基于谓词逻辑的归结原理研究
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鲁滨逊归结原理
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
推论 设C1,C2是子句集S的两个子句，C12是它们的 归结式，则 (1)若用C12代替C1,C2，得到新子句集S1，则由S1的 不可满足可推出原子句集S的不可满足。即 S1不可满足 S不可满足
(2) 若把 C12 加入到 S 中，得到新子句集 S2 ，则 S2 与
如果录取B,则一定录取C 求证:公司一定录取C
作业： 自然数都是大于零的整数，所有整数不是偶数就是奇
数，偶数除以2是整数。
证: 所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
5.2.3 替换与合一 在一阶谓词逻辑中应用消解原理，不像命题逻辑中那样简 单，因为谓词逻辑中的子句含有个体变元，这就使寻找含互否 文字的子句对的操作变得复杂。例如： C1=P(x)∨Q(x)
k=0:
S0=S,σ0=ε, S0不是单元素集，D0=｛x,y｝ σ1=σ0·｛y/x｝=｛y/x｝ S1=S0｛y/x｝=｛P(y,y),P(y,f(y))｝
k=1:
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
S1不是单元素集，D1=｛y,f(y)｝，由于变元y在项 f(y)中出现，所以算法停止，S不存在最一般合一。 从合一算法可以看出，一个公式集S的最一般合一 可能是不唯一的，因为如果差异集Dk=｛ak,bk｝，且ak 和bk都是个体变元，则下面两种选择都是合适的：
中z是变元，且不在a中出现，所以有
σ1=σ0· ｛ a/z ｝ =ε· ｛ a/z ｝ = ｛ a/z ｝ S1=S0 ｛ a/z ｝ = ｛P(a,x,f(g(y))),P(a,h(a,u),f(u))｝ k=1: S1不是单元素集，求得D1=｛x,h(a,u)｝，
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
谓词逻辑与归结原理2
开始： (1)消去蕴涵符号 只应用∨和～符号，以～A∨B替换AB。
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(2) (x)｛～P(x)∨｛(y)［～P(y)∨P(f(x,y))］
∧(y)［Q(x,y)∧～P(y)］｝｝
(2) 减少否定符号的辖域 每个否定符号～最多只用到一个谓词符号上，并 反复应用狄· 摩根定律。
(3) (x)｛～P(x)∨｛(y)［～P(y)∨P(f(x,y))］
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谓词归结子句形( Skolem 标准形)
量词消去原则： 消去存在量词“”，略去全程量词 “”。
注意：左边有全程量词的存在量词，消去
时该变量改写成为全程量词的函数；如没有， 改写成为常量。
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谓词归结子句形( Skolem 标准形)
( x ）( P（x） ∨ Q) <=> ( x ） P（x） ∨ Q ( x ）( P（x） Λ Q) <=> ( x ） P（x） Λ Q ( x ）( P（x） → Q) <=> ( x ） P（x） → Q ( x ）(Q → P（x） ) <=>Q → ( x ） P（x） ( x ）( P（x） ∨ Q) <=> ( x ） P（x） ∨ Q ( x ）( P（x） Λ Q) <=> ( x ） P（x） Λ Q ( x ）( P（x） → Q) <=> ( x ） P（x） → Q ( x ）(Q → P（x） ) <=>Q → ( x ） P（x）
文字：不含任何连接词的谓词公式。 子句：一些文字的析取（谓词的和）。 子句集S的求取： G → SKOLEM标准形 → 消去存在变量 → 以“，”取代“Λ”，并表示为集合形式 。
第3章 基于谓词逻辑的机器推理4
第三章 基于谓词逻辑的机器推理
然后把上述各语句翻译为谓词公式： (1) x(R(x)→L(x)) (2) x(D(x)→乛L(x)) (3) x(D(x)∧I(x)) (4) x(I(x)∧乛R(x)) 已知条件
第三章 基于谓词逻辑的机器推理
求题设与结论否定的标准型，得 (1)乛R(x)∨L(x) (2)乛D(y)∨乛L(y)
Kills ( Jack , Tuna ) False
Kills ( Jack , Tuna )
False
第三章 基于谓词逻辑的机器推理
例 设已知： (1)能阅读者是识字的； (2)海豚不识字； (3)有些海豚是很聪明的。 试证明：有些聪明者并不能阅读。 首先，定义如下谓词： R(x)：x能阅读。I(x)：x是聪明的。 L(x)：x识字。D(x)：x是海豚。
B: Dog（y） Owns(x,y) Animallover(x)
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第三章 基于谓词逻辑的机器推理
3. 2 归结演绎推理
