2017届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模数学(文)试题
2020届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三5月第二次模拟考试文科数学试题(wd无答案)
2020届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三5月第二次模拟考试文科数学试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知复数满足则（）A．B．C．D．(★) 3. 设非零向量满足，，则与的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°(★★★) 4. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A．B．C．D．(★★) 5. 平面∥ 平面的一个充分条件是（）A．存在一条直线，∥，∥B．存在一条直线，⊂，∥C．存在两条平行直线，，⊂，⊂，∥，∥D．存在两条异面直线，，⊂，⊂，∥，∥(★) 6. 函数图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为（）A．B．C．D．(★★) 7. 双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A．B．C．D．(★★★) 8. 若，，则的值是（）A．B．C．D．(★★) 9. 甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是律师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是律师C．甲是医生，乙是律师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是律师(★★★) 10. 过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在轴上的射影恰好为右焦点F，若则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知空间几何体是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中，为下底面圆直径的两个端点，，为上底面圆直径的两个端点，且，圆柱底面半径是1，高是2，则空间几何体可以无缝的穿过下列哪个图形（）A．椭圆B．等腰直角三角形C．正三角形D．正方形(★★★)12. 有限数列为其前项和，定义为的“凯森和”，如有504项的数列的“凯森和”为2020，则有505项的数列的“凯森和”为（）A．2014B．2016C．2018D．2020二、填空题(★) 13. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．(★) 14. 已知函数，则______．(★) 15. 抛物线的焦点恰好为双曲线的上焦点，则______．三、双空题(★★★) 16. 在中，，，所对的边分别为，，且满足，，则_____，若，则的面积______．四、解答题(★★★) 17. 如图，正三棱柱的底面边长为，点在边上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形．（1）求证：点 为 边的中点； （2）求点 到平面的距离． (★★) 18. 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列（1）求{ }的公比q ；（2）求 －＝3，求(★) 19. 某车间 名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）合计（1）求这名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 名工人年龄的茎叶图；（3）求这名工人年龄的方差.(★★★) 20. 设 O为坐标原点，动点 M在椭圆 C 上，过 M作 x轴的垂线，垂足为N，点 P满足.（1）求点 P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点 P且垂直于 OQ的直线过 C的左焦点 F.(★★★★) 21. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.(★★★) 22. 已知曲线C ：（t为参数）， C ：（为参数）．（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 上的点P对应的参数为，Q为C 上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最小值．(★★★) 23. 若，，，，求证：．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高中三年级二模考试数学(理)试题
2017年市第三中学第二次高考模拟考试数学答案（理工类）1-------6：BDAA B C 7---------12：BAADBC13.240 14.(2,4] 15. 16.③④17. 解：（1）当时，由，得，（1分）两式相减，得，，（3分）当时，，，则.数列是以3为首项，3 为公比的等比数列（5分）（6分）（2）由（1）得错位相减得=（12分）18、解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为，空气质量良的天数为，故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为(2)3/5（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，的所有可能取值为，，，．，，故的分布列为：显然19.（Ⅰ）延长，交于点，由相似知，平面，平面，则直线平面；（Ⅱ）由于，以，，为轴建立空间直角坐标系, 设，则，，，，则，平面的法向量为，则向量与的夹角为，则，则与平面夹角的余弦值为。
20. （Ⅰ）设，则处的切线为，则，，则，则；（Ⅱ）由于直线不与坐标轴平行或垂直，可设，则，得，由于恒成立，设两个根为，则，同理，由知：，得：（1）时，得得：或（2）时，得得：或综上，共分三种情况（1）两条直角边所在直线方程为：；（2）两条直角边所在直线方程为：（3）两条直角边所在直线方程为：21.（1）不是，是；（2）时，即证：且时，不防设，，令因为且时递增函数，所以，即为单调递增函数，所以，即；假设时，结论成立，即有成立；则时，有所以时，结论也成立，综合以上可得，原结论成立。
（3）令，，，即证：（）成立，由（1）得为凸函数，而，有而，同理有：，则成立，得证。
22.（Ⅰ）曲线直角坐标方程：，焦点直角坐标：焦点极坐标：（Ⅱ）或23.（Ⅰ），当且仅当时取等号，只需：，由于，只需，顾的取值围为：；（Ⅱ）解得：，知：，即.。
(黑龙江)高三数学-黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三二模考试数学(理)试题 Word版含答案
2017年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21z i=-+，则（ ） A ．z 的模为2 B ．z 的虚部为-1 C ．z 的实部为1 D ．z 的共轭复数为1i +2.已知集合{0,2,4,6}A =，{|28}nB n N =∈<，则集合A B I 的子集个数为（ ） A ． 8 B ．7C ． 6D ．43.对于平面α和不重合的两条直线,m n ，下列选项中正确的是（ ） A ．如果m α⊂，//n α，,m n 共面，那么//m n B ．如果m α⊂，n 与α相交，那么,m n 是异面直线 C ．如果m α⊂，n α⊄，,m n 是异面直线，那么//n α D ．如果m α⊥，n m ⊥，那么//n α4.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P ξ≤=，则(0)P ξ≤=（ ） A ．0.16 B ．0.32 C. 0.68 D ．0.845.在区间[中随机取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆22(3)1x y -+=相交”发生的概率为（ ） A ．12 B ．14C. 16 D ．186.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．57.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ． 20 C. 40 D ．608.已知1sin()33πα-=，则sin(2)6πα-=（ ） A ．79- B ．79 C. 79± D ．29-9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题：①(())1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③对于任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形； 其中真命题的个数是（ ）A ． 4B ．3 C. 2 D ．110.