2018年考研数学二真题和答案与解析
2018年考研数学二试题及答案解析
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的
1
（1）若 lim(e ax bx) x 1 ，则（ ）
x 2
2
x 0
A. a
1 , b 1 2
B. a
1 , b 1 2
x
0
f (t )dt tf ( x t )dt ax 2
0
x
（II）若 f ( x) 在区间[0,1]上的平均值为 1，求 a 的值。 （ 17 ） 设 平 面 区 域 D 由 曲 线
x t sin t (0 t 2 )与x轴围成， 计算二重积分 y 1 cos t
（8）.设 A ， B 为 n 阶矩阵，记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩， （X A. r ( A C. r ( A
Y ） 表示分块矩阵，则（ ）
AB) r ( A) B) max{r ( A), r ( B)}
B. r ( A D. r ( A
BA) r ( A)
B) r ( AT BT )
2
3 x cos t 在 t 对应点的曲率为 3 4 y sin t
（12）曲线
.
（13）设函数 z z ( x, y) 由方程 ln z e
z 1
xy 确定，则
z x (2, 1 )
2
.
（14）设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 , 3 为线性无关的向量组，若 A1 21 2 3 ,
( x 2 y)dxdy
D
（18）已知常数 k ln 2 1 ，证明 ( x 1)( x ln x 2k ln x 1) 0
2018考研数学二真题解答
2018 年全国硕士研究生统一入学考试数学二试题
题号 1-8 9-14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总分 分数
评卷人 一、
得分 选择题（每题 4 分, 共 32 分）
1.
若
lim
(ex
+
ax2
+
)1 bx x2
= 1，则
x→0
1
1
A. a = , b = −1
B. a = − , b = −1
( [x′
(t)]2
+
[y′
(t)]2)3/2
=
2 .
3
13.
设函数 z
= x(x, y) 由方程 ln z + ez−1
= xy 确定, 则
∂z ∂x
|(2,
1 2
)
=
.
【解析】原方程两边对 x 求偏导数得 1 ∂z z ∂x
+ ez−1 ∂z ∂x
= y, 于是 ∂z ∂x
=
1 z
y , 当 x = 2, y + ez−1
1
+
C
=
2
(ex
−
3
1) 2
+
√ 2 ex
−
1
+
C
3
3
∫ 故
e2x
√ arctan ex
−
1dx
=
1 e2x 2
√ arctan ex
−
1
−
1 6
(ex
−
3
1) 2
−
1
√ ex
2
−
1
+
2018年考研数学(二)真题及答案解析(完整版)
C. a 1 , b 1 2
D. a 1 , b 1 2
【答案】B
【解析】
1 lim e ax bx e e e x
2
1 x2
ln ex ax2 bx
lim
x0
x2
lim ex 2axb x0 2 x ex ax2 bx
lim ex 2axb x0 2x
x0
lim
f 0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 x2 2 x
0,
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 x2 2 x
0
D 不可导：
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 -x
2 x
1, 2
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
1 2
x
1
x x0
2
f 0 f 0
3.设函数
f
x
1, 1,
则
A. a 3, b 1 C. a 3, b 1
g
x 1b
1 1 b b
2
lim
x1
f
x g x
lim x1
f
x lim x1
g
x 1 2 a
1 a
lim
x1
f
x g x
lim x1
f
x lim x1
g
x 1 1 2 2
1 a
a
3
4. .设函数 f x 在0,1 上二阶可导，且 1 f xdx 0, 则 0
2018考研数学二真题及解析
2017年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ）2．设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1f f =-=，(0)1f =-，且()0f x ''>，则（ ） （A ）11()0f x dx ->⎰（B ）11()0f x dx -<⎰（C ）11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ （D ）011()()f x dx f x dx -<⎰⎰【详解】注意到条件()0f x ''>，则知道曲线()f x 在[][]1,0,0,1-上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当[]1,0x ∈-时，()21f x x ≤--，当[]0,1x ∈时，()21f x x ≤-，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导．所以10111()(21)(21)0f x dx x dx x dx --<--+-=⎰⎰⎰．所以选择（B ）．当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数2()21f x x =-，此时11011(),()33f x dx f x dx -=-=-⎰⎰，可判断出选项（A ），（C ），（D ）都是错误的，当然选择（B ）．希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧． 3．