考前三个月高考数学(理科,广东专用)必考题型过关练：专题二+不等式与线性规划(3份)专题2 第5练

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广东高考数学不等式与线性规划填空题

广东高考数学不等式与线性规划填空题填空题是高考数学考试中重要的题型，也是考试丢分重灾区。

下面为大家的广东高考数学不等式与线性规划填空题，希望大家喜欢。

1.变量x，y满足那么u=log4(2x+y+4)+的最大值为.答案：2 解题思路：满足的可行域如图中阴影所示，令z=2x+y+4，那么y=-2x+(z-4).将虚线上移，得到y=-2x+(z-4)过直线2x-y=0与x-2y+3=0的交点时最大.又即过(1,2)时，zmax=2+2+4=8，故u=log4(2x+y+4)+的最大值是log48+=log2223+=+=2.2.向量a=(1，-2)，M是平面区域内的动点，O是坐标原点，那么a·的最小值是.答案：-3 命题立意：此题考查平面向量的数量积运算、简单的线性规划问题，考查学生的作图能力、计算能力，难度中等.解题思路：作出线性约束条件表示的可行域如下图，设可行域内任意点M(x，y)，那么=(x，y).因为a=(1，-2)，所以a·=(1，-2)·(x，y)=x-2y.令z=x-2y，那么y=-，作出直线y=-，可以发现当其过点(1,2)时，-有最大值，z有最小值.将x=1，y=2代入，得zmin=1-4=-3.3.设x，y满足约束条件那么x2+y2的最大值与最小值之和为.答案：命题立意：此题主要考查二元一次不等式组表示的平面区域及数形结合思想，意在考查考生分析问题、解决问题的能力.解题思路：作出约束条件表示的可行域，如图中阴影局部所示.由图可知x2+y2的最大值在x-2y=-2与3x-2y=3的交点处取得，解得交点坐标为，所以x2+y2的最大值为，最小值是原点到直线x+y=1的距离的平方，即为，故所求的和为.4.假设{(x，y)|x2+y2≤25}，那么实数b的取值范围是.答案：[0，+∞)解题思路：如图，假设(x，y)x-2y+5≥0,3-x≥0，y≥-x+b非空，(x，y)x-2y+5≥0,3-x≥0，y≥-x+b{(x，y)|x2+y2≤25}，那么直线y=-x+b在直线y=-x与直线y=-x+8之间平行移动，故0≤b≤8;假设(x，y)x-2y+5≥0,3-x≥0，y≥-x+b为空集，那么b>8，故b的取值范围是[0，+∞).5.假设不等式组表示的平面区域的面积为3，那么实数a的值是.1、定比分点定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。

【考前三个月】高考数学必考题型过关练：专题3 第9练(含答案)

第9练分段函数，剪不断理还乱题型一分段函数的值域问题例1 函数f(x)＝ log21x，x≥1，2x，x<1的值域为________．破题切入点求各段值域，然后求并集．答案 (－∞，2)

解析因为当x≥1时，f(x)＝log21x＝－log2x≤0，当x<1时，0题型二分段函数的零点问题

例2 已知函数f(x)＝ x＋1x，x≠0，0，x＝0，则关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有5个不同实数解的充要条件是( ) A．b<－2且c>0 B．b>－2且c<0 C．b<－2且c＝0 D．b≥－2且c＝0 破题切入点分类讨论思想，结合函数图象解决．答案 C 解析对比选项不难发现可以从c＝0，c≠0两种情形来考虑．若c＝0，则x＝0是方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0其中的一个根，且f(x)[f(x)＋b]＝0，此时f(x)≠0，所以f(x)＋b＝0，因此当－b>2时，f(x)＋b＝0有四个根，满足题意，所以b<－2.综上可选C. 题型三分段函数的综合性问题

例3 已知函数f(x)＝ －x2＋2x，x>0，0，x＝0，x2＋mx，x<0是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．破题切入点分段函数奇偶性的概念，结合图象分类讨论．解 (1)∵函数f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)．当x>0时，－x<0，有(－x)2－mx＝－(－x2＋2x)，即x2－mx＝x2－2x. ∴m＝2.

(2)由(1)知f(x)＝ －x2＋2x，x>0，0，x＝0，x2＋2x，x<0，当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1， ∴当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减；当x∈(0,1]时，f(x)单调递增．当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， ∴当x∈(－∞，－1]时，f(x)单调递减；当x∈[－1,0)时，f(x)单调递增．综上知：函数f(x)在[－1,1]上单调递增．又函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增．

