《高等数学专升本》辅导三(
浙江专升本(高等数学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
浙江专升本（高等数学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知当x→0时，x2ln(1+x2)是sinnx的高阶无穷小，而sinnx又是1一cosx的高阶无穷小，则正整数n等于( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由=0知n＞2；故n=3．2．设函数f(x)=｜x3－1｜φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的( )A．必要但不充分条件B．充分必要条件C．充分但非必要条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：因为(x2+x+1)φ(x)＝－3φ(1)，(x2+x+1)φ(x)=3φ(1)，所以f(x)在x=1处可导的充分必要条件为一3φ(1)=3φ(1)，即φ(1)=0，选项B正确．3．直线l：与平面π：4x一2y一2z一3=0的位置关系是( )A．平行B．垂直相交C．直线l在π上D．相交但不垂直正确答案：A解析：直线的方向向量为(一2，一7，3)，平面π的法向量为(4，一2，一2)．(一2)×4+(一7)×(一2)+3×(一2)=0，且直线l：上的点(一3，一4，0)不在平面：4x一2y一2z一3=0上，所以直线与平面平行．4．设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，则必有( )A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数D．F(x)是单调函数f(x)是单调函数正确答案：A解析：记G(x)=f(t)dt，则G(x)是f(x)的一个原函数，且G(x)是奇(偶)函数f(x)是偶(奇)函数，又F(x)=G(x)+C，其中C是一个常数，而常数是偶函数，故由奇、偶函数的性质知应选A．5．如果级数un(un≠0)收敛，则必有( )A．级数(一1)nun收敛B．级数｜un｜收敛C．级数发散D．级数收敛正确答案：C解析：因为un(un≠0)收敛，所以=∞，故发散，C正确．填空题6．函数f(x)=的第一类间断点为__________．正确答案：x=1，x=－1解析：求极限可得f(x)=f(x)=1，f(x)=0，f(x)=－1，f(x)=0，所以函数f(x)的第一类间断点为x=1，x=－1．7．已知y=lnsin(1—2x)，则y′=___________．正确答案：－2cot(1－2x)解析：y=lnsin(1－2x)y′==－2cot(1－2x)．8．设函数x=x(y)是由方程yx+x+y=4所确定，则=__________．正确答案：-3解析：利用隐函数求导法和对数求导法可得x′lny++x′+1=0，再由x(1)=2可得=－3．9．已知=3，则常数a=__________，b=___________．正确答案：a＝－1，b＝－2解析：因为＝3a ＝－1，再由22+2a+b＝0可知b＝－2．10．dx=___________．正确答案：π解析：11．设f(x)=，要使f(x)在x=0处连续，则k=___________．正确答案：k=0解析：根据函数连续的定义：f(x)=f(0)，因xsin=0，则k=f(0)=0．12．使得函数f(x)=适合Roll(罗尔)定理条件的闭区间是：____________．正确答案：[0，1]解析：根据罗尔定理的条件：只需函数在闭区间连续，开区间可导，并且在区间端点处的函数值相等即可．如：[0，1]．13．函数y=ex+arctanx的单调递增区间是：___________．正确答案：(一∞，+∞)解析：由于y′=ex+＞0，因而函数的单调递增区间为(－∞，＋∞) 14．∫sec4xdx＝___________．正确答案：tanx+tan3x+C解析：∫sec4xdx=∫sec2xdtanx=∫(1+tan2x)dtanx=tanx+tan3x+C15．幂级数x2n－1的收敛半径为__________．正确答案：解析：利用比值判别法的思想，x2n＋1.x2＜1，所以收敛区间为x∈()因此，收敛半径为R＝．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(三)-2
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(三)-2(总分：106.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：23.00)1.二元函数z=(1+2x) 3y，则______（分数：1.00）A.3y(1+2x)3y-1B.6y(1+2x)3y-1 √C.(1+2x)3yln(1+2x)D.6y(1+2x)3y解析：2.设z=cos(x 3 y 2 )，则______（分数：1.00）A.2x3ysin(x3y2)B.-3x2y2sin(x3y2)C.-2x3ysin(x3y2) √D.3x2y2sin(x3y2)解析：3.z=5 xy，则______（分数：1.00）A.50B.25C.50ln5 √D.25ln5解析：4.已知f(xy，x+y)=x 3 +y 3，则______（分数：1.00）A.3y2-3x-3y √B.3y2+3x+3yC.3x2-3x-3yD.3x2+3x+3y解析：5.设z=(lny) x，则dz等于______A．B．C．(lny) x ln(lny)dx+(lny) x-1 dyD．（分数：1.00）A.C.D. √解析：6.函数z=x 2 +y 3在点(1，-1)处的全微分dz| (1，-1)等于______（分数：1.00）A.2dx-3dyB.2dx+3dy √C.dx+dyD.dx-dy解析：7.设f(x，y)为二元连续函数，，则积分区域可以表示为______A．B．C．D．（分数：7.00）A.B. √C.D.解析：8.设f(x，y)为连续函数，二次积分交换积分次序后等于______A．B．C．D．（分数：8.00）A. √B.C.D.解析：9.设区域D={(x，y)|1≤x 2 +y 2≤4}，则在极坐标中，二重积可表示为______ A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C. √D.10.设D由x轴、y轴及直线x+y=1围成，则等于______ A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.函数 1．（分数：2.00）解析：{(x，y)|y≥x，x 2 +y 2＜1且x 2 +y 2≠0}12.设，则．（分数：2.00）13.设f(x，y)= 1．（分数：2.00）解析：x 2 y14.设函数z=x 2 +ye x，则．（分数：2.00）解析：2x+ye x15.设，则．（分数：2.00）16.设z=y 2x，则．（分数：2.00）解析：2x·y 2x-117.设函数z=xy+x 3，则．（分数：2.00）解析：y+3x 2 +x18.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则．（分数：2.00）19.设D：-1≤x≤0，0≤y≤1，则．（分数：2.00）解析：120.设D：0≤x≤1，0≤y≤1，则．（分数：2.00）解析：(e-1) 221.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则．（分数：2.00）解析：2ln2三、解答题(总题数：29，分数：61.00)22.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()23.求下列函数的偏导数或全微分．设二元函数z=tan(xy 2 )，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()24.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()25.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：，．26.求下列函数的二阶偏导数．设z=xy 2 +x 3 y，求（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()27.求下列函数的二阶偏导数．设z=(x+y)e xy，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()28.求下列隐函数的偏导数或全微分．设z=f(x，y)由方程x+y 2 +z 2 =2z所确定，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()29.求下列隐函数的偏导数或全微分．设z=f(x，y)由方程x 2 +z 2 =2ye z所确定，求dz．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()30.求函数f(x，y)=2x 4 -8x+y 2的极值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-631.求函数f(x，y)=2xy-x 2 -2y 2 -x+y的极值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()32.