设数列{}n x 收敛，则（A ）当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= （B）当lim(0n n x →∞+=时，lim 0n n x →∞=(C ）当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= （D ）当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D ）是正确的． 其实此题注意，设lim n n x A →∞=，则22limsin sin ,lim(),lim(sin )sin n n n n n n n n n n x A x A x x A A x x A A →∞→∞→∞→∞==++=++=+分别解方程2sin 0,0,0,sin 0A A A A A A ==+=+=时，发现只有第四个方程sin 0A A +=有唯一解0A =，也就是得到lim 0n n x →∞=．４．微分方程2489(1cos 2)xy y e x '''-+=+的特解可设为*y =（ ） （A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++【详解】微分方程的特征方程为2480r r -+=，有一对共轭的复数根22r i =±．所以12λ=不是特征方程的根，所以对应方程2489xy y e '''-+=的特解应该设为21*x y Ae =；而222i λ=+是方程的单根，所以对应方程2489cos 2xy y ex '''-+=的特解应该设为22*(cos 2sin 2)x y xe B x C x =+；从而微分方程2489(1c o s 2)xy y ex '''-+=+的特解可设为2212***(cos 2sin 2)x x y y y Ae xe B x C x =+=++，应该选（C ）．5．设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y 都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂><∂∂，则（ ） （A ）(0,0)(1,0)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f <【详解】由条件对任意的(,)x y 都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂><∂∂可知(,)f x y 对于x 是单调增加的，对y 就单调减少的．所以(1,1)(1,0)(0,0),(1,1)(0,1)(0,0),(0,1)(0,0)(1,0)f f f f f f f f f <>><<<，只有第三个不等式可得正确结论（D ），应该选（D ）．6．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，21()()T T S t v t dt =⎰表示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该选（C ）．7．设A 为三阶矩阵，()123,,P ααα=为可逆矩阵，使得1000010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123()A ααα++=（ ） （A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）132αα+ 【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目．可知()()12312323000000(,,)010,,0100,,2002002A AP P αααααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12312323()2A A A A αααααααα++=++=+，所以可知选择（B ）．8．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．曲线2(1arcsin )y x x=+的斜渐近线为 ．解：2(1arcsin )lim lim1x x x y x x x →∞→∞+==，2lim()lim arcsin 2x x y x x x →∞→∞-==，所以斜渐近线为2y x =+． 10．设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，则202|t d ydx == ．【详解】223cos 1cos (1)sin cos ,1(1)t t t t t t d e dy t d y e t e t dt dx dx e dx e dt⎛⎫ ⎪+⎝⎭++===-++，所以2021|8t d y dx ==-． 112ln(1)(1)x dx x +∞++⎰.【详解】022000ln(1)1ln(1)1ln(1)|1(1)11(1)x x dx x d dx x x x x +∞+∞+∞+∞++=-+=-+=++++⎰⎰⎰ 12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y ydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =． 13．11tan y xdy dx x=⎰⎰． 【详解】交换二重积分的积分次序得：1111100000tan tan tan ln cos ln cos1.x y x x dy dx dx dy xdx x x x ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰14．设矩阵41212311A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭，则a = ．【详解】根据特征向量的定义，有412111121132311222A a a αλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪===+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1a =-．三、解答题 15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 33t x u u x x x x x dt e du du ++++---→→→→==== 16．