小学数学中的递推与递归
数列的递推关系与递归公式
数列的递推关系与递归公式数列是数学中常见的概念，指的是一系列按照特定规律排列的数字或者数值。
在数学的研究中，人们常常需要研究数列的性质和规律，以便进一步应用于数学问题的解决或者其他相关领域的研究中。
数列的递推关系和递归公式是研究数列的重要方法和工具，在本文中，我们将对数列的递推关系和递归公式进行详细的解析和探讨。
一、递推关系数列的递推关系是指数列中的每一项与它前面的一项或多项之间的关系。
通过递推关系，我们可以通过已知的数列元素求解未知的数列元素，从而揭示出数列中的规律和性质。
递推关系有多种形式，下面以几个具体的例子来说明。
例一：斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数列，它的递推关系可以用如下的公式表示：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F0=0，F1=1。
也就是说，斐波那契数列中的每一项等于它前面两项的和。
比如，数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8...，可以通过递推关系求得。
例二：等差数列在等差数列中，每一项与它前面的一项之间的差值相等。
递推关系可以用如下的公式表示：an = an-1 + d，其中d是公差。
比如，数列的前几项为1、3、5、7、9...，可以通过递推关系求得。
例三：等比数列在等比数列中，每一项与它前面的一项之间的比值相等。
递推关系可以用如下的公式表示：an = an-1 * r，其中r是公比。
比如，数列的前几项为2、4、8、16、32...，可以通过递推关系求得。
通过以上的例子，我们可以看出，递推关系可以帮助我们找到数列中每一项之间的规律和关系，进而求解未知的数列元素。
二、递归公式递归公式是一种通过数列前面的多项元素来求解后面元素的公式。
递归公式在数列的研究中起到重要的作用，它可以帮助我们建立数列的数学模型并进行进一步的分析。
以斐波那契数列为例，递归公式可以表示为：Fn = F(n-1) + F(n-2)，其中n为数列的序号（从0开始），F0=0，F1=1。
递归公式是一种通过数列的前面两项来求解后面的项，不断地利用递归公式可以求得数列中的任意一项。
小学六年级数学第5讲：递推与归纳(教师版).docx
第五讲遴稚鸟归角大脳体標作业兒成情况知识械理有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。
例如：按规律填数：1，4, 9, 16, 25, ( ), 49, 64；分析：要在括号填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。
若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律：⑴先考虑相邻两个数之间的差，依次是3, 5, 7, 9,……,15；可以看到相邻两数的差从3 开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25+11=36,再看36+13=49得到验证。
⑵如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是1的平方，第二项是2的平方，第三项是3的平方，……，从这些事实中，发现规律是第n项是n的平方。
那么所求的是第六项是62=36。
我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。
像这种解题方法称为递推法。
教学重•难点1.理解递推法的概念。
2.会用递推法解题趣味引入例1： 999・・：99*X999・・：999』勺乘积屮有多少个数字是奇数?10个910个9分析：我们可以从最简单的9X9的乘积屮有几个奇数着手寻找规律。
9X9=81,有 1 个奇数；99 X 99=99 X (100-1) =9900-99=9801,有 2 个奇数; 999X999=999 (1000-1) =999000-999=998001,有 3 个奇数； …… 从而可知，Q99・・・999X9g9・・・99Q 的乘积屮共有10个数字是奇数。
---- y ------------ V Z10个910个9分析:先从AB 之间只有一个点开始，在逐步增加AB 之I'可的点数，找出点和线段之I'可的规律。
我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。
AB 之间只有1个点：线段有1+2=3条。
AB 之间只有2个点：线段有1+2+3二6条。
第二讲 递归与递推
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例5、由m个A，n个B组成若干个排列。从某个排列 的位置1开始数，数到任意位置时都能保证A的个数 不少于B的个数，则称该排列为合理排列。例如： 当m=2，n=2时排列有 A A B B(合理) A B A B(合 理)A B B A(不合理) B B A A(不合理) 合理排列数有2 种 输入：只有一行两个整数m,n（1≤n≤m≤12）（用 空格分隔） 输出：一个整数（所有的合理排列数） 【样例】 输入 输出 32 5
递归过程例析
先以三个盘的移动为例，看一下移动过程。
