中考数学专题复习常见模型方法数与式的规律问题

中考数学专题复习常见模型方法数与式的规律问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是( ) A ．2925B ．2025C ．3225D ．26252．已知又一个有序数组(),,,a b c d ，按下列方式重新写成数组()1111,,,a b c d ，使得1a a b =+，1b b c =+，1c c d =+，1d d a =+，接着按同样的方式重新写成数组()2222,,,a b c d ，使得211a a b =+，211b b c =+，211c c d =+，211d d a =+，按照这个规律继续写下去，若有一个数组(),,,n n n n a b c d 满足10002000n n n na b c d a b c d+++<<+++，则n 的值为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．123．观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，用你所发现的规律得出2017201822+的末位数字是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．64．观察下列等式：=123456733,39,327,381,3243,3729,32187,======．解答下列问题：234202033333+++++的末尾数字是 （ ）A ．0B ．2C ．3D ．95．观察下面由正整数组成的数阵：照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（ ） A ．2500 B ．2501C ．2601D ．26026．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左向右数第（n ﹣2）个数是（ ）（用含n 的代数式表示）A．21n - B ．22n - C ．23n - D ．24n -7．如图，第1个图形中小黑点的个数为5个，第2个图形中小黑点的个数为9个，第3个图形中小黑点的个数为13个，…，按照这样的规律，第n 个图形中小黑点的个数应该是（ ）A ．41n +B ．32n +C ．51n -D ．62n -8．用火柴棒按下图的方式搭图形，搭第n 个图形需要火柴棒根数为（ ）A ．21nB ．2nC ．21n -D ．2(1)n +9．按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2中共有10把椅子，…，按此规律，则图7中椅子把数是（ ）A ．28B ．30C ．36D ．4210．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，⋯依此规律，如果第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n =（ ）A．504B．505C．506D．50711．下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形有1颗棋子，第①个图形一共有6颗棋子，第①个图形一共有16颗棋子，…，则第①个图形中棋子的颗数为（）A．141B．106C．169D．15012．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第50个图形中有（）个小圆圈．A．2454B．2605C．2504D．2554 13．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个知形的面积为（）A．14B．114n-C．14nD．114n+评卷人得分二、填空题14．观察给定的分式，探索规律：（1）1x，22x，33x，44x，…其中第6个分式是__________；（2）2xy，43xy-，65xy，87xy-，…其中第6个分式是__________；（3）2ba-，52ba，83ba-，114ba，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．15．若x 是不等于1的实数，我们把11x-称为x 的差倒数，如2的差倒数是11,112=---的差倒数为()11112=--，现已知121,3x x =-是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差倒数，···，依此类推， 则2020x =________． 16．已知：11t a t =-，2111a a=-，3211a a =- ，……，111n n a a +=-；则2020a ＝_______．（用含t 的代数式表示）17．如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x 的值为______．18．观察数表：根据数表所反映的规律，第n 行第n 列交叉点上的数应为_________．19．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是______． 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 ……20．如图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示的方式两两相扣，相扣处不留空隙，小明用x 个如图1所示的图形拼出来的总长度y 会随着x 的变化而变化，y 与x 的关系式为y =______．21．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品．．．．．．，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉．．．．．．．．．．．．．．，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）．若有43枚图钉可供选用，则最多可以按照要求展示绘画作品________张．22．德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做法如下：取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩下四条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；．．