勾股定理证明
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勾股定理的证明
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab
c ab b a 2
142
142
2
2⨯
+=⨯
++
整理得
2
2
2
c
b
a
=+
b
a
b a
b a
b
a
c b
a c
b
a
c
b a c
b
a
c
b
a
c b a
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab
21
. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF , ∴ ∠AHE = ∠BEF .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2.
∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA .
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()
2
b a +
∴ ()
2
2
2
14c
ab b a +⨯
=+. ∴ 2
2
2
c
b a
=+.
D G
C
F
A H
E
B
a
b
c
a
b
c
a b
c
a b
c
证明方法三：赵爽证明
以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21
. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状.
∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，
∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2.
∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.
∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2
a b -.
∴
()2
2
2
14c
a b ab =-+⨯
∴ 2
22
c b a =+.
b
a
c G
D
A
C
B
F E
H
a b
a
b
c
c
A
B
C
D
E
证明方法四:1876年美国总统Garfield 证明
以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21
. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE , ∴ ∠ADE = ∠BEC .
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠D EC = 180º―90º= 90º.
∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，
它的面积等于2
21
c
.
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .
∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2
2
1
b a +.
∴ ()2
2
2121221
c
ab b a +
⨯
=+.
∴ 2
2
2
c
b a
=+.
P
H
G F E D C
B A a b
c a
b
c
a b c a b
c 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P . ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，
∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.
∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.
又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a .
∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则
,
2
122
2
ab S b
a ⨯
+=+
ab
S c
2
122
⨯
+=,
∴ 2
2
2
c
b
a =+.