高考专题练习：二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．3．平移规律当b >0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变大，向下平移z 变小；当b <0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变小，向下平移z 变大．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) (4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)不会用代点法判断平面区域； (2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．1．若点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞2．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ＋2≥0，x －2≤0，2x －y ＋1≥0.则z ＝x ＋y 的最大值与最小值的比值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝x ＋y 可化为y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过A 点时，z 最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，2x －y ＋1＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故A (2，5)，此时z ＝7；当直线y ＝－x ＋z 经过B 点时，z 最小，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝0，2x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－2，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，此时z ＝－72，故最大值与最小值的比值为－2.答案：－23．已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，问题转化为区域上哪一点与点M (－3，1)连线斜率最大，观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，使k MA 最大，z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3.答案：34．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取得最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，所以－a ＝k AB ＝1，所以a ＝－1.答案：－1二元一次不等式(组)表示的平面区域(多维探究) 角度一平面区域的面积不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于()A ．32B ．23C ．43D ．34【解析】由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C ．【答案】 C角度二平面区域的形状若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (0，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞(1)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．(2)根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．1．已知约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A ．作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立，所以k ＞0，则必有BC ⊥AB ，因为x ＋y －4＝0的斜率为－1，所以直线kx －y ＝0的斜率为1，即k ＝1，满足题意，故选A ．2．设不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M内的点，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，3]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[2，5]D ．(－∞，2]∪[5，＋∞)解析：选C ．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ，由图知，当直线l 过点B (1，3)时，k 取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2，2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2，5]．求目标函数的最值(多维探究) 角度一求线性目标函数的最值(2021·郑州第一次质量预测)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0，则y －2x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－6 C ．－10D ．－15【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示．令z ＝y －2x ，作出直线y ＝2x ，并平移，当直线z ＝y －2x 过点B (2，－2)时，z 的值最小，最小值为－6，故选B ．【答案】 B(1)求目标函数的最值形如z ＝ax ＋by (b ≠0)的目标函数，可变形为斜截式y ＝－a b x ＋zb (b ≠0)． ①若b >0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；②若b <0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大．(2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；②将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．角度二求非线性目标函数的最值(范围)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，则z 的取值范围为________；(2)若z ＝x 2＋y 2，则z 的最大值为________，最小值为________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)，所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5.【答案】 (1)[2，＋∞) (2)5 1【迁移探究1】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围．解：z ＝y －1x －1可以看作过点P (1，1)及(x ，y )两点的直线的斜率．所以z 的取值范围是(－∞，0]．【迁移探究2】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值．解：z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1，1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫|1－1＋1|12＋（－1）22＝12，所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.常见两类非线性目标函数的几何意义(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)间的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．角度三求参数值或取值范围(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2≥y ，x ≤2，y －1≥0，若z＝x ＋ay (a >0)的最大值为10，则a ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以A (2，4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以B (2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以C (－1，1)．若(2，4)是最优解，则2＋4a ＝10，a ＝2，经检验符合题意；若(2，1)是最优解，则2＋a ＝10，a ＝8，经检验不符合题意；若(－1，1)是最优解，则－1＋a ＝10，a ＝11，经检验不符合题意．综上所述，a ＝2，故选B ．【答案】 B求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．1．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a ，目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，平移直线2x ＋3y ＝0，显然过A (a ，1－a )时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，则2a ＋3(1－a )＝2，解得a ＝1.答案：12．(2021·开封市第一次模拟考试)已知点A (0，2)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．解析：依题意，画出不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，结合图形可知，|P A |的最小值等于点A (0，2)到直线x －y ＝0的距离，即|0－2|2＝ 2.答案： 23．(2021·湖北八校第一次联考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋3≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝|x－y |的取值范围为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，z ＝|x －y |＝|x －y |2·2表示可行域内的点(x ，y )到直线x －y ＝0的距离的2倍．作出直线x －y ＝0，由图可得可行域内的点(x ，y )到直线x －y ＝0的距离的最小值为0，最大值为直线2x －y ＋3＝0与2x ＋y －5＝0的交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4到直线x －y ＝0的距离，即724，所以z 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72线性规划的实际应用(师生共研)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲乙原料限量 A /吨 3 2 12 B /吨128A ．16万元 C ．18万元D ．19万元【解析】设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点(2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C ．