求函数f(x，y)=x 4 +y 4 -4(x-y)+1的极值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-533.求函数f(x，y)=x 3 -y 3 +3x 2 +3y 2 -9x的极值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-5，极大值为3134.求函数f(x，y)=xy在约束条件x+y=1的可能极值点．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：首先构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=xy+λ(x+y-1)，求出F的所有一阶偏导数并令其等于零，得联立方程组解得．所以为可能的极值点．35.从斜边长为a的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设直角三角形的两条直角边的长分为x，y则求周长函数为S=x+y+a在满足约束条件x 2+y 2=a 2下的最大值点．F(x，y，λ)=(x+y+a)+λ(x 2 +y 2 -a 2 )，解得x= ，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有所求，即当直角三角形为等腰直角三角形，即两直角边的边长各为时，周长最大，且最大周长为．36.在所有对角线为（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设长、宽、高分为x，y，z，体积V=xyz，对角线d 2 =x 2 +y 2 +z 2，求函数V=xyz在约束条件d 2 =x 2 +y 2 +z 2下的极大值，作拉格朗日函数F(x，y，λ)=xyz+λ(x 2 +y 2 +z 2 -d 2 )，解得，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有最大值，即当长、宽、高各为2时，体积最大，且最大体积V=8．37.交换二重积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()38.改变积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()39.交换二重积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()40.交换二重积分（分数：2.00）正确答案：()41.求D是由曲线x=y 2 +1，直线x=0，y=0与y=1所围成的区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()42.计算二重积分D是由直线y=x，y=x-1，y=0及y=1围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()43.计算二重积分D是由曲线y=x 2与y=x围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()44.计算二重积分D是由直线y=x，x=0，y=π围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()45.计算二重积分D是由x 2 +y 2≤1围成．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()46.求D是由y=x，y=0，x 2 +y 2 =1在第一象限的区域．（分数：2.00）正确答案：()47.计算D是由x 2 +y 2≤4，x≥0，y≥0所确定的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()48.计算D是由曲线x 2 +y 2 =2，y=x及y轴所围成的在第一象限的闭区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()49.计算（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()50.设f(x)在[0，1]上连续，证明．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：证明：交换二次积分次序，积分区域为Y-型域D：0≤y≤1，0≤x≤ ，转化为X-型域D：0≤x≤1，x 2≤y≤1，则。
2024年四川省普通高校专升本《高等数学》考试要求
四川省普通高校专升本考试要求高等数学（本考试要求适用于四川省普通高校参加专升本考试的理工农医类考生）Ⅰ．命题指导思想及原则命题贯彻党的教育方针，遵循素质教育规律，落实立德树人根本任务，促进技术技能人才成长，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．在考查大学数学的基本概念、基本理论、基本计算的基础上，注重对大学数学基本知识的运用能力的考查，坚持多角度、多层次的考查，体现基础性、综合性、应用性、创新性。
试题应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．Ⅱ．考试范围考试范围包括《高等数学》和《线性代数》．《高等数学》含函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学与二重积分、无穷级数、常微分方程等．《线性代数》含行列式、矩阵、向量、线性方程组等．Ⅲ．考试内容及要求对考试内容的要求由低到高，概念和理论的要求分为“了解”和“理解”两个层次；方法和运算的要求分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次．- 1 -- 2 -一、函数、极限和连续（一）函数1．理解函数的概念，会求函数（含分段函数）的定义域、表达式及函数值．会建立实际问题的函数关系式．2．理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性的概念．3．了解函数()y f x =与其反函数1()y fx -=之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数．4．掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程．5．熟练掌握基本初等函数的性质及其图象．6．了解初等函数的概念．（二）极限1．了解数列极限的概念，了解数列极限的唯一性、收敛数列的有界性．2．了解函数极限的概念，理解函数极限存在的充分必要条件，理解函数极限的唯一性、局部保号性．3．熟练掌握极限的四则运算法则．4．了解数列极限的两个收敛准则（夹逼准则与单调有界准则）、函数极限的夹逼准则．熟练掌握两个重要极限．5．了解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，掌握无穷小量与无穷大量的关系．会比较无穷小量的阶（高阶、低阶、同阶和等价）．会用等价无穷小量求极限．（三）连续1．理解函数在一点连续与间断的概念，会判断函数（含分段函数）的连续性．2．会求函数的间断点并判断其类型．3．理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、介值定理，会用零点存在定理进行证明．4．了解初等函数在其定义区间上的连续性，会用函数的连续性求极限．（一）导数与微分1．理解导数的概念、导数的几何意义、函数可导性与连续性之间的关系，会用导数定义判断函数在一点处的可导性．2．会求曲线的切线方程与法线方程．3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则、复合函数的求导法则．4．掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的求导法，会用对数求导法，会求分段函数的导数．5．了解高阶导数的概念，会求函数的高阶导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数的二阶导数．6．理解函数微分的概念，理解可微与可导的关系，掌握微分的四则运算法则、一阶微分的形式不变性，会求函数的微分．（二）微分中值定理与导数的应用1．理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，了解它们的几何意义．会用罗尔中值定理和拉格朗日中值定理进行证明．2．熟练掌握用洛必达法则求“0”、“∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“0∞”型等未定式的极限．3．会用导数判定函数的单调性，掌握函数的单调区间的求法，会用函数的单调性证明不等式．4．了解函数极值的概念，掌握函数的极值和最值的求法，会求实际问题的最值．5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的凹凸区间和拐点．6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线（铅直渐近线）．- 3 -（一）不定积分1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质．2．熟练掌握基本积分公式．3．熟练掌握不定积分第一换元法，掌握不定积分第二换元法．4．熟练掌握不定积分的分部积分法．5．会求有理函数的不定积分．（二）定积分1．了解定积分的概念，理解定积分的几何意义，了解函数可积的条件．2．