“关于x 的方程20x mx n -+=有两个正根”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2(0)c c >，抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于,A B 两点，且120AOB ∠=o，其中O 为原点，则双曲线的离心率为（ ）A ． 2 B．11．1+12.已知函数1()([,])f x kx x e e=∈，21()()x g x e =，若(),()f x g x 图象上分别存在点,M N ，使得,M N 关于直线y x =对称，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1[,]e e - B ．2[,2]e e -C. 3[,3]e e - D ．2(,2)e e- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知,x y 满足400x y x y x +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最大值为n，则(n x 展开式的常数项为 ．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则a b +的取值范围是 ．15.已知221,[1,1]()1,(1,2]x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则21()f x dx -=⎰ ．16.已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数k ，使得|()|||2017kf x x ≤对所有实数x 均成立，则称函数()f x 为“期望函数”，给出下列函数：①2()f x x =；②()xf x xe =；③2()1x f x x x =-+；④()1xxf x e =+； 其中为“期望函数”的是 ．（写出所有正确的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知13a =，123n n a S +=+，*()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050:为优；51100:为良；101150:为轻度污染；151200:为中度污染；201300:为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI 的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -底面为正方形，已知PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，点M 为线段PA 上任意一点（不含端点），点N 在线段BD 上，且PM DN =.（1）求证：直线//MN 平面PCD ；（2）若M 为线段PA 中点，求直线PB 与平面AMN 所成的角的余弦值.20. 已知圆22:4O x y +=与x 轴交于,A B 两点，点M 为圆O 上异于,A B 的任意一点，圆O 在点M 处的切线与圆O 在点,A B 处的切线分别交于,C D ，直线AD 和BC 交于点P ，设P 点的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）曲线E 与y 轴正半轴交点为H ，则曲线E 是否存在直角顶点为H 的内接等腰直角三角形Rt GHK ∆，若存在，求出所有满足条件的Rt GHK ∆的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由.21. 定义：设()f x 为(,)a b 上的可导函数，若'()f x 为增函数，则称()f x 为(,)a b 上的凸函数.（1）判断函数3y x =与1lgy x=是否为凸函数； （2）设()f x 为(,)a b 上的凸函数，求证：若121n λλλ+++=L ，0(1,2,,)i i n λ>=L ，则(,)(1,2,,)i x a b i n ∀∈=L 恒有11221122()()()()n n n n f x f x f x f x x x λλλλλλ+++=+++L L 成立；（3）设,,0a b c >，*n N ∈，n b ≥，求证：532532532n n n n n n a b c a b c b c a c a b ---++≥++.22.圆锥曲线C 的极坐标方程为：22(1sin )2ρθ+=.（1）以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求曲线C 在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标； （2）直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，若曲线C 上的点M 到直线l 的距离最大，求点M 的坐标（直角坐标和极坐标均可）.23.（1）已知对于任意非零实数a 和b ，不等式|3|||||(|1||1|)a b a b a x x ++-≥-++恒成立，试求实数x 的取值范围；（2）已知不等式|21|1x -<的解集为M ，若,a b M ∈，试比较11ab+与11a b +的大小.（并说明理由）试卷答案1-------6：B DAA B C 7---------12：BAADBC 13.240 14.(2,4] 15. 16.③④17. 解：（1）当2n ≥时，由123n n a S +=+，得123n n a S -=+， 两式相减，得11222n n n n n a a S S a +--=-=，∴13n n a a +=，∴13n na a += 当1n =时，13a =，21123239a S a =+=+=，则213a a =. 数列{}n a 是以3为首项，3 为公比的等比数列∴1333n nn a -=⨯=（2）由（1）得(21)(21)3nn n b n a n =-=-⨯ ∴23133353(21)3nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L23413133353(21)3n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯L错位相减得：2311213232323(21)36(22)3n n n n T n n ++-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=---⨯L ∴1(1)33n n T n +=-⨯+18、解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4， 故该样本中空气质量优良的频率为63105=，从而估计该月空气质量优良的天数为330185⨯=(2)35（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0,1,2,3 328(0)()5125P ξ===，1233236(1)()55125P C ξ===，2233254(2)()55125P C ξ=== 3327(3)()5125P ξ===， 故ξ的分布列为：显然3(3,)5B ξ:，33 1.85E ξ=⨯=. 19.（Ⅰ）延长AN ，交CD 于点G ，由相似知AN BN AMNG ND MP==， MN ⊄平面PCD ，PG ⊂平面PCD ，则直线MN //平面PCD ； （Ⅱ）由于DA DC DP ⊥⊥，以,,DA DC DP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 设(1,0,0)A ，则(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，11(,0,)22M ，11(,,0)22N则(1,1,1)PB =-u u u r ，平面AMN 的法向量为(1,1,1)m =u r，则向量PB u u u r 与m u r 的夹角为θ，则1cos 3θ=，则PB 与平面AMN 夹角的余弦值为23.20. （Ⅰ）设00(,)M x y ，则M 处的切线为004x x y y +=，则0042(2,)x C y +-，0042(2,)x D y -，则00042(2)4:42(2)4x y x y P x y x y -⎧=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩，则22:1(0)4x E y y +=≠； （Ⅱ）由于直线GH 不与坐标轴平行或垂直，可设:1GH l y kx =+，则1:1KH l y x k=-+ 224401x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩，得22(14)80k x kx ++=，由于0∆>恒成立，设两个根为12,x x ，则2281||14k GH k k -=++，同理，222281181||||4||41k kkHK k k k k +=+=++ 由GH HK =知：22||(4)41k k k +=+，得：（1）0k >时，得2(1)(31)0k k k --+=得：1k =或352k ±=（2）0k <时，得2(1)(31)0k k k +++=得：1k =-或352k -±= 综上，共分三种情况（1）两条直角边所在直线方程为：1y x =±+；（2）两条直角边所在直线方程为：5312y x ±=+ （3）两条直角边所在直线方程为：5312y x -±=+ 21.