【答案】 C利用线性规划解决实际问题的五步曲某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：36 800[A 级基础练]1．不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≤0，x －y ＋2>0表示的平面区域是( )解析：选C ．用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C ． 2．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2，1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A解析：选D ．若(2，1)∈A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32，所以当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A ，故选D ．3．(2020·高考浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B ．画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线经过点A (2，1)时，z 取得最小值，z min ＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选B ．4．若M 为不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2 连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域的面积为( )A ．1B ．32C ．34D ．74解析：选D ．在平面直角坐标系中作出区域M 如图中阴影部分所示，当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域为图中的四边形AODE ，所以其面积S ＝S △AOC －S △DEC ＝12×2×2－12×1×12＝74，故选D ．5．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，若z ＝2x －3y 的最大值为9，则正实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选A ．作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x －3y 在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，x ＝3解得A (3，m －3)，由z max ＝2×3－3(m －3)＝9，解得m ＝2. 故选A ．6．(2021·广州市阶段训练)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ≤3，0≤x ＋y ≤2，则z ＝x －2y的最小值为________．解析：依题意，在平面直角坐标系内作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x －2y ＝0，并平移，当平移到经过该平面区域内的点(1，1)时，相应直线在x 轴上的截距最小，此时z ＝x －2y 取得最小值，最小值为－1.答案：－17．(2021·合肥第一次教学检测)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥y ，x ≤2y ，x ＋y －6≤0，则z ＝2x＋y 取得最大值时的最优解为________．解析：方法一：作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，x ≤2y ，x ＋y －6≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，并平移，根据z 的几何意义，很容易看出当直线平移到点B 处时z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －6＝0，得B (4，2)．方法二：易知目标函数z ＝2x ＋y 的最大值在交点处取得，只需求出两两相交的三个交点的坐标，代入z ＝2x ＋y ，即可求得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0为原点，代入可得z ＝0；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，将(3，3)代入可得z ＝9；联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，将(4，2)代入可得z ＝10.通过比较可知，z 的最大值为10，故最优解为(4，2)．答案：(4，2)8．(2021·四省八校第二次质量检测)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋1≥0，若－x ＋y ≥－m 2＋4m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：设z ＝－x ＋y ，作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线－x ＋y ＝0，并平移可知当直线过点B (2，－3)时z 取得最小值，所以z min ＝－5，所以－m 2＋4m ≤－5，m 2－4m －5≥0⇒m ≤－1或m ≥5，所以m 的取值范围为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[5，＋∞)9.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)．10．已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ＞0，x ＋y ＋1＜0，3x ＋y ＋9＞0，记点(x ，y )对应的平面区域为P .(1)设z ＝y ＋1x ＋3，求z 的取值范围； (2)过点(－5，1)的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域P ，当反射光线所在直线l 经过区域P 内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l 的方程．解：平面区域如图所示(阴影部分)，易得A ，B ，C 三点坐标分别为A (－4，3)，B (－3，0)，C (－1，0)．(1)由z ＝y ＋1x ＋3知z 的值即是定点M (－3，－1)与区域内的点Q (x ，y )连接的直线的斜率，当直线过A (－4，3)时，z ＝－4；当直线过C (－1，0)时，z ＝12.故z 的取值范围是(－∞，－4)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)过点(－5，1)的光线被x 轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，故直线l 的方程是y －1（－1）－1＝x ＋3（－5）＋3，即x －y ＋4＝0.[B 级综合练]11．已知点(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围为( )A ．(－1，2)B ．(－2，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12解析：选B ．作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝ax ＋y 可得y ＝－ax ＋z ，直线的斜率k ＝－a ，因为k AC ＝2，k AB ＝－1，目标函数z ＝ax ＋y 仅在点A (1，0)处取得最小值，则有k AB <k <k AC ，即－1<－a <2，所以－2<a <1，即实数a 的取值范围是(－2，1)．故选B ．12．若点M (x ，y )满足⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，1≤x ≤2，0≤y ≤2，则x ＋y 的取值集合是( )A ．[1，2＋2]B ．[1，3]C ．[2＋2，4]D ．[1，4]解析：选A ．x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，根据图象得到当直线过点(1，0)时目标函数取得最小值，为1，当直线和半圆相切时，取得最大值，根据点到直线的距离等于半径得到|2－z |2＝1⇒z ＝2±2，易知2－2不符合题意，故z ＝2＋2，所以x ＋y 的取值范围为[1，2＋2]．故选A ．13．已知点A (2，1)，O 是坐标原点，P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧2x －y ≤0x －2y ＋3≥0y ≥0，设z ＝OP →·OA→，则z 的最大值是________．解析：方法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移，可知当直线过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即C (1，2)，则z 的最大值是4.方法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，易知目标函数z ＝2x ＋y 的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(－3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(－3，0)代入z ＝2x ＋y ，对应z 的值为0，4，－6，故z 的最大值是4.答案：414．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．[C 级提升练]15．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧6x ＋y －1≥0，x －y －3≤0，y ≤0，则z ＝y －ln x 的取值范围为________．解析：作出可行域如图(阴影部分)，其中A (16，0)，B (3，0)，C (47，－177)．由图可知，当y ＝ln x ＋z 过点A (16，0)时z 取得最大值，z max ＝0－ln 16＝ln 6.设y ＝ln x ＋z 的图象与直线y ＝x －3相切于点M (x 0，y 0)，由y ＝ln x ＋z 得y ′＝1x ，令1x 0＝1得x 0＝1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫47，3，故y ＝ln x ＋z 与y ＝x －3切于点M (1，－2)时，z 取得最小值，z min ＝－2－ln 1＝－2.所以z ＝y －ln x 的取值范围为[－2，ln 6]．答案：[－2，ln 6]16．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎨⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆的直径为20，则n ＝________．解析：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0表示的可行域，如图中阴影部分所示．设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－ 3. 又直线l 过点A (53，5)，所以53＝－3×5＋n ，解得n ＝10 3.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)．综上，n ＝10 3. 答案：10 3。

