华师大版初二数学因式分解知识点及例题详解.docx

初二数学——分解因式

一、考点、热点分析

整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

( 一) 常见形式：（1）平方差公式：a2b2(a b)( a b)

（2）完全平方公式：a22ab b2(a b)2

（3）立方差公式：a3b3(a b)( a2ab b2 )

（4）立方和公式：a3b3(a b)(a2ab b2 )

（5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．）

①二次三项式：

把多项式 ax 2bx c ，称为字母x的二次三项式，其中 ax2称为二次项，bx、为一次项， c 为常数项．例如，x22x 3 和 x25x 6 都是关于x的二次三项式.

在多项式 x26xy8 y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；

如果把 x 看作常数，就是关于 y 的二次三项式．

在多项式 2a2b27ab 3 中，把ab看作一个整体，即 2(ab)27(ab) 3 ，就是

关于 ab 的二次三项式．同样，多项式( x y)27(x y) 12 ，把x＋y看作一个整体，就是关于 x＋y 的二次三项式．

②十字相乘法的依据和具体内容

它的一般规律是：（ 1）对于二次项系数为 1 的二次三项式x2px q ，如果能把

常数项 q 分解成两个因数 a，b 的积，并且 a＋b 为一次项系数 p，那么它就可以运用公式

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．

注意：公式中的 x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数

的符号相同．

（2）对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax2bx c (a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1 ,a2 , c1,c2，使 a1 a2a ， c1 c2 c ，且 a1c2a2c1 b ，那么运用

它的特征是“拆两头，凑中间”. 如：5x26xy 8 y2( x 2)(5x 4)

（ 6）分组分解法：

在多项式 am+ an+ bm+ bn 中，这四项没有公因式，所以不能用提取公因式法，

再看它又不能用公式法或十字相乘法分解因式．

如果我们把它分成两组 (am+ an) 和(bm+ bn) ，这两组能分别用提取公因式的方法

分别分解因式．即：

原式 =(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)

这两项还有公因式 (m+n)，因此还能继续分解，所以

原式 =(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)?(a +b)．

这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．

（二）因式分解一般要遵循的步骤:(1) 先考虑能否提公因式 ;

(2)再考虑能否运用公式或十字相乘法 ;

(3)最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的

多项式因式仍然用这一步骤反复进行．

口诀：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解

要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式” ．

二、典型例题

分解因式：

1．m (p － q) －p＋q；2． a(ab ＋ bc＋ac) － abc；

2

4433

；222

3

22

；

3．x －2y－2x y＋ xy4． abc(a ＋ b＋c ) －a bc＋2ab c 5．(x 2－2x) 2＋2x(x －2) ＋1；

6．(x － y) 2＋ 12(y － x)z ＋36z2；7． x2－4ax＋8ab－ 4b2；

8．(ax ＋by) 2＋(ay －bx) 2＋2(ax ＋by)(ay －bx) ；

9．(1 －a2)(1 －b2) － (a 2－ 1) 2(b 2－ 1) 2；

10．(x ＋1) 2－9(x －1) 2；

11． x3n＋y3n；

12． (x ＋y) 3＋125；

13． 8(x ＋y) 3＋ 1；

（ 1）

2215（）22

x x 2 x5xy 6 y

（3）2x25x 3（4）3x28x3

四、课后练习

一、选择题

1. 下列分解因式正确的是（）

A ．﹣a+a3 =﹣ a（ 1+a2）B．2a﹣4b+2=2（a﹣2b）

2222

C． a ﹣4=（a﹣2）D． a﹣2a+1=（ a﹣ 1）

2. 若实数 a、b 满足 a+b=5，a2b+ab2=﹣10，则 ab 的值是（）

A．﹣ 2B．2C．﹣ 50D．50

3. 把 x3﹣ 2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（）

A．x（x+y）（x﹣y）B．x（x2﹣2xy+y2）C．x（x+y）2D． x（x﹣y）2 4．把 a2﹣2a﹣1 分解因式，正确的是（）

A． a（a﹣2）﹣ 1B．（a﹣1）2

C．D．

5．（﹣ 8）2006+（﹣ 8）2005能被下列数整除的是（）

A．3B．5C．7D．9

6．若（ 1﹣2x+y）是 4xy﹣ 4x2﹣ y2﹣m的一个因式，则 m的值为

（）

A．4B．1C．﹣ 1D．0

7．若 481x2+2x﹣3 可因式分解成（ 13x+a）（bx+c），其中 a、b、c 均为整数，则下列叙述正确的是（）

A．a=1B．b=468 C．c=﹣3 2

A．b=3， c=﹣1B．b=﹣6，c=2C．b=﹣6，c=﹣ 4 232

A．0B．﹣3C．3

D．a+b+c=39

的值为（）

D．b=﹣ 4，c=﹣6

D．

二．填空题

10．在实数范围内因式分解：x3﹣ 2x2y+xy2=_________．