掌握定积分的基本性质．3．理解变限积分函数的概念，熟练掌握变限积分函数的导数．4．熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式．5．熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法．会证明积分等式．6．了解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法．7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形面积的方法，会求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积．四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数1．理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦．2．掌握向量的线性运算、向量的数量积、向量的向量积的计算方法．3．掌握向量平行、垂直的条件．（二）平面与直线1．会求平面的点法式方程、一般式方程．会判定两平面的位置关系．2．会求点到平面的距离．3．了解直线的一般式方程，会求直线的对称式方程（点向式方程）、参数式方程．会判定两直线的位置关系．4．会判定直线与平面的位置关系．- 4 -（三）空间曲面1．了解母线平行于坐标轴的柱面的方程及其图形．2．了解旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程．3．了解球面、椭球面、圆锥面、抛物面的方程及其图形．五、多元函数微分学与二重积分（一）多元函数微分学1．了解多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限与连续的概念．会求二元函数的定义域．2．理解偏导数的概念，掌握多元函数的一、二阶偏导数的求法．3．了解全微分的概念，理解全微分存在的必要条件与充分条件，会求多元函数的全微分．4．掌握多元复合函数的求导法则．F x y=所确定的隐函数5．了解隐函数存在定理，会求由方程(,,z)0=的一阶偏导数．z z x y(,)6．会求空间曲线的切线和法平面方程（仅限参数方程情形），会求空间曲面的切平面和法线方程．7．会求二元函数的极值．会用拉格朗日乘数法求解实际问题的最值．（二）二重积分1．了解二重积分的概念，理解二重积分的几何意义，掌握二重积分的性质．2．熟练掌握二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算方法，会交换二次积分的积分次序．3．会用二重积分计算空间立体的体积．六、无穷级数（一）数项级数1．理解级数收敛、发散的概念．了解级数的基本性质，掌握级数收敛的必要条件．- 5 -- 6 -2．掌握正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法．3．掌握几何级数、调和级数、p 级数的敛散性．4．会用莱布尼茨判别法．5．理解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会判断级数的绝对收敛与条件收敛．（二）幂级数1．了解幂级数的概念．会求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）．2．掌握幂级数在其收敛区间内的逐项求导、逐项积分的性质与方法，会求幂级数的和函数及收敛区间．3．掌握x e ，sin x ，cos x ，ln(1)x +，11x-的麦克劳林展开式，会用这些展开式将初等函数展开为0()x x -的幂级数．七、常微分方程（一）一阶微分方程1．了解微分方程的有关概念．2．掌握可分离变量微分方程的解法．3．了解齐次微分方程的解法．4．掌握一阶线性微分方程的解法．（二）二阶线性微分方程1．了解二阶线性微分方程解的结构．2．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法．3．会设二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式（自由项限定为()()x n f x P x e λ=，其中()n P x 为x 的n 次多项式，λ为实常数）．八、线性代数（一）行列式1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．掌握行列式按行(列)展开定理．（二）矩阵1．了解矩阵的概念．2．熟练掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的行列式及其运算性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质．4．理解伴随矩阵的概念，掌握伴随矩阵的性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵．5．掌握矩阵可逆的充分必要条件．6．理解矩阵秩的概念，熟练掌握用初等变换法求矩阵的秩和逆矩阵．7．会解矩阵方程．（三）向量1．了解n维向量的概念，理解向量的线性组合与线性表示．2．理解向量组线性相关与线性无关的定义，掌握向量组线性相关性的判别方法．3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念．（四）线性方程组1．掌握克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念．3．理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件，理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．4．熟练掌握用矩阵的初等变换法求线性方程组的解．- 7 -Ⅳ．考试形式与试卷结构一、考试形式考试采用闭卷、笔试形式．试卷满分150分，考试时间120分钟．二、试卷结构1．考试题型可采用：判断题、单选题、填空题、计算题、解答题、证明题、应用题等形式．2．试题按其难度分为：容易题、较易题、中等难度题、较难题．四种难度的试题应控制合适的分值比例，试卷总体难度适中．3．试卷内容结构：线性代数约占20%，其他内容约占80%．【参考书目】1．同济大学数学系．高等数学（第七版）．高等教育出版社．2．同济大学数学系．工程数学：线性代数（第六版）．高等教育出版社．- 8 -。
陕西省专升本考试高等数学模拟3_真题(含答案与解析)-交互
陕西省专升本考试高等数学模拟3(总分150, 做题时间90分钟)第一部分选择题一、单项选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.当x→0时，x 2是1-cosx的______SSS_SINGLE_SELA 高阶无穷小B 低阶无穷小C 等价无穷小D 同阶但非等价无穷小分值: 5答案:D[解析] 因所以，x→0时，x 2与1-cosx是同阶非等价无穷小．故选D．2.已知函数y=sinx，则y (10) =______SSS_SINGLE_SELA sinxB cosxC -sinxD -cosx分值: 5答案:C[解析] 因，故．3.设f(x)=lnx，则______•**+C•**+CC.-e-x+C• D.-x+CSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:D[解析]4.幂级数的收敛半径为R，如果幂级数在x处收敛，则必有______．SSS_SINGLE_SELA R≥x0B R≤x0C R≥|x0|D R≤|x0|分值: 5答案:C[解析] 因幂级数在x0处收敛，则x必位于收敛域内部，即有|x|≤R．5.化为先对y积分后对x积分，则I=______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:C[解析] 由知r=2acosθ，r 2=2arcosθ，化为直角坐标为x 2 +y 2=2ax，此为一圆，又由，可画出积分区域图D，由题意把D看作X型，于是第二部分非选择题二、填空题1.定积分SSS_FILL分值: 5[解析]2.如果存在，且，则______．SSS_FILL分值: 51[解析] 两边取x→π时的极限，有，于是，从而．3.已知直线与平面x-2y+3z-1=0平行，则m=______．SSS_FILL分值: 51 [解析] 由题意可知平面的法向量为n={1，-2，3}，直线的方向向量为s={m，2，1}则有s·n=m+3-4=0，m=1．4.微分方程xy"+y"+x=0的通解为y=______．SSS_FILL分值: 5，(C1，C2为任意常数) [解析] 微分方程可化为：xy"+y"=-x，即(xy")x=-x，两边关于x积分，有，从而，故两边积分，有，(C1，C2为任意常数)．5.设n是曲面2x 2 +3y 2 +z 2 =6在点P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，则函数在此处沿方向n的方向导数为______．SSS_FILL分值: 5[解析] 令F(x，y，z)=2x 2 +3y 2 +z 2 -6，F"x |P=4x|P=4，F"y|P=6y|P=6，F"z|P=2z|P=2，故n＝{F"x ，F"y，F"z}={4，6，2}，，方向余弦为故．三、计算题本大题共10小题，每小题8分，共80分．计算题要有计算过程．1.求极限SSS_TEXT_QUSTI分值: 82.已知函数x=x(y)由参数方程确定，求．SSS_TEXT_QUSTI分值: 8由求导公式，得，于是，．