（1）3y x =不是，1lgy x=是； （2）2n =时，即证：120λλ>且121λλ+=时，11221122()()()f x f x f x x λλλλ+≥+ 不防设12x x ≥，12,(,)x x a b ∈，令11221122()()()()F x f x f x f x x λλλλ=+-+'''1122()[()()]F x f x f x x λλλ=-+因为122212()()0x x x x x λλλ-+=-≥且'()f x 时递增函数，所以'()0F x ≥，即()F x 为单调递增函数， 所以12()()0F x F x ≥=，即11221122()()()f x f x f x x λλλλ+≥+； 假设(2)n k k =≥时，结论成立， 即0i λ∀>，11kii λ==∑，(,)i x a b ∈，(1,2,3,,)i k =L ，有11()()k ki i i i i i f x f x λλ==≥∑∑成立，则1n k =+时，0i λ∀>，11kii λ==∑，(,)i x a b ∈，(1,2,3,,,1)i k k =+L ，有+1+111221111221111()[()()]k k k k k k k k k k k k k k x x f x x x x f x x x λλλλλλλλλλλλλ++--+++++++=++++++L L11122111111()()()()()]k k k k k k k k k k k k f x f x f x f x x λλλλλλλλλλλ+--++++≤++++++++L112211()()()k k f x f x f x λλλ++≤+++L所以1n k =+时，结论也成立， 综合以上可得，原结论成立.（3）令0n a a =，0n b b =，0nc c =，即证：（000,,0a b c >）5325353200000000000n n n nn n nn nn na b c a b c b c b a b ---++≥++成立，由（1）得1()lgf x x =为凸函数，而5321n n n n-++=， 有000000532532(lg )(lg )(lg )lg()n n a b c a b c n n n n n n---+-+-≥-++而532000000532n n n nn a b c a b c n n n --++≥，同理有： 532000000532n n n n n a b c b c a n n n --++≥ 532000000532n n n n n c a b c a b n n n--++≥， 则5325353200000000000n n n nnnnnnnna b c a b c b c b a b ---++≥++成立，得证.22.（Ⅰ）曲线C 直角坐标方程：2212x y +=，焦点直角坐标：12(1,0),(1,0)F F - 焦点极坐标：12(1,),(1,0)F F π （Ⅱ）217(,)77M -或2217(77M - 23.（Ⅰ）|3||||3|4||a b a b a b a b a ++-≥++-=，当且仅当(3)()0a b a b +-≥时取等号，只需：4||||(|1||1|)a a x x ≥++-，由于0a ≠，只需|1||1|4x x ++-≤，11 所以：x 的取值范围为：[2,2]-；（Ⅱ）解得：(0,1)M =，,a M b M ∈∈知：1111(1)(1)10ab a b a b ab a b ab ab +----+--==>，即1111ab a b +>+.。
黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(文科)
高考数学二模试卷（文科）（内考）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={2，3，4}，B={x|1+x＞3}，则A∩B=（）A. {4}B. {2}C. {3，4}D. {2，3}2.=（）A. B. C. D.3.若函数f（x）=是奇函数，则f（a-1）=（）A. -1B.C.D. 14.若x，y满足不等式组，则z=2x-3y的最小值为（）A. -2B. -3C. -4D. -55.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，若e=，则该双曲线的渐近线方程为（）A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. 4x±3y=0D. 3x±4y=06.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A. B. C. D.7.在公比为整数的等比数列{a n}中，a2-a3=-2，a1+a3=，则{a n}的前4项和为（）A. B. C. D.8.运行如图程序，则输出的S的值为（）A. 0B. 1C. 2018D. 20179.若函数f（x）=e x（x3-3ax-a）有3个零点，则实数a的取值范围是（）A. （0，）B. （）C. （0，）D. （）10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AB1D=，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=cos x-sin x在（0，α）上是单调函数，且f（α）≥-1，则α的取值范围为（）A. （0，]B. （0，]C. （0，]D. （0，]12.已知半圆C：x2+y2=1（y≥0），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ=，则t的取值范围是（）A. [-，0）]B. [-，0）∪（0，]C. [-，0）∪（0，]D. [-，0）∪（0，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知cosα=-，则cos2α=______．14.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2，a7=15，则{a n}的公差为______．15.甲、乙、丙三个同学同时做标号为A、B、C的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是______①三个题都有人做对；②至少有一个题三个人都做对；③至少有两个题有两个人都做对．16.已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的球面上，且AC=，BD=2，AB=BC=CD=AD=，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且S=bc cos A，C=．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若c=，求S的值．18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，PA⊥BD，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求点C到平面PBD的距离．19.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在，）的学生评价为“锻炼达标”．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽取5人，进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少有1人是女生的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d临界值表20.已知O为坐标原点，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y=-与椭圆C相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l：y=k（x+c）与椭圆C相交于E，D两点，使得（）＜1？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！21.已知函数f（x）=a ln x-2x+x2（a∈R）．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）设f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），且不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知曲线C1的参数方程为（α为参数），P是曲线C1上的任一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：sinθ-cosθ=交曲线C2于M，N两点，求|MN|．23.已知函数f（x）=|x-2|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）对a+b=1（a，b＞0）及∀x∈R，不等式f（x-m）-（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|x＞2}；∴A∩B={3，4}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.