
在曲面
上，取曲线
或即
并假定 上没有奇点，而且已经选择好参数t，使 ， 不同时等于零。这样， 在任意点有切矢
则
其中s是 的弧长参数。令
， ，
则E，F，G是的纯量函数，它们是 上的点 的函数。
右边是du，dv的一个二次齐此（齐次多项式），叫做曲面的第一基本齐式，它的系数E，F，G叫做 的第一类基本量。第一基本齐式的判别式
在一个非脐点，曲面总有两个不相等的主曲率，对应于两个不相同的主方向。在脐点，法曲率的最大值和最小值都等于沿一切方向的共同法曲率，因此，这个共同的法曲率就是主曲率，一切方向都是主方向。
在曲面上一个固定点P，可以采用微积分里求极值的方法求主方向和主曲率。将法曲率 看成
的函数，由法曲率公式可得
在这里，由于P点固定，E，F，G和L，M，N都是常数， 是独立变量， 是 的函数。对 微导，并令 ，可得
曲线 在P0的切线上的一个矢量是
由于矢量 和 不平行，它们和P0一起决定经过P0的一个平面 。 上经过P0的一切曲线在 上，平面 就叫做曲面 在P0的切（平）面，切面的法线就叫做曲面 在P0的法矢，它上面的任意非零矢叫做法矢，其中幺法矢为
在切面 上，经过P0的每一条直线都和 上的一些曲线相切，它们就都叫做 在P0的一条切线，而沿这些切线方向的矢量就都叫做 的切矢。
1）椭圆点，即曲面上 的点。在椭圆点，没有渐进方向，一切方向的法曲率都同号，一切法截线都朝法矢（或法面）的同一侧弯曲，因而在P点的邻近一个充分小的范围内，曲面除P点外完全位于切面的同一侧。特殊地，若在P点，除 外
即或
， ， ，
则在P点，沿一切方向，法曲率 （ ），曲面沿一切方向的法曲率都相同。这样的点叫做圆点。
第五节曲面及其方程
1. 一个几何图形的方程应满足什么条件？ 2. 平面、直线的一般方程分别是什么？
一、曲面方程的概念
课前 准备
如果曲面 S 上任意一点的坐标 都满足方程 F( x ,y ,z)=0，同时 不满足方程 F( x ,y ,z)=0的点都
z F x, y, z 0
S
不在曲面 S 上，则称三元方程
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R z
即 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
——称为球面方程的标准形式。 o
M M0
y
x
2、旋转曲面
一平面曲线绕着该平面内一定直线L旋转一周而成的曲面
叫做旋转曲面，其中定直线L叫做旋转曲面的轴。 z
如：XOY面内的椭圆
过点M作垂直于x轴的平面, 交x轴于点Q，交曲线C于点P，则有
Q x,0,0, Px, y1,0, QM PQ ,
M
o
y
Q
x
•
P
C
小结旋转曲面方程的规律
1 xoy面内的曲线
f
x,
y
0 ,
z 0
绕x轴旋转而成旋转曲面的方程为 f x, y2 z2 0；
绕y轴旋转而成旋转曲面的方程为 f x2 z2 , y 0.
转曲面、母线平行于坐标轴的柱面等曲面方程 的建立方法
Exercises
1. P192 1，3，4 2. 复习第一章
柱面
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x2 a2
y2 b2
1
绕Y轴旋转一周而形成的曲面。
XOY面内的曲线C： f x, y 0 绕Y轴旋转
z 0
x
o
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
一般方程的旋转曲面方程公式
一般方程的旋转曲面方程公式
一般方程的旋转曲面方程公式如下：
1. 以x轴为轴线旋转
当一般方程为y=f(x)时，以x轴为轴线旋转所得旋转曲面方程为：z = f(x) * cos θ
y = f(x) * sin θ
其中，θ为旋转角，0 ≤ θ ≤ 2π。
2. 以y轴为轴线旋转
当一般方程为x=f(y)时，以y轴为轴线旋转所得旋转曲面方程为：x = f(y) * cos θ
z = f(y) * sin θ
其中，θ为旋转角，0 ≤ θ ≤ 2π。
3. 以z轴为轴线旋转
当一般方程为f(x,y)时，以z轴为轴线旋转所得旋转曲面方程为：
x = r * cos θ
y = r * sin θ
z = f(√(x²+y²),z)
其中，r为点(x,y)到z轴的距离，θ为旋转角，0 ≤ θ ≤ 2π。
以上就是一般方程的旋转曲面方程公式。
无论以哪个轴线旋转，都可以根据以上公式进行求解。
二次曲面一般式
二次曲面的一般式可以表示为：
其中，( A, B, C, D, E, F, G, H, I, J ) 是常数。
这个方程描述了一个三维空间中的二次曲面，包括椭球、双曲面和抛物面等。
对于不同的二次曲面，我们可以根据一般式的系数来判断其类型：
1. 椭球：