x Animallover(x) y Animal (y) ¬ Kills(x,y) x, y {¬[Animallover(x) Animal (y) ]¬Kills(x,y)} ¬Animallover(x) ¬ Animal (y) ¬ Kills(x,y) }
C:Animallover(x) Animal (y) Kills(x,y) False D: Kills(Jack,Tuna) Kills(Tom,Tuna)
E: Cat(Tuna)
F: Cat(x) Animal (x)
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第三章 基于谓词逻辑的机器推理
3. 2 归结演绎推理
谓词逻辑与归结原理1
2是无理数
不能被分解成更简单的陈述句，称这样的命题为简单命题 或原子命题。 由简单陈述句通过联结词而成的陈述句，称这样的命题为 复合命题。
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例
将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化，并指出它 们的真值，然后再写出这段陈述。 2 是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2 是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 p： 2 是有理数 q：2是素数； r：2是偶数 s：3是素数； t：4是素数
(2)p∧q (3)q∧┐p (4)r∧s (5)t
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合取举例
p：我们去看电影。 q：房间里有十张桌子。 p∧q：我们去看电影并且房间里有十张 桌子。
在数理逻辑中，关心的只是复合命题与构成复合 命题的各原子命题之间的真值关系，即抽象的逻 辑关系，并不关心各语句的具体内容。
说 明
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定义1.3 析取(disjunction)
– 只要p，就qq 1 0 1 1
q是p的必要条件有许多不同的叙述方式
– 因为p，所以q
– p仅当q – 只有q才p
– 除非q才p
– 除非q，否则非p
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例 将下列命题符号化，并指出其真值
(1) (2) (3) (4)
如果3+3＝6，则雪是白的。 如果3+3≠6，则雪是白的。 如果3+3＝6，则雪不是白的。 如果3+3≠6，则雪不是白的。
0 1 1 1 0
非 p； q并且(与)r； q或 t ； 如果q，则s； q当且仅当s。
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半形式化形式 数理逻辑研究方法的主要特征是将论述或推理 中的各种要素都符号化。即构造各种符号语言 来代替自然语言。 形式化语言：完全由符号所构成的语言。 将联结词（connective）符号化，消除其二义性， 对其进行严格定义。 例如： 他是100米或400米赛跑的冠军。 鱼香肉丝或锅包肉，加一碗汤。
第3.3节--谓词逻辑的归结原理PPT课件
辖域扩展
x y z w ( P ( a , x , y ) Q ( w , b ) R ( z ))
辖域扩展
4）求 skolem 标准型
x y z w ( P ( a , x , y ) Q ( w , b ) R ( z ))
x z w ( P ( a , x , f ( x )) Q ( w , b ) R ( z ))
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1515
求mgu的步骤
① 令W={F1, F2}，k=0，W0=W，σ0={ }； ② 若Wk已合一，停止，σk就是mgu；否则找不一
致集Dk； ③ 若Dk存在vk和tk，且vk不出现于tk，转④；否则
不可合一； ④ 令σk+1= σk·{tk/vk}，Wk+1=Wk{tk/vk} ⑤ k=k+1，转②。
2） 深入到量词后，得：
x yP ( a , x , y ) x ( yQ ( y , b ) R ( x ))
3）求前束范式，得：
x yP ( a , x , y ) z ( wQ ( w , b ) R ( z ))
换名
x yP ( a , x , y ) z w ( Q ( w , b ) R ( z ))
Q(a, y)∨R(b, z)
2008-2009学年第1学期
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1919
归结式的合理性
∵{C1, C2} R ∴{C1, C2} {C1, C2, R} 但是，若R＝□，则意味着C1和C2是互否定的，{C1, C2}
是不可满足的。
归结使子句集不断增大，一旦归结出“□”，则子句集中 有互否定的单元子句存在，从而整个子句集是不可满足 的。
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谓词逻辑与归结原理