，一直如此操作下去大在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．如图是最初几个阶段，（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为____________．（2）当达到第n个阶段时(n为正整数)，去掉的线段的长度之和为___ (用含n的式子表示)评卷人得分三、解答题23．观察下面一列数，探求其规律：1-，12，13-，14，15-，16，…（1）请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？（2）第2015个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？24．观察下面三行有规律的数： -2，4，-8，16，- 32，64，……① -4，2，-10，14，- 34，62，……① 4，-8，16，- 32，64，-128，……① （1）第一行数的第10个数是__________ ；（2）请联系第一行数的规律，直接写出第二行数的第10个数是____________；直接写出第三行数的第n 个数是_____________； （3）取每行的第100个数，计算这三个数和．25．观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯． 将以上三个等式的两边分别相加，得：111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯． （1）直接写出计算结果：111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯＝________． （2）计算：1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯⨯+． （3）猜想并直接写出：1111133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-⨯+＝________．（n 为正整数）26．一列数123n a a a a 、、、、，其中11a =-，2111a a =-，3211a a =- ，……，111n n a a -=-；求： （1）2020a 的值； （2）1232021a a a a ++++的值．27．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数m 的个数和S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 52+4+6+8+10＝30＝5×6（1）按这个规律，当m ＝6时，和S 为 ；（2）从2开始，m 个连续偶数相加，它们的和S 与m 之间的关系，用公式表示出来为：S ＝ ． （3）应用上述公式计算．．．．．．．．： ①2+4+6+…+100①1002+1004+1006+…+1100 ①1+3+5+7+…+9928．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a ，b ，c ，d ，x 表示．（1）若17x=，则a b c d+++=______．（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d．（3）设M a b c d x=++++，判断M的值能否等于2010，请说明理由．29．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，第3个图案中有16根小棒……（1）第8个图案中有根小棒；（2）如果第n个图案中有1011根小棒，那么n的值是多少？30．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推．（1）填写下表：层数123456该层对应的点数所有层的总点数（2）写出第n层所对应的点数．（3）如果某一层共96个点，你知道它是第几层吗？（4）有没有一层，它的点数为100点？（5）写出n层的六边形点阵的总点数．答案第1页，共21页参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据题意找到规律：()233333211234(1234)2n n n n ⎡⎤+++++⋯+=++++⋯+=⎢⎥⎣⎦即可求解．【详解】 解：①13=12， 13+23=(1+2)2=32， 13+23+33=(1+2+3)2=62， 13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102， …，①()233333211234(1234)2n n n n ⎡⎤+++++⋯+=++++⋯+=⎢⎥⎣⎦，53+63+73+83+93+103=(33333123410++++⋯+)-(33331234+++)22(123410)(1234)=++++⋯+-+++()()221011041422⎡⎤⎡⎤⨯+⨯+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦225510=-2925=．故选：A ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 2．B 【解析】 【分析】根据题意可得1111a b c d +++=2()a b c d +++，2222a b c d +++=22()a b c d +++，3333a b c d +++=23()a b c d +++，从而可得n n n n a b c d +++=2n ()a b c d +++，代入不等式并化简可得100022000n <<，即可求出n 的值．【详解】解：①1a a b =+，1b b c =+，1c c d =+，1d d a =+，①1111a b c d +++=a b +＋b c +＋+c d ＋d a +=2()a b c d +++①211a a b =+，211b b c =+，211c c d =+，211d d a =+①2222a b c d +++=11a b +＋11b c +＋11c d +＋11d a +=2()1111a b c d +++=22()a b c d +++同理可得：3333a b c d +++=23()a b c d +++①n n n n a b c d +++=2n ()a b c d +++①10002000n n n n a b c d a b c d+++<<+++ ①()210002000n a b c d a b c d+++<<+++ ①100022000n <<①29=512，210=1024，211=2048①10100022000<<①n=10故选B ．