【答案】B【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴2-x-2a+x=2a-x-2x，∴2a（2x+2-x）=2x+2-x，∴2a=1，∴a=0，∴f（a-1）=f（-1）=-．故选：B．根据奇函数的定义，构造关于a的方程组，容易求出a的值，从而求出f（x），可求结果．本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义求出a值，是解决该类问题的关键．4.【答案】D【解析】解：画出x，y满足不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数z=2x-3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）当目标函数过点A时，z取得最小值，∴z的最小值为2×2-3×3=-5．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．5.【答案】C【解析】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，可得e==，可得：a2+b2=9a2-6ab+b2，化简可得=，则该双曲线的渐近线方程为：4x±3y=0．故选：C．求出双曲线的离心率，利用已知条件列出方程求解a，b比值进而求解渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.【答案】B【解析】解：图标第一部分的面积为8×3×1=24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32=9π，图标第三部分的面积为π×22=4π，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设等比数列的首项为a1，公比为q∵a2-a3=-2，a1+a3=，∴两式相除可整理可得，2q2-5q-3=0由公比q为整数可得，q=3，a1=代入等比数列的和公式可得S4==，故选：A．由a2-a3=-2，a1+a3=，联立方程可求a1、q，然后代入等比数列的前n和公式可求答案．本题主要考查了利用基本量q，a1表示数列中的项，而在建立关于q，a1的方程时，常利用两式相除解方程，等比数列的前n项和公式．8.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2017+（sin+sin）+（sin+sin）+…+（sin+sin）的值，可得：S=2017+（sin+sin）+（sin+sin）+…+（sin+sin）=2017．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】D【解析】解：令g（x）=x3-3ax-a，若f（x）=e x g（x）有3个零点，即g（x）有3个零点，g′（x）=3x2-3a，当a≤0时，g′（x）≥0，g（x）递增，至多1个零点，当a＞0时，g′（x）=0，x=±，由题意知g（-）＞0，g（）＜0，故a＞，故选：D．令g（x）=x3-3ax-a，求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，落在问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道常规题．10.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=a，则A（1，0，0），D（0，0，0），B1（1，a，1），=（-1，-a，-1），=（0，-a，-1），∵∠AB1D=，∴cos==，解得a=，B1（1，，1），B（1，0），C1（0，，1），=（0，），=（-1，0，1），设直线AB1与BC1所成角为θ，则cosθ===．∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与BC1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos x-sin x=2cos（x+）在（0，α）上是单调函数，∴+α≤π，∴0＜α≤．又f（α）≥-1，即 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，∴α∈（0，]，故选：C．利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，由此可得α的取值范围．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|=|t|，由于BP与x轴垂直，且∠BPQ=，则在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=|t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值-，则t取得最小值-，t=0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为[-，0）]；故选：A．根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．13.【答案】【解析】解：∵cosα=-，∴cos2α=2cos2α-1=2×（-）2-1=．故答案为：．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2，a7=15，∴，解得a1=3，d=2．故答案为：2．利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，能求出等差数列的公差．本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】③【解析】解：若甲做对A，B，乙做对A，B，丙做对A，B，则C无人做对，所以①错误；若甲做对A，B，乙做对A，C，丙做对B，C，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误；做对的情况可分为三种情况：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法．故答案为：③．运用题目所给条件，进行合情推理，即可得出结论．本题考查学生合情推理的能力，属于中档题．16.【答案】4π【解析】【分析】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．由题意画出图形，结合已知可得BD中点O为外接球的球心，求出半径，则答案可求．【解答】解：如图，取BD中点O，连接OA，OC，由BD=2，AB=BC=CD=AD=，得OA=OB=OC=OD=1，则球的半径为1．∴球O的表面积为4π×12=4π．故答案为：4π．17.【答案】解：（Ⅰ）∵S=bc sin A=bc cos A，∴sin A=2cos A，可得：tan A=2，∵△ABC中，A为锐角，又∵sin2A+cos2A=1，∴可得：sin A=，cos A=，又∵C=，∴cos B=-cos（A+C）=-cos A cos C+sin A sin C=．（Ⅱ）在△ABC中，sin B==，由正弦定理，可得：b==3，∴S=bc cos A=3．【解析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得tan A=2，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，cos A，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cos B的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sin B，利用正弦定理可得b的值，即可得解S 的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（1）∵AB∥CD，∠BCD=，PA=PD=CD=BC=1，∴BD=，，，∴，∵AB=2，∴AD=，∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵PA⊥BD，PA∩AD=A，∴BD⊥平面PAD，∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．解：（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO=，由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，由BD⊥平面PAD，得BD⊥PD，又PD=1，BD=，∴△PBD的面积为，又△BCD的面积为，V P-BCD=V C-PBD，设点C到平面PBD的距离为d，则，解得d=，∴点C到平面PBD的距离为．【解析】（1）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO=，由V P-BCD=V C-PBD，能求出点C到平面PBD的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）列联表如下：K2==≈6.061》5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关．