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2008年冬令营
递归过程例析
分析 1、当n=1时，只需要移动一次A---C； 2、当n=2时，需要移动三次； A---1---B； A---2---C； B---1---C； 3、当n>=3时，先将前n-1个盘子以C为 中介移到B柱子；再将第n个盘子移到 C柱子；最后将n-1个盘子以A为中介 从B柱移到C柱。
递归关系式——如何求？ 运用函数的前驱值来计算函数当前值的关系式
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递归
例3、用递归方法求两个正整数m和n的最大公 约数。
分析：求两个数的最大公约数可以用辗转 相除法，即求m与n的最大公约数等价于求（m mod n）的值与n的最大公约数，此时的n可以当 作新的m ，而（m mod n）的值当作新的n ，所 以原问题的求解又变成求新的m与n的最大公约 数问题，继续下去，直至(m mod n)为0，最大 公约数就是最终存放在n中的值。
数学的推理方法
数学的推理方法数学作为一门严谨的学科，其独特之处在于其推理方法的严密性和准确性。
数学的推理方法为我们提供了一种解决问题、证明定理以及推导结论的有效工具，使得数学成为一门具有广泛应用和深刻内涵的学科。
本文将探讨数学的推理方法，包括归纳法、演绎法以及递归法等。
一、归纳法归纳法是数学中常用的一种推理方法。
它通过从已知情况中归纳出普遍规律，从而推断出未知情况成立的可能性。
归纳法通常分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是指首先验证当某个特定条件成立时，命题是否成立。
这可以通过具体的例子或者特殊情况来进行验证。
例如，要证明一个命题对于所有正整数都成立，可以首先验证当n=1时命题成立。
归纳步骤是指假设命题对于某个特定情况成立，然后通过这个假设以及一些必要的推理步骤来证明命题对于下一个情况也成立。
例如，假设当n=k时命题成立，然后通过这个假设以及一些逻辑推理来证明当n=k+1时命题也成立。
通过反复进行基础步骤和归纳步骤，可以逐步扩展归纳的范围，最终推导出命题在所有情况下都成立的结论。
二、演绎法演绎法是另一种常用的数学推理方法。
演绎法通过利用已知的真实前提，应用逻辑规则进行推理，从而得出新的结论。
演绎法是基于逻辑推理的。
它通过使用一系列已知的真实前提和逻辑规则，按照一定的顺序和方式进行推理，从而得出结论的正确性。
演绎法的推理过程是由一系列逻辑规则和推理定律所支持的，它们确保了结果的准确性和可靠性。
演绎法通常包括两个步骤：前提与条件的设定以及规则的应用。
在前提与条件的设定中，需要明确已知的前提和条件，以及推导所需的目标。
然后，根据逻辑规则和推理定律，通过逻辑推理来证明目标的成立。
三、递归法递归法是一种通过建立递推关系，从而得出问题解决方法的数学推理方法。
递归法通过将一个问题分解为更简单的、与原问题相似的子问题，并找到子问题的解决方法，从而逐步求解原问题。
递归法通常包括两个步骤：基础情况的确定和递推关系的建立。
小学数学计数之递推法.教师版
7-6-4. 计数之递推法教学目标前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．【例1】每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？【考点】计数之递推法【难度】 3 星【题型】解答【解析】第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是 1 对；第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有 2 对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有3 对；第五个月，两对大兔子生下 2 对小兔子，共有 5 对；⋯⋯这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数答案】144与上上月的兔子数相加．依次类推可以列出下表：经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89 —144，所以十二月份的时候总共有144 对兔子．例 2 】树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这棵树上有多少条树枝？考点】计数之递推法【难度】 3 星【题型】解答解析】一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯⋯所以十年后树上有89 条树枝．答案】89例3】一楼梯共10 级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10 级，共有多少种不同走法？考点】计数之递推法【难度】 4 星【题型】解答3 级4 级 10 级 3 种5 种 ？解析】 登 1 级 1 种方法 2级2种我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面两个数的和；依此规律 我们就可以知道了第 10 级的种数是 89.