2014年数学二真题+答案解析
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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...
指定位置上.
(1) 当0x +→时,若ln (12)x +α,
1
(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小,
则α的取值范围是( )
(A) (2,)+∞ (B) (1,2) (C) 1(,1)2
(D) 1(0,)2
(2) 下列曲线中有渐近线的是
( )
(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x
=+ (D) 21sin
y x x
=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数,()(0)(1)(1)g x f x f x =-+,则在区间[0,1]上 ( )
(A) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≤
(4) 曲线2
2
7
41
x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 ( )
(A)
50
(B)
100
(C)
(D)(5) 设函数
()arctan f x x
=,若
()()
f x xf '=ξ,则
2
2
lim
x x
→=ξ
( )
(A)1 (B)23
(C)12
(D)
13
(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续,在D 的内部具有2阶连续偏导数,且满足
20u
x y
∂≠∂∂及
222
20u u
x y
∂∂+=∂∂,则
( )
(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得
(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得,最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得,最大值在D 的边界上取得
(7) 行列式
00
00000
a
b
a b
c d c d
= ( )
(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc --
(C) 2222a d b c - (D) 2222b c a d -
(8) 设123,,ααα均为3维向量,则对任意常数,k l ,向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组
123
,,ααα线性无关的
( )
(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件
二、填空题:9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上.
((9) 1
21
25
dx x x -∞
=++⎰__________.
(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数,且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈,则(7)f =
__________.
(11) 设(,)z z x y =是由方程2274
yz e x y z +++=确定的函数,则11(,)22
dz
=__________.
(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ,则L 在点(,)(,)22
r =ππ
θ处的切线的直角坐标方
程是__________.
(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.
(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1,则a 的取值范围为_______.
三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
求极限121
21lim
.1ln 1x
t
x t e t dt x x →+∞
⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
⎰
(16)(本题满分10分)
已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-,且()20y =,求()y x 的极大值与极小 值.
(17)(本题满分10分)
设平面区域(){}2
2
,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥
计算(
sin D
x dxdy x y
+⎰⎰
.
(18)(本题满分10分)
设函数()f u 具有二阶连续导数,(e cosy)x
z f =满足22222(4e cos )e x x z z
z y x y
∂∂+=+∂∂,若
'(0)0,(0)0f f ==,求()f u 的表达式.
(19)(本题满分10分)
设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续,且()f x 单调增加,0()1g x ≤≤.证明: (I)0(),[,]x
a g t dt x a x a
b ≤≤-∈⎰,