3.求函数y=x 3 -3x的单调区间、极值点及拐点．SSS_TEXT_QUSTI分值: 8y"=3x 2 -3=3(x-1)(x+1)，令y"=0得到x=1或x=-1，当x∈(-∞，-1)和(1，+∞)时，y"＞0，所以函数在(-∞，-1)，[1，+∞)上单调增加；当x∈(-1，1)时，y"＜0，所以函数在[-1，1]单调减少，所以x=1为极小值点，x=-1为极大值点；y"=6x，令y"=0得到x=0，当x＞0时y"＞0，当x＜0时y"＞0，所以(0，0)是拐点．4.计算定积分SSS_TEXT_QUSTI分值: 8令x=-u，dx=-du，x=-2，u=2，，，所以．令，，当u=2时，，当时，，所以，5.设，其中f(u,v)为可微函数，求，．SSS_TEXT_QUSTI分值: 86.计算，其中D是由直线y=x，2y=x及x=1围成的区域．SSS_TEXT_QUSTI分值: 8积分区域D如图所示．从被积函数的特点知，该积分应化为“先对y积分，后对x积分”的二次积分．区域D可表示为：则7.将函数f(x)=lnx展开成(x-2)的幂级数，并指出其收敛区间．SSS_TEXT_QUSTI分值: 8因为故8.已知xyz=x+y+z，求dz．SSS_TEXT_QUSTI分值: 8xyz=x+y+z，则d(xyz)=d(x+y+z)，由全微分法则，yzdx+xzdy+xydz=dx+dy+dz，整理得：9.计算，其中L为抛物线y 2 =x上从点A(1，-1)到点B(1，1)的一段弧．SSS_TEXT_QUSTI分值: 8方法一将所给积分化为对x的定积分来计算．由于不是单值函数，所以要把L分为AO和OB两部分．在AO上，，x从1变到0；在OB上，，x从0变到1．因此方法二将所给积分化为对y的定积分来计算．现在x=y 2，y从-1变到1．因此．10.求微分方程的通解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 8该微分方程是一阶线性非齐次微分方程．因P(x)=2x，Q(x)=xe -x2，于是其通解为四、应用题与证明题本大题共2小题，每小题10分，共20分．应用题的计算要有计算过程，证明题要有证明过程．1.求曲线y=x 3 -3x 2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周生成的旋转体体积．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10曲线y=x 3 -3x 2与x轴围成的平面图形如图所示，于是所求旋转体的体积为：2.证明：，(-∞＜x＜+∞)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[证明] 令，于是，令f(x)=0，得驻点：x=0；又x∈(-∞，+∞)；从而可知，f"(x)在(-∞，+∞)内为单调递增函数．因为f"(0)=0，故x＜0时，f"(x)＜0，f(x)单调递减；x＞0时，f"(x)＞0，f(x)单调递增；进而知f(x)在x=0处取得最小值，且最小值为f(0)=0，那么即得，对任意的x∈(-∞，+∞)，有：f(x)≥0，即：．1。
2022年广东省专插本考试《高等数学》真题+答案
广东省2022年普通学校专升本真题高等数学一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个符合题目要求)1.若函数f (x )={x +1,x ≠1a,x =1,在 x ≠1处连续，则常数a=（ ）A.-1B.0C.1D.22.lim x→0(1−3x )1x=（ ） A.e−3B.e 13C.1D.e 33.lim x→0u n =0是级数∑u n ∞n=1收敛的（ ） A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 4.已知1x 2是函数f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx =+∞1（ ）A.2B.1C.-1D.-25.将二次积分I =∫dx 10∫f(x 2+y 2)dy 1x 化为极坐标系下的二次积分，则I=（ ）A.∫dθπ40∫f(p 2)dp secθ0 B.∫dθπ40∫pf(p 2)dp cscθ0C.∫dθπ2π4∫f(p 2)dp secθ0 D.∫dθπ2π4∫pf(p 2)dp cscθ0二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.若x →0时，无穷小量2x 与3x 2+mx 等价，则常数m =7.设{x =5t −t 2y =log 2t ，则dy dx |t=2=8.椭圆x 24+y 23=1所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体积为9.微分方程e −x y′=2的通解是10.函数Z =x ln y 在点（e ，e ）处的全微分dz |（e ,e ）= 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11.求极限limx→1x 3+3x 2−9x+5x 3−3x+212.设y =arc tan x 2，求 d 2ydx 2|x=113.设函数f (x )={ x 2sin 1x +2x,x ≠00, x =0 ,利用导数定义求f′(0).14.求不定积分2x √1−x 215.已知∫tanxdx =−ln |cos x |+C ，求定积分∫xsec 2π40xdx16.设Z =f(x,y)是由方程Z =2x −y 2e z 所确定的隐函数，计算ðzðx −y ðzðy 17.计算二重积分∬cosxdσD ，其中D 是由曲线y =sinx(o ≤x ≤π2)和直线 y =0,x =π2围成的有界闭区域。
专升本（国家）-专升本高等数学（一）分类模拟多元函数微积分学（三）.doc
专升本（国家）-专升本⾼等数学（⼀）分类模拟多元函数微积分学（三）.doc专升本⾼等数学(-)分类模拟多元函数微积分学(三)⼀、选择题dz1、⼆元函数z=(l+2x)3y ,则⽯等于 ____________A. 3y (l+2x)3y_1 B ? 6y (l+2x) 3y_1C ?(l+2x)3y ：Ln(：L+2x)D ? 6y (l + 2x)3ydz2^ 设z=cos (x 3y 2),则⼱，等于 ___________A. 2x 3ysin (x 3y 2) B ? -sin (x'y ：) C ? ⼀2x 3ysin (x 3y 2) D ? 3x 2y 2sin (x 3y 2)剽3> z=5xy ,则处 IA ?50B ?25 C. 501n5 D. 251n5] afgQ4、已知f (xy, x+y) =x 3+y 3,则 “⼯°，等于A ? 3y 2-3x-3yB ? 3y 2+3x+3y C. 3x 2-3x-3yD ? 3x?+3x+3y(In y)x dr ⼗亍(In y)^{dy(In yY\n (In y)dz+丄(In y)T }dyC ?(：Lny) x ln (lny) dx+ (lny) x_1dy(In v )JIn (In ^y)dr+ —(In y)T ~[dy D . y6、函数z=x 2+y 3在点(1, -1)处的全微分dz | (i, -i )等于 ____________A. 2dx-3dyB. 2dx+3dyC. dx+dy D ? dx-dyA. (1GW2 B ?5、设⼄=(lny) J 贝Ijdz 等于 _________7、设f(x, 为 _________ y)为⼆元连续函数, p (D )drdy = J dj*jV (x ，5?)dx 则积分区域可以表⽰(L2)等于A.B.c.D?8^设f(x, y)为连续函数，⼆次积分A J^cLrJ f(x.y)dyc.W f(x,y)dx交换积分次序后等于^cU?J^/(jr ，5r)dy (dx|" /(\r^y)dyB.D. J 。
2017浙江专升本高等数学真题答案
3
1 0
f ( x 2)dx f (t )dt f (t )dt f (t )dt f ( x)dx f ( x)dx
1 1 0 1 0 1 0
1
0
1
0
1
(1 x 2 )dx e x dx
1
(x
1 3 x ) 3
0 1
18、解：原式 x arcsin x x
1 1 x2
dx
x arcsin x
1 1 d (1 x 2 ) 2 1 x2
x arcsin x 1 x 2 C
19、解：令 t x 2, 则 x t 2 当 x 1 时， t 1 ，当 x 3 时， t 1 则
2 a 2 ................................................ ○ 1 ○ 2 可知： a 2, b 1 则联立○ 21、解： lim n
an 1 n 1 lim Fra bibliotek n an n
收敛半径 R 1 ，收敛区间 (1,1)
0,
1 ，无极小值. 2
则 f ( x ) 的单调增区间 ,0 ，单调减区间 0, ，极大值 f (0)
1 2 又 f ' ' ( x) ○ 2
x x e 2 xe 2 ( x)
2 2
1 2 e (1 x 2 ) 2
即微分方程： xy ' y x 即 y '
1 y 1 x
y e
1 dx x
( 1 e
2021年河南专升本《高数》真题(含答案)