高考数学(理科,广东专用)必考题型过关练：专题一+集合与常用逻辑用语(3份)专题1 第3练

第3练突破充要条件的综合性问题题型一充分必要条件的判断方法例1 “e a >e b ”是“log 2a >log 2b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件破题切入点有关充要条件的判断问题，弄清楚谁是条件谁是结论，然后看谁能推出谁．答案 B解析因为e a >e b ⇔a >b ，所以取a ＝1，b ＝－1，则a >b log 2a >log 2b ；若log 2a >log 2b ，则a >b .综上，“e a >e b ” “log 2a >log 2b ”，但“e a >e b ”⇐“log 2a >log 2b ”．所以“e a >e b ”是“log 2a >log 2b ”的必要而不充分条件．题型二根据充要条件求参数范围例2 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1破题切入点把函数f (x )的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，从而求出f (x )有一个零点的充分必要条件，再利用“以小推大”的技巧，即可得正确选项．答案 A解析因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1.所以函数f (x )有且只有一个零点的充分必要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，此时0<a <12是函数f (x )有且只有一个零点的既不充分也不必要条件，应排除B ；同理，可排除C ，应选A.总结提高 (1)充要条件的判断，首先要审清什么是条件，什么是结论，然后再看谁能推出谁，有些还可以先找出条件和结论的等价条件，再看谁能推出谁，还有一些数集或集合形式给出的条件或结论，可以从集合的观点来判断充要条件．(2)根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象等将原问题转化为最值问题、有解问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取值范围．1．甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件答案 B解析 “甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．2．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <12；綈q ：x >a ＋1或x <a . 若綈p ⇐綈q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，即0≤a ≤12. 3．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知函数f(x)＝a x在R上是减函数等价于0<a<1，函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数等价于0<a<1或1<a<2，∴“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．4．(2014·湖北)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁U C.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．5．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当α⊥β时，由于α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．而当a⊂α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A.6．“m＝－1”是“直线l1：2x－my＝2m－1与直线l2：x＋2my＝m－2垂直”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若m＝－1，则直线l1、l2垂直；若直线l 1、l 2垂直，则有m ＝±1，所以“m ＝－1”是“直线l 1：2x －my ＝2m －1与直线l 2：x ＋2my ＝m －2垂直”的充分不必要条件．选A.7．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .8．已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( )A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B ．p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数 C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A答案 D解析对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，从而可得m <－2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件；对于B ，由f (－x )f (x )＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f (－x )f (x )＝1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ；反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A .所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D.9．在直角坐标系中，点(2m ＋3－m 2，2m －32－m)在第四象限的充分必要条件是________．答案－1<m <32或2<m <3 解析点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3－m 2>0，2m －32－m <0⇔－1<m <32或2<m <3.10．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0.由x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0，解得1<m <32，即命题q ：1<m <32. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a >1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a <32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.11．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中，真命题的序号是________．答案 ①④解析对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列{a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确． 12．下面有四个关于充要条件的命题：①“向量b 与非零向量a 共线”的充要条件是“有且只有一个实数λ使得b ＝λa ”；②“函数y ＝x 2＋bx ＋c 为偶函数”的充要条件是“b ＝0”；③“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件；④设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件．其中，真命题的序号是________．答案①②④解析由共线向量定理，知命题①为真．当b＝0时，y＝x2＋bx＋c＝x2＋c显然为偶函数，反之，y＝x2＋bx＋c是偶函数，则(－x)2＋b(－x)＋c＝x2＋bx＋c恒成立，就有bx＝0恒成立，得b＝0，因此②为真．对立事件是互斥事件的特殊情形，所以③为假．在④中，若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数．但是若f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数，则φ＝π也成立，故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件．。