（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0|x dydx=，202|x d y dx =．【详解】12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-，01|(1,1)x dyf dx='=； 2111122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d y e f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+2011122|(1,1)(1,1)(1,1)x d yf f f dx=''''=+-．17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分）已知函数()y x 是由方程333320x y x y +-+-=． 【详解】在方程两边同时对x 求导，得2233330x y y y ''+-+= （1）在（1）两边同时对x 求导，得2222()0x y y y y y '''''+++=也就是222(())1x y y y y '+''=-+令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y =；当21x =-时，20y = 当11x =时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =； 当21x =-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =． 19．（本题满分10分）设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x-→<，证明：（1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim 0x f x x-→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ⋅<，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x ξ∈⊂，使得()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）由条件0()lim 0x f x x-→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导，且(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈⊂∈⊂使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．20．（本题满分11分）已知平面区域{}22(,)|2D x y x y y =+≤，计算二重积分2(1)Dx d σ+⎰⎰ 【详解】由于积分区域关于y 轴左右对称，所以由二重积分对称性可知20Dxd σ=⎰⎰．所以2sin 2222044224620(1)(1)(cos 1)2sin cos 2sin 4(4sin 4sin 2sin )54DDx d x d d r rdrd d πθππσσθθθθθθθθθθπ+=+=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中利用瓦列斯公式，知24600013135315sin ,sin ,sin 2242864216d d d ππππππθθπθθπθθπ⨯⨯⨯=⨯==⨯==⨯=⨯⨯⨯⎰⎰⎰21．（本题满分11分）设()y x 是区间30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的可导函数，且(1)0y =．点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点()0,P Y ，法线与X 轴相交于点(),0P X ．若P p X Y =，求L 上的点的坐标(,)x y 满足的方程．【详解】曲线过点(,)P x y 的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=-，令0X =，得()()p Y y x xy x '=-； 曲线过点(,)P x y 的法线方程为1()()()Y y x X x y x -=--'，令0Y =，得()p X x yy x '=+． 由条件P p X Y =，可得微分方程y xy x yy ''-=+标准形为11ydy x y xy y dx x y x--+'===++，是个一阶齐次型微分方程． 设y u x =，方程化为11du u u x dx u -+=+，整理，得211du u x dx u +=-+ 分离变量，两边积分，得1arctan ln ln ln 2u u x C +=-+ 由初始条件(1)0y =，得1,0,0x y u ===，确定常数1C = 所以曲线的方程为1arctan ln ln 2y yx x x+=-． 22．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．23．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Q y =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭． 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵．。
2018年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
2
2
（C）当 f (x) 0 时， f (1) 0 （D）当 f (x) 0时， f (1) 0
2
2
【答案】（ D ）
【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为 x0
1 2
。
将函数
f
( x) 在
x0
1
处展开，有
2
f (x) f (1) f (1)(x 1) f ( ) (x 1)2 ，其中 1 x 。
1
ex ax2 bx1
ex ax2 bx1
x2
elim x0
ex
ax2 bx1 x2
，
x0
因此，
lim
ex
ax2
bx
1
0
lim
x