学习攻略—收藏助考锦囊系统复习资料汇编考试复习重点推荐资料百炼成金模拟考试汇编阶段复习重点难点梳理适应性全真模拟考试卷考前高效率过关手册集高效率刷题好资料分享学霸上岸重点笔记总结注：下载前请仔细阅读资料，以实际预览内容为准助：逢考必胜高分稳过2021年河南省普通高等学校 专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号 一 二 三 四 五 总分 分数503050146150注意事项：答题前：考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上 本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效选题分析：易（42分）中（73分）难（35分）选择：1/2/4/6/8/9/10/12/15/18/21 填空：26/28/30/32/37 计算： 41/43 应用： 证明：选择：3/5/7/11/13/14/16/17/20/22/ 23/24/25 填空：27/29/31/34/35/36/38/39 计算：42/44/46/48/50 应用： 证明： 53选择： 19 填空： 33/40 计算： 45/47/49 应用： 51/52 证明：一、选择题（每小题2分，共50分）在每小题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 1.对称区间上()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，下列函数是奇函数的是（ ）A.4()f x第 1 页，共 18 页2/25B.()()g x f x +C.()()g x f xD.()g x −− 2.极限0tan 3lim2x xx →=（ ）A.32B.23C.0D.∞3.当+∞→x 时，下列变量不是无穷大量的是（ ）A.42132++x xB.x lgC.x3 D.x arctan4.00,cos ,sin 2)(<>+=x x x x xx x x f ，则0=x 处是)(x f 的（ ） A.无穷间断点B.可去间断点C.跳跃间断点D.振荡间断点 5.极限)4421(lim 22−−−→x x x 的值为（ ）. 第 2 页，共 18 页2/25A.41 B.21 C.41−D.∞6.下列关于函数)(x f y =在点0x 的命题不正确的是（ ）. A.可导必连续 B.可微必可导 C.可导必可微 D.连续必可导7.设函数1212n n n n y x a x a x a −−=+++⋅⋅⋅+，则()n y =（ ）. A.n aB.!nC.0D.!n n a8.设()ln f x =，则=′)1(f （ ）.A.2B.1C.12 D.149.设函数)(x f y =在点1=x 处可导，且21()(1)lim31x f x f x →−=−，则(1)f ′=（ ）. A.2 B.3 C.6 D.12第 3 页，共 18 页2/2510.曲线)4(3−=x x y 在区间)4,(−−∞内的特性是（ ）.A.单调递减且为凸B.单调递减且为凹C.单调递增且为凸D.单调递增且为凹11.下列等式中正确的是（ ）. A.2211=∫−dxB.21112π=+∫−dx x C.21112π=−∫−dx xD.)cos (sin 11=+∫−dx x x12.已知∫+=C x F dx x f )()(，则∫=dx x f x)(ln 1（ ）. A.)(ln x F B.C x F +)(ln C.C x xF +)(ln D.C x F x +)(ln 113.下列式子正确的是（ ）.A.)()(x f dx x f dxd=∫ B.)())((x f dx x f d =∫C.()()df x dx f x C dx′=+∫ D.)()(x f dx x f =′∫14.平面230x y +−=的位置是（ ）.A.平行于xOy 面第 4 页，共 18 页2/25B.平行于z 轴，但不通过z 轴C.垂直于z 轴D.通过z 轴15.方程222222x y z a b c+=所表示的曲面为（ ）. A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C.椭球面 D.椭圆柱面16.下列广义积分中发散的是（ ）.A.22dx x −∫B.∫−−111xdxC.∫+∞−0dx e x D.∫+∞22)(ln 1dx x x17.常数0a >，2(aax dx −+=∫（ ）. A.0 B.3aC.332a D.323a 18.下列方程中为一阶线性微分方程的是（ ）.A.2()y xy xy ′′+=第 5 页，共 18 页2/25B.2()0xy y y ′′++= C.2x y y x ′+= D.20y y y ′′′−+=19.已知12y x =是2y y x ′′+=的解，2x y e −=是2x y y e −′′+=的解，则微分方程22x y y x e −′′+=+的通解是（ ）.A.2xx e −+B.12cos sin 2x C x C x x e −+++C.12cos sin x C x C x e −++D.12cos sin 2C x C x x ++20.若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处具有一阶及二阶偏导数且取极小值，则（ ）.A.0000(,)(,)0x y f x y f x y ′′== B.若00(,)x y 是D 内唯一极值点，则必为最小值点C.2000000(,)(,)[(,)]0xxyy xy f x y f x y f x y ′′′′′′⋅−>，且00(,)0xx f x y ′′> D.2000000(,)(,)[(,)]0xxyy xy f x y f x y f x y ′′′′′′⋅−>，且00(,)0xx f x y ′′< 21.设222z x xy y =−−，则2(1,2)z x y ∂=∂∂（ ）. A.1 B.2 C.2− D.1−22.函数(,)2f x y xy =在点(1,2)−沿(2,1)l →=−方向的变化率为（ ）.第 6 页，共 18 页2/25A.B.10−C.−D.10 23.二次积分3300(,)ydy f x y dx −=∫∫（ ）.A.3303(,)x dx f x y dy −∫∫B.3300(,)dx f x y dy ∫∫C.330(,)xdx f x y dy −∫∫D.330(,)yxdx f x y dy −−∫∫24.下列级数中绝对收敛的是（ ）.A.n ∞= B.1(1)1nn n ∞=−+∑C.n ∞= D.11(1)(1)(3)n n nn n ∞+=−++∑ 25.下列说法正确的是（ ）.A.一个收敛的级数添加有限项后仍收敛，且其和不变B.一个发散的级数减少有限项后可能收敛C.一个收敛的级数加上另外一个发散的级数一定收敛D.一个收敛的级数减去另外一个发散的级数一定发散第 7 页，共 18 页2/25二、填空题（每小题2分，共30分） 26.函数ln(1)yx =++的连续区间是 .27.若()f x 为可导的奇函数，且(2)3f ′=，则(2)f ′−= .28.曲线ln y x =在点 时切线与连接曲线上两点(1,0)，(,1)e 的弦平行. 29.20211lim(1)x x x+→∞−= .30.曲线2211x y x +=−的垂直渐近线是 .31.设曲线方程2cos sin 22sin cos 2x y θθθθ=+ =+ （θ为参数），求0dydx θ== .32.不定积分sin x xdx =∫. 33.{}2max ,2x x dx −=∫.34.2(0)x d x dx >=∫ . 35.函数4xxy e e−=+的极值点坐标是 .36.曲面53ze z xy −+=在点(2,1,0)处切平面方程是 . 37.设二元函数22z xy y =+，则(3,1)dz = .38.函数ln sin y x =在区间2[]33ππ，上满足罗尔定理的ξ的值是 .39.L 为正向圆周22(1)4x y −+=，33(2)()Ly x dx x y dy ++−=∫. 40.将函数24()65f x x x =−+展开为x 的幂级数为 . 三、计算题（每小题5分，共50分） 41.求极限0ln(15sin )lim1cos x x x x→+−.第 8 页，共 18 页2/2542.若极限23lim()01x x ax b x →∞+−+=−，求,a b 的值. 43.设函数arctany =dy dx 及1x dy dx=.44.求曲线23ln(1)y x =++的拐点及凹凸区间. 45.计算不定积分.46.设2cos ,0()21,0x x f x x x π ≥ = +<，21(1)f x dx −−∫. 47.过点(3,2,0)−−且与直线21:111xy z L −−==−垂直相交的直线方程. 48.设二元函数2arcsin()3x z xy y =−，求2z zxy y x y∂∂−∂∂.49.计算二重积分yxDI edxdy =∫∫，其中积分区域D 由直线y x =，0y =，3x =围成.50.判断级数11335(21)5!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅−∑的收敛性. 四、应用题（每小题7分，共14分） 51.过坐标原点作曲线xy e −=的切线，求：（1）该切线的方程；（2）由曲线、切线及y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积.52.质量为1g 的质点受外力作用作直线运动，该外力和时间成正比，与质点运动的速度成反比.在10s t =时，速度100cm/s v =，外力22g cm/s F =⋅，问30s t =时，质点的速度是多少？8.062≈，计算结果取整数，注：F ma =，a 为加速度） 五、证明题（每小题6分，共6分）第 9 页，共 18 页2/2553.