考前三个月(浙江专版文理通用)习题高考知识方法篇专题2 不等式与线性规划第5练 Word版含答案

第5练线性规划与绝对值不等式[题型分析·高考展望] “线性规划”是高考每年必考的内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高．绝对值不等式在高考中也是比较主要的一部分．二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分．体验高考1．(2015·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40 答案 C解析画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l ：x ＋6y ＝0，平移直线l 可知，直线l 过点A 时，目标函数z ＝x ＋6y 取得最大值，易得A (0,3)，所以z max ＝0＋6×3＝18，选C.2．(2015·山东)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4) D ．(1,5)答案 A解析 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A. 3．(2016·山东)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12答案 C解析满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如图中阴影部分(包括边界)，x 2＋y 2是可行域上动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取最大值，最大值为10.故选C.4．(2016·浙江)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355B. 2C.322D. 5答案 B解析已知不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，解得A (1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x －y －3＝0，解得B (2,1)．由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.5．(2015·课标全国Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为____________．答案 32解析画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(△ABC )所示：作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0到过点A 的直线l 时，可使直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，即z 最大，解⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，即A ⎝⎛⎭⎫1，12，故z 最大＝1＋12＝32. 高考必会题型题型一已知约束条件，求目标函数的最值例1 (2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5 答案 C解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4. 点评 (1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”．(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值．变式训练1 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＜2，x ＋y －1≥0，则z ＝|4x －4y ＋3|的取值范围是( )A ．[53，15)B ．[53，15]C ．[53，5)D ．(5,15)答案 A解析根据题意画出不等式所表示的可行域，如图所示，z ＝|4x －4y ＋3|＝|4x －4y ＋3|42×42表示的几何意义是可行域内的点(x ，y )到直线4x －4y ＋3＝0的距离的42倍，结合图象易知点A (2，－1)，B (13，23)到直线4x －4y ＋3＝0的距离分别为最大和最小，此时z 分别取得最大值15与最小值53，故z ∈[53，15)，故选A.题型二解决参数问题例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．[－1,1] D ．[－1,1)答案 C解析由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x ＋2y ≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x ＋2y ＝－5的上方，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，则实数a 的取值范围为[－1,1]．点评所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论．变式训练2 (2015·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3 答案 B解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1)．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B. 题型三绝对值不等式例3 (1)(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0 中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |等于( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6(2)已知不等式|x ＋1|－|x －3|>a .若不等式有解，则实数a 的取值范围为__________．若不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围为________________________．若不等式的解集为∅，则实数a 的取值范围为_______________________________．答案 (1)C (2)a <4 a <－4 a ≥4解析 (1)已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为l 与直线x ＋y ＝0平行．所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则|AB |＝|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0.解得Q (2，－2)．所以|AB |＝|PQ |＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2. (2)由|x ＋1|－|x －3|≤|x ＋1－(x －3)|＝4. |x －3|－|x ＋1|≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4. 可得－4≤|x ＋1|－|x －3|≤4. ①若不等式有解，则a <4； ②若不等式的解集为R ，则a <－4； ③若不等式解集为∅，则a ≥4.点评绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：(1)绝对值定义法；(2)平方法；(3)零点区域法．变式训练3 解不等式： (1)|3x －5|≥1； (2)|x ＋1|>|2x －1|； (3)|x ＋1|＋|x －3|>5. 解 (1)由绝对值的定义得： 3x －5≥1或3x －5≤－1. 解得x ≥2或x ≤43.(2)两边同时平方得：(x ＋1)2>(2x －1)2，解得0<x <2.(3)令x ＋1＝0，x －3＝0. 得x ＝－1和x ＝3.所以－1和3把实数分为三个区间，即：x <－1，－1≤x ≤3，x >3.当x <－1时，不等式为－(x ＋1)－(x －3)>5，解得x <－32；当－1≤x ≤3时，不等式为(x ＋1)－(x －3)>5，无解；当x >3时，不等式为x ＋1＋x －3>5，解得x >72.综上可知，x <－32或x >72.高考题型精练1．(2015·安徽)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．1 答案 A解析约束条件下的可行域如图所示，由z ＝－2x ＋y 可知y ＝2x ＋z ，当直线y ＝2x ＋z 过点A (1,1)时，截距最大，此时z 最大为－1，故选A.2．(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1,1)，半径为2的圆内区域所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1②表示△ABC 内部区域所有点(包括边界)．实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立．则p 是q 的必要不充分条件．故选A. 3．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为( ) A.55 B.23 C.22D ．1 答案 A解析在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55，故选A.4．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A ．5 B ．29 C ．37D ．49答案 C解析由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界． ∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6. ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C. 5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．(0,4] C ．[4，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 B解析作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0， ∴ab ∈(0,4]，故选B.6．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－6，－2) B ．(－3,2) C ．(－103，－2)D ．(－103，－3)答案 C解析作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＞0，f (1)＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k 2－4＞0，⇒－103＜k ＜－2，故选C.7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m ，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．－12答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ＝0，y ＝m 得A (m －1，m )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝m 得B (4－m ，m )，所以z min ＝2(m －1)＋m ＝3m －2，z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝2，解得m ＝2.8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，则k 的取值范围为________．答案 (－∞，－3)解析方法一根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式即求|P A |－|PB |>k 成立． ∵|AB |＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3，故当k <－3时，原不等式恒成立．方法二令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k <－3即可．故k <－3满足题意．9．(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤45，13解析已知不等式组所表示的平面区域如下图：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2,3)．由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.10．不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1的解集为________．答案 (－∞，－25)∪(2，＋∞)解析 |x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x (x ≥12)，3x ＋2(－3<x <12)，x －4(x ≤－3)，∴当x ≥12时4－x <x2＋1，∴x >2.当－3<x <12时3x ＋2<x 2＋1，∴－3<x <－25.当x ≤－3时x －4<x2＋1，∴x ≤－3.综上，x <－25或x >2.11．(2015·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．答案 3解析满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部． f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y | ＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2. 直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝⎛⎭⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3. 12．求不等式1331log log 3＋≥1x x-的解集．解因为对数必须有意义，即解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，13－x>0，解得0<x <3. 又原不等式可化为||log 3x ＋||log 3()3－x ≥1.(1)当0<x ≤1时，不等式化为－log 3x ＋log 3()3－x ≥1，即log 3()3－x ≥log 33x . ∴ 3－x ≥3x ，∴x ≤34.综合前提得：0<x ≤34.(2)当1<x ≤2时，即log 3x ＋log 3()3－x ≥log 33. ∴x 2－3x ＋3≤0，∴x ∈∅.(3)当2<x <3时，即log 3x －log 3()3－x ≥log 33. ∴x ≥3()3－x ，∴x ≥94，结合前提得：94≤x <3.综上得原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤0，34∪⎣⎡⎭⎫94，3.合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

