1997年数学二试题答案与解析

+u
=
y2
− 2xy −3x2 x2 − 2xy
=
u2 − 2u −3 1− 2u ,
即
x
du dx
=
−
3(u2 −u −1)
2u −1
解之得 u2 −u −1= Cx−3 即
( ) y2 − xy − x2 = Cx−1 或xy2 − x2 y − x3 = C .
七、 已知 y1 = xex + e2x , y2 = xex + e−x , y3 = xex + e2x − e−x 是某二阶线性非齐 次微分方程的三个解，求此微分方程。 解法 1 由题设知，e2x与e−x 是相应齐次方程两个线性无关的解，且 xex 是 非齐次方程的一个特解，故此方程是
y'' − y' − 2 y = f (x)
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将 y = xex 代入上式，得
( ) ( ) f (x) = xex '' − xex ' − 2xex = 2ex + xex − ex − xex − 2xex
2 y − y2 tan x + etan x = 5,
两边对 x 求导得，
2 dy − 2 y ⋅ dy ⋅ tan x − y2 ⋅sec2 x + etan x ⋅sec2 x = 0
dx
dx
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（C）(x0, f (x0 )) 是曲线 y = f (x) 的拐点 （D） f (x0 ) 不是 f (x) 的极值，(x0, f (x0 )) 也不是曲线 y = f (x) 的拐
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九、
λ
取何值时，方程组
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩λ24
问题转化为求极限，即
( ) a = lim
cos x
x−2
= elim ln cos x x→0 x2
= elim−tan x x→0 2 x
=
−1
e2
.
x→0
（2） 设 y = ln
1− x 1+ x2
,
则
y ''
x=0 =
答 应填 − 3 . 2
分析 y = 1 ln(1− x)− 1 ln(1+ x2).
⎡⎣
f
(x)⎤⎦
=
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2f
−f
(x)
(x),
+ 2,
f f
(x)≤ (x)>
0, 0
而 x < 0 时， f (x) = x2 > 0;
x ≥ 0 时， f (x) = −x ≤ 0
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2π
esint sin tdt
x
0
（为常数）
∫ = − 2π esint d cos t 0
∫ = 0 + 2π cos2 tesintdt > 0 0
（5）
设函数
g
(x)
=
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2x
− +
x, x 2, x
≤ >
0 0;
f
(x)
=
⎧⎪⎪⎩⎪⎨⎪−x2x,.xx
< ≥
0 0
则
g
⎡⎣
f
(x)⎤⎦
2
=
x
−
1 3!
x3
−
x
+
1 2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎜⎜⎜⎝
x
−
1 3!
x3
+
o(x3
)⎞⎠⎟⎟⎟2
−
x2
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ +
o(
x)3
=
o(
x3
)
（2） 设 在 区 间 [a,b] 上 函 数 f (x)> 0, f ' (x) < 0, f '' (x)> 0. 令
S1
=
∫b a
f
(x)dx, S2
=
f
2
2
六、
∫ = 1 e2x (2 tan x +1)− e2xdx 2
= 1 e2x (2 tan x +1)− 1 e2x + C
2
2
= e2x tan x + C
求微分方程(3x2 + 2xy − y2)dx +(x2 − 2xy)dy = 0 的通解。
解
令
y
=
xu, 则
dy dx
=
x
du dx
是函数 f (x) 的极小值点。
∫ （4） 设 F (x) = x+2π esint sin tdt, 则 F (x) x
（A）为正常数
（B）为负常数
（C）恒为零
（D）不为常数
答 应选 A
分析 由于函数 esint sin t 是以 2π 为周期的，因此，
∫ ∫ F (x)=
x+2π esint sin tdt =
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1997 年数学二试题分析
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一、 填空题
（1）
已知函数
f
(x)
=
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩(ac,os
)x x−2
,x ,x
≠ =
0 0
在
x
=
0
处连续，则
a
=
答
应填
−1
e 2.
分析 根据函数在某点处连续的定义知， a = lim(cos )x x−2 , x→0
即
B = A− A−1，
又
A−1 = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝100
−1 1 0
−−121⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.
从而 B = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝100
1 1 0
−−111⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟−⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜100
−1 1 0
−−121⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜000
2 0 0
100⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

α 1
=
(1,
2,
−1,1),
α 2
=
(2,
0, t ,
0),
α 3
=
(0,−4,
5, −2) 的秩为
2，
则t =
答 应填 3
分析
由于
r
(α 1
,
α 2
,
α 3
)
=
2,
则矩阵
⎡⎢⎢⎢⎢⎣102
2
0 −4
−1 t 5
−102⎤⎥⎥⎥⎥⎦ 的任一个三阶子
1 2 −1 阵的行列式的值为零，即 2 0 t = 0,t = 3.
+
sin x2
x
3
−
1 x
−
2 x2
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
4
+
1 x
−
1 x2
+1 x
+1⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = 1
解法 2 令 t = −x ，则
原式 = lim
4t2 −t −1−t +1 .
t→+∞
t2 −sin t
四、
= lim t→+∞
4
−
1 t
−
1 t2
−1+ 1 t .=1
1−
sin t2
t
设函数
y
=
4−t2
2
2
∫ （4）
+∞ 0
x2
dx + 4x
+8
=
答
应填
π .
8
∫ ∫ 分析
+∞ 0
x2
dx + 4x
+
8
=
+∞
dx
0 (x + 2)2 + 4
∫ u = x + 2 1
22
+∞ du 1 u2 +1
=
1 2
arctan u
+∞ 1
=
1 2
⎛⎜⎜⎜⎝
π 2
−
π 4
⎞⎠ ⎟⎟⎟
=
π 8
（5）
已知向量组
= e2x tan x + C
∫ 原式 = 1 e2x (tan x +1)2 − e2x (tan x +1)sec2 xdx
2
∫ ∫ = 1 e2x (tan x +1)2 − e2x tan x sec2 xdx − e2x sec2 xdx
2
∫ ∫ = 1 e2x (tan x +1)2 − 1 e2x tan2 x + e2x tan2 xdx − e2x sec2 xdx
2
2
y'
=
−
1
2(1−
x)
−
x 1+ x2
.
（3） ∫
( ) y''
=− 1
2(x −1)2
−
1− x2 1+ x2
2
.
y ''