（Ⅱ）”锻炼达标“的学生有50人，男女生人数比为3：2，故用分层抽样方法抽取5人，有3人是男生，记为a，b，c，有2人是女生，记为d，e，则从这5人中选出2人，选法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，设事件A表示“作重点发言的2人中，至少有1人是女生”，则事件A发生的情况为：ad，bd，cd，ae，be，ce，de共7种，所以所求概率为．【解析】（Ⅰ）计算得K2，结合临界值表可得；（Ⅱ）“锻炼达标“的学生有50人，男女生人数比为3：2，故用分层抽样方法抽取5人，有3人是男生，记为a，b，c，有2人是女生，记为d，e，用列举法以及古典概型概率公式可得．本题考查了独立性检验，属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵在=1（a＞b＞0）中，令x=c，可得y=±，∵过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，∴=3，∵直线y=-与椭圆C相切，∴b=，∴a=2∴a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c=1，则直线l的方程为y=k（x+1），联立，可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，则△=64k4-4（4k2+3）（4k2-12）=144（k2+1）＞0，∴x1+x2=-，x1x2=，∴y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=-，∵（）＜1，∴•＜1，∴（x2-1，y2）（x1-1，y1）=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2＜1，即++1-＜1，整理可得k2＜4，解得-2＜k＜2，∴直线l存在，且k的取值范围为（-2，2）．【解析】（Ⅰ）由题意可得=3，以及直线y=-与椭圆C相切，可得b=，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）a=1时，f′（x）=-2+2x，故f′（1）=1，又f（1）=-1，故切线过（1，-1），切线方程是：x-y-2=0；（2）f（x）=a ln x-2x+x2（x＞0），f′（x）=，令f′（x）=0，得2x2-2x+a=0，∵f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴△=4-8a＞0，故x1+x2=1，x1x2=＞0，故0＜a＜，故0＜x1＜，＜x2＜1，由f（x1）≥mx2恒成立，得m≤==1-x1+2x1ln x1-，令h（x）=1-x+2x lnx-（0＜x＜），h′（x）=2ln x-+1，∵0＜x＜，∴-3＜1-＜0，故h′（x）＜0，故h（x）在（0，）递减，故h（x）＞h（）=--ln2，故m≤--ln2，即实数m的范围是（-∞，--ln2]．【解析】（1）代入a的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，由f（x1）≥mx2恒成立，得m≤1-x1+2x1ln x1-，令h（x）=1-x+2x lnx-（0＜x＜），根据函数的单调性求出m的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得（x-3）2+（y-1）2=4，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），则PQ中点的轨迹方程为（2x-3）2+（y-1）2=4．（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为y-x=1，∴联立y-x=1与（2x-3）2+（y-1）2=4得x=，∴|MN|==．【解析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得圆C1的普通方程，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），将P的坐标代入C1的方程即可得；（Ⅱ）先把l的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入C2的直角坐标方程可得M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长|MN|．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）+f（2x+1）=|x-2|+|2x-1|=当x＜时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当≤x≤2时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）．（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（a+b）（+）=5++≥5+2=9，∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，∴-13≤m≤5．【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出+的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020接高三第二次模拟考试理科数学试题 含答案
中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等
边体的棱长为 2 ,则其体积为________;若其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面
积为________.
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答．第 22 ,23 题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：（共 60 分）
B． 2
C． 3 3
D． 3
11．在数列 an 中，a1 1, a2 2, a3 3, an3 (1)n an1 1(n N ) ，数列 an 的前 n 项和为 S n ，则
下列结论正确的是( )
A．数列 an 为等差数列
B． a18 11
C． a17 3
D． S31 146
12．已知函数
13．已知向量 a (1,1),b (2,1) ，若 (a b) (a b) ，则 _________. 14．记 n b(mod a) 表示正整数 n 除以正整数 a 后所得的余数为 b ，例如
8 2(mod 6) 表示 8 除以 6 后所得的余数为 2 ．执行右图的程序框图， 若输入的 n 值为 5 ，则输出的 n 值为__________.
17. （12 分）已知多面体 P ABCD 中， AB // CD ， BAD PAB 900 ， AB PA DA PD 1 CD ， M 是 PB 的中点．
2 （1）求证： PA CM ； （2）求直线 DB 与平面 PBC 所成角的正弦值．
18. （12 分）在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，已知 2sin(B ) cos A cos C . 6
黑龙江省哈尔滨市第九中学高三第四次高考模拟数学(文)试题(PDF版)答案
九中四模数学答案（文科）一. 1-12CCADCDDABBBA二. 13-1621-()2213916x y x -=>2120 17.(1)()b a ,在直线B c C y B x cos cos cos 2=-上,所以B c C b B a cos cos cos 2=-, 由正弦定理得B C C B B A cos sin cos sin cos sin 2=-,所以A B C C B B A sin cos sin cos sin cos sin 2=+=因为0sin ≠A 所以21cos =B …6分(2) 60=B ,因为,2,332==b a 由正弦定理得21sin =A , 30=A BC 在BA 方向上的投影为33cos =⋅B BC ……12分18.(1)设“甲临时停车付费恰为6元”为事件 A ，则P （A ）=1111236--=……6分(2)设“甲、乙两人的停车付费之和为36元”为事件 B ，设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元,其中a,b=6,14,22,30,则甲、乙两人的停车费用构成的基本事件为()6,6()6,14()6,22()6,30()14,6()14,14()14,22()14,30()22,6()22,14 ()22,22()22,30()30,6()30,14()30,22()30,30，共16个，其中()6,30()14,22()22,14()30,6符合题意。