【点睛】 此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解题关键．3．D【解析】【分析】因为122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，观察发现：2n 的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据201745041÷=…，201845042÷=…，得出20172的个位数字与12的个位数字相同是2，20182的个位数字与22的个位数字相同是4，进一步求解即可．【详解】解：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，⋯． 201745041÷=…，201845042÷=…，①20172的个位数字与12的个位数字相同是2，20182的个位数字与22的个位数字相同是4，246+=．故2017201822+的末位数字是6．故选：D ．【点睛】本题考查了尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，利用规律解决问题． 4．A【解析】【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，对前面几个数相加，可以发现末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环，从而可以求得3+32+33+34+…+32020的末位数字是多少．【详解】解：①31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，①3=3，3+9=12，12+27=39，39+81=120，120+243=363，363+729=1092，1092+2187=3279，...通过上面式子可以发现这些数加起来的和的末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环①2020÷4=505①3+32+33+34+…+32020的末位数字是0故选A．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类以及尾数特征，根据各数个位数字的变化，找出变化规律是解题的关键．5．B【解析】【分析】观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第50行的最后一个数是502=2500，进而求出第51行的第1个数．【详解】由题意可知，第n行的最后一个数是n2，所以第50行的最后一个数是502=2500，第51行的第1个数是2500+1=2501，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于发现第n行的最后一个数是n2的规律．6．B【解析】【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．【详解】解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是22n ．【点睛】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键．7．A【解析】【分析】观察规律，逐个总结，从特殊到一般即可．【详解】第1个图形，1+1×4=5个；第2个图形，1+2×4=9个；第3个图形，1+3×4=13个；第n个图形，1+4n个；故选：A．【点睛】本题考查利用整式表示图形的规律，仔细观察规律并用整式准确表达是解题关键．8．A【解析】【分析】观察给出图形的根数，发现以此增加2，即可列出代数式．【详解】第一个图形有：1+2=3根，第二个图形有：1+2×2=5根，第三个图形有：1+2×3=7根，第四个图形有：1+2×4=9根，⋯⋯①第n个图形有：2n+1根；【点睛】本题考查列代数式表示图形的变化规律，找准每个图形增加的数量关系是解题关键． 9．B【解析】【分析】观察图形变化，得出n 张餐桌时，椅子数为4n +2把（n 为正整数），代入n ＝7即可得出结论．【详解】解：1张桌子可以摆放的椅子数为：2+1×4＝6，2张桌子可以摆放的椅子数为：2+2×4＝10，3张桌子可以摆放的椅子数为：2+3×4＝14，…，n 张桌子可以摆放的椅子数为：2+4n ，令n ＝7，可得2+4×7＝30（把）．故选：B ．【点睛】此题考查图形类规律探究，列式计算,根据图形的排列总结规律并运用解决问题是解题的关键．10．B【解析】【分析】根据图形的变化规律、正方形和三角形的个数可发现第n 个图案有31n +个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有41n +个，进而可求得当412021n +=时n 的值．【详解】解：①第①个图案有4个三角形和1个正方形，正三角形和正方形的个数共有5个； 第①个图案有7个三角形和2个正方形，正三角形和正方形的个数共有9个；第①个图案有10个三角形和3个正方形，正三角形和正方形的个数共有13个； 第①个图案有13个三角形和4个正方形，正三角形和正方形的个数共有17个；①第n 个图案有()43131n n +-=+个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有3141n n n ++=+个①第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个①412021n +=①505n =．故选择：B【点睛】本题考查了图形变化类的规律问题、利用一元一次方程求解等，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．11．A【解析】【分析】本题的图从①个图开始可以看作是由图①的一个棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张，棋子依次是5的整数倍关系．所以第①个图形中棋子的颗数也就容易计算了．【详解】解： ①第①个图形中棋子的个数为：1150=+⨯ ＝1＋5×0；第①个图形中棋子的个数为：()15016+⨯+= ；第①个图形中棋子的个数为：()1501216+⨯++=；…①第n 个图形中棋子的个数为：()()5n n 115012n 112-+⨯++++-=+； 则第①个图形中棋子的颗数为：58711412⨯⨯+= 故应选A ．