1 2
x2
ax2
bx
(x2 )
0
x0
x2
x0
x2
lim
x0
(1 2
a)x2
(1 x2
b)x
(x2)
0
1 2
a
0,1
b
0
或用“洛必达”： lim x0
ex
ax2 x2
x b 1, x 0
则 F(1) 1 a, F(0) 1 b, F(1 0) 2, F(0 0) 1,
因为函数连续，所以极限值等于函数值，即1 a 2,1 b 1 a 3,b 2 ，
故选 （D）.
4.
设函数
f
(
x)
在
[0,1]
上二阶可导。且
1
0
f
( x)dx
0 ，则
（）
（A）当 f (x) 0 时， f (1) 0 （B）当 f (x) 0 时， f (1) 0
2018年考研数学二真题
2018年考研数学二真题2018年考研数学二真题是考研数学考试中的一套真题，包含一系列的数学问题，主要涵盖代数、几何、概率与统计等数学领域。
接下来，我们将逐一讨论这些问题，帮助大家更好地理解和应对这些数学难题。
第一部分：代数（共7题）第一题：已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象关于原点对称，且有两个相异的实根x1和x2。
（1）若a+b+c=4，则a=_______。
（2）若x1=2，则a+b+c=_______。
解析：此题考查二次函数对称轴与实根之间的关系。
根据题意，已知二次函数关于原点对称，故对称轴必过原点，因此，二次函数的对称轴方程为x=0。
又根据题意，已知二次函数有两个相异的实根x1和x2，则其解必为x=0的根，即x1=-x2。
根据二次函数求解根的公式可得：x1=-b/2a=-x2。
则有b=0。
将b=0代入a+b+c=4，可得a+c=4。
根据题意，若x1=2时，则二次函数的另一个实根为x2=-2。
代入y=ax^2+bx+c中，可得4a-2c=4。
联立求解方程组，解得a=1，c=3。
所以，答案为：（1）a=1；（2）a+b+c=4+0+3=7。
第二题：设a，b为正实数，且满足a<b，则下列不等式成立的是（）。
（A）loga(b+1)>1（B）log(b+1)/loga<b（C）logb(a+1)>1（D）log(a+1)/logb<b解析：此题考查对数函数的性质。
对数函数的性质有：loga(m*n)=loga(m)+loga(n)、loga(m/n)=loga(m)-loga(n)等。
对于选项（A），我们可以进行如下推导：loga(b+1)>1等价于 a^1 < b+1即 a < b+1由a < b，得出 a < b+1，故选项（A）成立。
对于选项（B），我们可以进行如下推导：log(b+1)/loga < b等价于 log(b+1) < b*loga即 log(b+1) < loga^b由于已知a<b，那么 a^b < b^b，进而 loga^b < logb^b，所以 loga^b 还是小于log(b+1)的。
2018考研数学二真题答案解析二重积分
2018考研数学二真题答案解析：二重积分来源：文都教育在2018考研数学（二）的真题中，二重积分的题型十分新颖（第17题），难度大，文都教育的数学老师给出该题的解析：17.（本题满分10分）设平面区域D 由曲线sin ,2π1cos x t t t y t =-⎧≤≤⎨=-⎩（0）与x 轴围成，计算二重积分(2)d d Dx y x y +⎰⎰。
解：（利用形心坐标）d d d d d d d d D D D D x x y x x x y x x y x y=⇒=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 而πx =，于是()()2π0d d πd d π1cos d sin D D x x y x y t t t ==--⎰⎰⎰⎰⎰()()2π2π2200π1cos d π12cos cos d t t t t t =-=-+⎰⎰22001cos 2π22sin 2t t dt πππ+⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 2π201sin 22π2π03π2t t ⎡⎤+⎢⎥=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2π()2π2()00002d d d 2d d y x y x D y x y x y y y x ==⎰⎰⎰⎰⎰ 2π2π2200()d (1cos ).(sin )y x x t d t t ==--⎰⎰()2π2π32300(1cos )d 13cos 3cos cos d t t t t t t =-=-++⎰⎰[]()2π2π2π20001cos 23sin 3d 1sin dsin 2t t t t t t +=-+++⎰⎰ 2π+3π05π.=+=于是：()22d d 3π5π.Dx y r y +=+⎰⎰该题积分区域的上部边界曲线采用了参数方程形式，故使得这个二重积分的题型十分新颖，上述解答的思路是先不管具体的参数方程，直接化为累次积分，计算出内层积分，然后在计算外层积分时把上部曲线的参数方程代入，转化为关于t 的定积分。
考研数学历年真题2017年2018年2019年真题和答案(数学二)
目录2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (1)2018年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (8)2019年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (15)2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定的括号内。