故甲、乙两人的停车付费之和为36元的概率P （B ）=41164=……12分19.（1）证明：因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以AD ⊥PE ．……2分 又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE ⊥AB ．……3分 因为AD ∩AB=A ，所以PE ⊥平面ABCD ．……4分 因为AD ∩AB=A ，所以PE ⊥平面ABCD ．而CD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥CD ． ..….6分 (2)33156222++……12分20．(1)由题知,2≠x ,且21+=x y k ,22-=x y k ,则432221-=-⋅+=⋅x y x yk k整理得曲线C 方程为()013422≠=+y y x …….4分 (2)证明:设NQ 与x 轴交于)0,(t D ,则直线NQ 的方程为()0≠+=m t my x记),(11y x N ,),(22y x Q ,由对称性知),(22y x M -,由⎩⎨⎧+==+tmy x y x 124322消x 得()0123643222=-+++t mty y m 所以()0434822>-+=∆t m⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+431234362221221m t y y m mt y y 由S N M ,,三点共线知MS NS k k =,即442211--=-x y x y 所以()()0441221=-++-+t my y t my y 整理得()()0422121=+-+y y t y my所以()()04346123222=+---m t mt t m 即()1,0124==-t t m 所以直线NQ 过定点()0,1D ……………..12分21．Ⅰ)当，时，，定义域为。
黑龙江省哈尔滨市第九中学新高考数学的多选题附解析
一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1， 故选项B 正确；对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4，故选项C 正确；对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD 【分析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解，所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.3．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =-B ．函数在定义域R 上为增函数C ．不等式(32)3f x -<的解集为(,1)-∞D ．不等式2()10f x x x -+->恒成立 【答案】BC 【分析】对于A ，利用奇函数定义求(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =+；对于B ，研究当(,0)x ∈-∞时，()f x 的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(1)3f =，不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立.【详解】对于A ，设(0,)x ∈+∞，(,0)x -∈-∞，则2()2f x x x -=--，又()f x 是奇函数，所以2()()2f x f x x x =--=+，即(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =+，故A 错；对于B ，2()2f x x x =-+，对称轴为1x =，所以当(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以()f x 在R 上为增函数，故B 对；对于C ，由奇函数在R 上为增函数，则(0,)x ∈+∞时，2()23f x x x =+=，解得11x =，23x =-（舍去），即(1)3f =，所以不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<， 又()f x 在R 上为增函数，得321x -<，解得1x <， 所以不等式的解集为(,1)-∞，故C 对； 对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+2222()121231(21)(1)0f x x x x x x x x x x x -+-=-+-+-=-+-=-+-<，当(0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+222()12131f x x x x x x x x -+-=+-+-=-不恒大于0，故D 错；故选：BC 【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别. 考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法： （1）已知函数类型，用待定系数法求解析式； （2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；（3）已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法； （4）若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；5．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1xxx x xx e e e f x f x e e e------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.6．下列命题正确的是（ ）A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．C ．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1()x g x x+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定D 正确，即可求解. 【详解】对于A 中，幂函数21()(1)m f x m x--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；对于B 中，若函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足(0)30f m =<，解得0m <，所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln()1x f x x x x +=++-，则满足101xx+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11()x x g x x x-+--==-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．8．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（ ） A ．634z x y << B ．121x y z+= C ．4x y z +> D ．24xy z <【答案】AC 【分析】令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：111log 3log 4log 12m m m x y z===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===， 由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111x y z+=，故选项B 错误； 对于选项A ，124log 12log 9log 03m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；对于选项C ､D ，因为111x y z +=，所以xyz x y=+，所以()()()()2222222440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--==-<++，所以24xy z >，则()24z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；故选：AC. 【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令34121x y z m ===>，进而得111,,log 3log 4log 12m m m x y z ===，再根据题意求解.9．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b >>，则b aa b> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11a b+的最小值为4 C ．