- 如果( A > 0, B > 0, C > 0 )，且( (AD)^2 < ABC )，则方程表示一个椭球。
- 其中( A, B, C ) 分别代表椭球在三个坐标轴上的主半径的平方。
2. 双曲面：
- 如果( A > 0, B > 0, C > 0 )，但不满足椭球的条件，则方程表示一个双曲面。
- 双曲面可以进一步分为两个分支：单叶双曲面和双叶双曲面。
3. 抛物面：
- 如果( A, B, C ) 中有且仅有一个等于零，则方程表示一个抛物面。
- 抛物面有两种类型：平面抛物面和平行抛物面。
4. 圆锥曲线：
- 如果将二次曲面方程投影到某个平面上，可能会得到一个圆、椭圆、双曲线或抛物线，这些都是圆锥曲线。
5. 退化情况：
- 如果( A = B = C = 0 )，那么方程表示一个平面。
注意，二次曲面的类型取决于( A, B, C, D, E, F, G, H, I, J ) 的值以及它们之间的关系。
对三种坐标系的一般正交曲面坐标系理解
对三种坐标系的一般正交曲面坐标系理解《理解那三种坐标系，就像和老朋友相处一样》嘿，大家好啊！今天咱来聊聊这三种坐标系——直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系。
听起来是不是有点高大上？但别怕，其实理解它们就像是和几位特别的老朋友打交道。
先说这直角坐标系吧，那简直就是咱最熟的“老铁”。
就像你认识多年的发小，啥脾气啥性格你都清楚得很。
它规规矩矩的，横竖都整得明明白白，找个点那是轻而易举。
你想要啥，它就给你啥，一点都不含糊。
然后呢，柱面坐标系就有点意思了。
它呀，就像是那个有点特别的朋友。
你看它，多了个角度的玩意儿，就好像这个朋友有时候会来点特别的想法和举动。
刚开始可能会觉得有点奇怪，但你和它多相处相处，就会发现它自有它的好用之处。
特别是在处理那些和圆柱有点关系的问题时，嘿，它可就派上大用场了，能帮你轻松搞定。
最后得说说这球面坐标系啦。
哎呀呀，它就像是个来自遥远地方且充满神秘的朋友。
初次见面可能会有点摸不着头脑，这又是角度，又是距离的，感觉云里雾里。
但你可别被吓跑啊，等你慢慢去了解它，和它混熟了，就会发现它在处理那些和球相关的问题时简直是无敌的存在。
什么球星啊、地球啊，用它来描述那叫一个合适。
其实啊，理解这三种坐标系就像和不同性格的朋友相处。
一开始可能会有点不适应，但是只要你有耐心，慢慢地去了解它们，去感受它们的特点和好处，你就会发现它们各自都有自己的魅力。
有时候你可能会更依赖直角坐标系这个“老铁”，但有时候遇到特别的情况，柱面坐标系和球面坐标系这两位特别的朋友就能大显身手啦。
所以啊，别把它们想得太复杂太可怕啦。
就把它们当成你的朋友，去和它们玩耍，去发现它们的好。
这样以后再遇到问题，你就能根据情况找对朋友帮忙啦，是不是挺有趣的呀！哈哈哈，希望大家都能和这三位朋友相处愉快哦！。
第六章-二次曲面的一般理论
第六章-二次曲面的一般理论-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第六章 二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a（1） 所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。
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§ 12一般曲面一、曲面的方程与曲线的坐标曲面方程的形式有隐 式 F (x ,y ,z )=0 显 式 z =f (x ,y )参数式⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(υυυu z z u y y u x x 矢量式 r =r (u ,υ) 或 r =x (u ,υ)i +y (u ,υ)j +z (u ,υ)k对于参数式或矢量式表示的曲面，如果取υ为一系列数值,,21υυ ，而让u 连续变动，则r (u ,i υ)(i =1,2, )表示一族曲线，称为u 线（图7.23）；同样，如果取u 为一系列数值u 1,u 2, ，而让υ连续变动，则r (u i ,υ)(i =1,2, )表示另一族连续曲线，称为υ线.u 线与υ线在曲面上构成曲线网，称为坐标线或坐标网.于是u =u i , υ=j υ这个数对就可以确定曲面上一点M ，这数对(u i ,j υ)称为点M 的曲线坐标（或高斯坐标）.二、 切面、法线与曲面的方向[法线单位矢量] 通过曲面上一的M 所有曲面曲线（即该曲面上的曲线），在点M 的切线落在同一平面上（奇点除外），称这平面为曲面在点M 的切面通过点M 与切面垂直的直线称为曲面在点M 的法线.