处理机：能执行软件、具有计算能力的结点，如主机、服务器、 客户机等； 设备：没有计算能力的结点，如打印机、传感器、终端等。
构件图概念
构件
构件是定义了良好接口的物理实现单元，是系统中可替 换的物理部件。它把系统的实现打包，并提供一组接口 的实现 构件具有确定的接口，相互之间可以调用，构件之间存 在依赖关系。 在UML中，构件用一个左侧带有突出两个小矩形的矩 形来表示。
构件图概念
构件
构件的类型(UML2.0)
为了从物理层面描述软件开发过程中的用到的构件和结点， 也经常使用构件图和部署图
构件图概念
构件与构件图
构件(component): 是一个相对独立的可装配的物理块， 一般作为一个独立的文件存在，也翻译为组件。 构件图则表示一组构件以及它们之间的相互关系，包括 编译、链接或执行时构件之间的依赖关系
部署图概念
部署图的用途
显示系统结点的拓扑结构和通信路径、结点上执行 的软件构件、以及硬件设备的配置
部署图的组成元素
结点（Node） 关联关系（Association）
部署图概念
结点
结点(node) 是运行时代表计算资源的物理元素。结点通 常有内存及处理能力，它可以是物理设备及运行在该设 备上的软件系统. 结点分为处理机(processor)和设备(device)两类。
square类 (square.obj)
main类 (main.cpp) 依赖
main类 (main.obj)
主执行程序 (main.exe)
构件
离散数学第四章 谓词演算的推理理论-归结推理系统
对应语句(1)至(3)的子句集为： (1) R(x1) L(x1) (2) H(x2) L(x2) (3) H(a) (4) I(a) 其中子句(3)(4)为对(3)式SKOLEM化而得，a为 SKOLEM常量。 要证明的定理的否定式为： x(I(x)R(x)), 即 x(I(x)R(x)) 化为子句形式为(5)： (5) I(x3)R(x3)
(8) P(a) D(a)
(9) P(a) (10) 口
{ a/y} (5)(6)归结
(8)(7)归结 (9)(3)归结
例 用归结方法证明下列公式
x(P(f(x))(P(f(a))P(x)))
证: 目标的否定为 x(P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x)) ∧ ( P(f(a)) ∨ P(x))) 子句集为 (1) P(f(x1)) (2) P(f(a)) ∨ P(x2) (3) P(x2) {a/x1} (1)(2)归结 (4)口 {f(x1)/x2}(1)(3)归结
(5)消去存在量词(按Skolem标准形)
(6)消去全称量词(直接去掉) (7)化为合取范式 (8)消去合取词得子句集， (9)改变变量的名称 (变量符号不重复使用)
例(p46-47) xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y)))
解: (1)消去蕴含词 xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2)约束变元改名： 利用改名方法对上式施行改名，以保证每一个量词 约束的变元不同名。 xP(x)z(A(z)y(B(y)W(z，y))) (3)化为前束范式 xzy(P(x)(A(z)(B(y)W(z，y)))) (4)消去存在量词(按Skolem标准形) 原式z(P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z)))))
(8) P(a) D(a)
(9) P(a) (10) 口
{ a/y} (5)(6)归结
(8)(7)归结 (9)(3)归结
例 用归结方法证明下列公式
x(P(f(x))(P(f(a))P(x)))
证: 目标的否定为 x(P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x)) ∧ ( P(f(a)) ∨ P(x))) 子句集为 (1) P(f(x1)) (2) P(f(a)) ∨ P(x2) (3) P(x2) {a/x1} (1)(2)归结 (4)口 {f(x1)/x2}(1)(3)归结
(5)消去存在量词(按Skolem标准形)
(6)消去全称量词(直接去掉) (7)化为合取范式 (8)消去合取词得子句集， (9)改变变量的名称 (变量符号不重复使用)
例(p46-47) xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y)))
解: (1)消去蕴含词 xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2)约束变元改名： 利用改名方法对上式施行改名，以保证每一个量词 约束的变元不同名。 xP(x)z(A(z)y(B(y)W(z，y))) (3)化为前束范式 xzy(P(x)(A(z)(B(y)W(z，y)))) (4)消去存在量词(按Skolem标准形) 原式z(P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z)))))
人工智能谓词逻辑及归结原理
消解反演