）1.若函数10,(), 0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩0x =在处连续，则（ ） A.12ab =B.12ab =-C.0ab =D.2ab =2.设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1,0,f f f f x ''=-==->且（）则（ ）. A.1-1()0f x dx >⎰B.1-1()0f x dx <⎰C.11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ D.110()()f x dx f x dx -<⎰⎰3.设数列{}n x 收敛，则（ ）.A.n n limsin 0lim 0n n x x →∞→∞==当时，B.(lim 0lim 0n n n n x x →∞→∞==当时，C.()2lim 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时，D.()lim sin 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时， 4.微分方程()24+81cos2xy y y e x '''-=+的特解可设为*y =（）.A.()22cos2sin 2xx Ae e B x C x ++ B.()22cos2sin 2xx Axee B x C x ++ C.()22cos2sin 2xx Aexe B x C x ++D.()22cos2sin 2xx Axexe B x C x ++5.设(),f x y 具有一阶偏导数，且任意的(),x y 都有()(),,0,0,f x y f x y x y∂∂><∂∂则（ ）.A.()()0,01,1f f >B.()()0,01,1f f <C.()()0,11,0f f >D.()()0,11,0f f <6.甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)，图中，实践表示甲的速度曲线()1v v t =（单位m/s ）,虚线表示乙的速度曲线 ()2,v v t = 三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追甲的时刻为0t (单位:s),则（ ）.A.010t =B.01520t <<C.025t =D.025t >7.设A 为3阶矩阵, ()123,,P ααα= 为可逆矩阵，使得1000010,002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则()123A ααα++=（ ）.A.12+ααB.13+2ααC.23+ααD.13+2αα8.已知矩阵200210100021020020001001002A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则（ ）.A. A C B C 与相似，与相似B. A C B C 与相似，与不相似C. A C B C 与不相似，与相似D. A C B C 与不相似，与不相似二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分。
2018考研数学二真题最强解析及点评(没有之一),给你2019考研数学最科学的指引
送分题
同型题
难题
一道最能考查重积分计算数学思维的题。重积分的 计算本质是利用变量换元法将二重积分转化两次定 积分的计算。这道题对于一些热衷于死做题而没有 从思维方面去把握的同学是一道超级难题，但《金 讲》中不断的强化需要掌握这种思维，两个积分变 量取决于一个参数，且知参数的取值区间，则两个 变量的二重积分必然能通过该参数变量替换转化为 定积分的计算。这种变量替换思维可参见《金讲》 248页例1.7.26 的（Ⅲ）（Ⅳ）。
结束语
满分150分的试卷，几乎都是对数学基本概念、基本性质、和基本 运算的考察，超过120分以上题目不需要任何技巧及跳跃性思考就 可以轻松拿下满分，居然被认为是史上最难的考题，根本原因是绝 大部分人长期被一众商业包装起的“名师”遮蔽了双眼，以“题” 代“学”，抛弃数学考试内容学习的源头——基本知识的理解和 基本数学思维的建立，而到处赶集似的浮在知识的浅表，沉迷于 各种偏题怪题之中，以期投机取巧，其实最靠谱的取巧就是扎实 基础，以不变应万变。这也是《考研数学超级金讲（全程复习一本 通）》一书出版的根本目的。 《超级金讲》读者之所以能秒杀每 年号称“史上”最难考题，就是因为其对数学考试内容学习的源头 超强解析，强根固本才能以不变应万变。认为2018考研数学难的 其实就是一个笑话，请不要继续把你学习的误入歧途传递给别人。
考查拐点、切线方程的求解。知晓其基本定义，无需 任何技巧的硬套用公式即可得出答案。
送分题
送分题
考查三种常见有理式积分的求解。这类题只有两种 思路，分解因式或凑方，本题一眼可以看出分母容 易分解因式，因此采用分解因式法，属于此类题最 常规的积分计算，《金讲》中对这类题从最简单到 复杂的求解方式都有归纳，并辅以详细例题解析。
送分题
2018考研数学二真题及答案解析-文都版
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应选(D). 方法二： 因为 f ( x) cos
x , f (0) 1 cos x x 1 1 x 2 不存在 x
lim
x 0
f ( x) f (0) lim x 0 x
lim
x 0
f ( x) 在 x 0 处不可导，选（D）
N 2
1 x x 1 dx ，因为 e x x 1 ，所以 x 1 x e 2 e
3
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K 2 1 cos x dx ， 1 cos x 1
2
即
所以由定积分的比较性质 K M N ，应选（C）. 6.
A. M N K . C. K M N . 答案：（C） 解析： M
B. M K N . D. K N M .
2 2
1 x
1 x2
2
dx =
2 2
2x 1 2 1 x
2 dx 1dx ， 2
4.设函数 f ( x ) 在 0,1 上二阶可导，且
1
0
f ( x)dx 0, 则
2
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1 2 1 C.当 f '( x ) 0 时， f ( ) 0. 2
A.当 f '( x ) 0 时， f ( ) 0. 答案：（D）
1 2 1 D.当 f "( x ) 0 时， f ( ) 0. 2
（B） lim
x 0
1 2 - x cos x -1 f ( x) - f (0) （C） lim = lim = lim 2 = 0 ，可导 x 0 x 0 x 0 x x x 1 - x cos x -1 f ( x) - f (0) （D） lim = lim = lim 2 不存在，不可导 x 0 x 0 x 0 x x x