其实这也是加法的运用：假如我们把这个人开始登楼梯的位 置看做 A 0，那么登了 1 级的位置是在 A 1，2 级在 A 2... A 10 级就在 A 10．到 A 3 的前一步有两个位置；分 别是 A 2 和 A 1 ．在这里要强调一点，那么 A 2 到 A 3 既然是一步到了，那么 A 2 、A 3 之间就是一种选 择了； 同理 A 1 到 A 3 也是一种选择了． 同时我们假设到 n 级的选择数就是 An ．那么从 A 0 到 A 3 就 可以分成两类了：第一类： A0 A1 --------------------------------------------- A3 ，那么就可以分成两步．有 A1×1 种，也就是 A1 种；（A1 A3 是一种选择 ）第二类：A0 A2 A3， 同样道理 有 A2 ．类类相加原理： A3 = A1 ＋ A2，依次类推 An = An-1 + An-2．89 一楼梯共 10 级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第 10 级，共有多少种不同走法？ 计数之递推法 【难度】 4 星 【题型】解答登 1 级 2 级 3 级 4 级 5 级 10 级1 种方法 1 种2 种3 种4 种 ............. ？我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面相隔的两个数的和；依 此规律我们就可以知道了第 10 级的种数是 28. 28 1×2 的小长方形 （ 横的竖的都行 ） 覆盖 2×10 的方格网，共有多少种不同的盖法． 计数之递推法 【难度】 4 星 【题型】解答如果用 1 2的长方形盖 2 n 的长方形， 设种数为 a n ,则 a 1 1，a 2 2,对于 n 3，左边可能竖放 1 个 1 2的，也可能横放 2 个1 2的，前者有 a n-1种，后者有 a n-2种，所以 a n a n-1 a n-2 ,所以根据递推， 覆盖 2 10的长方形一共有 89 种． 89用 1 3 的小长方形覆盖 3 8 的方格网，共有多少种不同的盖法？ 计数之递推法 【难度】 5 星 【题型】解答如果用 1 3的长方形盖 3 n 的长方形，设种数为 a n ,则 a 1 1，a 2 1,a 3 2,对于 n 4 ，左边可能竖 放 1 个1 3的，也可能横放 3 个1 3的，前者有 a n-1种，后者有 a n-3种，所以 a n a n-1 a n-3 ,依照这 条递推公式列表：13 13 有一堆火柴共 12 根，如果规定每次取 1～3 根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？ 计数之递推法【难度】 4 星 【题型】解答取 1 根火柴有 1 种方法，取 2 根火柴有 2 种方法，取 3 根火柴有 4 种取法，以后取任意根火柴的种 数等于取到前三根火柴所有情况之和，以此类推，参照上题列表如下：取完这堆火柴一共有 927 种方法． 答案】 927答案】 巩固】解析】 答案】例 4 】 考答案】例答案】例 6 】 考巩固】 一堆苹果共有 8个，如果规定每次取 1～3 个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法？ 考点】计数之递推法 【难度】 4 星 【题型】解答解析】 取 1个苹果有 1种方法，取 2个苹果有 2 种方法，取 3 个苹果有 4 种取法，以后取任意个苹果的种数等于取到前三个苹果所有情况之和，以此类推，参照上题列表如下：1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 1 2 4713244481取完这堆苹果一共有 81 种方法．答案】 81例 7 】 有 10 枚棋子，每次拿出 2 枚或 3 枚，要想将 10 枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？ 考点】计数之递推法 【难度】 4 星 【题型】解答 解析】本题可以采用递推法，也可以进行分类讨论，当然也可以直接进行枚举．（法 1）递推法．假设有 n 枚棋子，每次拿出 2枚或 3枚，将 n 枚棋子全部拿完的拿法总数为 a n种． 则a 2 1， a 3 1 ， a 4 1 ．由于每次拿出 2 枚或 3 枚，所以 a n a n 3 a n 2 （n 5）．所以，a 5 a 2 a 3 2； a 6 a 3 a 4 2； a 7 a 4 a 5 3； a 8 a 5 a 64； a 9 a 6 a 7 5； a 10 a 7 a 8 7 ．即当有 10枚棋子时，共有 7 种不同的拿法． （ 法 2）分类讨论．由于棋子总数为 10枚，是个偶数，而每次拿 2枚或 3枚，所以其中拿 3 枚的次数也应该是偶数．由 于拿 3 枚的次数不超过 3 次，所以只能为 0 次或 2 次． 若为 0 次，则相当于 2 枚拿了 5次，此时有 1 种拿法；若为 2 次，则 2 枚也拿了 2 次，共拿了 4 次，所以此时有 C 42 6 种拿法． 根据加法原理，共有 1 67 种不同的拿法．答案】 7行，共有多少种回家的方法？ 解析】 蜜蜂 “每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行 ”这意味着它只能从小号码的蜂房爬近相邻大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可以运用标数法进行计算．