考前三个月高考数学(理科,广东专用)必考题型过关练：专题四+三角函数与平面向量(5份)专题4 第21练

第21练三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象例1 (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3破题切入点考查“五点作图法”的逆用，由图象求解析式，先看周期，再看什么时候取得最值以及函数零点等．答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 题型二三角函数的简单性质例2 (2013·山东)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx ·cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．破题切入点 (1)先根据倍角公式以及两角和与差的三角函数公式将f (x )的解析式化简为“一角一函数名”的形式，然后根据“y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4”确定该函数的周期，代入周期公式即可求出ω的值；(2)先根据(1)确定函数解析式，然后利用给定区间确定f (x )的区间，根据该函数在区间上的图象即可确定所求函数的最值．解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 题型三三角函数图象的变换例3 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)，其中ω>0，且函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3.若函数f (x )的图象向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数m ＝________.破题切入点由相邻两对称轴间距离得出周期进而求出ω，再由平移后为偶函数得出m 的最小值．答案π12解析依题意，可得T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3，4函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为 g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]．g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而最小正实数m ＝π12.总结提高 (1)利用三角函数图象确定解析式的基本步骤：①最值定A ：即根据给定函数图象确定函数的最值即可确定A 的值．②周期定ω：即根据给定函数图象的特征确定函数的周期，利用周期计算公式T ＝2π|ω|求解ω.③最值点定φ：即根据函数图象上的最高点或最低点的坐标，代入函数解析式求解φ的取值，注意利用中心点求解φ时，要验证该点所在的单调区间以确定φ，否则会产生增解．(2)三角函数的简单性质主要包括：定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性和单调性，对称性注意各三角函数的对称中心和对称轴，求解奇偶性时首先应利用诱导公式将函数化成最简再去研究，周期性的求解注意公式中应为|ω|而不是ω，单调性要将x 的系数化成正的．本部分题目注意要将ωx ＋φ当作一个整体．(3)对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x ，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx ＋φ写成ω(x ＋φω)最后确定平移的单位和方向．伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分．1．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) A ．y ＝4sin(4x ＋π6)3C ．y ＝2sin(4x ＋π3)＋2D ．y ＝2sin(4x ＋π6)＋2答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋k ＝4，－A ＋k ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，k ＝2.又函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最小正周期为π2，所以ω＝2ππ2＝4，所以y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.又直线x ＝π3是函数图象的一条对称轴，所以4 ×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－5π6(k ∈Z )，故可得y ＝2sin(4x ＋π6)＋2符合条件，所以选D.2．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·cos ωx ，x ∈R ，又f (α)＝－12，f (β)＝12，若|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值为( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案 B解析 f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12，又由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4可知T ＝3π，于是ω＝13.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象( ) A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．4.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3 D ．1答案 C解析由图象知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.5．(2014·辽宁)将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增答案 B解析 y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B 正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故C ，D 错误．6．将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8B.38πC.34πD.π2 答案 B解析依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝⎛⎭⎫π4＝±4，得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．答案 [－32，3]解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2， f (x )＝3sin(2x －π6)．∵x ∈[0，π2]，∴2x －π6∈[－π6，5π6]，sin(2x －π6)∈[－12，1]，∴f (x )∈[－32，3]．8．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析当x ＝11π12时，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×11π12－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x ≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.10．已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.11．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π4)(A >0，ω>0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g (17π4)．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈[a ，π3)时，h (x )有最小值为3，求a 的值．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2，所以ω＝1.又A ＝2g (17π4)＝2tan 174π＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin(x ＋π4)．令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间为[2k π－3π4，2k π＋π4](k ∈Z )． (2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4×sin 2(x ＋π4)＋23cos 2x ＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋3(cos 2x ＋1) ＝3＋3＋23sin(2x ＋π6)，又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin(2x ＋π6)＝3，即sin(2x ＋π6)＝－12.因为x ∈[a ，π3)，所以2x ＋π6∈[2a ＋π6，5π6)，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.。

【考前三个月】高考数学必考题型过关练：第6练(含答案)

第6练处理好“线性规划问题”的规划题型一不等式组所确定的区域问题例1 已知点M(x，y)的坐标满足不等式组 x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－2≥0，则此不等式组确定的平面区域的面积S的大小是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 破题切入点先画出点M(x，y)的坐标满足的可行域，再研究图形的形状特征，以便求出其面积．答案 A

解析作出不等式组 x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－2≥0表示的平面区域，如图所示，

则此平面区域为△ABC及其内部，且点A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，

于是，S＝12×2×1＝1.故选A. 题型二求解目标函数在可行域中的最值问题

例2 若变量x，y满足约束条件 x＋y≤2，x≥1，y≥0，则z＝2x＋y的最大值与最小值的和为________．破题切入点先根据已知约束条件画出可行域，再利用目标函数z＝2x＋y的几何意义，即可求得最大值与最小值．答案 6 解析画出可行域，如图所示，由图象，可得当y＝－2x＋z经过点B(2,0)时，zmax＝4；当y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmin＝2.故填6. 题型三利用线性规划求解实际应用题例3 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900人旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( ) A．31 200 元 B．36 000 元 C．36 800 元 D．38 400 元破题切入点设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，总租金为z元，可得目标函数z＝1 600x＋2 400y.结合题意，建立关于x，y的不等式组，计算A，B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低．答案 C 解析设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，所用的总租金为z元，则z＝1 600x＋2 400y，