证明多项式3()26f x x x a =−+在区间[1,1]−上至多有一个零点，其中a 为任意实数.2021年河南省普通高等学校 专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学【参考答案】一、选择题（每小题2分，共50分） 1.【答案】C【解析】由函数奇偶性结论可得，奇函数×偶函数=奇函数，故选C. 2.【答案】A 【解析】本题考察求“00”型极限，利用等价代换可得：00tan 333lim lim 222x x x x x x →→==. 3.【答案】D【解析】lim arctan 2x x π→+∞=≠∞，根据无穷大量的定义知，故选D.4.【答案】C【解析】0lim ()lim cos 0x x f x x x ++→→==，00sin lim ()lim (2)1x x xf x x x−−→→+，在0x =左右极限存在且0lim ()lim ()x x f x f x −+→→≠，所以0x =为跳跃间断点，故选C. 5.【答案】A【解析】本题考察求“∞−∞”型极限，2222214211lim()lim lim 24424x x x x x x x x →→→−−===−−−+，故选A.6.【答案】D【解析】根据可微 可导 连续的关系，知连续不一定可导，故选D. 7.【答案】B【解析】本题考查高阶导数，由结论知，()!n y n =，故选B. 8.【答案】D【解析】1()2(1)f x x ′=+，1(1)4f ′=，故选D.9.【答案】C 【解析】211()(1)()(1)1limlim (1)31(1)(1)2x x f x f f x f f x x x →→−−′===−−+，所以(1)6f ′=，故选C. 10.【答案】B【解析】343(4)4y x x x x =−=−，32412y x x ′=−，在(,4)−∞−内0y ′<，所以曲线在(,4)−∞−内单调递减；21224y x x ′′=−，在(,4)−∞−内0y ′′>，所以曲线在(,4)−∞−内是凹函数，故选B.11.【答案】C【解析】根据定积分几何意义，由被积函数0)y y ≥知定积分1−∫表示以原点为圆心、1为半径的上半圆面积，即1122S π−==∫圆，故选C. 12.【答案】B【解析】根据已知条件，由不定积分第一换元法得：1(ln)(ln )(ln )(ln )f x dx f x d x F x C x ==+∫∫，故选B.13.【答案】A【解析】利用微积分互逆运算：B 选项(())()d f x dx f x dx =∫，C 选项()()df x dx f x dx ′′=∫，D 选项()()f x dx f x C ′=+∫，故选A.14.【答案】B【解析】平面230x y +−=法向量(2,1,0)n →=，z 轴方向向量(0,0,1)s →=，0n s →→⋅=，即平面230x y +−=与z 轴平行；代入原点，得20030⋅+−≠，即平面不经过z 轴；故选B. 15.【答案】B【解析】方程222222x y z a b c +=为椭圆锥面的方程式，故选B.16.【答案】A【解析】2020220220ln ln dxdxdx x x xx x −−−=+=+∫∫∫，不存在，即发散，故选A. 17.【答案】D【解析】2233022(033aaaa aaax dxx dx x a −−−+=++=∫∫∫，故选D. 18.【答案】C【解析】根据微分方程阶和线性的定义，可得2x y y x ′+=为一阶线性微分方程，故选C. 19.【答案】B【解析】根据二阶线性微分微分方程的性质可得，1222xy y x e−+=+为微分方程22x y y x e −′′+=+的解；设二阶线性齐次微分方程为0y y ′′+=，特征方程为210r +=，r i =±，得二阶线性齐次微分方程的通解为：12cos sin yC x C x +，故微分方程22x y y x e −′′+=+的通解为12cos sin 2x C x C x x e −+++，故选B.20.【答案】C【解析】(,)f x y 在点00(,)x y 处有一阶、二阶偏导数，且取得极小值，根据二元极值的充分条件知选项C 正确，故选C.21.【答案】C【解析】22z x y x ∂=−∂，22z x y ∂=−∂∂，2(1,2)2zx y ∂=−∂∂，故选C.22.【答案】A【解析】与(2,1)l →=−同向的单位向量e →=，又因为(1,2)4x f ′−=，(1,2)2y f ′−=−，故(2,1)(,)4(2)f x y l −∂=+−=∂，故选A. 23.【答案】C 【解析】由330(,)ydy f x y dx −∫∫知积分区域D 表达式为：0303y x y≤≤≤≤− ，交换积分次序后积分区域D 可表示为：0303x y x ≤≤ ≤≤−，即33330000(,)(,)y x dy f x y dx dx f x y dy −−=∫∫∫∫，故选C.24.【答案】A【解析】根据交错P 级数结论，A 选项为绝对收敛；B 、C 、D 选项为条件收敛；故选A. 25.【答案】D 【解析】根据级数的性质：收敛级数加减发散级数，结果为发散，选项D 正确，选项C 错误；选项A ：改变收敛级数的有限项，不会改变数列的收敛性和极限值，但级数的和会发生变化；选项B ：增加、减少级数的有限项不改变级数的敛散性，故一个发散的级数减少有限项后仍为发散；故选D.二、填空题（每小题2分，共30分） 26.【答案】(1,3)−【解析】定义域：29010x x −>+> ，331x x −<< >− ，(1,3)x ∈−，初等函数在其定义域内都连续，故连续区间为(1,3)−. 27.【答案】3【解析】求导后奇偶性发生改变，即()f x ′为偶函数，则(2)(2)3f f ′′−==.28.【答案】(1,ln(1))e e −−【解析】由题意知曲线在该点的斜率为：10111ke e −==−−，所以111y x e ′==−，解得1x e =−，代入ln y x =得ln(1)y e =−；故该点(1,ln(1))e e −−. 29.【答案】1e −【解析】应用第二重要极限，原式12021()(2021)lim 11lim[1()]x x x x xx x e e x→∞+−⋅−⋅+−−→∞+−==.30.【答案】1x =【解析】2121lim 1x x x →+=∞−，故1x =为函数2211x y x +=−垂直渐近线. 31.【答案】1 【解析】/2cos 2sin 2/2sin 2cos 2dy dy d dxdx d θθθθθθ−==−+，0212dy dx θ===. 32.【答案】cos sin x x x C −++【解析】sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =−=−+=−++∫∫∫. 33.【答案】3【解析】1x ≥时，()max{,2}f x x x x =−=；1x <时，()max{,2}2f x x x x =−=−.{}122122201111max ,2(2)(2)322x x dx x dx xdx x x x −=−+=−−=∫∫∫.34.【答案】2cos x x【解析】变限积分求导，220()2cos x d x x x dx ′=∫. 35.【答案】(ln 2,4)−【解析】x R ∈，24140x x xxe y e ee−−′=−==，解得：ln 2x =−， ln 2x −∞<<−，0y ′<，则y 在(,ln 2)−∞−单调递减； ln 2x >−，0y ′>，则y 在(ln 2,)−+∞单调递增；所以ln 2x =−为极小值点，ln 2(ln 2)144242y e e −−−=+=⋅+=， 故极值点坐标是(ln 2,4)−. 36.【答案】2440x y z +−−=【解析】令(,,)53z F x y z e z xy =−+−，x F y ′=，y F x ′=，5zzF e ′=−，则曲面在(2,1,0)处法向量为(1,2,4)n →=−，切平面方程为(2)2(1)4(0)0x y z −+−−−=，即2440x y z +−−=.37.【答案】(3,1)28dz dx dy =+【解析】22z xy y =+，2x z y ′=，22y zx y ′=+，即2(22)dz ydx x y dy =++，故(3,1)28dz dx dy =+.38.【答案】2π【解析】令cos ()0sin x f x x ′==，又因为2[]33x ππ∈，，解得2x π=，则2πξ=. 39.【答案】4π−【解析】由格林公式得，33(2)()()(12)LDDQ Py x dx x y dy dxdy dxdy x y∂∂++−=−=−∂∂∫∫∫∫∫4Ddxdy S π=−=−=−∫∫圆.40.【答案】101(1)5nn n x ∞+=−∑，(1,1)x ∈− 【解析】2100441111()65(5)(1)51155n nn n n x f x x x x x x x x x x ∞∞+=====−=−=−−+−−−−−−∑∑11(1)5nn n x ∞+=−∑，(1,1)x ∈−. 三、计算题（每小题5分，共50分）41.【解析】原式20025sin 5lim lim 1011cos 2x x x x x x x →→==−.42.【解析】22233lim()lim11x x x x ax ax bx bax b x x →∞→∞++−++−−+=−− 2(1)()3lim 01x a x a b x bx →∞−+++−=−，根据有理分式结论，得10a −=，0a b +=， 即1a =，1b =−.43.【解析】dydx =，114x dy dx==. 44.