如右图所示，小蜜蜂从 出发到 B 处共有 89 种不同的回家方法． 答案】 89 巩固】小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由 方法？考点】计数之递推法 【难度】 4 星 【题型】解答 解析】斐波那契数列第八项． 21 种．例 8】 如下图，一只蜜蜂从 A 处出发，回到家里 B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆考点】计数之递推法 【难度】 4 星 【题型】A 房间到达B 房间有多少种 例 9 】 如下图，一只蜜蜂从 A 处出发，回到家里 B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？解析】按照蜜蜂只能从小号码的蜂房爬近相邻大号码的蜂房的原则，运用标号法进行计算．如右图所示，小蜜蜂从 A 出发到 B 处共有296 种不同的回家方法．答案】296例10】对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1操作停止．问经过9 次操作变为1的数有多少个？考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答解析】可以先尝试一下，倒推得出下面的图：1264其中经 1 次操作变为 1 的 1 个，即2，经 2 次操作变为1的 1 个，即4，经 3 次操作变为1的 2 个，是一奇一偶，以后发现，每个偶数可以变成两个数，分别是一奇一偶，每个奇数变为一个偶数，于是，经1、2、⋯次操作变为 1 的数的个数依次为：1，1，2，3，5，8，⋯这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即即经过9 次操作变为 1 的数有34 个.为什么上面的规律是正确的呢？道理也很简单. 设经过n次操作变为1的数的个数为a n,则a1 1，a2 1，a3 2，⋯从上面的图看出，a n 1比a n大.一方面，每个经过n次操作变为 1 的数，乘以2，就得出一个偶数，经过n 1次操作变为1；反过来，每个经过n 1次操作变为 1 的偶数，除以2，就得出一个经过n次操作变为 1 的数. 所以经过n次操作变为 1 的数与经过n 1次操作变为 1 的偶数恰好一样多.前者的个数是a n ,因此后者也是a n个. 另一方面，每个经过n次操作变为1的偶数，减去1，就得出一个奇数，它经过n 1次操作变为1，反过来.每个经过n 1次操作变为 1 的奇数，加上1，就得出一个偶数，它经过n次操作变为 1. 所以经过n次操作变为1的偶数经过n 1次操作变为 1 的奇数恰好一样多. 而由上面所说，前者的个数就是a n 1 ,因此后者也是a n 1 .经过n 1 次操作变为 1 的数，分为偶数、奇数两类，所以a n 1 a n a n 1，即上面所说的规律的确成立.答案】34例11】有20个石子，一个人分若干次取，每次可以取 1 个，2个或 3 个，但是每次取完之后不能留下质数个，有多少种方法取完石子？（石子之间不作区分，只考虑石子个数）考点】计数之递推法【难度】 5 星【题型】解答解析】如果没有剩下的不能使质数这个条件，那么递推方法与前面学过的递推法相似，只不过每次都是前面 3 个数相加．现在剩下的不能是质数个，可以看作是质数个的取法总数都是0，然后再进行递推．答案】25巩固】有20个相同的棋子，一个人分若干次取，每次可取1个，2个，3个或4个，但要求每次取之后留下的棋子数不是 3 或 4 的倍数，有种不同的方法取完这堆棋子.考点】计数之递推法【难度】 5 星【题型】填空解析】把20、0和20以内不是3或4的倍数的数写成一串，用递推法把所有的方法数写出来：答案】54例12】 4 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？考点】计数之递推法【难度】 5 星【题型】解答解析】设第n次传球后，球又回到甲手中的传球方法有a n 种．可以想象前n 1次传球，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每次传球都有3种可能，由乘法原理，共有31 43 434⋯2 434 34n31 (种) (n 1) 个 3 传球方法．这些传球方法并不是都符合要求的，它们可以分为两类，一类是第n 1次恰好传到甲手中，这有a n 1种传法，它们不符合要求，因为这样第n 次无法再把球传给甲；另一类是第n 1次传球，球不在甲手中，第n次持球人再将球传给甲，有a n种传法．根据加法原理，有a n 1 a n3 3 ⋯3 3n 1．1n41 4 4n42 4 4 4 43( n 1)个 3由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以a1 0 ．利用递推关系可以得到：a2 3 0 3 ，a3 3 3 3 6 ，a4 3 3 3 6 21 ，a5 3 3 3 3 21 60 ．这说明经过 5 次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有60种．本题也可以列表求解．由于第n 次传球后，球不在甲手中的传球方法，第n 1次传球后球就可能回到甲手中，所以只需求从表中可以看出经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有60 种．