高考数学考前三个月复习冲刺第三篇回扣专项练5不等式与线性规划理

文丰研究合作开发房地产合同常见问题浅析一、合作开发房地产合同的界定（一）合作开发房地产合同应当具备的条件（二）合作开发房地产合同的特点二、合作开发房地产合同常见问题（一）自然人或其他企业挂靠房地产开发企业从事房地产开发经营的问题（二）合同当事人为分公司是否可认定为具备房地产开发经营主体资格（三）明知案涉土地被查封时，合同当事人还能否以此为由主张解除合同自中央提出坚持“房子是用来住的,不是用来炒的”的定位,房地产调控力度逐步加大，2020年，“三道红线”融资监管政策出台，住宅用地“两集中政策的试点，可以说，政策非常精准。

而房地产开发作为资金密集型企业，调控政策的加码，也把房地产开发的门槛不断提高，部分开发商出现拥有土地使用权但缺乏资金投入，而有的企业持有资金但是不具备房地产开发资质或没有开发经验，进行合作开发则各取所需实现共赢。

但是，由于房地产开发本身法律关系就比较复杂，再涉及双方甚至多方不同利益诉求，实践中合作开发房地产引发的纠纷不在少数，且涉及标的数额巨大，案情错综复杂。

结合最高院的案例及法律规定，对合作开发房地产合同中出现的部分常见问题作如下分析，以期有所帮助。

一合作开发房地产合同的界定合作开发房地产合同，是指当事人订立的以提供出让土地使用权、资金等作为共同投资，共享利润、共担风险合作开发房地产为基本内容的协议。

（一）合作开发房地产合同应当具备的条件1. 至少一方具备房地产开发经营所需的资质；2. 合作开发的各方应提供土地使用权、资金或其他资源等作为投3. 合作各方除应共同投资、也应当共享利润、共担风险。

（二）合作开发房地产合同的特点通常而言，合作开发经营房地产合同具有以下特点：1. 共投，是指共同投资，合作方均有投入，可以是土地使用权，可以是开发经验，也可以是资金等，在实务中，通常系一方以土地使用权作为投资，一方以货币作为投资。

2. 共享，是指共享利润和收益，合作方为获取利润而进行合作，在合同中对可能获取的利润如何分配进行约定，但最终数额并不固定，受到风险影响。

广东省高考数学第二轮复习专题一常以客观题形式考查的几个问题第3讲不等式、线性规划理

- 1 - 真题试做 1．(2012·重庆高考，理2)不等式x－12x＋1≤0的解集为( )．

A.－12，1 B.－12，1 C.－∞，－12∪[1，＋∞) D.－∞，－12∪[1，＋∞) 2．(2012·大纲全国高考，理9)已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－12，则( )． A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x

3．(2012·广东高考，理5)已知变量x，y满足约束条件 y≤2，x＋y≥1，x－y≤1，则z＝3x＋y的最大值为( )． A．12 B．11 C．3 D．－1

4．(2012·重庆高考，理10)设平面点集A＝x，y y－xy－1x≥0，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为( )．

A.34π B.35π C.47π D.π2 5．(2012·江苏高考，13)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为__________．考向分析通过高考试卷可分析出：在不等式中，主要热点是线性规划知识、均值不等式及解不等式，单纯对不等式的性质考查并不多．解不等式主要涉及一元二次不等式、简单的分式不等式、对数和指数不等式等，并且以一元二次不等式为主，重在考查等价转化能力和基本的解不等式的方法；均值不等式的考查重在对代数式的转化过程及适用条件，等号成立条件的检验，常用来求最值或求恒成立问题中参数的取值范围；线性规划问题是高考的一个必考内容，主要还是强调用数形结合的方法来寻求最优解的过程，体现了数学知识的实际综合应用，不等式知识的考查以选择题、填空题为主，也蕴含在解答题中，题目难度为中低档，但考查很广泛，需引起重视．

热点例析热点一不等式的性质及应用【例1】(1)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )．

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第5练如何用好基本不等式题型一利用基本不等式求解最大值、最小值问题例1 (1)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当zxy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( ) A．0 B.98

C．2 D.94 (2)函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值为________．破题切入点 (1)利用基本不等式确定zxy取得最小值时x，y，z之间的关系，进而可求得x＋

2y－z的最大值． (2)可采用换元法，将函数解析式进行变形，利用基本不等式求解最值．答案 (1)C (2)15

解析 (1)zxy＝x2－3xy＋4y2xy＝xy＋4yx－3≥2xy·4yx－3＝1，

当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.故选C. (2)令t＝x－1 ≥0，则x＝t2＋1，所以y＝tt2＋1＋3＋t＝tt2＋t＋4.