【解析】函数定义域为R ，对函数求导221xy x ′=+，2222222(1)2222(1)(1)x x x x y x x +−⋅−′′==++， 令0y ′′=，即2220x −=，得11x =−，21x =，综上所述：凹区间为(1,1)−，凸区间为(,1)−∞−，(1,)+∞；拐点(1,3ln 2)−+，(1,3ln 2)+. 45.t =，则31x t =−，23dx t dt =，原式22231111133()3[(1)(1)]11111t dt t t dt dt dt t dt d t t t t t t −+−+−+++++++∫∫∫∫∫∫2112333133(ln 1)(1)3(1)3ln (1)1)22t t t C x x x C =−+++=+−+++++.46.【解析】令1x t −=，当1x =−，2t =−；2x =，1t =；2101231212212142(1)()(1)cos ()sin2323f x dx f t dt t dt tdt t t tππππ−−−−−==++=++=+∫∫∫∫.47.【解析】令21111x y z t −−===−，则21x ty t z t ==+ =−+，设直线21111x y z −−==−与所求直线的交点为(,2,1)t t t +−+，过点(3,2,0)−−的所求直线的方向向量(3,4,1)s t t t →++−+，直线21111x y z −−==−的方向向量为1(1,1,1)s →=−，又两直线垂直，所以1s s →→⊥，即10s s →→⋅=，则3410t t t ++++−=，2t =−，所以(1,2,3)s →=，故所求直线方程为32123x y z++==. 48.【解析】23z x x y ∂=+∂223z x y y ∂=−+∂则22222((33z z x x xy y xy y x y y y ∂∂−=+−−+∂∂222233x x x +.49.【解析】333230000001[()](1)(1)2yy y xxxxxDy I e dxdy dx e dy x e d dx x e dx e x x ====−=−∫∫∫∫∫∫∫9(1)2e −. 50.【解析】由比值判别法得111335(21)(21)5(1)!lim lim1335(21)5!n n n n nn n n u n n u n ρ++→∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅− 11335(21)(21)5!212lim lim 15(1)!1335(21)5(1)5n n n n n n n n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅++=⋅==<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+， 所以幂级数11335(21)5!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅−∑收敛. 四、应用题（每小题7分，共14分）51.【解析】（1）设切点为00(,)x y ，由题意得000000x y e k x x −==−切，根据导数的几何意义， 0x x x k y e−=′==−切，即000x x e e x =−，解得01x =−，把01x =−代入x y e −=及y ′中得0y e =， k e =−切，所以曲线过原点的切线方程为y ex =−.（2）由（1）得，切线与曲线交点为(1,)e −即0222023021111111[()()]()()2362x x V e ex dx e e x e πππ−−−−−=−−=−−=−∫. 52.【解析】由题知，t F k v =，将10t =，100v =，2F =代入得20k =，则20tF v=，又F ma =，所以20dv tdt v=，解得2220v t C =+，将10t =，100v =代入得8000C =，则22208000v t =+，将30t =代入得226000v =，161v≈.五、证明题（每小题6分，共6分）53.【解析】已知3()26f x x x a =−+，22()666(1)f x x x ′=−=−， 在区间[1,1]−上()0f x ′≤，故()f x 在区间[1,1]−单调递减， 因此3()26f x x x a =−+在[1,1]−至多有一个根，即3()26f x x x a =−+，在[1,1]−至多有一个零点，其中a 为任意常数.。
2022年贵州省专升本《高等数学》真题及答案(回忆版)
2022年贵州省普通高校专升本招生统一考试《高等数学》真题及答案注:收集资料未完整，且同一道试题各种版本，如果有试题错误问题，请联系群主进行修改。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，本试卷上答题无效。
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注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码的姓名、准考号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题部分必须使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
非选择题部分必须使用0.5毫米黑字迹签字笔，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、禁止使用涂改液、涂改胶条。
第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）1.已知函数x e x f 331)(-=，则=)31(''f （D ）.A.e 3 B.e 3- C.3e D.e 3解答：一阶导：x x e e x f 33)3(31)('---=-⋅=，二阶导x x e e x f 333)3()(''--=-⋅-=故ee ef 33331(''1313===-⋅-2.T 是)(x f 的一个周期，⎰=T x x f 0100d )(，求⎰+=T a a dx x f )(（A ）.A.100B.a 100C.a -100D.a+100解答：利用结论⎰⎰+=p p a a dx x f dx x f 0)()(，故100)()(0⎰⎰==+T T a a dx x f dx x f 3.)(')')((x f x df =⎰7.0)(''0=x g 是拐点))(,(00x g x 的__必要非充分___条件.8.=+∞→)()1(ln lim n a f n a f n （C ）A.∞+B.a C )()('a f a f . D.)(a f 解答：当∞→n 时，0)(1(ln →+a f n a f ，故本极限属于0⋅∞，则n a f n a f na f n a f a f n a f n 1)(ln )1(ln lim 1)(1(ln lim )()1(ln lim n n n -+=+=+∞→∞→∞→)()(')1(')1(1lim 11()1('1(1lim n 22n a f a f n a f na f n n n a f n a f =+⋅+=--⋅+⋅+=∞→∞→洛9.x x x x f βα++=23)(在1=x 处取得极值-2，求βα，解答：在1=x 处取得极值-2，故21111)1(23-=++=⋅+⋅+=βαβαf ……①求导：βα++=x x x f 23)('2，则得：0231213)1('2=++=+⋅+⋅=βαβαf ……②故联立方程得：3,0-==βα.10.260160sin ,sin S dx x x S dx x x ==⎰⎰ππ，比较大小正确的是（）A.216S S <<π D.126S S <<π解：令x x x f sin )(=，1)(=x h ，x x x sin )(g =，6,0(π∈x 由于6,0(π∈x 时，0cos 1)'sin (>-=-x x x ，即0)0(sin )(=>-=y x x x y ，即x x sin >.①x x x x x x f x h sin 1sin 1)()(-=--=-，即当6,0(π∈x 时，x x x xx x f x h sin 1sin 1)()(-=--=->0，所以)()(x f x h >16060sin 61S dx xx dx =>=⎰⎰πππ②x x x x x x h x g sin sin 1sin )()(-=-=-，故当)6,0(π∈x 时，0)()(>-x h x g ，即)()(x h x g >61sin 60260πππ=>=⎰⎰dx S dx x x 综上所属，216S S <<π.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题(本题共10小题，每小题5分，共50分）11.求)2cos(arc y -=x 的定义域_]3,1[___.12.=++∞→xx x x 4sin 1214lim 2_____8_____.13.41)1()21(lim 0=-+→x f x f x ,则=)1('f ___81_______.14.一个圆球的半径为r，受热后半径为dr r +，求球增加的体积V=__________.15.)cot ln(csc y x x -=，则='y _____x csc _____.16.求函数2x xe y -=在区间),(+∞-∞上的最大值____ee 22______.17.已知函数x arctan y =定义在]1,0[上，则满足拉格朗日的=ξ___14-π_____.18.x xey -=，拐点____)2,2(2e ______.19.