答案】60巩固】五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过 4 次传球后，球仍回到甲手中．问：共有多少种传球方式？考点】计数之递推法【难度】 5 星【题型】解答解析】递推法．设第n 次传球后球传到甲的手中的方法有a n种．由于每次传球有 4 种选择，传n 次有4n 次可能．其中有的球在甲的手中，有的球不在甲的手中，球在甲的手中的有a n 种，球不在甲的手中的，正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点 点 A 出发恰好跳 10次后落到 E 的方法总数为 种． 考点】计数之递推法 【难度】 5 星 【题型】填空 关键词】清华附中 解析】可以使用递推法．回到 A跳到 B 或 H跳到 C 或 G跳到 D 或 F 停在 E1步12步 213步314步 6425步1046步 201487步34148步 6848289步11648其中， 第一列的每一 个数都等于它的上一行的第二列的数的2 倍，第二列的每 一个数都等于它的上 一行的第一列和第三列的两个数的和，第三列的每一个数都等于它的上一行的第二列和第四列的两 个数的和，第四列的每一个数都等于它的上一行的第三列的数，第五列的每一个数都等于都等于它 的上一行的第四列的数的 2 倍．这一规律很容易根据青蛙的跳动规则分析得来．所以，青蛙第 10 步跳到 E 有 48 2 96种方法． 答案】 96 A 点开始跳动，它每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，6 次之内 （含 6 次）跳到 D 点有种不同跳法．考点】计数之递推法 【难度】 5 星 【题型】填空解析】采用递推的方法． 列表如下：跳到 A 跳到 B 跳到 C 停在 D 跳到 E1步11 2步 21 13步31 2 4步 53 25步83 5 6步 138 5其中， 根据规则， 每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上， 一旦跳到 D 点上就停止跳动．所以， 每一步跳到 A 的跳法数等于上一步跳到 B 和 E 的跳法数之和，每一步跳到 B 的跳法数等于上一步跳 到 A 和C 的跳法数之和，每一步跳到 C 的跳法数等于上一步跳到 B 的跳法数，每一步跳到 E 的跳法 数等于上一步跳到 A 的跳法数，每一步跳到 D 的跳法数等于上一步跳到 C 或跳到 E 的跳法数． 观察可知，上面的递推结果与前面的枚举也相吻合，所以青蛙在 6 次之内 （含 6 次）跳到 D 点共有 1 1 2 3 5 12种不同的跳法．答案】 12例 14】 有 6 个木箱，编号为 1，2，3，⋯⋯，6，每个箱子有一把钥匙， 6 把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好．先挖开 1，2 号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把 6 把锁都打 开，则说这是一种放钥匙的 “好 ”的方法，那么 “好”的方法共有 种．考点】计数之递推法 【难度】 5 星 【题型】填空下一次传球都可以将球传到甲的手中，故有 由于 a 1 0，所以 a 2 41 a 1 4， a 3 42 到甲手中的传球方法有 52 种．答案】 52a n 1种．所以 a n a n 1 4n ． a 2 12 ， a 4 43 a 3 52 ．即经过 4次传球后，球仍回例 13 】 设 A 、 E 为正八边形 ABCDEFGH 的相对顶点，顶点 A 处有一只青蛙，除顶点 E 外青蛙可以从E 时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶 巩固】在正五边形 ABCDE 上，一只青蛙从 一旦跳到 D 点上就停止跳动．青蛙在 CD关键词】迎春杯，中年级组，决赛解析】（法1）分类讨论．如果1，2号箱中恰好放的就是1，2号箱的钥匙，显然不是“好”的方法，所以“好” 的方法有两种情况：⑴1，2号箱的钥匙恰有1把在1，2号箱中，另一箱装的是3～6箱的钥匙．⑵1，2 号箱的钥匙都不在1，2号箱中．对于⑴，从1，2号箱的钥匙中选 1 把，从3～6 号箱的钥匙中选1把，共有 2 4 8（种）选法，每一种选法放入1，2 号箱各有 2 种放法，共有8 2 16（种）放法．不妨设1，3号箱的钥匙放入了1，2号箱，此时 3 号箱不能装2号箱的钥匙，有3种选法，依次类推，可知此时不同的放法有 3 2 1 6（种）．所以，第⑴种情况有“好”的方法16 6 96（种）．对于⑵，从3～6 号箱的钥匙中选 2 把放入1，2 号箱，有 4 3 12（种）放法．不妨设3， 4 号箱的钥匙放入了1， 2 号箱．此时1， 2 号箱的钥匙不可能都放在3，4 号箱中，也就是说3，4 号箱中至少有 1 把5， 6 号箱的钥匙．如果3，4号箱中有2把5，6 号箱的钥匙，也就是说3，4号箱中放的恰好是5，6号箱的钥匙，那么1， 2 号箱的钥匙放在5， 6 号箱中，有 2 2 4 种放法；如果3，4 号箱中有1把5，6号箱的钥匙，比如3，4号箱中放的是5，1号箱的钥匙，则只能是 5 号箱放 6 号箱的钥匙， 6 号箱放 2 号箱的钥匙，有 2 1 2 种放法；同理，3，4号箱放5，2 号箱或6，1号箱或6，2号箱的钥匙，也各有 2 种放法．