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，根据图形中棋子数目的变化找出变化规律是解题的关键．12．D【解析】【分析】设第n 个图形中有a n 个小圆圈(n 为正整数)，根据图形中小圆圈个数的变化可找出“a n ＝4+n(n+1)(n 为正整数)”，再代入n ＝50即可求出结论．【详解】解：设第n 个图形中有a n 个小圆圈(n 为正整数)观察图形，可知：a 1＝4+1×2，a 2＝4+2×3，a 3＝4+3×4，a 4＝4+4×5，…，①a n ＝4+n(n+1)(n 为正整数)，①a 50＝4+50×51＝2554故选D ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中小圆圈个数的变化找出变化规律“a n ＝4+n(n+1)(n 为正整数)”是解题的关键．13．B【解析】【分析】易得第二个矩形的面积为(21)2，第三个矩形的面积为(41)2，依此类推，第n 个矩形的面积为(221)2n -． 【详解】解：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的(22211)24⨯-=；第三个矩形的面积是(23211)216⨯-=； ⋯故第n 个矩形的面积为：(2211111)()244n n n ---==． 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．14． 66x 1211x y - 31(1)n n nb a -- 【解析】【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x 6（2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x 12，分母是 y 11,（3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个分式的符号是（-1）n , 分子是b 3n-1，分母是 a n ,【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是66x ， （2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是1211x y-， （3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个符号为（-1）n ，所以，第六个分式是31(1)n nn b a -- 【点睛】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键15．13- 【解析】【分析】根据差倒数的概念逐一计算，然后找到规律，利用规律即可解答．【详解】113x =-， 213141()3x ∴==-- ，同理，3414,3x x ==- ， ①n x 是13,,434-这三个数的循环． ①202036731÷= ，202013x ∴=-． 故答案为：13-． 【点睛】本题主要考查差倒数，理解差倒数的求法并找到规律是解题的关键．16．1t t - 【解析】【分析】观察数据可知，11t a t =-，2111a a =-=1-t ，3211a a =-=1t，43111a a t t =--=，…，从第一项开始3个一循环，再用2020除以3得出余数即可求解．【详解】解：观察数据可知：11t a t =-，2111a a =-=1-t ，3211a a =-=1t ，43111a a t t =--=，…，从第一项开始3个一循环，①2020÷3＝673…1，①2020a ＝11t a t =-． 故答案为：1t t -． 【点睛】考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．17．370．【解析】【详解】试题分析：观察可得左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，所以2n=20，m=2n﹣1，解得n=10，m=19，又因右下角数字：第一个：1=1×2﹣1，第二个：10=3×4﹣2，第三个：27=5×6﹣3，由此可得第n个：2n（2n﹣1）﹣n，即可得x=19×20﹣10=370．考点：数字规律探究题.18．2n−1【解析】【分析】由给出排列规律可知，第一行第一列交叉点上的数是1，第2行第2列交叉点上的数是3，…，第n行与第n 列交叉点上的数构成一个等差数列．【详解】解：由给出排列规律可知，第一行第一列交叉点上的数是1，第2行第2列交叉点上的数是3，…，交叉点上的数构成一个等差数列．第n 行与第n 列交叉点上的数是2n−1，故答案为：2n−1．【点睛】本题考查归纳推理，解答关键是利用已有的数据进行归纳，解题时要认真审题，仔细解答．19．640【解析】【分析】观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解．【详解】观察数字的变化可知：第n行有n个偶数，因为第1行的第1个数是：2＝1×0＋2；第2行的第1个数是：4＝2×1＋2；第3行的第1个数是：8＝3×2＋2； …所以第n 行的第1个数是：n （n−1）＋2， 所以第25行第1个数是：25×24＋2＝602， 所以第25行第20个数是：602+2×19=640． 故答案为：640． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 20．52x + 【解析】 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】 观察图形可知：当两个图（1）拼接时，总长度为：7+5=12； 当三个图（1）拼接时，总长度为：7+2×5； 以此类推，可知：用x 个这样的图形拼出来的图形总长度为：()75152x x +-=+， ①y 与x 的关系式为52y x =+． 故答案为：52x +． 【点睛】本题考查了图形规律，根据图形的拼接规律得出y 与x 的关系式是解题的关键． 21．30 【解析】 【分析】分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行的时候，43枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论． 