反演求解的正确性 设公式L在逻辑上遵循公式集S，那么按照定义 满足S的每个解释也满足L。决不会有满足S的 解释能够满足～L的，所以不存在能够满足并 集S∪｛～L｝的解释。如果一个公式集不能被 任一解释所满足，那么这个公式是不可满足的 。因此，如果L在逻辑上遵循S，那么S∪｛～ L｝是不可满足的。可以证明，如果消解反演 反复应用到不可满足的子句集，那么最终将要 产生空子句NIL。因此，如果L在逻辑上遵循S
消解反演求解过程
消解反演
反演求解的步骤
给出一个公式集S和目标公式L，通过反证或反 演来求证目标公式L，其证明步骤如下： (1)否定L，得～L； (2)把～L添加到S中去； (3)把新产生的集合｛～L，S｝化成子句集； (4)应用消解原理，力图推导出一个表示矛盾 的空子句NIL。
消解反演求解过程
反演求解的举例
"菲多在哪里"例题的反演树
从消解求取答案例题的反演树 修改证明树
修改证明树
"菲多在哪里"例题的修改证明树
反演求解的举例
已知：①会朗读的人是识字的； ②海豚都不识字； ③有些海豚是很机灵的。
证明：有些很机灵的东西不会朗读。
把问题用谓词逻辑描述如下： 已知： ①（ x）（R（x）→L（x））
化成子句集
①~ pass(x,computer)∨~ win(x,prize)∨happy(x) ②~ study(y)∨pass(y,z) ③~ lucky(u)∨pass(u,v) ④~ study(zhang) ⑤lucky(zhang) ⑥~ lucky(w) ∨ win(w,prize) ⑦~happy(zhang)
谓词逻辑与归结原理
消解原理基本知识
• 合取范式：仅由有限个简单析取式构成的合取式，
反演求解的正确性 设公式L在逻辑上遵循公式集S，那么按照定义 满足S的每个解释也满足L。决不会有满足S的 解释能够满足～L的，所以不存在能够满足并 集S∪｛～L｝的解释。如果一个公式集不能被 任一解释所满足，那么这个公式是不可满足的 。因此，如果L在逻辑上遵循S，那么S∪｛～ L｝是不可满足的。可以证明，如果消解反演 反复应用到不可满足的子句集，那么最终将要 产生空子句NIL。因此，如果L在逻辑上遵循S
消解反演求解过程
消解反演
反演求解的步骤
给出一个公式集S和目标公式L，通过反证或反 演来求证目标公式L，其证明步骤如下： (1)否定L，得～L； (2)把～L添加到S中去； (3)把新产生的集合｛～L，S｝化成子句集； (4)应用消解原理，力图推导出一个表示矛盾 的空子句NIL。
消解反演求解过程
反演求解的举例
"菲多在哪里"例题的反演树
从消解求取答案例题的反演树 修改证明树
修改证明树
"菲多在哪里"例题的修改证明树
反演求解的举例
已知：①会朗读的人是识字的； ②海豚都不识字； ③有些海豚是很机灵的。
证明：有些很机灵的东西不会朗读。
把问题用谓词逻辑描述如下： 已知： ①（ x）（R（x）→L（x））
化成子句集
①~ pass(x,computer)∨~ win(x,prize)∨happy(x) ②~ study(y)∨pass(y,z) ③~ lucky(u)∨pass(u,v) ④~ study(zhang) ⑤lucky(zhang) ⑥~ lucky(w) ∨ win(w,prize) ⑦~happy(zhang)
谓词逻辑与归结原理
消解原理基本知识
• 合取范式：仅由有限个简单析取式构成的合取式，
第3.3节 谓词逻辑的归结原理共63页
复杂的谓词公式可以分而治之，化整为零。
2008-2009学年第1学期
3.3节 谓词逻辑的归结原理
10
4. 置换与合一
置换
{t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}称为对谓词公式的一个置换，表示 将谓词公式中的xi替换为ti。
辖域扩展
x y z w ( P ( a , x , y ) Q ( w , b ) R ( z ))
辖域扩展
4）求 skolem 标准型
x y z w ( P ( a , x , y ) Q ( w , b ) R ( z ))
x z w ( P ( a , x , f ( x )) Q ( w , b ) R ( z ))
2008-2009学年第1学期
3.3节 谓词逻辑的归结原理
4
归结原理的基本思想
证明（用谓词公式表达的）定理
就是要证明“前提→结论”是永真式； 即对任一种解释，谓词公式都为真； 直接对每个解释，求证谓词公式为真，然后归纳，这是
很麻烦的，甚至是不可能的； 要证明“前提→结论”是永真式，等同于证明； 若“前提∧～结论”真的是永假式，则寻找合适算法，
就可在有限步内判定。归结方法就是这样的算法。
2008-2009学年第1学期
3.3节 谓词逻辑的归结原理
5
Skolem标准型
前束范式
公式中的所有量词都在最左边，且每个量词的辖域都 延伸到公式末端。
形如：Q1x1Q2x2…QnxnM(x1, x2, …, xn)
例：
w x y z ( P ( w ) Q ( x , y , z ) R ( x , y , z , u ))
Miller给Robinson一篇60年的关于谓词演算证明过程的 论文，当时没有计算机程序实现，让他在IBM704上实现 该演算。
人工智能谓词逻辑与归结原理
人工智能
吉林大学珠海学院计算机科学与技术系
命题逻辑的推理规则
符号和语句
定义: 命题演算符号包括命题符号: P, Q, R, S,...