所以，第⑵种情况有“好”的放法12 4 2 2 2 2 144（种）．所以“好”的方法共有96 144 240（种）．（法2）递推法．设第1，2，3，⋯，6号箱子中所放的钥匙号码依次为k1，k2，k3，⋯，k6．当箱子数为n（n 2 ）时，好的放法的总数为a n．当n 2时，显然a2 2（ k1 1，k2 2或k1 2，k2 1）．当n 3时，显然k3 3，否则第3个箱子打不开，从而k1 3或k2 3，如果k1 3，则把 1 号箱子和 3 号箱子看作一个整体，这样还是锁着1， 2 两号钥匙，撬开1，2 两号箱子，那么方法有a2种；当k2 3也是如此．于是n 2时的每一种情况对应k1 3或k2 3时的一种情况，这样就有a3 2a2 4 ．当n 4时，也一定有k n n ，否则第n 个箱子打不开，从而k1、k2、⋯⋯、k n 1中有一个为n ，不论其中哪一个是n ，由于必须要把该箱子打开才能打开n 号箱子，所以可以将锁着这把钥匙的箱子与第n号箱子看作1个箱子，于是还是锁着k1、k2、⋯⋯、k n 1这n 1 把钥匙，需要撬开1，2两号箱子，所以每种情况都有a n 1种．所以a n n 1 a n 1．所以，a6 5a5 5 4a4 L 5 4 3 2a2 2 5! 240 ，即好的方法总数为240 种．答案】240巩固】有10 个木箱，编号为1，2，3，⋯⋯，10，每个箱子有一把钥匙，10 把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好．先挖开1，2 号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把10 把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有种．考点】计数之递推法【难度】 5 星【题型】填空解析】递推法．设第1，2，3，⋯，6 号箱子中所放的钥匙号码依次为k1 ，k2 ，k3 ，⋯，k6 ．当箱子数为n（n 2）时，好的放法的总数为a n．当n 2时，显然a2 2（ k1 1，k2 2或k1 2，k2 1）．当n 3时，显然k3 3，否则第3个箱子打不开，从而k1 3或k2 3，如果k1 3，则把 1 号箱子和 3 号箱子看作一个整体，这样还是锁着1， 2 两号钥匙，撬开1，2 两号箱子，那么方法有a2种；当k2 3也是如此．于是n 2时的每一种情况对应k1 3或k2 3时的一种情况，这样就有a 32a24 ．当n 4时，也一定有k n n，否则第n个箱子打不开，从而k1、k2、⋯⋯、k n 1中有一个为n，不论其中哪一个是n ，由于必须要把该箱子打开才能打开n 号箱子，所以可以将锁着这把钥匙的箱子与第n号箱子看作1个箱子，于是还是锁着k1、k2、⋯⋯、k n 1这n 1 把钥匙，需要撬开1，2 两号箱子，所以每种情况都有a n 1种．所以a n n 1 a n 1．所以，a10 9a9 9 8a8 L 9 8 7 6 5 4 3 2a2 2 9!=725760 ，即好的方法总数为725760 种．答案】725760。
数学中的递推与迭代小学生了解递推与迭代的原理
数学中的递推与迭代小学生了解递推与迭代的原理在数学中，递推和迭代是两种常见的数学方法，用于解决问题和生成数列。
对于小学生来说，了解递推和迭代的原理可以帮助他们更好地理解数学概念，并培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
一、递推的原理递推是一种根据前一项或前几项推导后一项的方法。
简单来说，就是通过已知条件计算未知结果。
递推通常使用递推公式或递推关系来表示，常见的递推关系有等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是一种数列，其中每一项与前一项之间的差值都相等。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
计算等差数列的递推关系很简单，只需要根据前一项和公差相加即可得到后一项。
2. 等比数列等比数列是一种数列，其中每一项与前一项之间的比值都相等。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。
计算等比数列的递推关系也很简单，只需要根据前一项和公比相乘即可得到后一项。
递推在数学中有着广泛的应用，例如计算斐波那契数列、求解递推方程等。
通过递推，我们能够得到数列中任意一项的值。
二、迭代的原理迭代是一种通过不断重复计算来逼近目标值的方法。
迭代通常使用迭代公式或迭代关系来表示，每次迭代都将上一次的结果作为新的输入，循环进行计算，直到达到某个条件为止。
1. 二分法迭代二分法是一种常见的迭代方法，通过将一个区间不断二分，逼近目标值。
例如，在查找一个数的平方根时，可以利用二分法迭代来逼近。
每次迭代，我们将当前区间的中点作为新的猜测值，然后根据猜测值的平方与目标值的比较结果，将区间缩小一半，逐渐靠近目标值。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于求解方程根的迭代方法。
通过不断迭代求导和替换变量的方式，求解方程的近似解。
例如，求解方程f(x)=0的根时，我们可以通过迭代公式x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，不断更新变量x的值，直到满足精度要求。