切面通过的矢量r u =u ∂∂r和υυ∂∂=r r 称为坐标矢量，它们分别是u 线和υ线在点M 的切矢量（图7.24）曲面上点的法线单位矢量为υυr r r r N ⨯⨯=u u这里为了区别曲线的法线单位矢量和曲面的法线单位矢量，前者以n 表示，后者以N 表示.[曲面的方向] 曲面的方向规定如下：朝N 的正向那一面是曲面的正面（图7.24中看到的一面）；另一面为反面.[曲面的切线方程与法线方程] 曲面方程切面方程法线方程),,(='z y x Fz =f (x ,y ))()()(000000=-+-⋅+-⋅z z F y y F x x F z y x )()(00000y y z x x z z z y x -⋅+-⋅=-00000z y x F z z F y y F x x -=-=-图 7.23图 7.24表中000,,u x x x z F 分别表示ux x ∂∂∂,,在点M (x 0,y 0,z 0)的值，r 0是点M 的矢径，00,υr r u 分别表示υ∂∂∂∂r r ,u 在点M 的值，N 0为点M 的法线单位矢量.[曲面的奇点] 若曲面F (x ,y ,z )=0上一点M (x 0,y 0,z 0)的三个偏导数同时等于零，即0000===z y x F F F则称点M 为该曲面的奇点.三、 第一基本二次型与曲面的度量[第一基本二次型与第一基本量]各量与图形计算公式曲面曲线的弧长L⎩⎨⎧==)()(t t u u υυ 曲面面积S （由曲线围成）曲线夹角α（两条曲线交于点M ）⎰⎰++==1010d 2d 22tt t t t G u F uE s L υυ⎰⎰⎰⎰-==SSu F EG S S υd d d 2Θα=δδ⋅=22)()(d d cos r r rr式中 22222d d d 2d υυυυΘδ+δδ+δ++=G u F u E G u F u EE ，F ，G 为曲面的第一基本量（在点M 取值）。
坐标线u =常数和v =常数的交角θ决定于EGF=θcos因此坐标线正交的充分必要条件是：0=F [曲面的变形] 保持曲面曲线长度不变的变换称为曲面的变形。
具有相同的第一基本二次型的两个曲面S ，'S 称为贴合的或等距的。
从S 到'S 和从'S 到S 的这种变换都称为等距变换。
关于曲面的几何量经过等距变换不变者都称为等距不变量。
等距变换的一种具体表现是把一个曲面连续弯曲而保持曲面曲线的长度不变，使这个曲面最后与另一个曲面相贴合；因此，等距变换又称为变形。
从定义可以推出，两个曲面互为变形的充分必要条件是：经过适当地选择参数后，它们具有相同的第一基本二次型。
四、第二基本二次型曲面曲线的曲率曲 面 方 程 第二基本二次型与第二基本量),(y x f z =222d d d 2d y N y x M x L ++=ϕ 式中22222221,,,,,,q p h y zq x z p yz t y x z s x z r h t N h s M h r L ++=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂∂=∂∂====曲 面 方 程第二基本二次型与第二基本量⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(υυυu z z u y y u x x 或),(υu r r =2ϕ称为第二基本二次型，L ，M ，N 称为第二基本量 2222d d d 2d d d d υυϕN u M u L ++=-==r N r N()22F EG z y x z y x z y x F EG L u u uuu uu uu u uu u -=-=-=υυυυυr r r N r()22F EG z y x z y x z y x F EG M u u u u u u u u u -=-=-=υυυυυυυυυr r r N r()22F EG z y x z y x z y x F EG N u u u u u -=-=-=υυυυυυυυυυυυυr r r N r 式中偏导数υυ∂∂∂=u x xu 2等在点),,(z y x M 取值，E ，F ，G 为第一基本量，N 为曲面在点M 的法线单位矢量。
2ϕ表示曲面上两个无限邻近点中，一点到另外一点的切面的距离的主要部分的两倍，它表明曲面与切面的离差的特征，也反映曲面在空间中的弯曲程度上一点M 的法线的平面与曲面的交线（法C ）都称为点M 的法截线。
所以通过曲面上一点的法截线有无穷多条，给定点M 的一个切线方向就有一条确定的法截线。
在点M 的法截线中曲率最大和最小的两条分别记为21,C C ，它们称为主法截线，21,C C 在点M 所对应的切线方向称为主方向，这两个方向互相垂直。