己知()11212xf x =-+，且()()2110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()22log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是(]11,6--【答案】BCD 【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与11a b+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，0a b >>，则1a bb a>>，A 选项错误； 对于B 选项，0a >，0b >，1a b +=，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，所以，11a b+的最小值为4，B 选项正确； 对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ，任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>， 所以，()()()()211212121211111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，()()()()2211112212221212xxx x xf x -+-=-==+++， 则()()()()()()21212212122212221x x x x x x x xf x f x --------====-+⋅++， 所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数， 由()()2110f a f a-+-<可得()()()22111f a f a f a-<--=-，所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确； 对于D 选项，对于函数()()22log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，所以min 16380au a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.10．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.二、导数及其应用多选题11．对于函数()2ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（ ）A ．该函数定有2个极值B ．该函数的极小值一定不大于2C ．该函数一定存在零点D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点【答案】BD 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+， 例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >， 所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．12．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2x x aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，其中a 为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ，则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为（ ）（注：[]x 表示不大于x 的最大整数）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AC 【分析】求出导数，表示出切线，令0x t a=，可得()()110t tt e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<，即可求出. 【详解】()2x xaae ef x a -+=⋅，()2x x aae ef x --'∴=，∴切线斜率002x x aae ek --=，()0002x x aae ef x a -+=⋅，则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-，直线过原点，()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=，则可得()()110t tt e t e --++=， 令()()()11xxh x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，()()x x h x x e e -'=-+，当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，021x a ∴-<<-或012xa<<，02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令0x t a=，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.13．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确；对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根， 等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠， 令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．14．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知，方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.15．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =-在0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2-C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1-D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2e y =-【答案】BD 【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x ekx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x =-=-， ()322121022x m x x x x+'∴=+=>， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-， 故B 正确，C 错误；对于D ，函数()f x 和()h x 的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线方程为(2e y k x -=，即2e y kx =-，则222x e kx ≥-（x ∈R），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2ey =-，下面证明()2e h x ≤-， 令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2eh x ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-，D 正确. 故选：BD . 【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.16．某同学对函数()sin e e x xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 【答案】BD 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1x xx f x e e -=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：函数()sin e e x xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误； 对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，， ()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.17．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ）A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．18．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.19．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.。
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哈尔滨市第九中学2017届高三第二次模拟
数学试卷（文科）
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合
题目要求.