真值符号: true, false
连接词: ∧, ∨, ┐, → , ,
定义: 命题逻辑公式（Well-formed formula, WFF）
利用命题演算符号， 真值符号和逻辑连接词组成
1
1
R(2， 2) R(2， 3) R(3， 2) R(3， 3)
定义：谓词演算语句（递归定义）
利用原子语句，合取， 析取， 否定，蕴涵，全称， 定量等 符号构成的合法字符串。
谓词演算的语义
定义：谓词演算语句的解释
由一个论域 D 和一组指定组成
谓词语句在解释下的真值
人工智能
吉林大学珠海学院计算机科学与技术系
在谓词演算中使用推理
一个解释由一个论域 D 和一组指定组成
人工智能
命题逻辑归结方法
吉林大学珠海学院计算机科学与技术系
以下为归结过程 1. ～ P∨Q 2. ～Q 3. P 1,2 归结 4. Q 2,4 归结 5□
人工智能
吉林大学珠海学院计算机科学与技术系
3.2 谓词逻辑基础
3.2.1 谓词的基本概念
个体词: 表示具体的客体, 如: 小王, 工程师, 8, 自然数.
人工智能
命题逻辑归结方法
吉林大学珠海学院计算机科学与技术系
为叙述方便， 我们把命题原子称作正文字， 例如P, Q, R…., 等等， 把带有非符号的命题原子叫做
负文字，例如P, Q, R…., 等等，把正文字
和负文字统称为文字。
单个文字， 文字的析取构成的命题逻辑公式叫做子
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基于谓词逻辑的归结原理研究
引言：
谓词逻辑是一种常用的逻辑推理方法，用于描述和推理关于对象和关系的命题。
在谓词逻辑中，通过定义谓词和量词来表达命题，通过逻辑运算符来进行推理。
归结是一种基于谓词逻辑的推理方法，通过将两个命题进行合并和化简，得到一个新的命题，从而推导出结论。
一、谓词逻辑的基本概念
1. 谓词：谓词是用于描述对象或关系的符号，可以是一个简单的关系，也可以是一个复杂的命题。
例如，P(x)表示x具有性质P，R(x, y)表示x与y之间存在关系R。
2. 量词：量词用于限定谓词的范围，包括全称量词和存在量词。
全称量词表示谓词对于所有对象都成立，存在量词表示谓词对于存在的对象成立。
3. 逻辑运算符：逻辑运算符包括与、或、非等，用于连接和操作命题。
例如，∧表示与运算，∨表示或运算，¬表示非运算。
二、归结原理的基本思想
归结是一种基于谓词逻辑的推理方法，通过将两个命题进行合并和化简，得到一个新的命题，从而推导出结论。
归结原理的基本思想是将待证命题与已知命题进行归结，即通过合并和化简来消除冗余
信息，从而推导出结论。
三、归结的基本步骤
1. 子句化：将命题转化为子句的形式，即将谓词逻辑的公式化简为子句集合的形式。
子句是由谓词和其参数组成的一个命题，可以表示为谓词与其参数的析取。
2. 归结操作：选择两个子句进行归结操作，即将两个子句通过合一操作找到归结项，并进行合一替换，得到一个新的子句。
3. 消解规则：根据不同的合一替换规则，对归结项进行化简，消除冗余的信息，得到一个更简化的子句。
4. 重复归结：重复进行归结操作，直到得到一个空子句或无法进行归结为止。
5. 结论推导：如果得到一个空子句，则说明原始命题成立，可以推导出结论；如果无法进行归结，则说明原始命题不成立。
四、归结原理的应用领域
1. 自动推理：归结原理可以应用于自动推理系统中，通过将待证命题与已知命题进行归结，从而自动推导出结论。
这在人工智能领域中具有广泛的应用。
2. 硬件验证：归结原理可以应用于硬件验证中，通过将待验证的电路与已知的规则进行归结，从而判断电路的正确性。
3. 软件验证：归结原理可以应用于软件验证中，通过将待验证的程序与已知的规范进行归结，从而判断程序的正确性。
结论：
基于谓词逻辑的归结原理是一种重要的推理方法，通过合并和化简命题，可以推导出结论。
归结原理在自动推理、硬件验证和软件验证等领域具有广泛的应用前景。
未来，随着人工智能和逻辑推理技术的不断发展，归结原理将发挥越来越重要的作用。