21,C C 的曲率半径（21,R R ）称为主曲率半径，它们等于下列方程的两个根： 对于曲面),(y x f z =，方程为0])1()1(2[)(42222=++-+-+-h R r q t p pqs h R s rt 式中p ，q ，r ，s ，t ，h 见上页表。
对于曲面),(),,(),,(υυυu z z u y y u x x ===，方程为0)()2()(222=-++---F EG R GL FM EN R M LN式中E ，F ，G 为曲面的第一基本量，L ，M ，N 为曲面的第二基本量。
主曲率半径相等的点称为曲面的脐点，在脐点上GNF M E L ==[曲率线与罗德里克公式] 主方向ud d υ是二次方程图 7.250)(d d )(d d )(2=-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-EM FL u EN GL u FN GM υυ 的两个根。
满足这个微分方程的曲面曲线称为曲率线。
曲率线上每点的切线方向都是主方向，曲率线构成曲面上一个正交曲线网，曲率线还有如下的一个特征： 一条曲面曲线C 是曲率线的充分必要条件是：沿C 的曲面法线组成一个可展曲面，即当C 上的点M 变动时，曲面在M 点的法线有包络线1C 。
这个特征也可表示为为参数）λλ(0d d =+N r 这个公式称为罗得里克公式。
五、 曲面曲线的曲率半径[法截线的曲率半径与欧拉公式] 设2222d d d 2d d d 2d υυυυN u M u L G Fu u E R ++++=法右边为正时，表示法截线的法线单位矢量n 与曲面的法线单位矢量N 一致，则法截线的曲率半径为法R ；右边为负时，表示n 与N 相反，则法截线的曲率半径为法R -。
若通过法截线法C 的截平面与通过主法截线1C 的截平面之间的夹角为α，则2212sin cos 1R R R αα+=法 式中21,R R 为主曲率半径，法R 1称为法曲率，这个等式称为欧拉公式。
[任意平截线的曲率半径] 用通过点M 的任意平面π截曲面得截线C （图26.7），它在点M 的切线为PQ ，曲线C 的法线单位矢量为n ，通过直线PQ 和曲面的法线单位矢量N 作意平面法π，截曲面得法截线法C 。
若矢量N 与n 夹角为ϕ，而法C 的曲率半径为法R ，则截线C 的曲率半径为ϕcos 法R R C = （1）[曲面上任意曲线的曲率半径与梅尼埃定理]设曲面上任意曲线B 上一点M 的密切面与曲面交线为C ，则曲面B 的曲率半径ρ等于截线C 的曲率半径C R ，于是从式（1）得到梅尼埃定理：曲面上任意曲线B 的曲率半径等于在曲面法线上所截取的对应法截线的曲率半径在曲线B 的主法线上的正射影。
六、 第三基本二次型与曲面的曲率[第三基本二次型与第三基本量]()2002023d d d 2d d υυϕG u F u E ++==N称为第三基本二次型，式中N 为曲面的法线单位矢量，20020,,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=υυN G N u N F u N E图 7.26称为第三基本量。
21 2、0>K 的点称为椭圆点，这种点邻近的曲面在该点切面的同侧；0<K 的点称为双曲点，这种点邻近的曲面象马鞍形；0=K 的点称为抛物点，这种点邻近的曲面象半马鞍形。
3、三个基本二次型321,,ϕϕϕ有如下的线性关系： 02321=+-ϕϕϕH K 或HNKG G HM KF F HLKE E +-=+-=+-=00022七、 渐近曲线、共轭曲线与极小曲面[渐近曲线] 在曲面上一点),(υu M 的法曲率法R 1等于零的方向ud d υ称为渐近方向。
假定一条曲面曲线C 上所有点的切线方向都是渐近方向，则称C 为曲面的一条渐近曲线。
ud d υ是渐近方向的条件是第二基本二次型等于零： 0d d d 2d 22=++υυN u M u L 或0d d d 2d 22=++y t y x s x r这就是渐近曲线的微分方程。
这种曲线有一个简单的几何特征： 渐近曲线的密切面与曲面一致。
由此可见，渐近曲线在其上一点与曲面构成二阶接触。
此外还有爱涅勃定理： 渐近曲线的挠率K -±=κ，K 为曲面的总曲率（0>K 时，无渐近曲线）。
[共轭曲线] 在曲面上一点),(υu M 的两个方向ud d υ与uδδυ满足0d d d d =δδ+⎪⎭⎫ ⎝⎛δδ++u u Nu u M L υυυυ 则称它们互为共轭方向。
渐近方向是自己共轭的。
曲面上一条曲线C 的切面族的特征线的方向为C 的切线的共轭方向。
满足上面的微分方程的两族曲线构成的网称为共轭网。
[极小曲面] 平均曲率0),(=υu H 的曲面称为极小曲面，它也可定义为张在已知边界上面积最小的曲面。