【详解】解：①如果所有的画展示成一行，43÷（1+1）=21……1，①43枚图钉最多可以展示20张画；①如果所有的画展示成两行，43÷（2+1）=14……1，14-1=13（张），2×13=26（张），①43枚图钉最多可以展示26张画；①如果所有的画展示成三行，43÷（3+1）=10……3，10-1=9（张），3×9=27（张），①43枚图钉最多可以展示27张画；①如果所有的画展示成四行，43÷（4+1）=8……3，8-1=7（张），4×7=28（张），①43枚图钉最多可以展示28张画；①如果所有的画展示成五行，43÷（5+1）=7……1，7-1=6（张），5×6=30（张），①43枚图钉最多可以展示30张画；①如果所有的画展示成六行，43÷（6+1）=6……1，6-1=5（张），6×5=30（张），①43枚图钉最多可以展示30张画；①如果所有的画展示成七行，43÷（7+1）=5……3，5-1=4（张），4×7=28（张），①43枚图钉最多可以展示28张画；综上所述：43枚图钉最多可以展示30张画．故答案为：30．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，观察图形，求出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行时，最多可以展示的画的数量是解题的关键．22．（1）32；（2）1 ()3n．【解析】【分析】根据题意写出前面所求的结果的式子，然后推广得出规律，即可解答．【详解】（1）根据题意可知：第一阶段余下的线段的条数为12=2条； 第二阶段余下的线段的条数为22=4条； 第三阶段余下的线段的条数为32=8条； 第四阶段余下的线段的条数为42=16条； 第五阶段余下的线段的条数为52=32条； 故答案为32．（2）根据题意可知：第一阶段去掉的线段的长度为11()3；第二阶段去掉的线段的长度和为211111=()33333⨯+⨯；第三阶段去掉的线段的长度和为22311111()()()33333⨯+⨯=；以此类推，第n 阶段去掉的线段的长度和为1()3n．故答案为1()3n．【点睛】考查发现图形的规律，根据图形写出前面的几种情况，然后找出其规律是解答本题的关键．23．（1）17-，18，19-；（2）12015-，与0越来越接近【解析】 【分析】（1）分子是1，分母是从1开始连续的自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，第n 个数是1(1)nn-； （2）根据（1）中发现的规律即可求解，因为它们的分子不变是1，分母越来越大，所以越来越接近0． 【详解】解：（1）第n 个数是1(1)nn-， ∴第7个，第8个，第9个数分别是17-，18，19-．（2）第2015个数是12015-，如果这列数无限排列下去，与0越来越接近．【点睛】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现符号、分子、分母的规律，并应用发现的规律解决问题． 24．（1）1024；（2）1022，()12n +-；（3）－2．【解析】 【分析】（1）通过观察可知第一行数据的规律是()()()()()()1234562,2,2,2,2,2,------，进而可以得出答案；（2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，便可得出答案；（3）根据得出的规律将每一行第100个数字相加即可． 【详解】解：（1）①-2，4，-8，16，- 32，64，……，①该组数据的规律是：()12-，()22-，()32-，()42-，()52-，()62-，……，①第一行数的第10个数是()1021024-=； （2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2， 第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，则第二行的第10个数是()10221022--=，第三行的第n 个数是()()()1222n n +-⋅-=-，（3）①第一行数的第100个数是()10010022-=，第二行的第100个数是10022-，第三行的第100个数是()10110122-=-①()10010010110110122222222+-+-=--=-，即这三个数的和为－2． 【点睛】本题考查了数字的规律探究，找出数字的规律是解题的关键． 25．（1）56；（2）1n n +；（3）21n n +．【解析】 【分析】（1）根据所给等式对111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯进行拆分，然后计算即可； （2）按照（1）的思路对1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯⨯+拆分计算即可； （3）由（2）的结论，可以推出()1111()21(21)22121n n n n =--+-+，然后运用该规律解答即可． 【详解】 解：（1）111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯ =1111111111223344556-+-+-+-+-=1-16=56； 故答案为56；（2）1111122334(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+ =1111112231n n -+-+⋅⋅⋅+-+=111n -+ 1nn =+； （3）1111133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-⨯+=1111111112335572121n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪-+⎝⎭=111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=12221n n ⨯+ =21nn +． 【点睛】本题主要考查了探究数字规律和有理数的混合运算，分析已知等式、找出规律是解答本题的关键．26．（1）-1；（2）1009 【解析】【分析】（1）先依次计算出123n a a a a 、、、、的值，从中发现循环规律，然后对应解答问题． （2）根据第（1）题的数字循环规律，即可求解． 【详解】解：（1）①11a =- ，211112a ==+ ，312112a ==- ，41112a ==--，…… ． 