迭代在数学中也有着广泛的应用，例如求解方程的根、求解最优化问题等。
数列的递推与递归关系知识点总结
数列的递推与递归关系知识点总结数列是数学中的一个重要概念，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
数列的递推和递归关系是数列研究中的重要内容，通过递推和递归可以得到数列中后一项和前一项之间的关系。
本文将总结数列的递推和递归关系的知识点。
一、数列的递推关系数列的递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系，通过这种关系可以求解数列中的任意一项。
数列的递推公式分为线性递推和非线性递推两种。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系为线性函数的情况。
线性递推关系可以表示为：an = a(n-1) + b其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，b为常数。
通过这个递推公式，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。
2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系不为线性函数的情况。
非线性递推关系可以表示为：an = f(a(n-1))其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，f为一个非线性函数。
通过这个递推关系，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。
二、数列的递归关系数列的递归关系是指数列中后一项和前一项之间的关系通过递归定义的情况。
数列的递归关系可以表示为：an = f(an-1)其中an为数列的第n项，an-1为数列的第n-1项，f为一个递归函数。
递归关系中的数列可以通过给定的初始条件，即数列的第一项或前几项，求解数列中的其他项。
三、递推与递归的关系递推和递归是两种不同的求解数列的方法，但它们之间存在紧密的联系。
递推是通过前一项和递推公式来计算后一项，递归则是通过前一项和递归函数来计算后一项。
实际上，递推公式可以看作是递归关系的一种特殊形式，即递归函数是一个线性函数的情况。
通过递推和递归，可以发现数列中的规律，预测数列的未知项，解决各种与数列相关的问题。
在数学和计算机科学领域中，递推和递归在数列求解、算法设计等方面有着重要的作用。
数学里面的递归
数学里面的递归
数学中的递归通常指的是递归函数或递归序列。
递归函数是指函数的定义中包含函数自身的情况，例如斐波那契数列的递归定义为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(n) 就是函数自身。
递
归序列是指一个数列的后一项依赖于前面的一项，通常具有递推式的形式，例如斐波那契数列就是一个递归序列。
递归在数学中很常见，例如许多重要的数学函数，如阶乘函数、幂函数、指数函数、三角函数等都可以通过递归定义得到。
递归思想在数学中也有广泛的应用，例如在数学归纳法中，就常常会使用递归思想证明某个结论。
数列的递推与递归公式的求解与应用
数列的递推与递归公式的求解与应用数列是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在数列中，递推与递归公式是求解数列的重要方法。
本文将探讨数列的递推与递归公式的求解方法，并探讨其应用。
一、数列的基本概念数列是按照一定顺序排列的一系列数的集合。
数列中的每个数被称为数列的项，用a₁, a₂, a₃, ... 表示。
数列常用的表示方法有两种：显式表示和递推表示。
1. 显式表示显式表示是用一个公式直接给出数列的项与项之间的关系。
例如，数列1, 4, 9, 16, ... 可以用公式aₙ = n²来表示，其中n表示数列的项数。
2. 递推表示递推表示是用一个公式给出数列的首项和数列的递推关系，通过递推关系可以计算出数列的后续项。
例如，数列1, 1, 2, 3, 5, ... 可以用递推公式aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂来表示，其中a₀ = 1, a₁ = 1。
二、数列的递推公式的求解方法对于给定的数列，我们可以利用递推公式推导出数列的递推关系，进而求解数列的各个项。
1. 直接求解如果递推公式中的递推关系可以通过简单的计算直接得到，我们可以通过逐步计算数列的项来求解数列。
这种方法适用于递推关系比较简单的数列，但对于递推关系比较复杂的数列，这种方法可能会非常繁琐。
2. 递归求解递归是指函数调用自身的过程。
对于递推公式，我们可以利用递归的思想来求解数列。
具体方法是将数列的递推关系转化为递归函数的形式，通过递归函数的调用来计算数列的项。
三、数列递推与递归公式的应用递推与递归公式在实际问题中有广泛的应用。
下面我们将介绍数列递推与递归公式的几个应用。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的递推关系是前两项之和等于后一项。
即aₙ = aₙ₋₁+ aₙ₋₂。
斐波那契数列的应用非常广泛，例如在金融领域中可以用于计算利息，计算股票价格等。