当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t>0，即x>1时，y＝1t＋4t＋1，

因为t＋4t≥24＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝1t＋4t＋1≤15，即y的最大值为15(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)．

题型二利用基本不等式求最值的综合性问题例2 如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，12)到抛物线C：y2＝

2px(p>0)的准线的距离为54.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上． (1)求曲线C的方程及t的值；

(2)记d＝|AB|1＋4m2，求d的最大值．

破题切入点 (1)依条件，构建关于p，t的方程； (2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值．

解 (1)y2＝2px(p>0)的准线x＝－p2，

∴1－(－p2)＝54，p＝12，

∴抛物线C的方程为y2＝x. 又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1. (2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k≠0)．且A(x1，y1)，B(x2.y2)，

由 y21＝x1，y22＝x2，得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，所以直线AB的方程为y－m＝12m(x－m)，

即x－2my＋2m2－m＝0. 由 x－2my＋2m2－m＝0，y2＝x消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以Δ＝4m－4m2

>0，

解得y1＝m＋m－m2，y2＝m－m－m2，则y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.

从而|AB|＝ 1＋1k2·|y1－y2|

＝1＋4m2·4m－4m2

＝21＋4m2m－m2



∴d＝|AB|1＋4m2＝2m1－m≤m＋(1－m)＝1，

当且仅当m＝1－m，即m＝12时，上式等号成立．又m＝12满足Δ＝4m－4m2

>0，∴d的最大值为1.

总结提高 (1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式求出最值． (2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”，所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续使用基本不等式求最值，必须保证两次等号成立的条件一致，否则最值就取不到．

1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA．a

C.ab答案 A 解析设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a2ab2ab＝ab.

又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0，∴v>a. 2．若函数f(x)＝x＋1x－2 (x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( ) A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4 答案 C

解析 ∵x>2，∴f(x)＝x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2

≥2x－2×1x－2＋2＝4，

当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时等号成立，即a＝3，f(x)min＝4. 3．设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为( ) A．8 B．4 C．1 D.14 答案 B 解析因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1.

1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab

≥2＋2 ba·ab＝4，当且仅当ba＝ab，

即a＝b＝12时等号成立． 4．已知m＝a＋1a－2(a>2)，n＝x－2(x≥12)，则m与n之间的大小关系为( ) A．mn C．m≥n D．m≤n 答案 C

解析 m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥4(a>2)，

当且仅当a＝3时，等号成立．由x≥12得x2≥14， ∴n＝x－2＝1x2≤4即n∈(0,4]，∴m≥n. 5．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 ∵x>0，y>0， ∴x＋2y≥22xy(当且仅当x＝2y时取等号)．

又由x＋22xy≤λ(x＋y)可得λ≥x＋22xyx＋y，

而x＋22xyx＋y≤x＋x＋2yx＋y＝2， ∴当且仅当x＝2y时，

x＋22xy

x＋ymax＝2.

∴λ的最小值为2. 6．已知a>0，b>0，若不等式m3a＋b－3a－1b≤0恒成立，则m的最大值为( ) A．4 B．16 C．9 D．3 答案 B

解析因为a>0，b>0，所以由m3a＋b－3a－1b≤0恒成立得m≤(3a＋1b)(3a＋b)＝10＋3ba＋3ab恒成

立．因为3ba＋3ab≥2 3ba·3ab＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋3ba＋3ab≥16，

所以m≤16，即m的最大值为16，故选B. 7．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．答案 18 解析 ∵x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy， ∴22xy＋6≤xy，即xy－22xy－6≥0，解得xy≥18. ∴xy的最小值是18. 8．已知a>0，b>0，函数f(x)＝x2＋(ab－a－4b)x＋ab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________．答案 16 解析根据函数f(x)是偶函数可得ab－a－4b＝0，函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为ab.由ab－a－4b＝0，得ab＝a＋4b≥4ab，解得ab≥16(当且仅当a＝8，b＝2时等号成立)，即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16.

9．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．答案 15，＋∞ 解析 ∵a≥xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3对任意x>0恒成立，设u＝x＋1x＋3，∴只需a≥1u恒成立即

可． ∵x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．由u≥5知0<1u≤15，∴a≥15.

10．(1)已知0(2)求函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x>－1)的最小值．解 (1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)． ∵025，∴5x<2,2－5x>0，

∴5x(2－5x)≤(5x＋2－5x2)2＝1， ∴y≤15，当且仅当5x＝2－5x，即x＝15时，ymax＝15. (2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)， ∴y＝t－12＋7t－1＋10t ＝t＋4t＋5≥2 t·4t＋5＝9. 当且仅当t＝4t，即t＝2，且此时x＝1时，取等号， ∴ymin

＝9.

11．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2 (k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

解 (1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，

由实际意义和题设条件知x>0，又k>0，故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，

当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立 ⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔0所以当a不超过6千米时，可击中目标． 12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元． (1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y＝f(x)的表达式； (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？