从上面的解答可以看出123n a a a a 、、、、的值依次按-1，12，2为一个循环节循环的．①202036731÷=，①2020a 的值对应的是“-1，12，2”循环节的第一个数，故20201a =-；（2）①202136732÷=，一个循环节的和为-1+12+2=32，①余数为2对应的-1，12两个数．①1232021a a a a ++++=31673100922⨯+=(-1)+．【点睛】本题可以看作“数式循环规律”的题型，这类题关键经过计算得出循环的规律，得出循环节的组成，在根据问题与循环节的对应关系解答问题．27．（1）42；（2）()1m m +；（3）①2550；①52550；①2500． 【解析】 【分析】（1）根据规律列出运算式子，计算有理数的乘法即可得； （2）根据表格归纳类推出一般规律即可得；（3）①根据（2）的结论列出运算式子，计算有理数的乘法即可得； ①利用241100+++的值减去241000+++的值即可得；①将运算中的每个加数都加上1可变成（3）①的运算式子，再减去50即可得． 【详解】（1）根据规律得：当6m =时，和6742S =⨯=， 故答案为：42；（2）由表可知，当1m =时，()12111S =⨯=⨯+， 当2m =时，()23221S =⨯=⨯+， 当3m =时，()34331S =⨯=⨯+， 当4m =时，()45441S =⨯=⨯+， 归纳类推得：()1S m m =+， 故答案为：()1m m +； （3）①()24610050501++++=⨯+，5051=⨯，2550=；①1002100410061100++++，()()241100241000=+++-+++，()()55055015005001=⨯+-⨯+， 550551500501=⨯-⨯， 303050250500=-，52550=；①135799+++++，()()()()()11315171991150=++++++++++-⨯，246810050=+++++-，255050=-，2500=．【点睛】本题考查了有理数加减法与乘法的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 28．（1）68；（2）12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+；（3）不能等于2010，理由见解析． 【解析】 【分析】观察图1，可知：12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+． （1）当x=17时，找出a 、b 、c 、d 的值，将其相加即可求出结论；（2）由12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+，即可求出a+b+c+d 的值；（3）根据M=2020，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可求出x 的值，由x 为偶数即可得出M 不能为2010． 【详解】观察图1，可知：12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+． （1）当x=17时，a=5，b=15，c=19，d=29， ①515192968a b c d +++=+++=． 故答案为：68．（2）①12a x =-，2b x =-，2c x =+，12d x =+， ①()()()()1222124a b c d x x x x x +++=-+-++++=， 故答案为：4x ；（3）M 的值不能等于2020，理由如下： ①4a b c d x +++=，①M 2010a b c d x =++++=，则52010x =， 解得：402x =． ①402是偶数不是奇数， ①与题目x 为奇数的要求矛盾， ①M 不能为2010． 【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）将a 、b 、c 、d 四个数相加；（2）观察图1，用含x 的代数式表示出a 、b 、c 、d ；（3）由M=2010，列出关于x 的一元一次方程． 29．（1）41；（2）202 【解析】 【分析】（1）前三个图案中的6，11，16可分别写为6=5×1+1，11=5×2+1，16=5×3+1，于是可得规律，进而可求出第8个图案的小棒数量；（2）由（1）题的规律可得第n 个图案中小棒的数量，于是可得关于n 的方程，解方程即得答案． 【详解】解：第1个图案中有6根小棒，6=5×1+1， 第2个图案中有11根小棒，11=5×2+1， 第3个图案中有16根小棒，16=5×3+1， ……，所以第8个图案中有（5×8+1）=41根小棒； 故答案为：41；（2）第n 个图案中有()51n +根小棒，根据题意，得 5n+1=1011，解得n=202． 答：n 的值是202． 【点睛】本题考查了图形类规律探求和一元一次方程的应用，找准规律是解题的关键． 30．（1）见详解；（2）（6n ﹣6）个点；（3）17；（4）没有；（5）3n 2﹣3n +1． 【解析】 【分析】（1）观察点阵可以写出答案；（2）观察点阵可知：第二层每边有2个点，第三层每边有3个点，第四层每边有4个点，第五层每边有5个点，得出第n （n ＞1）层每边对应的点数是n ，从而得出第n 层所对应的点数；（3）根据六边形有六条边，则第一层有1个点，第二层有2×6﹣6＝6（个）点，第三层有3×6﹣6＝12（个）点，进一步得出第n 层有6（n ﹣1）个点，代入96求得答案即可； （4）将100代入建立方程求解即可判定；（5）根据表格所得出的规律是从第二层，后面到几层就增加几个数6，由此即可求出答案． 【详解】 解：（1）如表：层数123456该层对应的点数1612182430所有层的总点数1719376191（2）根据表格可得出第n层每边对应的点数是n；则第n层所对应的点数为（6n﹣6）个点，（3）因为第n层有（6n﹣6）个点，则有6n﹣6＝96，解得n＝17，即在第17层；（4）6n﹣6＝100解得535n=，不合题意，所以没有一层，它的点数为100点；（5）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即n层六边形点阵的总点数为，1+1×6+2×6+3×6+…+（n﹣1）×6＝1+6[1+2+3+4+…+（n﹣1）]＝1+6()12 n n-⨯＝1+3n（n﹣1）＝3n2﹣3n+1．第n层六边形的点阵的总点数为：3n2﹣3n+1．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．。