2. 几何数列几何数列是一个特殊的数列，它的递推关系是每一项都等于前一项乘以一个固定的数。
数列的递推与递归
数列的递推与递归数学中的数列可以说是一个非常基本且重要的概念，它是数学研究中的基础，也被广泛应用于各个领域。
在数列中，递推与递归是两个常用的方法，用来定义和计算数列的特点。
本文将会深入探讨数列的递推与递归，并从实践角度来解释其应用。
首先我们来了解一下数列的基本概念。
数列是由一系列按照一定规律排列起来的数所组成的序列，例如1、2、3、4、5、6、7……就是一个数列。
数列通常用数学公式来表示，例如通项公式an = n表示等差数列，其中a为首项，n为项数。
通过这些公式，我们可以方便地推算出数列中的各个项。
递推是一种常用的定义数列特点的方法。
在递推中，我们通过已知数列的一部分项，推算出后续的项。
递推的关键在于确定递推公式，即通过已知项之间的关系来确定后续项。
例如在等差数列1、2、3、4、5、6、7……中，通过观察我们可以发现，每一项相比前一项都增加了1，所以递推公式为an = an-1 + 1。
通过这个递推公式，我们可以方便地计算出数列中任意一项的值，从而完整地定义了这个数列。
递归是另一种常用的定义数列特点的方法。
递归是一种自我调用的方法，通过已知项和递归公式来计算未知项。
递归的关键在于确定递归公式，即通过已知项之间的关系来确定后续项。
例如在斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13……中，我们知道第一项和第二项分别为1，然后通过递推公式an = an-1 + an-2来计算后续项。
通过这个递归公式，我们可以方便地计算出数列中任意一项的值，从而完整地定义了这个数列。
在实际应用中，递推与递归经常被用于解决问题。
递推尤其适用于具有明显规律的数列，例如等差数列和等比数列，通过递推可以快速计算出数列中任意一项的值。
递归则适用于具有复杂规律的数列，例如斐波那契数列和汉诺塔问题。
通过递归，我们可以将一个大问题分解为多个相同或相似的子问题，从而更好地理解和解决问题。
同时，递推与递归也被广泛应用于编程领域。
在编程中，我们经常会遇到需要定义和计算数列的情况，例如计算斐波那契数列的第n项。
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小学数学中的递推与递归
递推与递归在小学数学中的应用
递推和递归是数学中常用的概念和方法。
在小学数学中，递推和递
归被广泛地应用于数列、图形推理和问题解决中。
本文将重点介绍递
推和递归在小学数学中的应用。
一、数列与递推
数列是一组具有特定规律的数字按一定顺序排列而成的序列。
递推
是通过已知数列的前几项来找出数列的通项公式，进而计算任意项的值。
例如，给定一个数列：1，2，4，7，11，...其中第一项是1，第二
项是2，后面的每一项都是前面两项之和加1。
我们可以通过递推的方
法来找出这个数列的通项公式。
假设数列的通项公式是an，表示第n项的值。
首先确定前两项的值：a1=1，a2=2。
然后我们观察后面每一项与前两项之间的关系，可以发
现第n项与第n-1项和第n-2项之间存在着等差数列的关系。
即an =
an-1 + an-2 + 1。
利用这个递推公式，我们可以计算任意项的值。
通过递推的方法，我们可以更加方便地计算数列中任意项的值，同
时也可以更好地理解数列中的规律和特点。
二、图形推理与递推
除了数列，递推也可以在图形推理中起到重要的作用。
图形推理即通过观察图形的规律，找出图形中的隐藏规律，从而推理出下一个图形。
在小学数学中，图形推理是培养学生观察力、推理能力和逻辑思维的重要手段之一。
递推方法可以帮助学生更好地理解和推理图形中的规律。
例如，给定一组图形序列：△，▢，△△，▢▢▢，△△△△△，...其中，△表示三角形，▢表示正方形，我们需要找出下一个图形。
通过观察前面每两个图形之间的关系，我们可以发现正方形的个数是递增的，而三角形的个数是递减的，同时整个图形序列中的图形总数依次为1，2，4，7，11，...。
我们可以利用这个递推关系，预测下一个图形为▢▢▢▢▢▢▢▢。
图形推理中的递推关系可以培养学生的观察力和推理能力，帮助他们理解图形中的规律与逻辑。
三、问题解决与递归
在小学数学中，递推和递归也常常用于解决问题。
递归是指一个问题可以分解为同样类型的子问题，通过解决子问题来解决原问题的方法。
例如，假设要计算从1到100的所有自然数之和。
我们可以使用递推的方法来解决这个问题。
首先确定边界条件，即当n=1时，自然数之和为1。
然后我们观察后面每一个问题与前一个问题之间的关系，可
以发现从1到n的所有自然数之和等于从1到n-1的自然数之和加上n。
即sum(n) = sum(n-1) + n，其中sum(n)表示从1到n的所有自然数之和。
通过递归的方法，我们可以将原问题不断分解为更小规模的子问题，直到达到边界条件，然后再将子问题的解逐步回溯求解原问题。
递归在小学数学中的应用不仅仅局限于数学题，还可以应用于其他
的问题解决中，如逻辑推理、排列组合等领域。
总结：
递推与递归在小学数学中是重要的概念和方法，它们在数列、图形
推理和问题解决中都得到广泛的应用。
递推和递归不仅可以帮助学生
更好地理解数学中的规律和特点，还可以培养学生的观察力、推理能
力和逻辑思维。
通过递推和递归的学习和应用，学生可以更好地解决
问题，提高数学思维的灵活性和创造性。