=+⎰-dx x e x )1(33||______223-e ____.20.由4-=x y ，0=y ，10=x 围成的阴影部分绕x 轴旋转得到的体积=V ____π18______.三、计算题(本题共4小题，每小题7分，共28分）21.12111(lim n n n n n ++++++∞→ 解：由于11121111+⋅≤++++++≤+⋅n n n n n n n n n 且1lim 1lim =+=+⋅∞→∞→n n n n n n n n ，11lim 11lim =+=+⋅∞→∞→n n n n n n ，故由夹逼定理可得：112111(lim =++++++∞→nn n n n 22.求由方程22)(cos 32=+--y ey x x 所确定的隐函数的导数'y .解：求导的：0'32)'1()(sin 22=⋅+⋅--⋅--y y x e y y x x 化简得：)(sin 3)(sin 2'22y x y y x xe y x -+-+=23.⎰⎰⎰--=-=-x x x dx x dx x x 21)2(ln 21)2(ln 21)2(ln 222分部⎰⎰-++--=-+---=dx x x x x dx x x x x 242(21)2(ln 2124421)2(ln 21222C x x x x x +-----=|2|ln 241)2(ln 212224.)(lim 91lim 3131lim 31300220203333x d e dx x e dx e x dx e b x b b x b x b b x --=⋅==⎰⎰⎰⎰-+∞→-+∞→-+∞→-+∞91)(lim 91|lim 910033=--=-=-+∞→-+∞→e e e x b b x b 四、证明题（10分）25.证明:当0≥x 时，x e x x ≤++122成立.证明：①当0=x 时，此时x e x x =++122成立.②当0>x 时，令12)(2++-=x x e x f x ，),0[+∞∈x 求导：1)('+-=x e x f x ，1)(''-=x e x f 由0>x 可知，01)(''>-=xe xf ，此时)('x f 单调递增所以),0(+∞∈∀x ，有011)0(')('>=+-=>e e f x f 故可知函数)(x f 在),0[+∞上单调递增，由此0)0()(=>f x f 即证122++>x x e x.综述所述，当0≥x 时，x e x x ≤++122成立.五、应用题（12分）26.已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-=-1,1,1)2cos()(11x x x x x a x f x π在1=x 处极限存在，求a .解：由函数)(x f 在1=x 处极限存在，可知：)(lim )(lim 11x f x f x x +-→→=即：212)2(sin lim 1)2cos(lim )(lim 111ππππa x a x x a x f x x x =-⋅-=-=---→→→洛ee e e e e x xf xx x x x x x x x x x x x x 1lim )(lim 111lim 1ln lim ln 11lim ln lim 1111111111=======-----→→+→+→+→-+→++洛可得：e a 12=π，即πe a 2=.。
专升本(国家)-专升本高等数学(二)分类模拟一元函数微分学(三).doc
专升本高等数学（-）分类模拟一元函数微分学（三）一、选择题丄、若下列各极限都存在，其中等式不成立的是2、已知函数f (X)在点Xo 处可导，Hf* (x 0)=2.则4T h等于A. 0 B ・ 1 C. 2 D ・ 43、 设f (x)在X 。
处不连续，则A. f (x 0)必存在B. f 1 (x 0)必不存在 ________________lim/(jr)lim /Xx)C. L 心必存在 D. TF 、 必不存在4、 椭圆x 2 + 2y 2=27上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为 _________丄 丄.A ・-1B ・ 2 C. 2 D ・ 15、 设 y=x _3+3,则 y ，等于 _______A ・—3x —°B ・ 一3厂2C ・ 3x -4D ・-3x _4 + 3 6、 设£(x)=cos2x,贝Ijf 1 (0)等于 ____________ A. -2 B. -1 C ・ 0 D ・ 2 7、设函数f (x)=e _x2,贝Ijf n (x)等于 ____________A. e _x2 (2X 2-1)B. e 2 (1-2X 2)二、填空题则f ‘（o ）=9、曲线y=yx 在点（o, 1）处的切线的斜率k 为 _______A.JClim 空二^=心) B L& 工_・0c.liH /(a+2A)-/(c2)h=f (a)limD.A TC ・ 2e 2 (2X 2-1) D. 2e 2 (l-2x 2)/（龙）=（岛+1）10、设函数匸 1设函数，_1十2巴则W ______ •设函数y=sin In (x3),则y，= ___________ .设函数y=cos (e_x),则y f (0)= ____________设函数y=e cosx,则y”= __________y=^设函数占设函数f (x)=x3lnx,则f n (1)= ____________设函数y(r_2)=a x+x a+a a (a>0, a/1),则yE= _________________设函数y=e2x,则y n (0)= __________ ・设函数y=cos2 (-x),贝ljdy= __________ •解答题设函数f (x)在点x=0处可导,且f 1 (0) =1,求3云一2工、工£0,. 郸nox+氛工＞°在沪0处可导，求“b的值.(设函数心)设函数/(7^)=sinx,y=ln设函数2—w2+龙则f”(i)= _________f(x)=讨论函数工＞2在点x=1, x=2处的连续性和可导性.求下列函数的导数.26、27、28、设函数y设函数丄十広,求w・1 + JCy= arctan ■, _设函数1—工，求w.29、设函数》=4+分• Sm［nX，求八求下列隐函数的导数.30、求由方程e y=xy所确定的隐函数y=y (x)的导数血•31、设y=y (x)由方程e x-e y=sin (xy)所确定，求归用对数求导法求导数.32>设函数y= (lnx) x,求y'・33、设函数y=(tanx)sinx,求y —求下列函数的高阶导数.34、设函数y=xJ_nx,求y".=工35、设函数,求y”・36、设函数y=(丄+x?) arctanx,求y”・37、设函数』一由(工+丿1十工)求求微分.38、设函数y=x°sinx,求dy・39、设函数y=lm(l-x2),黍dy.40、设函数y=JXcosx,求dy.Intan 寻 +41、设函数/ ,求dy.答案：一、选择题z=O1> C ［解析］利用导数f(x)在点X。
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《高等数学专升本》课程辅导三
一、 自学内容
《高等数学应用基础》教材P79---P82：凑微分法（第一换元法）
二、 自学思路提示
不定积分基本公式可以推广，如：cxxdxsincos可推广为
cxxxd3sin33cos
、cxxdx6sin66cos，cxdxx222sincos即
cuudusincos；cedxexx可推广为cexdexx
55
5
、
cexdexx
88
8
，cexdexxsinsinsin即
cedueuu
等等。
一般的积分xdx5cos的d后面没有5，需要我们凑微分xd5，所以
有：xdx5cos=xxd55cos51=cx5sin51（思考：为什么有51？）；同理
cexdexdedxexxxx2323232331)23(313
3
1
三、 自学思考题
1、dxx)59sin(
2、dxx2)59(
3、dxxex342
四、 自学内容：分部积分法
五、 自学思路提示
不定积分分部积公式推导:
因为 vuvuuv即vduudvuvd(为什么?)
两边求不定积分: vduudvuvd
即vduudvuv
移项: vduuvudv 分部积分公式
说明:1.通过分部积分公式可把udv转为vdu;
2.当vdu比udv容易积时可以用此分式来解决积分问题.
六、举例
1．xdxln
［解］Cxxdxxxxxxxdxxxdx)1(ln1.lnlnlnln（直接用公式）
2．dxx1ln
［解］dxxxxxdxxxxxdxx1111ln11.1ln1ln
Cxxxxdxxdxxx1ln1ln111ln
（直接用公式）
3．xdxxcos
[解]Cxxxxdxxxxxdxdxxcossinsinsinsincos
（辅导：这题的关键是选择x作u，而且cosxdx=d（sinx）为什么？这时sinx就是v，
然后用公式求。如果把cosx选作x，221xdxdx，原式
=)(coscos21cos21222xdxxxxdx，会出现什么情况呢？用了分部积分公式反而
比原式繁了，做不通。所以选择合适的u、v是关键，大家可以通过看书自已体会体会。）
分析与总结：1至3题都是用分部积分法，运用分部积分法的关键是选择合适的u，
vd
．一般原则是：(1)使v容易求出；(2)新积分uvd要比原积分vud容易积出．分部积分
法运用熟练后，选取vud,的步骤是不必写出的（不必象书上那样写）．
七、 讨论
谈谈哪些类型题适合用分部积分的方法。
辅导老师 马萍
2013．3．29