1.已知i是虚数单位，复数z满足11zii，则z的共轭复数是
A. 1 B. -1 C. i D.i
2.设非空集合,PQ满足PQP，则
A. ,xQxP B. ,xQxP . 00,xQxP D.00,xPxP
3.若过点0,1A的直线与圆2234xy的圆心的距离为d，则d的取值范围是
A. 0,4 B. 0,3 C. 0,2 D. 0,1
4. 从12,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为
A. 34 B. 58 C. 78 D. 12
5. 以坐标原点为对称中心，两条坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线
的倾斜角为3，则双曲线的离心率为
A. 2或3 B. 2或233 C. 233 D.2
6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 16 B. 32 C. 48 D. 144
7.已知实数,ab满足23,32ab，则函数xfxaxb的零点所在的区间是
A. 2,1 B. 1,0 C. 0,1 D.1,2
8. 已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且
AB=BC=CA=2，则球面的面积为
A. 169 B. 83 C. 619 D.4
9. 若实数,xy满31xy足，则2xyzxy的最小值是
A. 53 B. 2 C. 35 D.12
10.函数24sin,,22fxxxx的图象大致是
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11. 已知抛物线2:8Cyx的焦为F,准线l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4FPFQ，
则QF
A. 72 B. 52 C. 3 D. 2
12.已知数列na的通项公式为121cos12nnnannN，其前n项和为nS，则60S
A. -30 B. -60 C. 90 D. 120
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量1,2,4,3ab，且atab，则实数t .
14. 为了研究某种细菌在特定条件下随时间变化的繁殖规律，得到如下实验数据计算得到回归直线方程为
ˆ
0.850.25yx
，由以上信息可知下表中的c的值为 .
15.设等差数列na的公差为d，其前n项和为nS，若11ad，则8nnSa的最小值为 .
16. 设函数222ln2fxxaxa，其中0,xaR，存在0x使得045fx成立，则实数a的
值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）
设函数24cos22cos.3fxxx
（1）求fx的最大值，并写出使fx取得最大值时x的集合；
（2）已知ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若3,22fBCbc，求a的最小值.
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18.（本题满分12分）
某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优
等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡为优等品，寿命小于300天的灯泡为次品，
其余灯泡为正品.
（1）根据频率分布表中的数据，写出,,abc的值；
（2）某人从这200个灯泡中随机购买了1个，求此灯泡
恰好不是次品的概率；
（3）某人从这批灯泡中随机购买了n（nN）个，
如
果这n个灯泡的等级情况恰好与按等级分层抽样所得的
结果相同，求n的最小值.
19.（本题满分12分）
如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，,60,PDADDABPD底面ABCD.
（1）求证：ACPB；
（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值.
20.（本题满分12分）
椭圆222210xyabab的左、右焦点分别为
12
,FF
，
且离心率为12，点P为椭圆上一动点，12PFF内切圆的面积的最大值为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为1A,过右焦点2F的直线l与椭圆相交于A,B两点，连接11,AAAB并延长分别交直线
4x
于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
21.（本题满分12分）
已知0a，函数2ln.fxxax
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（1）求fx的单调区间；
（2）当18a时，证明：存在02,x，使得032fxf；
（3）若存在属于区间1,3的,，且1，使得ff，证明：ln3ln2ln253a.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.
22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为3xmtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2222cos4sin4，直线l过曲线C的左焦点
F.
（1）直线与曲线C交于A,B两点，求AB;
（2）设曲线C的内接矩形的周长为c，求c的最大值.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已函数2294,0,sincos2fxxxx且fxt恒成立.
（1）求实数t的最大值；
（2）当t取最大值时，求不等式2165txx的解集.
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